На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти готовые бесплатные и платные работы или заказать написание уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов по самым низким ценам. Добавив заявку на написание требуемой для вас работы, вы узнаете реальную стоимость ее выполнения.

Помощь студентам 

Работа дома! Много заказов.

Работа авторам

 

Результат поиска


Наименование:


курсовая работа Методика изучения числовых систем в курсе математики основной школы

Предмет:

Не определен

Год сдачи:

2012

Объем (страниц):

Уникальность по antiplagiat.ru:*

Дата публикации:

12.09.2012

Описание (план):


 
Министерство  образования и науки РФ
Армавирский государственный педагогический университет
Кафедра алгебры, геометрии и МПМ. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   

Тема: «Методика изучения числовых систем
в курсе математики основной школы» 
 
 
 
 
 
 

                                                                                                                                 Выполнила студентка
                                                                                                                                 М-инф  гр. 4-1
                                                                                                                                 Зимовцова Альбина 
 
 
 
 
 

Армавир, 2009 г. 
 

Содержание:
Введение………………………………………………………………………………….3
Глава 1 . Развитие понятия  числа в математике…………………………………..6
1. Натуральные  числа……………………………………………………………………6
               1.1. Возникновение натурального числа……………………………………..6
               1.2. Построение множества натуральных  чисел……………………………..7
2. Целые числа……………………………………………………………………………9
       2.1. Множество целых чисел…………………………………………………….9
       2.2. Отрицательные числа……………………………………………………….10
3. Рациональные  числа…………………………………………………………………..11
       3.1. Дробные числа………………………………………………………………11
       3.2. Десятичные дроби……………………..……………………………………14
4. Действительные  числа………………………………………………………………..15
               4.1. Иррациональные числа…………………………………………...………15
5. Комплексные  числа……………………………….......................................................17 

Глава 2. Методика изучения числовых систем в основной школе………………20
1. Анализ программы  по математике…………………………………………………...20
2. Методика изучения натуральных чисел......................................................................24
3. Методика изучения обыкновенных и десятичных дробей…………………............29
4. Методика изучения отрицательных чисел…………………………………..............38
5. Построение множества рациональных чисел в школьном курсе математики.........40
6. Методика изучения действительных чисел …………………………………….…...41 

Заключение…………………………………………………………………………..…..44 

Использованная  литература……………………………………………………….......45 

Приложение………………………………………………………………………..…….46
Приложение  №1 : «Таблицы  разрядных  единиц »……………………………..…46
Приложение  №2: «Урок –путешествие. »…………………………............................47
Приложение  №3. Внеклассное мероприятие  по математике для 6 класса…..….51 
 
 
 
 
 
 

Введение  

    Понятие числа прошло долгий исторический путь развития. Оно сложилось постепенно в процессе решения все более и более сложны вопросов сначала практического, а потом и теоретического характера, и является одним из древнейших понятий математики.
    К сожалению, когда к концу XIX века развитие математики остро поставило вопрос ее логического обоснования, оказалось, что так называемых «первобытных» народов почти не оказалось. Империалистическая политика капиталистических стран привела к тому, что одни из них, как например, австралийское племя тасманийцев, были уничтожены, а другие потеряли собственную культуру. Поэтому при восстановлении стадий развития числа приходиться пользоваться  скудным материалом. Однако вопрос происхождения числа весьма важен как в историческом плане, так и для разоблачения идеалистической теории, согласно которой понятие числа и даже всего натурального ряда является у человека врожденным. 
    Ф.Энгельс  писал: «Понятие числа и фигуры заимствованы из действительного мира. Десять пальцев, на которых люди учились считать, то есть производить первое арифметическое действие, представляют что угодно, но только не свободное творение рассудка».
    Изучение  культуры племен в эпоху географических открытий и позднее показало, что  многие из них обходились только двумя  числительными: один и два. Остальные  образовывались их сочетаниями: 3- «два - один», 4- «два-два», 5 – «два – два - один» и т.д.
    С развитием обмена развивался счет. Уже у древних египтян и  вавилонян были системы нумерации. Обе не позиционные. Из позиционных  систем нумераций древнейшей из известных  является вавилонская шестидесятеричная. Она не имела абсолютного характера, так как в ней не было нуля.
    В начале нашей эры , позиционная система  счисления появилась у племен майя с основанием системы -20.
    Запись  в позиционной десятичной системе  с употреблением нуля появилась  в Индии около 500 г. н.э. эта система через арабские страны дошла до Испании в X веке. Общеупотребительной она стала в Европе в XV-XVI веках, а в России - в XVII веке.
    Дробями пользовались уже древние египтяне и вавилоняне. Греческие математики за несколько веков до н.э. установили недостаточность рациональных чисел  для строгого решения задач измерения  длин и вплотную подошли к понятию  действительного числа, создав теорию пропорций.
    Представление об отрицательных числах сложилось у индийцев около 500 г. Н.э., которые рассматривали их в связи с расчетами на имущество и долг.
    Понятие комплексного числа возникло с развитием  алгебры в XVI веке . В середине XIX века Дедекинд построил теорию действительного числа.
    В это же время Гамильтон построил первую гиперкомплексную систему –  тело кватернионов: множество чисел  вида , где
    Для математики множество N натуральных чисел является исходным для построения других числовых систем путем последовательного расширения предыдущих. При этом задача расширения понятия числа включает в себя выполнимость таких требований:
      Если множество расширяется до множества то .
      Все отношения и операции для элементов определены также и для элементов множества причем их смысл для элементов , рассматривается как элемента должен совпадать с тем, какой они имели в до расширения.
      Операция, в связи с которой строится расширение , которая в была не выполнима. Или не всегда выполнима, в – всегда выполнима.
      Из всех расширений расширение B должно быть минимальным, то есть таким, которое содержится в любом другом расширении  .
    В математике логическая схема расширения понятия числа имеет вид:
    .
    Как видно, она отличается от исторического  пути развития понятия числа.
    В школьном курсе математики последовательность расширения понятия числа отлична  от принятой в математике. Она ближе  к историческому пути развития понятия числа.
    В начальной школе и 5 классе рассматривается  множество - множество натуральных чисел и нуля. Затем в 5 классе изучается понятие дробного числа и десятичные дроби -  множество .
    В 6 классе завершается изучение дробных  чисел, и изучаются сначала целые  числа – множество  , а затем рациональные числа – множество .
      В 8 классе дается понятие иррационального  числа и рассматривается множество действительных чисел R.
    Изучение  множества комплексных чисел  новой программой по математике не предусматривается.
    Объектом  исследования являются числовые множества.
    Предметом - рассмотрение методики преподавания числовых систем в средней школе.
    Целью курсовой работы является выявление  методических принципов способствующих эффективному усвоению теории числовых систем в школьном курсе математики. 

