На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти готовые бесплатные и платные работы или заказать написание уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов по самым низким ценам. Добавив заявку на написание требуемой для вас работы, вы узнаете реальную стоимость ее выполнения.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Быстрая помощь студентам

 

Работа № 100537


Наименование:


Курсовик Симметрические многочлены от n переменных

Информация:

Тип работы: Курсовик. Предмет: Математика. Добавлен: 14.11.2016. Сдан: 2016. Страниц: 20. Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%

Описание (план):


Содержание
Введение 3
Глава 1 Симметрические многочлены от n переменных 4
1.1 Кольцо многочленов от нескольких переменных 4
1.2 Симметрические многочлены 4
1.3 Основные теоремы 7
Глава 2 Практическая часть 12
Заключение 20
Список использованной литературы 21
?
Введение

Теория многочленов – важный раздел алгебры. Большое значение в теории многочленов от нескольких переменных имеют симметрические многочлены – частный случай симметрических функций. С их помощью можно составлять уравнения по их корням, освобождаться от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби, решать некоторые системы нелинейных уравнений от нескольких переменных, решать уравнения высших степеней.
Уже в школьном курсе математики изучаются формулы Виета для уравнений второй степени от одной переменной, решаются уравнения и системы уравнений, содержащих многочлены. Задачи такого типа встречаются в заданиях экзамена и централизованного тестирования, например, задачи по составлению уравнений по их корням.
Целью курсовой работы является изучение теории симметрических многочленов и их приложений; решение ряда задач на симметрические многочлены через элементарные симметрические, решение уравнений, на приложения симметрических многочленов: уничтожение иррациональности в знаменателе дроби.
Курсовая работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы.
?
Глава 1 Симметрические многочлены от n переменных
Кольцо многочленов от нескольких переменных
Пусть K – кольцо. Многочлены от одной переменной x над кольцом К образуют кольцо K[x]. Поэтому можно построить кольцо К[х, y] многочленов от двух переменных над кольцом многочленов от одной переменной у над кольцом K[x]. Его элементами будут многочлены:
a_n (x) y^n+a_(n-1) (x) y^(n-1)+?+a_1 (x)y,
коэффициенты которых a_i (x) – элементы кольца K[x]. Аналогично можно построить кольцо K[x, y, z] многочлена от трех переменных как кольцо многочлена от переменной z над кольцом K[x, y] и т.д. Дадим определение.
Кольцом многочленов K[x1, …, xn] от n (n ?1) переменных x1, …, xn над кольцом К называется кольцо многочленов от переменной xn над кольцом K[x1, …, xn-1].
Элементы кольца K[x1, …, xn] называют многочленами от n переменных и обозначают символами f(x1, …, xn), g(x1, …, xn) и т.п. или f, g и т.п. Под кольцом от 0 переменных понимается кольцо К.
Теорема 1
Каждый элемент кольца K[x1, …, xn] можно представить в виде
?_(i=0)^p-?a_1 x_j1^(k_j1 )…x_ni^(k_ni ) ?,
где р – некоторое натуральное число, a_i?K,k_li – целые неотрицательные числа.
Степень одночлена ax_1^(k_1 )•…•x_n^(k_n ) называется сумма k_1+?+k_n. Наибольшая из степеней, входящих в многочлен, называется степенью этого многочлена, а одночлен с наибольшей степенью – его старшим членом.
Кольцо K[x1, …, xn] является областью целостности.
Лемма 1. Высший член произведения двух ненулевых многочленов равен произведению высших членов сомножителей.
Симметрические многочлены
Многочлен называется симметрическим, если он не меняется при любой перестановке переменных.
Например, 1. Пустьf(x_1,x_2 )=x_1^2 x_2^2+2x_1+2x_2. Многочлен f(x_1,x_2 ) является симметрическим, так как единственно возможная перестановка переменных приводит его к многочлену x_2^2 x_1^2+2x_2+2x_1 равному f(x_1,x_2 ).
2. Многочлен x_1^2 x_2^2+x_2^2 x_3^2+x_3^2 x_1^2 также является симметрическим. Чтобы в этом убедиться, надо испытать пять всевозможных перестановок переменных.
3. Многочлен f(x_1,x_2,x_3 )=x_1^2 x_2^ +x_2^2 x_3^ +x_3^2 x_1^ не является симметрическим, так как, переставив x_2 и x_3, получим
f(x_1,x_2,x_3 )=x_1^2 x_3^ +x_3^2 x_2^ +x_2^2 x_1^ ? f(x_1,x_2,x_3 ).
Используя понятие подстановки, можно дать равносильное предыдущему определение.
Многочлен f называется симметрическим, если для любой подстановки ?-й степени выполняется равенство
f(x_1,?…,x?_n )=f(x_(?(1)),…,x_(?(n)) ).
Поскольку число подстановок ?-й степени равно n!, то для определения симметричности многочлена надо проверить n!-1 подстановок.
Среди всевозможных симметрических многочленов (от n переменных) особую роль играют так называемые элементарные симметрические многочлены
¦(?_1 (x_1,?…,x?_n )=x_1+x_2+?+x_n@?_2 (x_1,?…,x?_n )=x_1 x_2+x_1 x_3+?+x_(n-1) x_n@¦(……………………………@?_n (x_1,?…,x?_n )=x_1 x_2•…•x_n )) (1)
Если ?(y_1,…,y_n )- произвольный многочлен над областью целостности К, то его значение ?(?_1,…,?_n) при y_i??_i,(i=1,…,n), где ?_i определены равенствами (1), представляет собой некоторый симметрический многочлен f(x_1,?…,x?_n ) над кольцом К, т.е. ?(?_1,…,?_n )= f(x_1,?…,x?_n ). Например, для многочлена
?(y_1,…,y_n )= y_1^2+2y_1 y_2+y_3
над кольцом Z
?(?_1,…,?_n )=?_1^2+2?_1 ?_2+?_3...
Заключение
В данной работе были изучены симметрические многочлены от нескольких переменных, основные теоремы. Эти вопросы были рассмотрены в первой главе.
Во второй главе рассмотрены применения симметрических многочленов к решению известных классических задач, таких как:
разложение многочлена на множители,
представление симметрического многочлена через элементарные симметрические,
решение уравнений,
решение систем уравнений,
освобождение от иррациональности в знаменателе дроби
?
Список использованной литературы
Смолин Ю. Н. Алгебра и теория чисел: учеб. пособие – 4-е изд., стер. – М.: ФЛИНТА: Наука, 2012, 464 с.
И. В. Кулагина, Панов А. Н. Методы решения задач по курсу «Линейная алгебра и геометрия»: Учебное пособие, Самара: Издательство «Самарский университет», 2006, 54 с.
Курош А. Г. Курс высшей алгебры: изд.9, «Наука», Москва, 1968, 431 с.
1-38672.html



Перейти к полному тексту работы


Скачать работу с онлайн повышением уникальности до 90% по antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru


Смотреть похожие работы