На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


дипломная работа Одномерные комплексные отображения:множества Жюлиа,Мандельброта и Ньютона

Информация:

Тип работы: дипломная работа. Добавлен: 14.12.2012. Сдан: 2012. Страниц: 28. Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%

Описание (план):


  МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
  РОССИЙСКОЙ  ФЕДЕРАЦИИ
  ГОУ ВПО «Чувашский государственный  педагогический
  университет имени И. Я. Яковлева» 
 

  кафедра геометрии 

М. А. Ильмухина 

  Одномерные  комплексные отображения:
  фракталы  Жюлиа, Мандельброта и Ньютона 

Выпускная квалификационная работа 
 
 

  Научный руководитель – к. ф.-м. н., доц. Абруков Д.А. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Чебоксары 2012
Содержание
1. Постановка вопроса 4
2. Цель работы 5
3.Методика  исследования. 5
4. Структура и объём  работы 5 

Глава 1. Фракталы 6
§1. Понятие фрактала 6
§2. Самоподобие 9 

Глава 2. Одномерные комплексные  отображения 11
§1. Итерации комплексных  функций. Множества  Жюлиа 11
§2. Основы теории множества  Жюлиа 12
§3. Множества Жюлиа 15
§4. Орбиты во множествах Жюлиа 19
§5. Хаос и множества  Жюлиа 23 

Глава 3. Множество Мандельброта 25
§1. Множество Мандельброта 25
         1.1. Роль критической орбиты 36
         1.2. Периоды и обрамление 37
         1.3. Построение множества Мандельброта 41 

Глава 4. Фракталы Ньютона 43
§1. Фракталы Ньютона 43 

Глава 5. Приложение (решение  задач на Pascal ABC) 47 

Библиографический список 50 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Постановка вопроса
  Заслуживает внимания тот факт, что появление  фракталов (еще не получивших этого  имени) в математической литературе около ста лет назад было встречено с прискорбной неприязнью, как это бывало и в истории развития многих других математических идей. Один известный математик, Шарль Эрмит, даже окрестил их монстрами. По крайней мере, общее мнение признало их патологией, представляющей интерес только для исследователей, злоупотребляющих математическими причудами, а не для настоящих ученых.
  В результате усилий Бенуа Мандельброта такое отношение изменилось, и фрактальная геометрия стала уважаемой прикладной наукой. Мандельброт ввел в употребление термин фрактал, основываясь на теории фрактальной (дробной) размерности Хаусдорфа, предложенной в 1919 году. За много лет до появления его первой книги по фрактальной геометрии, Мандельброт приступил к исследованию появления монстров и других патологий в природе. Он отыскал нишу для имевших дурную репутацию множеств Кантора, кривых Пеано, функций Вейерштрасса и их многочисленных разновидностей, которые считались нонсенсом. Он и его ученики открыли много новых фракталов, например, фрактальное броуновское движение для моделирования лесного и горного ландшафтов, флуктуации уровня рек и биения сердца. С выходом в свет его книг приложения фрактальной геометрии стали появляться как грибы после дождя.
  Эта работа будет посвящена изучению фракталов.

2. Цель работы

  Изучить фракталы Жюлиа, Мандельброта и Ньютона.

3.Методика  исследования.

Использован язык программирования Pascal ABC.

4. Структура и объём работы

  Дипломная работа состоит из общей характеристики работы, четырех глав списка использованной литературы, включающего три наименования и приложения с решениями задач на Pascal ABC.
  Полный объем работы составляет 50 страницы машинописного текста.  
 

