Здесь можно найти образцы любых учебных материалов, т.е. получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ и рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Реферат Понятие функции в древнем мире: Египет, Вавилон, Греция. Графическое изображение зависимостей, история возникновения. Вклад в развитие графиков функций Рене Декартом. Определение функций: понятие и способы задания. Методы построения графиков функций.

Информация:

Тип работы: Реферат. Предмет: Математика. Добавлен: 09.05.2009. Сдан: 2009. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


54
10
Министерство образования Российской Федерации
Муниципальное общеобразовательное учреждение
“Средняя общеобразовательная школа №22”
Графики и их функции
Выполнили:
Ученики 9 "Б" класса
Кузнецов Евгений и Руди Алексей
Руководитель:
Зенина Алевтина Дмитриевна,
преподаватель математики
Тюмень, 2006

Оглавление

    Введение 4
      Глава I. История возникновения 5
      1.1 Возникновение и понятие функции в древнем мире 5
      1.2 Возникновение и понятие функции в древнем Египте 5
      1.3 Возникновение и понятие функции в Древнем Вавилоне 6
      1.4 Возникновение и понятие функции в Древней Греции 6
      1.5 Графическое изображение зависимостей, история возникновения 7
      1.6 Вклад в развитие графиков функций Рене Декартом 8
      Глава II. Определение функций 9
      2.1 Основные понятия о функциях 9
      2.2 Способы задания функций 10
      Глава III. Исследования функций и их графиков 12
      3.1 Простейшие функции и их графики 12
      3.2 Тригонометрические функции 18
      3.3 Кривые второго порядка 19
      Глава IV. Методы построения графиков функций 23
      4.1 Параллельный перенос 23
      4.1.1 Перенос вдоль оси ординат 23
      4.1.2 Перенос вдоль оси абсцисс 24
      4.2 Отражение 24
      4.2.1 Построение графика функции вида y = f(-x) 24
      4.2.2 Построение графика функции вида y = - f(x) 25
      4.2.3 Построение графиков четной и нечетной функций 25
      4.2.4 Построение графика обратной функции 26
      4.3 Деформация 26
      4.3.1 Деформация графика вдоль оси ординат 26
      4.3.2 Деформация графика вдоль оси абсцисс 27
      4.4 Алгебраические операции над графиками функций 27
      4.4.1 График суммы (разности) функций 28
      4.4.2 График произведения функций 28
      4.4.3 График функции вида 28
      4.4.4 График частного двух функций 29
      4.5 Построение графиков сложных функций 29
      4.5.1 График функции у = [f(x)] k 29
      4.5.2 График функции у = af(x) 30
      Глава V: Графики нетрадиционных функций 31
      Заключение 37
      Список литературы 39
      Приложение 1 40
      Приложение 2 41
      Приложение 3 42
      Приложение 4 43
      Приложение 5 44
      Приложение 6 45
      Приложение 7 46
      Приложение 8 47
      Приложение 9 48
      Приложение 10 49
      Приложение 11 50
      Приложение 12 51
      Приложение 13 52
      Приложение 15 54

Введение

Изучение поведения функций и построение их графиков является важным разделом математики. Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решить многие задачи и парой является единственным средством их решения. Кроме того, умение строить графики функций представляет большой самостоятельный интерес.

Цели реферата - систематизация методов построения графиков функций выходящих за рамки знаний предусмотренных средней школой. Так же в этом реферате хотелось бы отобразить методы и виды решения различных графиков функций. Основные положения по этим не традиционным графиком будут изложены в главе VI. При этом главное внимание уделено именно методам построения графиков, а не изучению их видов функций.

Задачи:

систематизация старых знаний

наработка новых способов построения графиков функций

изучение новых графиков функций

Объект исследования - алгебра.

Предмет исследования - графики и их функции.

Материал, связанный с построением графиков функций, в средней школе изучается недостаточно полно с точки зрения требований предъявленных на экзаменах. Поэтому задачи на построение графиков не редко вызывают затруднение у поступающих. Основываясь на этом факте, эта тема является необходимой для подробного рассмотрения.

В основном для этого реферата использовались математические справочники и специальная литература.

