На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти готовые бесплатные и платные работы или заказать написание уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов по самым низким ценам. Добавив заявку на написание требуемой для вас работы, вы узнаете реальную стоимость ее выполнения.

Здравствуйте гость!

Задание № 2544

Наменование:

Контрольная Задание для выполнения контрольной работы. 1. Для примера 1 выполнить вычисления согласно процедуре б). 2. Для примера 2 самостоятельно составить матрицу для парных сужде-ний, которые получить от клиента. Расчёты выполнить по процедуре б). 3. Найти в

Предмет:

Финансовый анализ

Бюджет:

0 руб.

Дата:

25.03.2012

Описание:

Принятие решений на основе векторного критерия:
метод аналитических иерархий (МАИ)

Введение

Одним из перспективных методов принятия оптимальных решений на много-критериальной основе является достаточно широко известный специалистам про-цесс аналитической иерархии, разработанный американским ученым Т.Саати. В отечественной литературе этот метод известен как метод аналитических иерархий (МАИ). В основе этого метода лежит метод парных сравнений (МПС), позволяющий «аккумулировать» знания экспертов, накопленный ими в определенной предметной области, в рамках которой моделируется процедура принятия оптимальных реше-ний на основе совокупности, например, частных критериев, т.е. на основе векторного критерия.
Эти знания формализуются согласно процедуре МПС в модель в виде квадрат-ной числовой матрицы суждений (МС) относительной «важности» пары частных критериев для достижения определенной цели . При парном сравнении частных критериев по цели результат сравнения представляется числом с использовани-ем выбранной шкалы целых положительных чисел.
Особенность матрицы МС в том, что она является обратносимметрической матрицей положительных чисел. Для такой матрицы собственный вектора, соответ-ствующий её наибольшему и положительному собственному значению, после его нормализации даёт в результате вектор приоритетов сравниваемых критериев. Компоненты вектора приоритетов (рангов) критериев интерпретируются как неот-рицательные весовые коэффициенты относительного вклада каждого критерия в достижение цели С. Существование и единственность этого собственного значения следует из теоремы Перрона для квадратных матриц, все элементы которых строго положительны. Его значение, близкое размеру матрицы, оценивает степень согла-сованности парных суждений.
Цель составляет первый уровень (фокус) иерархической структуры. Второй уровень составляют частные критерии, а третий уровень составляют альтернативы (проекты, сценарии и т.п.), отдельные стороны которых оценивают эти частные критерии.
Далее процесс построение матриц суждений повторяется применительно к множеству альтернатив, сравниваемых теперь по каждому частному критерию, иг-рающему для альтернатив роль цели . Повторяя эти шаги столько раз, сколько частных критериев входят в векторный критерий, получаем для каждой альтерна-тивы вектор её приоритетов по каждому частному критерию.
Оптимальная альтернатива определяется как альтернатива, для которой ска-лярное произведение её вектора приоритетов с вектором приоритетов критериев имеет наибольшее значение.

1. Метод парных сравнений (МПС).
Пусть сформулирована некоторая цель , на достижение которой оказывают влияние элементы некоторого множества, которые назовём факторами и будем обозначать как . Само множество факторов обозначим как .
Как оценить вклад каждого из факторов в достижение цели ? Для ответа на этот вопрос можно задать на множестве отношение по-парного сравнения факторов, а результат сравнения представить положительным числом в соответствии с некоторой числовой шкалой.
Пусть в паре первый элемент-фактор сравнивается со вторым элементом-фактором по степени достижения цели , а результат сравнения оценивается положительным числом . Если положим, что факторы в паре сравниваются по той же цели , то результат сравнения оценивается числом . Предложим следующую шкалу для выбора чисел :


ШКАЛА
Определение отношения

равнозначен
1
если нужен компромисс
2
чуть важнее
3
если нужен компромисс
4
заметно важнее
5
если нужен компромисс
6
существенно важнее
7
если нужен компромисс
8
намного важнее
9