 

  
  Глава 1. Фракталы
  §1. Понятие фрактала
  Сравнительно  давно в математике возник образ  объекта, более объемистого, но тем не менее сходного с линией. Некоторым ученым было трудно примириться с понятием линии, не имеющей ширины, поэтому постепенно ими стали изучаться геометрические формы и структуры, имеющие дробную пространственную размерность. На смену непрерывным кривым, обладающим всеми своими производными, пришли ломаные или очень изрезанные кривые. Ярким примером такой кривой является траектория броуновской частицы. Так в науке возникло понятие фрактала.
  Фракталами  называются геометрические объекты: линии, поверхности, пространственные тела, имеющие сильно изрезанную форму и обладающие свойством самоподобия. Слово фрактал произошло от латинского слова fractus и переводится как дробный, ломаный. Самоподобие как основная характеристика фрактала означает, что он более или менее единообразно устроен в широком диапазоне масштабов. Так, при увеличении маленькие фрагменты фрактала получаются очень похожими на большие. В идеальном случае такое самоподобие приводит к тому, что фрактальный объект оказывается инвариантным относительно растяжений, т.е. ему, как говорят, присуща дилатационная симметрия. Она предполагает неизменность основных геометрических особенностей фрактала при изменении масштаба.
  Конечно, для реального природного фрактала существует некоторый минимальный масштаб длины , такой, что на расстояниях его основное свойство — самоподобие — пропадает. Кроме того, на достаточно больших масштабах длин > , где — характерный геометрический размер объектов, это свойство самоподобия также нарушается. Поэтому свойства природных фракталов рассматриваются лишь на масштабах , удовлетворяющих соотношению Такие ограничения являются довольно естественными, потому что, когда мы приводим в качестве примера фрактала — изломанную, негладкую траекторию броуновской частицы, то мы понимаем, что этот образ является очевидной идеализацией. Дело в том, что на маленьких масштабах сказывается конечность массы и размеров броуновской частицы, а также конечность времени соударения. При учете этих обстоятельств, траектория броуновской частицы становится плавной кривой.
  Отметим, что свойство точного самоподобия характерно лишь для регулярных фракталов. Если вместо детерминированного способа построения включить в алгоритм их создания некоторый элемент случайности (как это бывает, например, во многих процессах диффузионного роста кластеров, электрическом пробое и т.д.), то возникают так называемые случайные фракталы. Основное их отличие от регулярных состоит в том, что свойства самоподобия справедливы только после соответствующего усреднения по всем статистически независимым реализациям объекта. При этом увеличенная часть фрактала не точно идентична исходному фрагменту, однако их статистические характеристики совпадают. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

§2. Самоподобие
  Разделим  отрезок прямой на равных частей. Тогда каждую часть можно считать копией своего отрезка, уменьшенной в раз. Очевидно, связаны  отношением . Если квадрат разбить на равных квадратов (с площадью, в раз меньше площади исходного), то соотношение запишется как . Если куб разбить на равных кубов (с объемом, в раз меньше объема исходного), то соотношение примет следующий вид: . Заметим, что размерность объекта, будь то одномерный отрезок, двумерный квадрат или трехмерный куб, появляется как степень в соотношении между , числом равных подобъектов, и коэффициентом подобия . А именно:
                                                                                       (1.1)
   Множества, построенные на рис. 1.1, обладает целой размерностью. Зададимся вопросом, возможно ли такое построение, при котором показатель в равенстве (1.1) не является целым, то есть такое, что при разбиении исходного множества на непересекающихся подмножеств, полученных масштабирование оригинала с коэффициентом , значение не будет выражаться целым числом. Такое множество называют самоподобным фракталом или размерностью подобия.
  
  Рис. 1.1
    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  Глава 2. Одномерные комплексные отображения
  §1. Итерации комплексных функций. Множества Жюлиа
  Множества Жюлиа дают наиболее впечатляющие иллюстрации  того, как простой процесс может  привести к чрезвычайно запутанным множествам. Итерации (отображения)
                                        
  0,1,2, … с простой функцией на  комплексной плоскости , например с где - ненулевая константа, вызывают появление различных экзотических фракталов.
  Множества Жюлиа появляются в результате итераций функции  комплексной переменной и относится к дискретным динамическим системам. В общем, множество Жюлиа – это динамический репеллер (отталкивающее множество). Как правило – это фрактал. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