Глава I. История возникновения

1.1 Возникновение и понятие функции в древнем мире

Понятие функции уходит своими корнями в ту далекую эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их явления взаимосвязаны. Они еще не умели считать, но уже знали, что, чем больше оленей удастся убить на охоте, тем дольше племя будет избавлено от голода, чем дольше горит костер, тем теплее будет в пещере.

С развитием скотоводства и земледелия, ремесла и обмена увеличилось количество известных людям зависимостей между величинами. Многие из них выражались с помощью чисел. Это позволило формулировать их словами "больше на", "меньше на", "больше во столько-то раз". Если за одного быка давали 6 овец, то двух быков обменивали на 12 овец, а трех быков на 18 овец. Такие расчеты привели к возникновению понятия о пропорциональности величин.

1.2 Возникновение и понятие функции в древнем Египте

Но когда возникли первые цивилизации, образовались большие (по тогдашним масштабам), армии, началось строительство гигантских пирамид, то понадобились писцы, которые учитывали поступающие налоги, определяли количество кирпичей, потребное для возведения дворцов, подсчитывали, сколько продовольствия надо заготовить для дальних походов. От одного поколения писцов к другому переходили правила решения задач, чтобы решить такие задачи, надо было знать, как зависят объемы геометрических фигур от их размеров, уметь учитывать наклон насыпи. Некоторые египетские задачи показывают, что в то время умели даже вычислить объем пирамиды

1.3 Возникновение и понятие функции в Древнем Вавилоне

Высокого уровня достигла математика в Древнем Вавилоне. Чтобы облегчить вычисления, вавилоняне составили таблицы обратных значений чисел, таблицы квадратов и кубов чисел и даже таблицы для суммы квадратов чисел их кубов. Говоря современным языком, это было табличное задание функций y = 1/x, y = x2, y = x3, y = x2 + x3

Пользуясь такими таблицами, вавилоняне могли решать и обратные задачи - по заданному объему куба находить длину его стороны, т.е. Извлекать кубические корни. Они умели даже решать уравнения вида x2 + x3 = a. Были у вавилонян и таблицы функций двух переменных, например таблицы сложения и умножения. Пользуясь различными таблицами, они могли вычислить и длину гипотенузы по длинам катетов, т.е. Находить значение функции

Разумеется, путь от появления таблиц до создания общего понятия функциональной зависимости был еще очень долог, но первые шаги по этому пути уже были сделаны.

1.4 Возникновение и понятие функции в Древней Греции

В Древней Греции наука приняла иной характер, чем в Египте и в Вавилоне. Появились профессиональные ученые, которые изучали саму математическую науку, занимались строгими логическими выводами одних утверждений из других. Многое из того, что делали древнегреческие математики, тоже могло привести к возникновению понятия о функции. Они решали задачи на построение и смотрели, при каких значениях задача имеет решение, изучали, сколько решений может иметь эта задача, и т.д. Древние греки нашли много различных кривых, неизвестных писцам Египта и Вавилона, изучали зависимости между отрезками диаметров и хорд в круге, эллипсе и других линиях. Но все же древнегреческие математики не создали общего понятия функции.

1.5 Графическое изображение зависимостей, история возникновения

Исследование общих зависимостей началось в 14 веке. Средневековая наука была схоластической. Для доказательства своей правоты ученые прибегли не к опыту, а к цитатам из Аристотеля и Платона или к ссылкам на библейские сказания. При таком характере "научных дискуссий" не оставалось места изучению количественных зависимостей, речь шла лишь о качествах предметов и их связях друг с другом. Но среди схоластов возникла школа, утверждавшая, что качества могут быть более или менее интенсивными (платье человека, свалившегося в реку, мокрее, чем у того, кто лишь попал под дождь)

Французский ученый Николай Оресм стал изображать интенсивность длинами отрезков. Когда он располагал эти отрезки перпендикулярно некоторой прямой, их концы образовывали линию, названную им "линией интенсивностей" или "линией верхнего края". Современный читатель сразу узнает в ней график соответствующей функциональной зависимости. Оресм изучал даже "плоскостные" и "телесные" качества, т.е. функции, зависящие от двух или трех переменных.

Важным достижением Оресма была попытка классифицировать получившиеся графики. Он выделил три типа качеств: Равномерные (с постоянной интенсивностью), равномерно-неравномерные (с постоянной скоростью изменения интенсивности) и неравномерно-неравномерные (все остальные), а также характерные свойства графиков таких качеств.