    Задачи  курсовой работы:
      Анализ литературных источников.
      Анализ школьных программ и учебников.
Структура курсовой работы:
Введение.
Глава 1 . Развитие понятия числа в математике.
Глава 2. Методика изучения числовых систем в основной школе.
Заключение.
Использованная  литература.
Приложение . 

      
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Глава 1 . Развитие понятия  числа в математике
1. Натуральные числа
               1.1. Возникновение  натурального числа
    О возникновении понятия числа  Энгельс говорил следующее: «Понятия числа и фигуры взяты не откуда – нибудь, а только из действительного  мира десять пальцев,  на которых  люди учились считать, т.е. производить  первую арифметическую операцию, представляют собой все, что угодно, только не продукт свободного творческого  разума».
    Понятие натурального числа вырабатывалось очень медленно. Об этом можно судить по тому, как считали племена, еще  совсем недавно стоящие на разных ступенях первобытнообщинного строя. Процесс формирования понятия натурального числа протекал в общих чертах следующим образом. На ранней ступени  первобытного общества еще не было отвлеченного понятия числа. Это не означает, что первобытный человек не имел представления о количестве предметов конкретно данной совокупности, например, о количестве людей участвующих в охоте, о количестве озер и т.д. На первой ступени, число указывается уже как свойство совокупности предметов, но еще не отделяется от нее как «отвлеченное число», как число, не связанное с конкретными предметами. Здесь числа являются как бы «именованными», относящимися только к определенному роду предметов.
    Возникновение понятия натурального числа вызвано  потребностью счета предметов. Сведения о результатах счета первоначально  хранили при помощи зарубок на дереве или узелков на веревке. Старейшей  известной в настоящее время  записью числа является запись на кости в вие 55 зарубок, расположенных  по 5. Эта кость найдена в Чехословакии в 193 году. Запись на ней сделана в  XXX в. до нашей эры. Предполагают, что кость служила для записи трофеев доисторических охотников. В Западной Европе в XVIII веке пользовались зарубками, обозначающими долги на бирках, раскалывающихся на две половины, одна из которых храниться у должника, другая у кредитора. С течением времени для обозначения чисел начали применять различные символы. Сначала числа обозначали черточками на материале, служащими для записей. Затем были введены знаки для чисел. Параллельно с развитием письменности понятие натурального числа приобретает все более отвлеченную форму. Все более закрепляется отвлеченное от всякой конкретности понятие числа, воспроизводимое в форме слов в устной речи и в форме обозначения специальными знаками в письменной.
      Весьма существенным шагом в развитии понятия натурального числа явилось осознание бесконечности ряда натуральных чисел, т.е. потенциальной возможности его неограниченного продолжения. Четкое представление о бесконечности натурального ряда отражено в трудах античных ученых (III в. до н.э). В «Началах» Евклида установлена даже бесконечная продолжаемость ряда натуральных чисел. В сочинении Архимеда «Псаммит» указаны  принципы построения названий и обозначений сколь угодно больших чисел, в частности больших, чем «песчинок в мире».
    Одновременно  с развитием понятия натурального числа в обиход включаются операции над числами. Операции сложения и  вычитания возникают сначала  как действия над самими множествами  предметов в форме из объединения и отделения части. В результате многовекового опыта сложилось представление об отвлеченном характере этих действий, о независимости количественного результата действия от природы элементов, составляющих множества. Так, например, складывалось убеждение в том, что три предмета и четыре предмета составляют семь предметов независимо от их природы. После этого времени начали разрабатывать правила действий, изучать их свойства, создавать методы решения задач. С этого времени начинается развитие арифметики как науки о числах и действиях над ними. Предметом этой науки оказалась система чисел с их взаимосвязями. Арифметика развивалась как система знаний, имеющая непосредственно прикладное значение. В самом процессе развития арифметики появляется потребность изучения свойств чисел, исследование закономерностей в их взаимосвязях, обусловленных наличием действий. Намечается детализация понятия натурального числа, выделяются и изучаются классы различных чисел. Изучение глубоких закономерностей ряда натуральных чисел продолжается до настоящего времени и относится к разделу математики, называемому теорией чисел.
    Термин  «натуральное число» впервые употребил  римский ученый Боэций (ок. 475-525). В  книге «Основания арифметики» он изложил на латинском языке арифметику Никомаха. Также термин «натуральное число» встречается в рукописях  XI века. В современном смысле понятие «натуральное число» и последовательное его применение связано с именем французского ученого Даламбера (1717 - 1783). Это понятие отражено в «Энциклопедии», изданной французскими учеными в 1751 – 1780 гг, математический отдел которой до 1775 г., редактировал Даламбер. С этого времени понятие «натуральное число»  вошло во всеобщее употребление.
         