§2. Основы теории множества Жюлиа
  Для удобства изложения мы предположим, что  является полиномом степени с комплексными коэффициентами, . Заметим, что с небольшими изменениями теория остается справедливой, если - рациональная функция (где ) на расширенной комплексной плоскости , и многое из нее выполняется, если  - мероморфная функция (то есть функция, которая аналитична на за исключением конечного числа полюсов). Дадим короткое изложение основ теории комплексных отображений.
  Будем обозначать через  -ю итерацию (композицию) функций Если назовем неподвижной точкой , и если для некоторого целого - то периодической точкой ; наименьшее такое, что называется периодом . Мы назовем , , орбитой периода . Пусть - периодическая точка периода , с , где штрих означает комплексное дифференцирование. Точка называется
  - притягивающей, если ;
  -индифферентной, если ;
  - отталкивающей, если .
  Множество Жюлиа преобразования определим как замыкание множества отталкивающих периодических точек . Дополнение множества Жюлиа называется Фату и обозначается через . Здесь мы исследуем геометрию и фрактальную природу множества Жюлиа в случае, когда - полином. Мы покажем, что является инвариантным множеством как для отображения , так и для обратного отображения , то есть .  Также покажем, что множество непустое и компактное. Более того, итерации ведут себя «хаотически» на , и обычно является фракталом.
  Обратимся к простейшему примеру, когда  и, следовательно, . Точки, удовлетворяющие , это . Они являются отталкивающими, так как в таких точках. Таким образом, множество Жюлиа - это окружность, единичного радиуса: . Очевидно, и при , если ; , если и итерации для всех , если . Итак, множество Жюлиа является границей между множествами точек, которые стремятся к 0 и , то есть это окружность. Конечно, в этом особом случае не является фракталом рис 2.1.
  

  Рис. 2.1.
  Изменим теперь немного функцию , положив , где - это небольшое комплексное число. Легко видеть, что мы все еще имеем , если z мало, где - это неподвижная точка , близкая к 0, и что , если z велико. Опять, множество Жюлиа – это граница между двумя типами поведения, но оказывается, что теперь является фрактальной кривой, схематически изображенной на рис. 2.2
  

  Рис. 2.2.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

§3. Множества Жюлиа
  Через будем обозначать множество всех комплексных чисел . Комплексное число будем обозначать . Вещественная часть равна а, а мнимая часть равна вещественному числу . Будем обозначать их как
      и    .
  Модуль  комплексного числа , обозначаемый , определяется как евклидова длина вектора , то есть 

  Когда мы говорим, что последовательность комплексных чисел  стремится к бесконечности: 

  то  под этим мы понимаем, что для  любого данного М > 0 существует N > 0 такое, что для всех > справедливо > М, то есть все  точки лежат вне круга радиуса М для достаточно больших значений п.
    При этом не требуется, чтобы стремились к вдоль по прямой или какой-то кривой, просто абсолютные величины должны расти неограниченно.
  Ограничимся далее рассмотрением функций, которые  представляют собой полиномы одного комплексного переменного. Пусть
   ,            
  — полином степени  > 2, коэффициенты , , — комплексные числа (в частном случае, вещественные).
  Множество Жюлиа функции , обозначаемое J(f), определяется как
  .
  Таким образом, множество Жюлиа функции  есть граница множества точек z, стремящихся к бесконечности при итерировании . Множество названо в честь французского математика Гастона Жюлиа (1893-1978), который одновременно с Пьером Фату (1878-1929) в 1917-19 гг. написал основополагающие статьи по итерированию функций комплексного переменного. Еще раз мы видим впечатляющий пример математических исследований, которые далеко опередили свое время в том смысле, что потребовалось более пятидесяти лет, прежде чем компьютерная графика достигла уровня, позволяющего наблюдать эти математические объекты.
  Простейшее  множество Жюлиа соответствует  случаю . Так как , то тогда и только тогда, когда . Границей этого множества, то есть множеством Жюлиа, является единичная окружность , которая фракталом не является, хотя в общем случае множество Жюлиа есть фрактал. Тем не менее, функция хаотична на своем множестве Жюлиа (на единичной окружности).
  Можно написать простую программу для построения заполняющего множества Жюлиа. Заполняющее множество Жюлиа состоит из точек, орбиты которых пойманы, в отличие от границы этого множества, которое и является настоящим множеством Жюлиа. Заполняющие множества более привлекательны визуально и именно по этой причине наиболее часто реализуются программно. Такая программа наилучшим образом работает в случае множеств Жюлиа, обладающих притягивающей периодической орбитой.
  В первую очередь и в основном, мы будем изучать множества Жюлиа  квадратичных функций 