Идеи Оресма на много обогнали тогдашний уровень науки. Чтобы развивать их дальше, нужно было уметь выражать зависимости между величинами не только графически, но и с помощью формул, а буквенной, алгебры в то время не существовало. Лишь после того, как в течение 16 века была постепенно создана буквенная алгебра, удалось сделать следующий шаг в развитии понятия функции.

1.6 Вклад в развитие графиков функций Рене Декартом

Чтобы создать математический аппарат для изучения графиков функций, понадобилось понятие переменной величины. Это понятие было введено в науку французским философом и математиком Рене Декартом (1596-1650). Именно Декарт пришел к идеям о единстве алгебры и геометрии и о роли переменных величин, он разрушил пропасть, лежавшую со времен древнегреческой математики, между геометрией и арифметикой.

Чтобы освободить алгебру от несвойственного ей геометрического языка, Декарт ввел фиксированный единичный отрезок и стал рассматривать отношения других отрезков к нему.

При записи зависимостей между величинами Декарт стал применять буквы. При этом операциями над величинами соответствовали операции над буквами. Теперь уже для преобразования одной зависимости в другую не надо было писать громоздких пропорций, изучать подобные треугольники и преобразовывать геометрические фигуры. Достаточно было по твердо, установленным правилам делать алгебраические преобразования, причем все эти преобразования производились в общем, виде.

Таким образом, графики функций за все время своего существования прошли через ряд фундаментальных преобразований, приведших их к тому виду, к которому мы привыкли. Каждый этап или ступень развития графиков функций - неотъемлемая часть истории современной алгебры и геометрии.

Глава II. Определение функций

2.1 Основные понятия о функциях

Величины, участвующие в одном и том же явлении, могут быть взаимосвязаны, так что изменение одних из них влечёт за собой соответствующее изменение других. Например, увеличение (или уменьшение) радиуса круга ведёт к обязательному увеличению (или уменьшению) его площади. В таких случаях говорят, что между переменными величинами существует функциональная зависимость, причём одну величину называют функцией, или зависимой переменной (её часто обозначают буквой у), а другую - аргументом, или независимой переменной (её обозначают буквой х). Функциональную зависимость между х и у принято обозначать символом y=f(x). Если значению х соответствует больше, чем одно значение у. то такая функция называется многозначной. Исследование многозначных функций обычно сводится к исследованию однозначных.

Переменная величина у есть функция аргумента х, т.е. y=f(x), если каждому возможному значению х соответствует одно определённое значение у.

Графиком функции называется совокупность всех точек на плоскости, прямоугольные координаты которых х и у удовлетворяют уравнению y=f(x). Горизонтальную ось Ох называют осью абсцисс, вертикальную ось Оу - осью ординат. Графическое изображение функции имеет важное значение для её изучения. На графике функции часто непосредственно видны такие её особенности, которые можно было бы установить лишь путём длительных вычислений. Если между величинами х и у существует функциональная связь, то безразлично, какую из этих величин считать аргументом, а какую - функцией.

2.2 Способы задания функций

Функциональная зависимость, устанавливающая соответствие между значениями аргумента х и функции у, может быть различными способами:

1). Табличный способ. При этом способе ряд отдельных значений аргумента х1, х2, …, хk и соответствующий ему ряд отдельных значений функции у1, у2, …, уk задаются в виде таблицы. Несмотря на простоту, такой способ задания функции обладает существенным недостатком, так как не дает полного представления о характере функциональной зависимости между х и у и не является наглядным.

2). Словесный способ. Обычно этот способ задания иллюстрируют примером функции Дирихле у = D (х): если х - рациональное число, то значение функции D (х) равно 1, а если число х - иррациональное, то значение функции D (х) равно нулю. Таким образом, чтобы найти значение D (x0) при заданном значении х = х0, необходимо каким - либо способом установить, рационально или иррационально число х0.

3). Графический способ. Функциональная зависимость может быть задана с помощью графика функции у = f (x). Преимуществом такого способа задания является наглядность, позволяющая установить важные черты поведения функции. Недостаток графического способа заключается в невозможности применения математического аппарата для более детального исследования функции.

