Здесь можно найти учебные материалы, которые помогут вам в написании курсовых работ, дипломов, контрольных работ и рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.
Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение оригинальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения оригинальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, РУКОНТЕКСТ, etxt.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии так, что на внешний вид, файл с повышенной оригинальностью не отличается от исходного.
Результат поиска
Наименование:
курсовая работа Критерии Стьюдента и Фишера
Информация:
Тип работы: курсовая работа.
Добавлен: 03.05.2013.
Год: 2013.
Страниц: 9.
Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%
Описание (план):
Содержание
Введение ……………………………………………………………….…….
3
1. Критерий
Стьюдента ………………………………………………….…..
5
1.1 Случай несвязных выборок ………………………………….………
8
1.2 Случай связных выборок ……………………………………………..12
2. Критерий Фишера ……..…………………………………………………15
Заключение ………………………………………………………………..…...19
Список литературы
………………………………………………….………..20
Приложение.
Введение
Распределение занимает центральное
место в теории и практике вероятностно-статистических
исследований. В качестве непрерывной
аппроксимации к биномиальному
распределению его впервые рассматривал
А. Муавр в 1733 г. Через некоторое время
нормальное распределение снова открыли
и изучили К. Гаусс (1809 г.) и П. Лаплас, которые
пришли к нормальной функции в связи с
работой по теории ошибок наблюдений.
Цель
их объяснения механизма формирования
нормально распределенных случайных
величин заключается в следующем.
Постулируется, что значения исследуемой
непрерывной случайной величины
формируются под воздействием очень
большого числа независимых случайных
факторов, причем сила воздействия
каждого отдельного фактора мала
и не может превалировать среди
остальных, а характер воздействия
– аддитивный.
Во многих
случайных величинах, изучаемых
в технике и других областях, естественно
видеть суммарный аддитивный эффект
большого числа независимых причин.
Но центральное место нормального
закона не следует объяснять его
универсальной приложимостью.
Основная
цель работы сводится к тому, чтобы
изучить понятия и сущность критериев
Стьюдента и Фишера.
Достижение
цели подразумевало решение следующих
поставленных задач:
- рассмотреть
критерии Стьюдента,
- рассмотреть
случаи связных и несвязных
выборок,
- рассмотреть
критерии Фишера.
t - Критерий Стьюдента
t-критерий
Стьюдента — общее название для класса
методов статистической проверки гипотез (статистических критериев), основанных
на распределении Стьюдента. Наиболее
частые случаи применения
t-критерия
связаны с проверкой равенства
средних значений в двух выборках.
t-статистика
строится обычно по следующему
общему принципу: в числителе
случайная величина с нулевым
математическим ожиданием (при
выполнении нулевой гипотезы), а в знаменателе —
выборочное стандартное отклонение этой
случайной величины, получаемое как квадратный
корень из несмещенной оценки дисперсии.
[Википедия]
Критерий
t Стьюдента направлен на оценку различий
величин средних и двух выборок X и
Y, которые распределены по нормальному
закону. Одним из главных достоинств критерия
является широта его применения. Он может
быть использован для сопоставления средних
у связных и несвязных выборок, причем
выборки могут быть не равны по величине.
t-критерий
применяется в двух вариантах
– когда сравниваемые выборки
независимы (не связаны) и когда
они зависимы (связаны).
Уровень
значимости t-критерия равен вероятности
ошибочно отвергнуть гипотезу о равенстве
выборочных средних двух выборок, когда
в действительности эта гипотеза имеет
место. При проверке разности двух средних
с помощью t-критерия Стьюдента используется
следующий алгоритм:
1. Записать вариационный
ряд результатов Х экспериментальной
группы.
2. Записать вариационный
ряд результатов Y контрольной группы.
3. Найти выборочные
средние двух выборок и .
4. Найти выборочные
дисперсии и .
5. Вычислить
эмпирическое значение критической статистики
.
6. Определить
по таблице критическое значение для соответствующего уровня
значимости a и данного числа степеней свободы .
Если
то различия между
средними значениями экспериментальной
и контрольной групп существенны на данном
уровне значимости.
Изобразим алгоритм
определения t-критерия Стьюдента с
помощью схемы (рис. 1).
Рис. 1. Схема
алгоритма определения t-критерия Стьюдента
1.1 Случай несвязных выборок
В общем случае формула для расчета
по t - критерию Стьюдента такова: ,
(1)
где .
(2)
Рассмотрим
сначала равночисленные выборки.
В этом случае
тогда выражение
(1) будет вычисляться следующим образом:
.
(3)
В случае
неравночисленных выборок , выражение (3) будет
вычисляться следующим образом:
.