  где с — константа в С. Такой подход не является ограниченным, как это может показаться, так как рассмотрение произвольного квадратичного полинома, скажем, , , может быть сведено к указанному выше частному случаю простой заменой переменных. Множество Жюлиа для симметрично относительно горизонтальной оси. При написании программы это обстоятельство можно использовать для уменьшения объема вычислений, то есть вычислить множество Жюлиа в верхней полуплоскости, а затем отразить его на нижнюю полуплоскость. Как следует из приводимой ниже теоремы, в случае можно прекратить вычисление орбиты, как только величины достигают значения 2 по модулю. Орбиты таких точек гарантированно стремятся к бесконечности.
  Теорема 1. Предположим, что. Пусть и пусть для 1,2,3,... Если существует такое , что , то имеет место 

  то  есть орбита стремится к бесконечности и z не принадлежит множеству Жюлиа .
  Доказательство. Без потери общности можно предположить, что  2. Получаем
                                     
 

                                          
  Пусть удовлетворяет условию  . Исследуя производную вещественнозначной функции на интервале , легко видеть, что и вследствие этого
  .
  Таким образом,
   
  и 

  Для n-ой итерации получим: 

  и это выражение стремится к , когда становится достаточно большим.    ¦ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

§4. Орбиты во множествах Жюлиа

  В этом параграфе мы изучим еще один подход к вычислению множеств Жюлиа. Эта теория важна для понимания множества Мандельброта.
  Пусть — точка множества Жюлиа . Далее полагаем, что — полином. В соответствии с определениями, приведенными в главе 6, точка  — периодическая с периодом p (но не обязательно с наименьшим периодом p), если . Существуют несколько возможных типов поведения, зависящих от величины производной , которую будем обозначать через . Будем говорить, что периодическая точка z:
  сверхпритягивающая, если ;
    притягивающая, если ;
  нейтральная, если ;
  отталкивающая, если .
  Если  w есть притягивающая или сверпритягивающая неподвижная точка, то область (бассейн) притяжения для определяется как 

  Точка может быть классифицирована таким же образом. В теории функций комплексного переменного величина допустима и удовлетворяет, помимо прочих соотношений, уравнению при любом z . Окрестность бесконечно удаленной точки определяется в виде
    {z С : |z| > r} при некотором > 0.
  Динамическое поведение комплексной функции определенной в окрестности W бесконечно удаленной точки , может быть исследовано заменой z на 1/z. Поведение функции в бесконечно удаленной точке   эквивалентно поведению функции в окрестности точки 0, что очевидно из следующей коммутативной диаграммы: 
 

  Точка является притягивающей периодической точкой если точка 0 — притягивающая периодическая точка F. Например, если , то , и принимает значение 0 при    . Из этого следует, что бесконечно удаленная точка является сверхпритягивающей неподвижной точкой для . Следующая теорема представляет собой основной результат о соотношении множеств Жюлиа с орбитами при прямых и обратных итерациях.
  Теорема 2. Пусть  - полином степени > 2. Следующие определения множества Жюлиа эквивалентны.
    есть граница области притяжения всех притягивающих неподвижных точек f включая .
    Каждая отталкивающая периодическая точка принадлежит , и является замыканием множества всех отталкивающих периодических точек .
    Если ? , то есть замыкание (?) (через (?) обозначено множество {z С : }.
  Более того, за исключением  самое большее  одной точки w на плоскости , множество Жюлиа удовлетворяет
  (2.1)
  где предел понимается в  смысле метрики Хаусдорфа.
  Первое  характеристическое свойство обобщает определение, первоначально данное для множества Жюлиа полинома: 