4). Аналитический способ. При аналитическом способе задания известна формула, по которой по заданному значению аргумента х можно найти соответствующее значение функции у. В математике чаще всего используется именно аналитический способ задания функций. Преимуществами такого способа задания являются компактность, возможность подсчета значения у при любом значении х и возможность применения математического аппарата для более детального исследования поведения функции. Однако аналитическому способу задания функции присуща недостаточная наглядность и возможная трудность вычисления значений функции.

Краткое рассмотрение различных способов задания функции показывает, что для подробного изучения ее поведения лучше всего сочетать исследование аналитического выражения функции с построением ее графика.

Наконец, еще раз подчеркнем следующее: из определения функции вытекает, что для ее задания необходимо лишь указать закон соответствия между величинами х и у. Способ же задания этого закона не имеет значения.

Глава III. Исследования функций и их графиков

3.1 Простейшие функции и их графики

Пропорциональные величины. Если переменные величины у и х (прямо) пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением y = kx, где k есть некоторая постоянная величина (коэффициент пропорциональности). График прямой пропорциональности есть прямая линия (см. приложение 1), проходящая через начало координат и образующая с осью абсцисс угол б, тангенс, которого равен постоянной k; tg б = k. Поэтому коэффициент пропорциональности k называется также угловым коэффициентом.

Линейная функция. Линейной называется функция вида: y = kx + b, в аналитическое выражение, которой переменные х и у входят в первой степени. График линейной функции представляет прямую линию (см. приложение 2), располагающеюся относительно координатных осей различным образом, в зависимости от постоянных коэффициентов, k и b, которые могут принимать положительные или отрицательные значения или быть равным нулю. Для построения графика линейной функции можно воспользоваться геометрическим смыслом коэффициентов k и b или найти две точки прямой на плоскости, например, точки пересечения с осями координат.

Свойства функции y = kx+b:

D(f) = (-+);

Возрастает, если k >0, убывает, если k<0;

Не ограничена ни сверху, ни снизу;

Нет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

Функция непрерывна;

E(f) = (-+);

Обратная пропорциональность. Если переменные величины у и х обратно пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением , где с есть некоторая постоянная величина. График обратной пропорциональности есть кривая линия (см. приложение 3), называемая гиперболой, состоящая из двух ветвей.

Свойства функции :

D(f) = (-0) U (0, +);

Если с >0, то функция убывает на открытом луче (-0) и на открытом луче (0, +); если с<0, то функция возрастает на (-0) и на (0, +);

Не ограничена ни снизу, ни сверху;

Нет ни наименьшего, ни наибольшего значений;

Функция непрерывна на открытом луче (-0) и на открытом луче (0, +);

Е(f) = (-0) U (0, +);

Если с>0, то функция выпукла вверх при х<0, т.е. на отрытом луче (-0), и выпукла вниз при х>0, т.е. на открытом луче (0, +). Если с<0, то функция выпукла вверх при х>0 и выпукла вниз при х<0;

Функция имеет асимптоты y = 0 и x = 0/

Квадратичная функция. Функция y = ax2 + bx + с (a, b, с - постоянные величины; а ? 0) называется квадратичной. В простейшем случае y = ax2 (b = с = 0) график есть кривая линия, проходящая через начало координат. Кривая, служащая графиком функции y = ax2, есть парабола (см. приложение 4). Каждая такая парабола имеет ось симметрии (OY), называемую осью параболы. Точка О пересечения параболы с ее осью называется вершиной параболы. График функции y = ax2 + bx + с имеет ту же формулу, что и график функции y = ax2 (при том же значении а), т.е. также есть парабола. Ось этой параболы по-прежнему вертикальна, но вершина лежит не в начале координат, а в точке

Свойства функции ax2 + bx + с:

Для случая, а>0

D(f) = (-+);

Убывает на луче , возрастает на луче ;

Ограничена снизу, не ограничена сверху;

унаим. = y0, yнаиб. Не существует;

Непрерывна;

Выпукла вниз.

Для случая, а<0

D(f) = (-+);

Убывает на луче возрастает на луче ;

Не ограничена снизу, ограничена сверху;

не существует, yнаиб. = y0;

Непрерывна;

6.

Выпукла вверх.