(3)
В обоих
случаях подсчет числа степеней
свободы осуществляется по формуле:
,
(4)
где и соответственно
величины первой и второй выборки.
Понятно,
что при численном равенстве
выборок
Рассмотрим пример использования
t - критерия Стьюдента для несвязных и
неравных по численности выборок.
Пример: Психолог измерял время сложной сенсомоторной
реакции выбора (в мс) в контрольной и экспериментальной
группах. В экспериментальную группу (X)
входили 9 спортсменов высокой квалификации.
Контрольной группой (Y) являлись 8 человек,
активно не занимающихся спортом. Психолог
проверяет гипотезу о том, что средняя
скорость сложной сенсомоторной реакции
выбора у спортсменов выше, чем эта же
величина у людей, не занимающихся спортом.
Результаты
эксперимента представим в виде табл.
1, в которой произведем ряд необходимых
расчетов:
Таблица 1. Результаты
эксперимента
№
Группы
Отклонение от среднего
Квадраты отклонения
X
Y
1
504
580
- 22
- 58
484
3368
2
560
692
34
54
1156
2916
3
420
700
- 106
62
11236
3844
4
600
621
74
- 17
5476
289
5
580
640
54
- 2
2916
4
6
530
561
4
- 77
16
5929
7
490
680
- 36
42
1296
1764
8
580
630
54
- 8
2916
64
9
470
-
- 56
-
3136
-
Сумма
4734
5104
0
0
28632
18174
Среднее
526
638
Средние арифметические составляют в
экспериментальной группе , в контрольной группе .
Разница
по абсолютной величине между средними
Подсчет
выражения дает:
.
Тогда значение , вычисляемое по формуле (1),
таково:
.
Число степеней
свободы k =9+82=15. По табл. 1 приложения для
данного числа степеней свободы находим
(см. таблицу 1 приложения):
2,13 для
P ? 0,05,
2,95 для
P ? 0,01,
4,07 для P ? 0,001.
Строим ``ось значимости''(рис. 2):
Рис. 2. «Ось
значимости»
Таким образом, обнаруженные психологом
различия между экспериментальной
и контрольной группами значимы
более чем на 0,1% уровне, или, иначе
говоря, средняя скорость сложной
сенсомоторной реакции выбора в
группе спортсменов существенно выше,
чем в группе людей, активно не занимающихся
спортом.
В терминах статистических гипотез
это утверждение звучит так: гипотеза о сходстве отклоняется и на 0,1% уровне
значимости принимается альтернативная
гипотеза ? о различии между экспериментальной
и контрольными группами.
1.2
Случай связных выборок
В случае связных выборок с равным
числом измерений в каждой можно
использовать более простую формулу
t - критерия Стьюдента.
Вычисления
значений осуществляется
по формуле:
(5)
,
(6)
где ? разности между соответствующими значениями
переменной X и переменной Y, а ? среднее этих разностей.
В свою очередь вычисляется по следующей
формуле:
.
(7)
Число степеней
свободы k определяется по формуле k
= n1.
Рассмотрим
пример использования t - критерия Стьюдента
для связных и, очевидно, равных по численности
выборок.
Пример: Психолог предположил, что в результате
обучения время решения эквивалентных
задач ``игры в 5'' (т. е. имеющих один и тот
же алгоритм решения) будет значимо уменьшаться.
Для проверки гипотезы у восьми испытуемых
сравнивалось время решения (в минутах)
первой и третьей задач. Решение задачи
представим в виде табл. 2.
Таблица 2. Решение
задачи
№ испытуемых
1
4,0
3,0
1,0
1,0
2
3,5
3,0
0,5
0,25
3
4,1
3,8
0,3
0,09
4
5,5
2,1
3,4
11,56
5
4,6
4,9
-0,3
0,09
6
6,0
5,3
0,7
0,49
7
5,1
3,1
2,0
4,00
8
4,3
2,7
1,6
2,56
Суммы
37,1
27,9
9,2
20,04
Вначале произведем расчет по формуле
6:
Затем применим
формулу 7:
И, наконец,
следует применить формулу 5. Получим:
.
Число степеней
свободы: и по табл. 1 приложения находим (см. таблицу 1 приложения):
2,37 для P ? 0,05,
З,50 для P ? 0,01,
5,41 для P ? 0,001.
Строим ``ось значимости'':
Рис. 3. «Ось
значимости»
Таким образом, на 5% уровне значимости
первоначальное предположение подтвердилось,
действительно, среднее время решения
третьей задачи существенно меньше
среднего времени решения первой
задачи. В терминах статистических
гипотез полученный результат будет
звучать так: на 5% уровне гипотеза отклоняется и принимается
гипотеза о различиях.