     1.2. Построение множества  натуральных чисел. 

    Натуральными  числами называются числа, употребляемей  при счете предметов. Наименьшим натуральным числом является число 1. Наибольшего натурального числа  не существует. Чтобы доказать это  предположение предположим противное: пусть число  – наибольшее натуральное число. Прибавив единицу к этому числу, получим натуральное число , которое больше n. Это противоречит предположению о том, что n наибольшее натуральное число. Значит, наибольшего натурального числа не существует. Множество натуральных чисел является бесконечным. Этот факт был известен еще древним грекам. О нем говорится в книге Евклида «Начала» (III в . до н.э).
    Бесконечный ряд натуральных чисел записывают так: 1, 2, 3…; три точки означают, что  ряд продолжается неограниченно. Множество  натуральных чисел обозначают буквой
    Любое натуральное число можно записать с помощью десяти цифр: 0,1, 2, 3, 4,5, 6, 7, 8, 9. Цифры 0, 2, 4, 6, 8 называют четными, цифры 1, 3, 5, 7, 9 нечетными. Значение цифры в записи числа зависит от занимаемого ею места.
    Чтобы прочитать число, записанное в десятичной системе, его обозначение разбивают на группы справа налево, по три цифры в группе. Первые три цифры справа составляют класс единиц, три следующие класс тысяч и т.д.
    В пределах первой тысячи название имеет  единица каждого разряда: единица, десяток, сотня, тысяча. Следующие единицы, имеющие собственное название, идут через каждые три разряда. Каждая очередная именованная единица  содержит тысячу предыдущих именованных  единиц: 1 000 000 000 – миллиард, 1 000 000 000 000 – триллион и т.д.
    Слово миллион имеет сравнительно  недавнее происхождение. В итальянском языке  million есть увеличительное от числа mille, которое означает «тысяча». Слово миллион придумал венецианский путешественник Марко Поло (1254 - 1324). Ему не хватало известных в то время чисел, чтобы рассказать о необычайном множестве людей и богатств далекой Небесной Империи (так в старину называли Китай).
    Слово миллиард – одно из самых молодых  названий чисел. Оно вошло в употребление со времени окончания франко –  прусской войны (1971), когда французам  пришлось платить контрибуцию в 5 000 000 000 франков. Следует отметить, что название больших чисел редко используется в практике. Астрономы, физики и другие специалисты, имеющие дело с большими числами, записывают их посредством степеней числа 10. Так число 380 000 000 физик запишет .
    Представляет  интерес вопрос о том, с каким  самым большим числом приходилось  иметь дело на практике. Физики считают, что во  Вселенной количество элементарных частиц, из которых состоят  атомы находящиеся в ней вещества, не больше чем  в связи с этим полагают, что нет необходимости пользоваться числами, большими чем для этого числа придумано специальное название  -  гугол.
    Наименьшим  натуральным числом является единица. Древнегреческие математики не считали  единицу числом. Так пифагорейцы  и философы школы Платона учили, что единица является только зародышем  чисел. Последователи Платона утверждали, что единица не есть число, а только источник чисел . взгляд на число у  Аристотеля был несколько иным. Он определял число как множество, измеренное единицей, а про единицу  говорил, что она также есть множество  только небольшое. Что же представляет собой единица, древнегреческие ученые определить не могли по той причине, что понятие единицы есть первичное, неопределяемое понятие. Взгляды греческих математиков на единицу существовали долгое время. Римский философ и математик Боэций называл единицу матерью всех чисел. Он утверждал, что единица не есть число, а источник и производитель чисел. Этих взглядов придерживались и арабские, и первые европейские математики. Единицу признали числом впервые лишь в XIV в.  В системе чисел единица играет особую роль. Энгельс отмечал, что единица является основным числом всей системы положительных и отрицательных чисел, благодаря последовательному прибавлению к самому себе возникают все другие числа. Единице равна любая дробь, у которой числитель и знаменатель одинаковы. Всякое число в нулевой степени равна единице, поэтому единица единственное число, логарифм, которого равен нулю.
    Натуральное число p, не равное единице, называется простым, если оно делиться только на себя и на единицу, т.е имеет только два делителя. Натуральное число, отличное от единицы и не являющееся простым, называют составным, если оно имеет более двух делителей. Число 1 не относиться ни к простым ни к составным числам, поскольку оно имеет лишь один делитель.
    Таким образом, множество натуральных  чисел разбивается на три подмножества. Первое из них содержит только одно число – 1, второе образует простые  числа, а третье – составные числа. Каждое натуральное число попадает в одно и только в одно из этих множеств, эти подмножества попарно  не пересекаются. 

2. Целые числа
       2.1. Множество целых  чисел
       Натуральные числа, противоположные им числа  и нуль называют целыми числами. Множество  всех целых чисел обозначают символом Z:Z={…,-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,…}. Это множество является объединением трех множеств: множества натуральных чисел, множества чисел, противоположных натуральным, и множества, состоящего из одного числа нуль.
       Из  двух чисел меньшим считается  то, изображение  которого расположено  правее. Всякое положительное число  больше нуля, а всякое отрицательное  меньше нуля, поэтому любое отрицательное  число меньше любого положительного.
       Для сравнения отрицательных чисел  используют понятие модуля. Модулем  целого числа  называют неотрицательное число определяемое следующим образом: 
 