Для каждой пары факторов лицо, принимающее решение (ЛПР), исходя из своего понимания соответствия факторов цели , выбирает значение . Полный набор таких значений образует матрицу суждений эксперта . Это квадратная матрица размером . С учетом правила построения элементов матрицы она будет иметь независимых элементов:
; .
Поскольку оценки носят субъективный характер и даже могут быть в конфликте друг с другом (в смысле не выполнения условия транзитивности в суждениях при принятом отношении парного сравнения по цели ), а также в силу «грубости» принятой шкалы может иметь место несогласованность суждений. Меру такой несогласованности в матрице можно определить значением модуля разности:
.
В случае идеального согласования суждений эта мера равна 0 для всех пар фак-торов. Например, в случае двух факторов матрица суждений имеет вид:
М = ,
для которого условие идеального согласования суждений всегда выполняется.
В случае трех факторов матрица суждений, составленная с учетом шкалы, мо-жет иметь, например, вид:
М = , (а)
который не удовлетворяет условию идеального согласования суждений, а матрица суждений, удовлетворяющая этому условию, может иметь, например, вид:
М = , (б)
для которого примечательно, что матрица (б) имеет ранг, равный 1, а её собствен-ным вектором может быть любой из столбцов. Например,

Данный пример показывает, что наибольшим собственным числом этой мат-рицы суждений является число 3, а остальные собственный значения равны нулю. В этом можно убедиться непосредственным решением задачи о собственных значениях этой матрицы.
В общем случае логически идеального согласований суждений матрица суждений имеет единственное, простое, положительное и наибольшее собственное значе-ние, равное порядку этой квадратной матрицы. Нормированный собственный век-тор-столбец, соответствующий этому собственному значению, вычисляется по фор-муле:

для любого столбца матрицы и удовлетворяет уравнению M w = n w.
Приведенное выше условие выражает требование инвариантности собственное вектора , которое состоит в том, что его преобразование в результате умножения слева на матрицу суждений не изменяет его направления в n-мерном простран-стве факторов, а, следовательно, имеют место соотношения для элементов матрицы суждений в виде

что оправдывает интерпретацию вектора , как вектора, представляющего вклад каждого из факторов в достижение цели , по которой они попарно сравнивались. Таким образом, факторы оказываются упорядоченными по вкладам в реализацию цели :
.
Введенное таким способом упорядочение факторов носит субъективный ха-рактер, что обусловлено субъективностью оценок , выбираемых ЛПР.
В практических случаях матрица суждений не удовлетворяет условию иде-ального логического согласования суждений. Однако, предполагая, что малые от-клонения

приводят к малому же отклонению искомого вектора приоритетов, отвечающего наибольшему значению собственному значению  мах , в качестве первого прибли-жённого решения используют следующие оценки, полученные в процессе:
а) арифметического усреднения по нормализованным столбцам, т. е.
,
б) геометрического усреднения с последующей нормализацией, т.е. в каждой строке матрицы перемножить все элементов матрицы и извлечь корень ой степени, а затем нормализовать полученные компоненты вектора:

в) возведения матрицы в произвольно большие степени и деления сум-мы каждой строки матрицы на общую сумму элементов этой матрицы; этот оценивания даёт точное решение задачи оценивания компонент собственного векто-ра матрицы парных сравнений.
В случае несогласованности суждений очень хорошее приближение можно по-лучить только с помощью процедуры оценивания б).
Качество полученного приближенного решения характеризуется значением индекса согласованности (Consistency Index):
CI =
Для придания индексу согласованности CI статистической значимости его нормируют на величину

Величина определяется также как величина CI, вычисляемая для произ-вольной матрицы суждений размером , независимые элементы которой инициированы случайными числами из диапазона чисел выше указанной шкалы.
Значения статистики размером приведены в таблице:
n 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
RI 0.5 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54

