ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
|
Поиск учебного материала на сайте<
|
Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение оригинальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения оригинальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, РУКОНТЕКСТ, etxt.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии так, что на внешний вид, файл с повышенной оригинальностью не отличается от исходного.
|
| | |
Результат поиска |
|
|
|
|
Наименование:
|
курсовая работа Критерии Стьюдента и Фишера |
Информация: |
Тип работы: курсовая работа.
Добавлен: 03.05.2013.
Год: 2013.
Страниц: 9.
Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%
|
|
|
|
Описание (план): |
|
|
Содержание
Введение ……………………………………………………………….…….
3
1. Критерий
Стьюдента ………………………………………………….…..
5
1.1 Случай несвязных выборок ………………………………….………
8
1.2 Случай связных выборок ……………………………………………..12
2. Критерий Фишера ……..…………………………………………………15
Заключение ………………………………………………………………..…...19
Список литературы
………………………………………………….………..20
Приложение.
Введение
Распределение занимает центральное
место в теории и практике вероятностно-статистических
исследований. В качестве непрерывной
аппроксимации к биномиальному
распределению его впервые рассматривал
А. Муавр в 1733 г. Через некоторое время
нормальное распределение снова открыли
и изучили К. Гаусс (1809 г.) и П. Лаплас, которые
пришли к нормальной функции в связи с
работой по теории ошибок наблюдений.
Цель
их объяснения механизма формирования
нормально распределенных случайных
величин заключается в следующем.
Постулируется, что значения исследуемой
непрерывной случайной величины
формируются под воздействием очень
большого числа независимых случайных
факторов, причем сила воздействия
каждого отдельного фактора мала
и не может превалировать среди
остальных, а характер воздействия
– аддитивный.
Во многих
случайных величинах, изучаемых
в технике и других областях, естественно
видеть суммарный аддитивный эффект
большого числа независимых причин.
Но центральное место нормального
закона не следует объяснять его
универсальной приложимостью.
Основная
цель работы сводится к тому, чтобы
изучить понятия и сущность критериев
Стьюдента и Фишера.
Достижение
цели подразумевало решение следующих
поставленных задач:
- рассмотреть
критерии Стьюдента,
- рассмотреть
случаи связных и несвязных
выборок,
- рассмотреть
критерии Фишера.
t - Критерий Стьюдента
t-критерий
Стьюдента — общее название для класса
методов статистической проверки гипотез (статистических критериев), основанных
на распределении Стьюдента. Наиболее
частые случаи применения
t-критерия
связаны с проверкой равенства
средних значений в двух выборках.
t-статистика
строится обычно по следующему
общему принципу: в числителе
случайная величина с нулевым
математическим ожиданием (при
выполнении нулевой гипотезы), а в знаменателе —
выборочное стандартное отклонение этой
случайной величины, получаемое как квадратный
корень из несмещенной оценки дисперсии.
[Википедия]
Критерий
t Стьюдента направлен на оценку различий
величин средних и двух выборок X и
Y, которые распределены по нормальному
закону. Одним из главных достоинств критерия
является широта его применения. Он может
быть использован для сопоставления средних
у связных и несвязных выборок, причем
выборки могут быть не равны по величине.
t-критерий
применяется в двух вариантах
– когда сравниваемые выборки
независимы (не связаны) и когда
они зависимы (связаны).
Уровень
значимости t-критерия равен вероятности
ошибочно отвергнуть гипотезу о равенстве
выборочных средних двух выборок, когда
в действительности эта гипотеза имеет
место. При проверке разности двух средних
с помощью t-критерия Стьюдента используется
следующий алгоритм:
1. Записать вариационный
ряд результатов Х экспериментальной
группы.
2. Записать вариационный
ряд результатов Y контрольной группы.
3. Найти выборочные
средние двух выборок и .
4. Найти выборочные
дисперсии и .
5. Вычислить
эмпирическое значение критической статистики
.
6. Определить
по таблице критическое значение для соответствующего уровня
значимости a и данного числа степеней свободы .
Если
то различия между
средними значениями экспериментальной
и контрольной групп существенны на данном
уровне значимости.
Изобразим алгоритм
определения t-критерия Стьюдента с
помощью схемы (рис. 1).
Рис. 1. Схема
алгоритма определения t-критерия Стьюдента
1.1 Случай несвязных выборок
В общем случае формула для расчета
по t - критерию Стьюдента такова: ,
(1)
где .
(2)
Рассмотрим
сначала равночисленные выборки.
В этом случае
тогда выражение
(1) будет вычисляться следующим образом:
.
(3)
В случае
неравночисленных выборок , выражение (3) будет
вычисляться следующим образом:
.
(3)
В обоих
случаях подсчет числа степеней
свободы осуществляется по формуле:
,
(4)
где и соответственно
величины первой и второй выборки.
Понятно,
что при численном равенстве
выборок
Рассмотрим пример использования
t - критерия Стьюдента для несвязных и
неравных по численности выборок.