       Для положительного числа и нуля модуль равен самому числу, для отрицательного числа – противоположному числу.
       Если  на координатной прямой указать два  отрицательных числа, то левее окажется то число, у которого больше модуль. Следовательно, из двух отрицательных  чисел меньше то, у которого больше модуль, и больше то, у которого меньше модуль.
       Множество целых чисел содержит число нуль. В системе чисел нуль имеет  важное значение. Об этом Ф.Энгельс  в своем труде «Диалектика  природы» говорил: «Оттого, что нуль есть отрицание всякого определенного  количества, он не лишен содержания. Наоборот, нуль имеет весьма определенное содержание. Как граница между  всеми положительными числами, как  единственное действительное  число, ни могущее быть ни положительным, ни отрицательным, он не только представляет собой весьма определенное число, но и по своей природе важнее всех других. Прибавленный  к любому числу справа, он в нашей системе счисления удесятеряет данное число…Нуль уничтожает всякое число, на которое его умножают. »  

       2.2. Отрицательные числа
       Отрицательные числа впервые появились в  математике Древнего Китая во II в. н.э. они встречаются в сочинении «Математика в девяти книгах». В одной из этих книг речь идет о системах линейных алгебраических уравнений. Здесь рассматриваются конкретные системы, в которых число уравнений равно числу неизвестных.
       Отрицательные числа применял в III в. н.э древнегреческий математик Диофант, знавший уже правила действий над ними. В VII в н.э.  эти числа изучали индийские математики, которые сравнивали их с долгом. С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описать изменения величин. Уже в VIII в н.э было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения – положительное и отрицательное.
       С необходимостью вычитания меньшего числа из большего и вычитания  некоторого числа из «ничего» (т.е. нуля) встречались при решении задач, приводящих к системам линейных уравнений. В следствии этого для новых количеств – отрицательных чисел – были введены правила действий. Правило действий над отрицательными числами называли правилом «чжен-фу». В современных обозначениях первая часть правила, описывающая вычитание, определялась следующими соотношениями:
       () – () = ,  () – ()=,  .
       Знака 0 для нуля у древних китайцев не было. В этих случаях на счетной  доске оставляли пустое место. Вторая часть правила дана для сложения:
       () + ()=,  () + ()=,  .
       Само  правило формулировалось следующим  образом- «чжен-фу»: «если одинакового  названия, то вычитается, если разного  названия, то прибавляется; если положительное  без пары, то становиться отрицательным, если отрицательное без пары, то становиться положительным » . название правила «чжен - фу» объясняется  так: положительные коэффициенты обозначались иероглифом чжен, который означает «правильный», а отрицательные – иероглифом фу, т.е. долг. Указанные иероглифы дали название правилу действий над отрицательными числами.
       Отрицательные числа были хорошо освоены древнекитайскими математиками, они постепенно вводились  в обращение. Эти числа получили толкование долга, недостачи, нехватки, в отличие от положительных чисел, свидетельствующих о доходе, избытке. Хотя  отрицательными числами довольно часто и свободно оперировали, отрицательных  корней в Древнем Китае не рассматривали.
       Аналогичным образом отрицательные числа  были введены математиками Индии. Индийцы  пришли к отрицательным числам, стремясь единообразно выразить алгоритм решения  квадратного уравнения. Они называли положительные числа «дхана»  или «сва» (имущество), а отрицательные  – «рина» или «кшайа» (долг). Индийские  математики, начиная с Брахмагупты (VII в н.э), систематически использовали отрицательные числа.
       В математику Европы отрицательные числа  вошли в XVI в. сначала их рассматривали как «придуманные» числа, меньше нуля. Понятие отрицательного числа было введено Декартом в XVIIв. 