Отношение состоятельности (Consistency Ratio) вычисляется по формуле:

Значения считают свидетельствующими о приемлемом качестве по-лученного вектора приоритетов w. На практике используют и более высокие крити-ческие значения , что обуславливается конкретными обстоятельствами по-строения матрицы суждений .
Допуская справедливость гипотезы о нормальном распределении ошибок при парных сравнениях, можно считать наличие их взаимной компенсации при использовании формул для построения и оценки состоятельности приближенного решения. Таким образом, метод парных сравнений (МПС) содержит возможность делать статистически значимые выводы на основе ненадёжных субъективных оценок.


2. Процесс анализа иерархий
Методика анализа иерархий предполагает выполнение следующей последова-тельности действий.
1. Формулировка цели , по которой упорядочивается множество альтерна-тив для последующего выбора наилучшей по совокупности критериев (век-торному критерию).
2. Формирование множества альтернатив А.
3. Выбор и описание желаемой совокупности частных критериев, по которым оценивается каждая из альтернатив из А.
4. Декомпозиция задачи принятия решений в форме иерархической структу-ры:

Уровень 1 (цель) Формулировка цели


Уровень 2 (факторы) частные критерии


…………..





Уровень 3
(альтернативы)


……

5. Упорядочение множества критериев на основе метода парных сравнений и вычисление вектора приоритетов критериев по заданной цели С.
6. Упорядочение множества альтернатив на основе метода парных сравнений по каждому критерию в отдельности с формированием вектора частных приоритетов альтернатив.
7. Формирование из векторов частных приоритетов матрицы приоритетов альтернатив.
8. Определение вектора глобальных приоритетов альтернатив.
9. Упорядочение множества альтернатив на основе численных значений их глобальных приоритетов и выбор оптимального варианта, т.е. выбор оптимального решения.

3. Примеры применения методики.
В приводимых ниже примерах показано, что методика процесса аналитической иерархии допускает различную смысловую интерпретацию термина «критерий» и «альтернатива», что расширяет круг практических приложений самой методики.
Пример 1. Анализ инновационных решений на примере предприятия, основ-ной продукцией которого являют часы (часовой завод).
Возможна реализация одного из трех инновационных проектов: П1, П2, П3, ко-торые образуют множество альтернатив А.
П1. Инвестировать дополнительные средства в расширение уже освоенного произ-водства часов;
П2. Освоить производство кварцевых будильников;
П3. Начать выпуск счетных устройств (водосчетчиков и т.п.).
Все проекты не застрахованы от возникновения следующих рисковых ситуа-ций, которые интерпретируем как «факторы», влияющие на выбор наилучшего про-екта (глобальная цель С).
R1. Риск недополучения внешних инвестиций. Обращение за краткосрочными кре-дитами под повышенный процент отразится на себестоимости продукции как увели-чение постоянных затрат.
R2. Производственно-технологический риск. Необходимо учитывать увеличение пе-ременных затрат, связанных, например с устранением брака. При этом происходит увеличение себестоимости и, как следствие, снижение прибыли (при неизменной це-не).
R3. Риск, связанный с действиями конкурентов.
R4. Риск не реализации произведенной продукции.
R5. Риск недополучения исходных материалов.
R6. Риск неплатежеспособности получателя.
Иерархическая структура задачи представлена на рисунке.
Составим матрицу суждений для рисков. Для этого ЛПР сопоставляет попарно все виды рисков и указывает их относительную опасность, выбирая по своему ус-мотрению оценки (см. шкалу). Предпочтение отдаётся менее опасной рисковой си-туации. Например, риск недополучения внешних инвестиций важнее и опаснее про-изводственно-технологического риска в 3 раза, поскольку устранить брак легче, чем в короткие сроки привлечь дополнительные финансовые средства (m 12 = 1\3). Если в производство вложены средства и выпущена продукция, но по каким-либо причинам она не находит сбыта, то предприятие оказывается ещё в более не-благоприятной ситуации (m 14 =3). Ситуация нехватки оборотных средств сопоста-вима по риску с нехваткой материалов (m 15 = 1) и т.д. В результате получаем сле-дующую матрицу суждений для рисков:
Риски R1 R2 R3 R4 R5 R6
R1 1 1/3 2 3 1 1/5
R2 3 1 6 7 3 1/2
R3 1/2 1/6 1 2 1/2 1/7
R4 1/3 1/7 1/2 1 1/3 1/9
R5 1 1/3 2 3 1 1/5
R6 5 2 7 9 5 1
Сумма 10.833 3.976 18.5 25 10.833 2.154