Свойства функции y = ax2:

Для случая, а>0

D(f) = (-+);

Убывает на луче , возрастает на луче ;

Ограничена снизу, не ограничена сверху;

унаим. = 0, yнаиб. Не существует;

Непрерывна;

E(f) = ;

Выпукла вниз.

Для случая, а<0

D(f) = (-+);

Убывает на луче возрастает на луче ;

Не ограничена снизу, ограничена сверху;

унаим. Не существует, yнаиб. = 0;

Непрерывна;

E(f) =

Выпукла вверх.

Степенная функция. Обычно степенными функциями называют функции вида , где r - любое действительное число. Так, если r - натуральное число (r = n), то получаем функцию .

График степенной функции y = xn в случае четного n (n = 4, 6,8, …) похож на параболу, а график степенной функции y = xn в случае нечетного n (n = 5, 7, 9, …) похож на кубическую параболу.

Если r = - n, то получаем функцию y = x - n, т.е. .

Наконец, если r = 0, т.е. речь идет о функции y = x0, то в результате получается обыкновенная функция у = 1, где х ? 0; график этой функции изображен (см приложение 6).

Теперь рассмотрим функцию y = xr, где r - положительное или отрицательное дробное число. Рассмотрим в качестве примера функцию y = x2,5. Область ее определения - луч. Построим на этом луче графики функций у = х2 (ветвь параболы) и у = х3 (ветвь кубической параболы) - эти графики изображены. Стоит заметить, что на интервале (0;

1) кубическая парабола располагается ниже, а на открытом луче (1; +?) выше параболы. Нетрудно убедиться в том, что график функции у = х2,5 проходит через точки (0; 0) и (1;

1), как и графики функций у = х2, у = х3. При остальных значениях аргумента х график функции у = х2,5 находится между графиками функций у = х2 и у = х3 (см. приложение 7).

Почему так происходит? Посмотрим:

1). Если 0 < х < 1, то 2). Если х > 1, то

Примерно так же обстоит дело для любой степенной функции вида у = хr, где -неправильная дробь(числитель больше знаменателя). Ее графиком является кривая (см. приложение 8), похожая на ветвь параболы. Чем больше показатель r, тем “круче” устремлена эта кривая вверх.

Свойства функции

D(f) = ;

не является ни четной, ни нечетной;

возрастает на ;

не ограничена сверху, ограничена снизу;

не имеет наибольшего значения; у наим. = 0;

непрерывна;

E(f) = ;

выпукла вниз.

Рассмотрим степенную функцию для случая, когда - правильная дробь . Все рассмотренное в этой главе в отношении функции , или, что то же самое, имеет и отношению к любой степенной функции вида у = хr, где - правильная дробь. График этой функции изображен (см. приложение 9)

Свойства функции, где :

D(f) =;

не является ни четной, ни нечетной;

возрастает на ;

не ограничена сверху, ограничена снизу;

не имеет наибольшего значения; у наим. = 0;

непрерывна;

E(f) = ;

выпукла вверх.

Нам осталось рассмотреть степенную функцию вида . Область ее определения - открытый луч. Выше мы построили график степенной функции y = x - n, где n - натуральное число. При график функции y = x - n похож на ветвь гиперболы. Точно так же дело обстоит для любой степенной функции вида график, которой изображен. Отметим, что график данной функции имеет горизонтальную асимптоту y = 0 и вертикальную асимптоту x = 0.

Свойства функции :

D(f) =;

не является ни четной, ни нечетной;

возрастает на;

не ограничена сверху, ограничена снизу;

не имеет ни наибольшего значения, ни наименьшего значения;

непрерывна;

E(f) =;

выпукла вниз.

Функция . Графиком функции является ветвь параболы (см. приложение 10).

Свойства функции :

D(f) =

Возрастает;

Ограничена снизу, не ограничена сверху;

у наим. = 0, yнаиб. = Не существует;

Непрерывна;

E(f) = ;

Выпукла вверх.

7. Функция . Графиком функции является объединение двух лучей: у = х, х?0 и

у = - х, х?0 (см. приложение 11).

Свойства функции .

D(f) = (-+);

Убывает на луче , возрастает на луче ;

Ограничена снизу, не ограничена сверху;

унаим. = 0, yнаиб. Не существует;

Непрерывна;

E(f) = ;

Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.