3. Рациональные числа
       3.1. Дробные числа.
     С возникновением представлений о  целых числах возникали представления  и о частях единицы, точнее, о частях целого конкретного предмета. С появлением натурального числа n возникло представление о дроби вида 1/n, которая называется сейчас аликвотной, родовой или основной.
     Чтобы выяснить вопрос о происхождении  дроби, надо остановиться не на счете, а на другом процессе, который возник со стародавних времен, - на измерении. Исторически дроби возникли в  процессе измерения.
     В основе любого измерения всегда лежит  какая-то величина (длина, объем, вес  и т.д.). Потребность в более  точных измерениях привела к тому, что начальные единицы меры начали дробить на 2, 3 и более частей. Более мелкой единице меры, которую  получали как следствие раздробления, давали индивидуальное название, и  величины измеряли уже этой более  мелкой единицей.
Так возникали  первые конкретные дроби как определенные части каких-то определенных мер. Только гораздо позже названиями этих конкретных дробей начали обозначать такие же самые части других величин, а  потом и абстрактные дроби.
  Дроби в Древнем  Риме
Римляне пользовались, в основном, только конкретными  дробями, которые заменяли абстрактные  части подразделами используемых мер. Они остановили свое внимание на мере «асс», который у римлян служил основной единицей измерения массы, а также денежной единицей. Асс делился на двенадцать частей – унций. Из них складывали все дроби со знаменателем 12, то есть 1/12 2/123/12
     Так возникли римские двенадцатеричные дроби, то есть дроби, у которых знаменателем всегда было число 12. Вместо 1/12   римляне говорили «одна унция», 5/12 – «пять унций» и т.д. Три унции назывались четвертью, четыре унции – третью, шесть унций – половиной.
     Сейчас  «асс» - аптекарский фунт.
Дроби в Древнем Египте
      Первая  дробь, с которой познакомились  люди, была, наверное, половина. За ней  последовали 1/4, 1/8 …, затем 1/3 , 1/ и т.д., то есть самые простые дроби, доли целого, называемые единичными или основными дробями. У них числитель всегда единица. Некоторые народы древности и, в первую очередь, египтяне выражали любую дробь в виде суммы только основных дробей. Лишь значительно позже у греков, затем у индийцев и других народов стали входить в употребление и дроби общего вида, называемые обыкновенными, у которых числитель и знаменатель могут быть любыми натуральными числами.
      В Древнем Египте архитектура достигла высокого развития. Для того, чтобы  строить грандиозные пирамиды и  храмы, чтобы вычислять длины, площади  и объемы фигур, необходимо было знать  арифметику.
      Из  расшифрованных сведений на папирусах  ученые узнали, что египтяне 4 000 лет  назад имели десятичную (но не позиционную) систему счисления, умели решать многие задачи, связанные с потребностями  строительства, торговли и военного дела.
      Вот как записывали египтяне свои дроби. Если, например, в результате измерения  получалось дробное число 3/4 , то для египтян оно представлялось в виде суммы единичных дробей ? + ? .
Нумерация и дроби в Древней  Греции
     В Древней Греции арифметику – учение об общих свойствах чисел –  отделяли от логистики – искусства  исчисления. Греки считали, что дроби  можно использовать только в логистике. Здесь мы впервые встречаемся  с общим понятием дроби вида m/n. Таким образом, можно считать, что впервые область натуральных чисел расширилась до области дополнительных рациональных чисел в Древней Греции  не позднее V столетия до н. э. Греки свободно оперировали всеми арифметическими действиями с дробями, но числами их не признавали.
     В Древней Греции существовали две  системы письменной нумерации: аттическая и ионийская или алфавитная. Они были так названы по древнегреческим областям  - Аттика  и Иония. В аттической системе, названной также геродиановой, большинство числовых знаков являются первыми буквами греческих соответствующих числительных, например, ГЕNTE (генте или центе) – пять, ?ЕКА (дека) – десять и т.д. Эту систему применяли в Аттике до I века н.э., но в других областях Древней Греции она была еще раньше заменена более удобной алфавитной нумерацией, быстро распространившейся по всей Греции.
     Греки употребляли наряду с единичными, «египетскими» дробями  и общие  обыкновенные дроби. Среди разных записей  употреблялась и такая: сверху знаменатель, под ним – числитель дроби. Например, 5/3 означало три пятых и т.д.
Нумерация и дроби на Руси
      Как свидетельствуют старинные памятники  русской истории, наши предки-славяне, находившиеся в культурном общении  с Византией, пользовались десятичной алфавитной славянской нумерацией, сходной  с ионийской. Над буквами-числами  ставился особый знак, названный титло. Для обозначения тысячи применялся другой знак, который приставлялся слева от букв.
      В русских рукописных арифметиках  XVII века дроби называли долями, позднее «ломаными числами». В старых руководствах находим следующие названия дробей на Руси:
1/2 - половина, полтина 1/3 – треть
1/4 – четь 1/6 – полтреть
1/8 - полчеть 1/12 –полполтреть
1/16 - полполчеть 1/24 – полполполтреть (малая треть)
1/32 – полполполчеть (малая четь) 1/5 – пятина
1/7 - седьмина 1/10 - десятина
      Славянская  нумерация употреблялась в России до XVI века, затем в страну начала постепенно проникать десятичная позиционная система счисления. Она окончательно вытеснила славянскую нумерацию при Петре I.
Дроби в других государствах древности
     В китайской «Математике в девяти разделах» уже имеют место  сокращения дробей и все действия с дробями.
     У индийского математика Брахмагупты  мы находим достаточно развитую систему  дробей. У него встречаются разные дроби: и основные, и производные  с любым числителем. Числитель  и знаменатель записываются так же, как и у нас сейчас, но без горизонтальной черты, а просто размещаются один над другим.
     Арабы первыми начали отделять чертой числитель  от знаменателя.
     Леонардо  Пизанский уже записывает дроби, помещая в случае смешанного числа, целое число справа, но читает так, как принято у нас. Иордан Неморарий (XIII ст.) выполняет деление дробей с помощью деления числителя на числитель и знаменателя на знаменатель, уподобляя деление умножению. Для этого приходится члены первой дроби дополнять множителями:
     
     В XV – XVI столетиях учение о дробях приобретает уже знакомый нам теперь вид и оформляется приблизительно в те самые разделы, которые встречаются в наших учебниках.
     Следует отметить, что раздел арифметики о  дробях долгое время был одним  из наиболее трудных. Недаром у немцев сохранилась поговорка: «Попасть в  дроби», что означало – зайти  в безвыходное положение. Считалось, что тот, кто не знает дробей, не знает и арифметики. 

       3.2. Десятичные дроби. 