Вычисление вектора приоритетов рисков покажем на примере вычисления первой его компоненты (по процедуре а)):

После вычисления всех компонент получаем вектор приоритетов для рисков:
.
Таким образом, максимальным приоритетом обладает риск, обусловленный неплатежеспособностью потребителя (0.438), минимальным – риск не реализации произведенной продукции.
На следующем шаге анализа сравниваем предлагаемые проекты (решения) относительно возможного возникновения каждой из рисковых ситуаций и результаты сравнения помещаем в таблицу, содержащую соответствующие матрицы суждений. Например. по отношению к риску нехватки инвестиций первый проект предпочтительнее второго и значительно лучше третьего , поскольку расширение производства требует меньших затрат, чем модернизация или освоение нового. С точки зрения технологического риска налаженное производство также предпочтительнее и В отношении счетных устройств имеется серьёзный конкурент, владеющий ситуацией на рынке , а на рынке часов лидирующие позиции у нашего предприятия
R1 R2 R3
П1 П2 П3 П1 П2 П3 П1 П2 П3
П1 1 2 6 1 2 3 1 1\2 3
П2 1\2 1 3 1\2 1 3 2 1 6
П3 1\6 1\3 1 1\3 1\3 1 1\3 1/6 1
Сумма 1.67 3.33 10.0 1.83 3.33 7.0 3.33 1.67 10.0
Вектор
приори-тетов
(0.6; 0.3; 0.1)
(0.52; 0.32; 0.16)
(0.3; 0.6; 0.1)

Устаревшую продукцию (механические часы) сбыть сложнее, чем будильники или водосчетчики . Могут возникнуть проблемы с поставками материалов для производства будильников . В случае снижения платежеспособности потребителей большим спросом будут пользоваться будильники и водосчетчики :
R4 R5 R6
П1 П2 П3 П1 П2 П3 П1 П2 П3
П1 1 1\3 1\6 1 2 1 1 1\2 1\4
П2 3 1 1\2 1\2 1 1\2 2 1 1\2
П3 6 2 1 1 2 1 4 2 1
Сумма 10.0 3.33 1.67 2.50 5.0 2.50 7.0 3.50 1.75
Вектор
приори-тетов
(0.1; 0.3; 0.6)
(0.4; 0.2; 0.4)
(0.14; 0.29; 0.57)

Проверим качество полученных векторов приоритетов, т.е. условия согласо-ванности суждений, зафиксированных в соответствующих матрицах.
1. Для вектора приоритетов рисков находим оценку для максимального собст-венного числа матрицы суждений. Для этого находим произведение матрицы сужде-ний на вектор приоритетов:

= .
2. Находим оценку собственного числа:

3. Расчетное значение индекса состоятельности равно:

4. Расчетное значение отношения состоятельности равно:

Это означает, что построенная модель упорядочения множества рисков логиче-ские последовательна на приемлемом уровне статистической значимости.
Аналогичные вычисления для векторов приоритетов проектов по каждому из рисков дали следующие результаты:
,
что указывает на полную состоятельность и логическую согласованность суждений. Следовательно, модель упорядочения проектов по частным рискам логически не-противоречива. Итоговая таблица представляет результаты сравнений:

R1 R2 R3 R4 R5 R6
П1 0.60 0.52 0.30 0.10 0.40 0.14
П2 0.30 0.32 0.60 0.30 0.20 0.29
П3 0.10 0.16 0.10 0.60 0.40 0.57

Чтобы получить глобальные приоритеты проектов, спроецируем вектора ча-стных приоритетов на вектор приоритетов рисков. Это то же самое, как «взвесить» по весам рисков каждый из полученных выше шести частных векторов приоритетов проектов и затем сложить полученные значения. Для этого умножим справа итого-вую матрицу на транспонированный вектор приоритетов рисков :
= .
Таким образом, с точки зрения оптимального соотношения различных видов риска, предпочтение можно отдать проекту П2 (начать выпуск счетных устройств), как обладающему приоритетом 0,308, наименее чувствительному к рискам. Спрос на водосчетчики высок, не зависит от платежеспособности потребителя. Приоритет третьего проекта высок , его реализация возможна при проведении соответствующих антирисковых мероприятий.
Пример 2. Выявление терпимости инвестора к риску
(построение индивидуальной шкалы инвестора)
Как правило, инвестиционный процесс для частного инвестора на Западе на-чинается с визита к финансовому аналитику и заполнения анкеты, призванной вы-явить степень его терпимости к риску краткосрочных потерь капиталовложений, вызванных волатильностью рынка. По результату ответа на вопросы анкеты инве-стора обычно определяют в одну из категорий: а) консервативный; б) промежуточ-ный; в) агрессивный. Каждой из категорий составляется определенный нвестициионный портфель. Между этими крайними категориями заключены са-мые разнообразные градации типов инвесторов и отвечающих им инвестиционных портфелей. При определении терпимости инвестора к риску принимают во внимание следующие факторы:
F1) возраст,
F2) опыт обладания теми или иными финансовыми активами и прошлом,
F3) желаемая степень ликвидности капиталовложений,
F4) предполагаемый инвестиционный горизонт,
F5) величина годового дохода на члена семьи,
F6) цель инвестиции.
Очевидно, что эти факторы не являются равнозначными. Как определить вклад каждого из них в решение инвестора выбрать ту или иную цель инвестирова-ния?
Рассмотрим эту задачу в предположении, что цель инвестирования зависит от первых пяти факторов. Частный инвестор психологически учитывает влияние цели инвестирования на свои суждения об относительной мере важности факторов. Пред-ставляет интерес ответ на вопрос: в какой относительной мере инвестор учитывает величину годового дохода на члена семьи?
Предположим, что первые пять факторов рассматриваются как частные кри-терии выбора наилучшей альтернативы. Например, матрица суждений имеет вид:
F1 F2 F3 F4 F5
F1 1 1/7 1/2 1/9 1/5
F2 7 1 1 1/2 1/3
F3 2 1 1 1 1/2
F4 9 2 1 1 1
F5 5 3 2 1 1

относительной сравнительной важности пяти первых факторов получена в резуль-тате заполнения анкеты частным инвестором.
После вычислений получаем вектор приоритетов
w=
При этом критерий .
Полученный вектор приоритетов показывает, что удельный вклад фактора-«Величина годового дохода на члена семьи» в принятие решения о цели инвестиро-вания равен 0,326 и наименьший вклад вносит фактор «Возраст» -0,045.

Примечание.
Для более подробного ознакомления с методом анализа иерархий более подробно следует ознакомиться с работой «Принятие решений: метод аналитических иерархий» Т. Саати (перевод на русский язык). Работу можно найти в Интернете или получить файл у преподавателя.
Задание для выполнения контрольной работы.
1. Для примера 1 выполнить вычисления согласно процедуре б).
2. Для примера 2 самостоятельно составить матрицу для парных сужде-ний, которые получить от клиента. Расчёты выполнить по процедуре б).
3. Найти в интернете пример практического применения метода Т. Саати и дать ему краткое объяснение (2-3 стр.)