Для применения
t - критерия Стьюдента необходимо соблюдать
следующие условия:
Измерение
может быть проведено в шкале
интервалов и отношений.
Сравниваемые
выборки должны быть распределены по
нормальному закону.
2. F - критерий
Фишера
Критерий
Фишера позволяет сравнивать величины
выборочных дисперсий двух рядов
наблюдений. Для вычисления нужно найти
отношение дисперсий двух выборок, причем
так, чтобы большая по величине дисперсия
находилась бы в числителе, а меньшая знаменателе.
Формула вычисления по критерию Фишера
F такова: ,
где
,
и .
Поскольку, согласно условию критерия,
величина числителя должна быть больше
или равна величине знаменателя,
то значение всегда будет больше
или равно единице, т.е. . Число степеней
свободы определяется также просто: для первой
(т.е. для той выборки, величина дисперсии
которой больше) и для второй выборки.
В таблице 2 приложения критические значения критерия
Фишера находятся по величинам * (верхняя строчка
таблицы) и (левый столбец таблицы). (См. таблицу
2 приложения)
Пример: В двух третьих классах проводилось
тестирование умственного развития по
тесту ТУРМШ (тест умственного развития младшего
школьника) десяти учащихся. Полученные значения
величин средних достоверно не различались,
однако психолога интересует вопрос ?
есть ли различия в степени однородности
показателей умственного развития между
классами.
Для критерия Фишера необходимо сравнить
дисперсии тестовых оценок в обоих
классах. Результаты тестирования представлены
в табл. 3.
Таблица 3. Результаты
тестирования
№ учащихся
Первый класс X
Второй класс Y
1
90
41
2
29
49
3
39
56
4
79
64
5
88
72
6
53
65
7
34
63
8
40
87
9
75
77
10
79
62
Суммы
606
636
Среднее
60,6
63,6
Как видно из табл. 3, величины средних
в обеих группах практически совпадают
между собой 60,6 ? 63, 6 и величина t - критерия
Стьюдента оказалась равной 0, 347 и незначимой.
Рассчитав дисперсии для переменных
X и Y, получаем:
Тогда, по формуле
для расчета по F - критерию Фишера
находим:
.
По табл.
2 приложения для F - критерия при степенях
свободы в обоих случаях равных df = 10 - 1
= 9 находим :
3,18 для P ? 0,05,
5,35 для P ? 0,01.
Строим ``ось значимости'':
Рис. 4. «Ось
значимости»
Таким образом, полученная величина попала в зону неопределенности.
В терминах статистических гипотез можно
утверждать, что (гипотеза о сходстве)
может быть отвергнута на уровне 5%, а принимается
в этом случае гипотеза . Психолог может
утверждать, что по степени однородности
такого показателя, как умственное развитие,
имеется различие между выборками из двух
классов.
Для применения
критерия F Фишера необходимо соблюдать
следующие условия:
1. Измерение
может быть проведено в шкале
интервалов и отношений.
2. Сравниваемые выборки должны
быть распределены по нормальному
закону.
Заключение
Для чего
применяются критерии Стьюдента
и Фишера: оценивает достоверность
различий между процентными долями
двух выборок, в которых зарегистрирован
интересующий эффект и используется
психологами в практических исследованиях
и при статистическом анализе
полученных данных.
Наибольшей
популярностью при проверке гипотез
о равенстве генеральных средних
(математических ожиданий) пользуется
t-критерий Стьюдента.
Список
литературы
1. Кремер
Н.Ш. Теория вероятностей и
математическая статистика. М.: ЮНИТИ,
2000. - 543с.
2. Колемаев
В.А., Староверов О.В., Турундаевский В.Б.
Теория вероятностей и математическая
статистика. М.: Высшая школа, 2001. - 400с.
3. Вентцель
Е.С. Теория вероятностей: Учебник для
вузов. М.: Высшая школа, 1999. - 575с.
4. Нижегородцева
Н.В., Мишина Т.В., Соколова М.В. Методические
рекомендации по написанию и оформлению
курсовой и выпускной квалифицированной
работы по психологии и конфликтологии.
2006.
5. Чалиев
А.А., Овчаров А.О. Учебно-методическое
пособие. Статистика. 2001.
6. Сидоренко Е. В. Методы математической
обработки в психологии. 2007 г.
7. Орлов
А.И. Прикладная статистика. Учебник.
2006.
8. Айвазян
С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика
и основы эконометрики. Учебник для вузов.
2008.
9. Ходоровская
B.C. Теория вероятностей
и элементы математической статистики:
учебно-методический комплекс . 2009.
10. Ермолаев О.Ю. Математическая
статистика для психологов. 2003.