    Со  временем практика измерений и вычислений показала, что проще и удобнее  пользоваться такими мерами, у которых  отношение двух ближайших единиц длины было бы постоянным и равнялось бы именно десяти – основанию нумерации. Этим требованиям отвечает метрическая система мер.
          Она возникла во Франции  как одно из следствий буржуазной революции. Новые меры должны были удовлетворять  следующим требованиям:
    основой общей системы мер должна быть единица длины;
    меры длины, площади, объема, вместимости и веса должны быть связаны между собой;
    основную меру длины следовало выбрать так, чтобы она была постоянной «для всех времен и всех народов»;
    основанием системы мер необходимо было взять число, равное основанию системы счисления.
    Во  Франции за основную меру длины приняли  одну десятимиллионную часть четверти земного меридиана и назвали  ее метром (от греческого слова «метрон», означающего «мера»). На основании измерений меридиана, сделанных французскими учеными Мешеном и Деламбром, был изготовлен впоследствии платиновый эталон метра. Число 10 легло в основу подразделений метра. Вот почему метрическая система мер, применяемая ныне в большинстве стран мира, оказалась тесно связанной с десятичной системой счисления и с десятичными дробями.
    Однако  следует отметить, что европейцы  не первые, кто пришел к необходимости  использовать десятичные дроби в математике.
    Зарождение  и развитие десятичных дробей в некоторых странах Азии было тесно связано с метрологией (учением о мерах). Уже во II веке до н.э. там существовала десятичная система мер длины.
    Примерно  в III веке н.э. десятичный счет распространился на меры массы и объема. Тогда и было создано понятие о десятичной дроби, сохранившей, однако метрологическую форму.
    Например, в Китае  в Х веке существовали следующие меры массы:      1 лан = 10 цянь = 102 фэнь = 103 ли = 104 хао = 105 сы = 106 хо.
    Если  вначале десятичные дроби выступали в качестве метрологических, конкретных дробей, то есть десятых, сотых и т.д. частей более крупных мер, то позже они по существу стали все более приобретать характер отвлеченных десятичных дробей. Целую часть стали отделять от дробной особым иероглифом «дянь» (точка). Однако в Китае как в древние, так и в средние века десятичные дроби не имели полной самостоятельности, оставаясь в той или иной мере связанными с метрологией.
    Более полную и систематическую трактовку  получают десятичные дроби в трудах среднеазиатского ученого ал-Каши в XV веке. Независимо от него, в 80-тых годах XVI века десятичные дроби были «открыты» заново в Европе нидерландским математиком Стевином.
    С начала XVII века начинается интенсивное проникновение десятичных дробей в науку и практику. В Англии в качестве знака, отделяющего целую часть от дробной, была введена точка. Запятая, как и точка, в качестве разделительного знака была предложена в 1617 году математиком Непером.
    Развитие  промышленности и торговли, науки  и техники требовали все более  громоздких вычислений, которые с  помощью десятичных дробей легче  было выполнять. Широкое применение десятичные дроби получили в XIX веке после введения тесно связанной с ними метрической системы мер и весов. Например, в нашей стране в сельском хозяйстве и промышленности десятичные дроби и их частный вид – проценты – применяются намного чаще, чем обыкновенные дроби. 
 

4. Действительные числа
4.1. Иррациональные числа. 

     Еще в Древнем Египте и Вавилоне ХХ веков назад были известны так  называемые несоизмеримые отрезки ( , ,  ?…), которые нельзя было выразить отношением, относительными, рациональными числами.
     Точно не известно, исследование каких вопросов привело к открытию несоизмеримости. Это могло произойти:
    в геометрических расчетах при нахождении общей меры стороны и диагонали квадрата;
    в теории музыки при попытках поделить октаву пополам, что сводится к определению среднего геометрического между 1 и 2;
    в арифметике при определении дроби, квадрат которой равняется двум.
      Речь  шла об отыскании и исследовании величины, которую мы теперь обозначаем . Открытие факта, что между двумя отрезками – стороной и диагональю квадрата – не существует общей меры, привело к настоящему кризису основ, по крайней мере, древнегреческой математики.
Факт  существования несоизмеримых отрезков, тем не менее, не тормозил развитие геометрии в древней Греции. Греки  разработали теорию отношения отрезков, которая учитывала возможность  их несоизмеримости. Они умели сравнивать такие соотношения по величине, выполнять  над ними арифметические действия в  чисто геометрической форме, иначе  говоря, пользоваться такими соотношениями  как числами.
     Индийцы рассматривали иррациональные числа  как числа нового вида, но допускающие  над ними такие же арифметические действия, как и над рациональными  числами. Например, индийский математик  Бхаскара уничтожает иррациональность в знаменателе, умножая числитель  и знаменатель на тот же самый  иррациональный множитель. У него мы встречаем выражения:
     
      Развивая  тригонометрию как самостоятельную  научную дисциплину, азербайджанский  ученый XIII столетия Насретдин ат-Туси (1201- 1274 гг.) трактует соотношение несоизмеримых величин как числа: «Каждое из этих соотношений может быть названо числом, которое измеряется единицей так же само, как один из членов соотношения обозначается другим из этих членов». Похожую трактовку числа давал и Омар Хайям.
      В Европе существование геометрических несоизмеримых величин в средние  века не оспаривалось, но для многих иррациональные числа были лишь символами, лишенными точно определенного содержания, поэтому их называли «глухими», «недействительными», «фиктивными» и т.д.
      Только  после появления геометрии Декарта (1637 г) началось применение иррациональных, как впрочем, и отрицательных чисел. Идеи Декарта привели к обобщению понятия о числе. Между точками прямой и числами было определено взаимно однозначное соответствие. В математику была введена переменная величина.
      В начале XVIII столетия существовало три понятия иррационального числа:
    иррациональное число рассматривали как корень n-ой степени из целого или дробного числа, когда результат извлечения корня нельзя выразить «точно» целым или дробным числом;
    иррациональное число трактовали как границу, к которой его рациональные приближения могут подойти как угодно близко;
    число рассматривали как отношение одной величины к другой величине того же самого рода, взятой за единицу; когда величина несоизмерима с единицей, число называли иррациональным.
      Позднее Эйлер, Ламберт показали, что иррациональные числа можно представить бесконечными непериодическими десятичными дробями (например, ? = 3,141592…).  