Пример: Психолог измерял время сложной сенсомоторной
реакции выбора (в мс) в контрольной и экспериментальной
группах. В экспериментальную группу (X)
входили 9 спортсменов высокой квалификации.
Контрольной группой (Y) являлись 8 человек,
активно не занимающихся спортом. Психолог
проверяет гипотезу о том, что средняя
скорость сложной сенсомоторной реакции
выбора у спортсменов выше, чем эта же
величина у людей, не занимающихся спортом.
Результаты
эксперимента представим в виде табл.
1, в которой произведем ряд необходимых
расчетов:
Таблица 1. Результаты
эксперимента
№
Группы
|
Отклонение от среднего
|
Квадраты отклонения
|
| |
X
|
Y
|
|
|
|
|
1
|
504
|
580
|
- 22
|
- 58
|
484
|
3368
|
2
|
560
|
692
|
34
|
54
|
1156
|
2916
|
3
|
420
|
700
|
- 106
|
62
|
11236
|
3844
|
4
|
600
|
621
|
74
|
- 17
|
5476
|
289
|
5
|
580
|
640
|
54
|
- 2
|
2916
|
4
|
6
|
530
|
561
|
4
|
- 77
|
16
|
5929
|
7
|
490
|
680
|
- 36
|
42
|
1296
|
1764
|
8
|
580
|
630
|
54
|
- 8
|
2916
|
64
|
9
|
470
|
-
|
- 56
|
-
|
3136
|
-
|
Сумма
|
4734
|
5104
|
0
|
0
|
28632
|
18174
|
Среднее
|
526
|
638
|
|
|
|
|
Средние арифметические составляют в
экспериментальной группе , в контрольной группе .
Разница
по абсолютной величине между средними
Подсчет
выражения дает:
.
Тогда значение , вычисляемое по формуле (1),
таково:
.
Число степеней
свободы k =9+82=15. По табл. 1 приложения для
данного числа степеней свободы находим
(см. таблицу 1 приложения):
2,13 для
P ? 0,05,
2,95 для
P ? 0,01,
4,07 для P ? 0,001.
Строим ``ось значимости''(рис. 2):
Рис. 2. «Ось
значимости»
Таким образом, обнаруженные психологом
различия между экспериментальной
и контрольной группами значимы
более чем на 0,1% уровне, или, иначе
говоря, средняя скорость сложной
сенсомоторной реакции выбора в
группе спортсменов существенно выше,
чем в группе людей, активно не занимающихся
спортом.
В терминах статистических гипотез
это утверждение звучит так: гипотеза о сходстве отклоняется и на 0,1% уровне
значимости принимается альтернативная
гипотеза ? о различии между экспериментальной
и контрольными группами.
1.2
Случай связных выборок
В случае связных выборок с равным
числом измерений в каждой можно
использовать более простую формулу
t - критерия Стьюдента.
Вычисления
значений осуществляется
по формуле:
(5)
,
(6)
где ? разности между соответствующими значениями
переменной X и переменной Y, а ? среднее этих разностей.
В свою очередь вычисляется по следующей
формуле:
.
(7)
Число степеней
свободы k определяется по формуле k
= n1.
Рассмотрим
пример использования t - критерия Стьюдента
для связных и, очевидно, равных по численности
выборок.
Пример: Психолог предположил, что в результате
обучения время решения эквивалентных
задач ``игры в 5'' (т. е. имеющих один и тот
же алгоритм решения) будет значимо уменьшаться.
Для проверки гипотезы у восьми испытуемых
сравнивалось время решения (в минутах)
первой и третьей задач. Решение задачи
представим в виде табл. 2.
Таблица 2. Решение
задачи
№ испытуемых
|
1
|
4,0
|
3,0
|
1,0
|
1,0
|
2
|
3,5
|
3,0
|
0,5
|
0,25
|
3
|
4,1
|
3,8
|
0,3
|
0,09
|
4
|
5,5
|
2,1
|
3,4
|
11,56
|
5
|
4,6
|
4,9
|
-0,3
|
0,09
|
6
|
6,0
|
5,3
|
0,7
|
0,49
|
7
|
5,1
|
3,1
|
2,0
|
4,00
|
8
|
4,3
|
2,7
|
1,6
|
2,56
|
Суммы
|
37,1
|
27,9
|
9,2
|
20,04
|
Вначале произведем расчет по формуле
6:
Затем применим
формулу 7:
И, наконец,
следует применить формулу 5. Получим:
.
Число степеней
свободы: и по табл. 1 приложения находим (см. таблицу 1 приложения):
2,37 для P ? 0,05,
З,50 для P ? 0,01,
5,41 для P ? 0,001.
Строим ``ось значимости'':
Рис. 3. «Ось
значимости»
Таким образом, на 5% уровне значимости
первоначальное предположение подтвердилось,
действительно, среднее время решения
третьей задачи существенно меньше
среднего времени решения первой
задачи. В терминах статистических
гипотез полученный результат будет
звучать так: на 5% уровне гипотеза отклоняется и принимается
гипотеза о различиях.