  так как является притягивающей неподвижной точкой в случае полинома, что было доказано выше в частном случае
      Второе характеристическое свойство, касающееся плотности отталкивающих периодических точек, часто приводится как определение множества Жюлиа. В отличие от первого характеристического свойства, оно применимо не только к полиномам. Заметим также, что это определение автоматически удовлетворяет одному из требований, предъявляемых к хаотической динамической системе, а именно, условию плотности периодических точек.
  Третье  характеристическое свойство и определение часто используются для вычисления множеств Жюлиа и их графического представления.
  Продолжим рассмотрение примера , начатое в предыдущем параграфе. В этом случае имеются три неподвижные точки: . Две точки, 0 и , являются сверхпритягивающими, а точка   — отталкивающей. Области притяжения  для z =0и  z = :  

  и 

  соответственно. По определению 1 теоремы 2: 

  Периодические точки порядка 1,2,3,... удовлетворяют уравнению . Если z, то , а значит имеется точно периодических точек. Все они лежат на единичной окружности и распределены на ней равномерно. Все эти ненулевые периодические точки являются отталкивающими, так как , а их совокупность образует плотное подмножество единичной окружности. Таким образом, определение 2 теоремы дает тот же результат, что и определение 1, в частном случае . Заметим только, что за исключением точки в , обратные орбиты точки сходятся к единичной окружности, то есть к .
  Следующий алгоритм требует вычисления квадратных корней из комплексных чисел. Если  , то два квадратных корня
  записываются  в виде . Однако, обычно нам приходится работать с числами вида , и в этом случае удобнее использовать следующую формулу :
                                   (2.2)
    При каждом обращении к этой формуле может быть вычислено любое из двух значений квадратного корня.
  Алгоритм вычисляет и отображает множество Жюлиа для . Этот алгоритм использует обратную итерацию и основывается на третьем определении теоремы 2. Для того чтобы начать процесс итерирования, необходимо вычислить одну отталкивающую периодическую точку. Этот шаг выполняется в первой части алгоритма с помощью вычисления двух неподвижных точек и удержания той из них, которая имеет большую абсолютную величину. Эта неподвижная точка всегда отталкивающая.

§5. Хаос и множества  Жюлиа

  Квадратичная  функция  проявляет хаотическое поведение на своем множестве Жюлиа .
  Одним из таких примеров является хаотическое  поведение вещественной функции на отрезке . Как следует из приводимой ниже леммы, множество Жюлиа комплексной функции есть также отрезок , а значит   хаотична на .
  Лемма 2. Отрезок является множеством Жюлиа функции .
  Доказательство.  Если , то график пересекает прямую на отрезке точно раз и точки пересечения различны. Таким образом, имеет различных периодических точек на . Комплексный полином - степени имеет самое большее нулей в . Таким образом, мы нашли все периодические точки, и они лежат на отрезке . Более того, они образуют плотное подмножество отрезка (их замыкание есть ). Наклоны функций в точках пересечения с прямой больше 1 по абсолютной величине. Следовательно, эти периодические точки отталкивающие. По определению 2 теоремы 2, множество суть замыкание отталкивающих периодических точек, то есть отрезок .    ¦
  Теорема 3. Квадратичная функция   хаотична на своем множестве Жюлиа при всех .
  Доказательство. Доказательство основывается на установлении условий периодичности и транзитивности.
  Периодичность. Условие периодичности, заключающееся в том, что периодические точки плотны в .
  Транзитивность. Условие транзитивности состоит в том, что для любой пары открытых множеств , которые пересекаются с , существует такое, что . Пусть U и V — открытые множества, пересекающиеся с , и пусть . По определению, является замыканием множества .
  В частности, это объединение пересекается с *, и поэтому для некоторого выполняется . Выберем любую точку в этом пересечении. Тогда , и следовательно, .     ¦ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  Глава 3. Множество Мандельброта
  §1. Множество Мандельброта
  Мы  уже убедились в том, что множества  Жюлиа функции  обладают большим разнообразием. Действительно, для каждого нового значения c мы получаем впечатляющие изображения. Тем не менее, на самом деле существуют всего два типа множеств Жюлиа. Каждое множество Жюлиа функции
и т.д.................


Перейти к полному тексту работы


Скачать работу с онлайн повышением уникальности до 90% по antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru


Смотреть полный текст работы бесплатно


Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.