5. Комплексные числа
    В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В формуле для решения кубических уравнений вида кубические и квадратные корни: .
 Эта  формула безотказно действует  в случае, когда уравнение имеет  один действительный корень ( ), а если оно имеет три действительных корня ( ), то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось, что путь к этим корням ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Вслед за тем, как были решены уравнения 4-й степени, математики усиленно искали формулу для решения уравнения 5-й степени. Но Руффини (Италия) на рубеже XVIII и XIX веков доказал, что буквенное уравнение пятой степени нельзя решить алгебраически; точнее: нельзя выразить его корень через буквенные величины a, b, c, d, e с помощью шести алгебраических действий (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень,  извлечение корня).
 В  1830 году Галуа (Франция) доказал,  что никакое общее уравнение,  степень которого больше чем  4, нельзя решить алгебраически.   Тем не менее всякое уравнение степени имеет (если рассматривать и комплексные числа) корней (среди которых могут быть и равные). В этом математики были убеждены еще в XVII веке (основываясь на разборе многочисленных частных случаев), но лишь на рубеже XVIII и XIX веков упомянутая теорема была доказана Гауссом.
Итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений , не имеющая решений во множестве действительных чисел, имеет решения вида , , нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать что . Кардано называл такие величины чисто отрицательными и даже софистически отрицательными”, считал их бесполезными и старался их не употреблять. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение какой-нибудь величины. Но уже в 1572 году вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней. Название мнимые числа ввел в 1637 году французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777 году один из крупнейших математиков XVIII века - Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа (мнимой единицы). Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу .  Термин комплексные числа  так же был введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс (от латинского complexus) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д. Образующих единое целое.
     В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимых чисел, возможности дать им геометрическое обоснование. 
      Постепенно развивалась техника  операций над мнимыми числами.  На рубеже XVII и XVIII веков была построена общая теория корней степеней сначала из отрицательных, а за тем из любых комплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математика А. Муавра (1707): . С помощью этой формулы можно было так же вывести формулы для косинусов и синусов кратных дуг. Л. Эйлер вывел в 1748 году замечательную формулу : ,  которая связывала воедино показательную функцию с тригонометрической. С помощью формулы Л. Эйлера можно было возводить число e в любую комплексную степень. Любопытно, например, что . Можно находить sin и cos от комплексных чисел, вычислять логарифмы таких чисел, то есть строить теорию функций комплексного переменного.
 В  конце XVIII века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью мнимых чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такие уравнения встречаются, например,  в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде. Еще раньше швейцарский математик Я. Бернулли применял комплексные числа для решения интегралов.
 Хотя  в течение XVIII века с помощью комплексных чисел были решены многие вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией, гидродинамикой и т. д., однако еще не было строго логического обоснования теории этих чисел. По этому французский ученый П. Лаплас считал, что результаты, полученные с помощью мнимых чисел, - только наведение, приобретающее характер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми доказательствами.
 “Никто  ведь не сомневается в точности  результатов, получаемых при вычислениях  с мнимыми количествами, хотя  они представляют собой только  алгебраические формы иероглифы  нелепых количеств” Л. Карно.
 В  конце XVIII века, в начале XIX века было получено геометрическое истолкование комплексных чисел. Датчанин К. Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изобразить комплексное число точкой на координатной плоскости. Позднее оказалось, что еще удобнее изображать число не самой точкой M, а вектором , идущим в эту точку из начала координат. При таком истолковании сложение и вычитание комплексных чисел соответствуют эти же операции над векторами. Вектор можно задавать не только его координатами a и b, но так же  длиной r и углом ? который он образует с положительным направлением оси абсцисс. При этом , и число z принимает вид , который называется тригонометрической формой комплексного числа. Число r называют модулем комплексного числа z и обозначают . Число называют аргументом z и обозначают ArgZ. Заметим, что если , значение ArgZ не определено, а при оно определено с точностью до кратного . Упомянутая ранее формула Эйлера позволяет записать число z в виде (показательная форма комплексного числа).
 Геометрическое  истолкование комплексных чисел  позволило определить многие  понятия, связанные с функцией  комплексного переменного, расширило  область их применения.
 Стало  ясно, что комплексные числа полезны  во многих вопросах, где имеют  дело с величинами, которые изображаются  векторами  на плоскости: при изучении течения жидкости, задач теории упругости.
 После  создания теории комплексных  чисел возник вопрос о существовании  “гиперкомплексных” чисел - чисел  с несколькими “мнимыми” единицами.  Такую систему вида  , где , построил в 1843 году ирландский математик У. Гамильтон, который назвал их “кватернионами”. Правила действия над кватернионами напоминает правила обычной алгебры, однако их умножение не обладает свойством коммутативности (переместительности): например, , а . Большой вклад в развитие теории функций комплексного переменного внесли русские и советские ученые Н. И. Мусхелишвили занимался ее применениями к упругости, М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев - к аэро- и гидродинамике, Н. Н. Богомолов и В. С. Владимиров - к проблемам квантовой теории поля.  