Для применения
t - критерия Стьюдента необходимо соблюдать
следующие условия:
Измерение
может быть проведено в шкале
интервалов и отношений.
Сравниваемые
выборки должны быть распределены по
нормальному закону.
2. F - критерий
Фишера
Критерий
Фишера позволяет сравнивать величины
выборочных дисперсий двух рядов
наблюдений. Для вычисления нужно найти
отношение дисперсий двух выборок, причем
так, чтобы большая по величине дисперсия
находилась бы в числителе, а меньшая знаменателе.
Формула вычисления по критерию Фишера
F такова: ,
где
,
и .
Поскольку, согласно условию критерия,
величина числителя должна быть больше
или равна величине знаменателя,
то значение всегда будет больше
или равно единице, т.е. . Число степеней
свободы определяется также просто: для первой
(т.е. для той выборки, величина дисперсии
которой больше) и для второй выборки.
В таблице 2 приложения критические значения критерия
Фишера находятся по величинам * (верхняя строчка
таблицы) и (левый столбец таблицы). (См. таблицу
2 приложения)
Пример: В двух третьих классах проводилось
тестирование умственного развития по
тесту ТУРМШ (тест умственного развития младшего
школьника) десяти учащихся. Полученные значения
величин средних достоверно не различались,
однако психолога интересует вопрос ?
есть ли различия в степени однородности
показателей умственного развития между
классами.
Для критерия Фишера необходимо сравнить
дисперсии тестовых оценок в обоих
классах. Результаты тестирования представлены
в табл. 3.
Таблица 3. Результаты
тестирования
№ учащихся
|
Первый класс X
|
Второй класс Y
|
1
|
90
|
41
|
2
|
29
|
49
|
3
|
39
|
56
|
4
|
79
|
64
|
5
|
88
|
72
|
6
|
53
|
65
|
7
|
34
|
63
|
8
|
40
|
87
|
9
|
75
|
77
|
10
|
79
|
62
|
Суммы
|
606
|
636
|
Среднее
|
60,6
|
63,6
|
Как видно из табл. 3, величины средних
в обеих группах практически совпадают
между собой 60,6 ? 63, 6 и величина t - критерия
Стьюдента оказалась равной 0, 347 и незначимой.
Рассчитав дисперсии для переменных
X и Y, получаем:
Тогда, по формуле
для расчета по F - критерию Фишера
находим:
.
По табл.
2 приложения для F - критерия при степенях
свободы в обоих случаях равных df = 10 - 1
= 9 находим :
3,18 для P ? 0,05,
5,35 для P ? 0,01.
Строим ``ось значимости'':
Рис. 4. «Ось
значимости»
Таким образом, полученная величина попала в зону неопределенности.
В терминах статистических гипотез можно
утверждать, что (гипотеза о сходстве)
может быть отвергнута на уровне 5%, а принимается
в этом случае гипотеза . Психолог может
утверждать, что по степени однородности
такого показателя, как умственное развитие,
имеется различие между выборками из двух
классов.
Для применения
критерия F Фишера необходимо соблюдать
следующие условия:
1. Измерение
может быть проведено в шкале
интервалов и отношений.
2. Сравниваемые выборки должны
быть распределены по нормальному
закону.
Заключение
Для чего
применяются критерии Стьюдента
и Фишера: оценивает достоверность
различий между процентными долями
двух выборок, в которых зарегистрирован
интересующий эффект и используется
психологами в практических исследованиях
и при статистическом анализе
полученных данных.
Наибольшей
популярностью при проверке гипотез
о равенстве генеральных средних
(математических ожиданий) пользуется
t-критерий Стьюдента.
Список
литературы
1. Кремер
Н.Ш. Теория вероятностей и
математическая статистика. М.: ЮНИТИ,
2000. - 543с.
2. Колемаев
В.А., Староверов О.В., Турундаевский В.Б.
Теория вероятностей и математическая
статистика. М.: Высшая школа, 2001. - 400с.
3. Вентцель
Е.С. Теория вероятностей: Учебник для
вузов. М.: Высшая школа, 1999. - 575с.
4. Нижегородцева
Н.В., Мишина Т.В., Соколова М.В. Методические
рекомендации по написанию и оформлению
курсовой и выпускной квалифицированной
работы по психологии и конфликтологии.
2006.
5. Чалиев
А.А., Овчаров А.О. Учебно-методическое
пособие. Статистика. 2001.
6. Сидоренко Е. В. Методы математической
обработки в психологии. 2007 г.
7. Орлов
А.И. Прикладная статистика. Учебник.
2006.
8. Айвазян
С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика
и основы эконометрики. Учебник для вузов.
2008.
9. Ходоровская
B.C. Теория вероятностей
и элементы математической статистики:
учебно-методический комплекс . 2009.
10. Ермолаев О.Ю. Математическая
статистика для психологов. 2003.
и т.д................. |
|
|
* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.
|
|
|
|
|
|
|