Глава 2. Методика изучения числовых систем в  основной школе 

1. Анализ программы  по математике.
    Рассмотрим  основные требования к математической подготовке учащихся по разделу  «Числа и вычисления» :
      правильно употреблять термины, связанные с различными видами чисел и способами их записи6 целое, дробное, рациональное, иррациональное, положительное, десятичная дробь и др., переходить от одной формы записи чисел к другой;
      сравнивать числа, упорядочивать наборы чисел; понимать связь отношений «больше» и «меньше» с расположением точек на координатной прямой;
      выполнять арифметические действия с рациональными числами. Находить значение степеней и квадратных корней;
      сочетать при вычислениях устные и письменные приемы, применять калькулятор;
      составлять и решать пропорции, решать основные задачи на дроби, проценты;
      округлять целые числа и десятичные дроби.
      Содержание  обучения основной школы, касающееся числовых систем состоит в следующем:
      Числа и вычисления.
    Натуральные числа. Десятичная система счисления. Арифметические действия с натуральными числами. Свойства арифметических действий . Степень с натуральным показателем.
    Делители и кратные числа. Признаки делимости. Простые числа. Разложение числа на простые множители.
    Обыкновенные дроби. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. Сравнение дробей. Арифметические действия с обыкновенными дробями. Нахождение части числа и числа по его части.
    Десятичные дроби. Сравнение десятичных дробей. Арифметические действия с десятичными дробями. Представление обыкновенных дробей десятичными. Среднее арифметическое.
    Отношения. Пропорции. Основное свойство пропорции.
    Проценты основные задачи на проценты.
    Решение текстовых задач арифметическими приемами.
    Положительные и отрицательные числа. Противоположные числа. Сравнение чисел. Арифметические действия с положительными и отрицательными числами, свойства арифметических действий.
    Рациональные числа. Изображение чисел точками на координатной прямой. Иррациональные числа. Действительные числа.
    Округление натуральных чисел и десятичных дробей.
      Проанализируем  планирование учебного материала 5-8 классов, для того чтобы проследить последовательность расширения понятия числа в школьном курсе математики.
    5 класс - учебник «Математика, 5 » под ред. Г.В.Дорофеева, И.Ф.Шарыгина.
    Целью изучения математики в V-VI классах является систематическое развитие понятия числа, выработка умений выполнять устно и письменно арифметические действия над числами, переводить практические задачи на язык математики.
    На  изучение натуральных  чисел выделено 12 часов, в этом разделе  учащиеся изучают:
      Натуральные числа и нуль. Прямая, отрезок. Длина отрезка, окружность.
    Основная  цель – систематизировать и развить знания учащихся о натуральных числах, научить читать и записывать большие числа, сравнивать и округлять их, изображать числа на координатной прямой.
    Изучение  материала начинается с сопоставления  десятичной системы записи чисел  и римской нумерации. Учащиеся овладевают алгоритмами чтения и записи больших  чисел, совершенствуют  умение сравнивать числа, знакомятся со свойствами натурального ряда. Вводится понятие координатной прямой и дается геометрическое истолкование отношений «больше» и «меньше».
      Действия с натуральными числами (27 ч).
    Арифметические  действия  с натуральными числами. Свойства сложения и умножения. Квадрат и куб числа. Числовые выражения.
    Основная  цель - закрепить и развить навыки арифметических действий с натуральными числами.
      Делимость чисел (14 ч).
    Делители  числа. Простые и составные числа. Признаки делимости. Таблица простых  чисел. Разложение числа на простые  множители.
    Основная  цель – ознакомить учащихся с простейшими понятиями, связанными с понятием делимости чисел.
    Изучение  темы ориентировано на идейную основу вопроса. Знания учащихся обогащаются  новыми сведениями, связанными с понятием делимости натуральных чисел.
    На  изучение дробей в 5 классе выделено 20 часов. В этом разделе  учащиеся изучают  следующие вопросы:
      Обыкновенная дробь.
      Основное свойство дроби.
      Сокращение дробей. Приведение дроби к новому знаменателю. Сравнение дробей.
    Основная  цель  - сформировать понятие дроби, ознакомить учащихся с основным свойством дроби и научить применять его для преобразования дробей, научить сравнивать дроби.
    В предлагаемом курсе обыкновенные дроби  целиком изучаются до десятичных. И в дальнейшем изложение десятичных дробей строится на естественной математической базе с опорой на знания  об обыкновенных дробях.
    Основной  акцент делается на создание содержательных представлений о дробях.
    Одновременно  здесь закладываются умения решать задачи на дроби, сокращать дроби  и приводить их к новому знаменателю.
    Изучение  каждого пункта целесообразно предварять выполнением соответствующей сери практических заданий:  закрашиванием  долей фигуры, сравнением дробей с  использованием рисунков, соответствующих  формированию наглядно-образных представлений  о формируемых понятиях.
      Действия с дробями (36 ч).
    Темы: Арифметические действия над обыкновенными дробями. Нахождение дроби числа и числа по его дроби.
    Основная  цель – обучить учащихся сложению, вычитанию, умножению и делению обыкновенных и смешанных дробей.
    6 класс - учебник «Математика,6 » под ред. Г.В.Дорофеева, И.Ф.Шарыгина.
      Дроби и проценты(22 ч).
      Темы: Арифметические действия над дробями. Основные задачи на дроби. Проценты.
      Основная  цель – закрепить и развить навыки действий с обыкновенными дробями, познакомить учащихся с понятием процента.
      Первые  уроки отводятся повторению, систематизации развитию сведений об обыкновенных дробях.
      Следующий блок в данной теме – проценты. Их изучение будет продолжено в теме «Десятичные дроби», а также в 7 классе.
      Методика  изложения данного вопроса в  учебнике, система упражнений нацелены на формирование ряда важных с практической точки зрения умений, связанных с  понятием процента. Формируется понимание  процента как специального способа  выражения доли величины, умение соотносить процент с соответствующей дробью.
      Десятичная запись дробей (7 ч).
    Темы: Десятичная дробь. Чтение и запись десятичных дробей. Сравнение десятичных дробей. Решение арифметических задач.
    Основная  цель – ввести понятие десятичной дроби, выработать навыки чтения, записи и сравнения десятичных дробей.
      Действия с десятичными дробями (30 ч).
    Темы: Сложение, вычитание, умножение и деление десятичных дробей.
    Основная  цель – сформировать навыки вычислений с десятичными дробями.
    Алгоритмы действий с десятичными дробями  вводятся на основе соответствующих  алгоритмов действий с обыкновенными  дробями.
      Десятичные дроби и проценты (12 ч).
     Темы: Округление десятичных дробей. Обращение обыкновенной дроби в десятичную. Проценты.
     Основная  цель – расширить представления учащихся о возможности записи чисел в различных эквивалентных формах, продолжить изучение процентов.
     В результате рассмотрения вопроса о  связи десятичных и обыкновенных дробей учащиеся должны понимать, что  десятичную дробь всегда можно представить  в виде обыкновенной, а обыкновенная не всегда представляется десятичной.
и т.д.................


Скачать полный текст работы


Смотреть полный текст работы бесплатно


Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.