Здесь можно найти учебные материалы, которые помогут вам в написании курсовых работ, дипломов, контрольных работ и рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение оригинальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение оригинальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения оригинальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, РУКОНТЕКСТ, etxt.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии так, что на внешний вид, файл с повышенной оригинальностью не отличается от исходного.

Результат поиска


Наименование:


курсовая работа Параллелепипед. Тетраэдр. Угол между прямой и плоскостью: примеры задач и их решение

Информация:

Тип работы: курсовая работа. Добавлен: 06.05.2013. Год: 2012. Страниц: 12. Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%

Описание (план):




Многопрофильный колледж НовГУ 
«Медицинский  колледж»
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
КУРСОВАЯ РАБОТА
 
ПО ГЕОМТРИИ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Выполнила студентка 
Группы 22 мс
Баранова Е.И.
 
 
 
 
 
Великий Новгород
2012
Параллелепипед
Параллелепи?пед — призма, основанием которой служит параллелограмм, или многогранник, у которого шесть граней и каждая из них параллелограмм.
Различается несколько типов параллелепипедов:
    Прямоугольный параллелепипед — это параллелепипед, у которого все грани прямоугольники;
    Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого 4 боковые грани прямоугольники;
    Наклонный параллелепипед — это параллелепипед, боковые грани которого не перпендикулярны основания
    Куб — это прямоугольный параллелепипед с равными измерениями. Все шесть граней куба — равные квадраты.

Основные элементы

Две грани параллелепипеда, не имеющие  общего ребра, называются противоположными, а имеющие общее ребро — смежными. Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противоположными. Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда. Длины трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, называют его измерениями.

Свойства

    Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.
    Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
    Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.
    Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.
 
Задача № 1
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 4. Площадь поверхности этого  параллелепипеда равна 94. Найдите  третье ребро, выходящее из той же вершины.
 
Решение. 
Обозначим известные ребра за и , а неизвестное за . Площадь поверхности параллелепипеда выражается как
  .
Выразим :  , откуда неизвестное ребро

Ответ: 5.
 
Задача № 2
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Площадь поверхности параллелепипеда равна 16. Найдите его диагональ.
 
Решение. 
Обозначим известные ребра за и , а неизвестное за . Площадь поверхности параллелепипеда выражается как . Выразим :
,
откуда неизвестное ребро
,
Диагональ параллелепипеда находится  как 
.
Ответ: 3.
 
Задача № 3
Площадь грани прямоугольного параллелепипеда  равна 12. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 4. Найдите объем параллелепипеда.
 
Решение. 
Объем прямоугольного параллелепипеда равен , где – площадь грани, а — высота перпендикулярного к ней ребра. Имеем
.
Ответ: 48.
 
Задача № 4
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите объем параллелепипеда.
 
Решение. 
Длина диагонали параллелепипеда равна
.
Длина третьего ребра тогда  .
Получим, что объем параллелепипеда 
.
Ответ: 32.
 
Тетраэдр
Тетра?эдр — четырёхгранник — простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника. У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер.

Основные элементы

    Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой пересечения медиан противоположной грани, называется его медианой, опущенной из данной вершины.
    Отрезок, соединяющий середины скрещивающихся рёбер тетраэдра, называется его бимедианой, соединяющей данные рёбра.
    Отрезок, соединяющий вершину с точкой противоположной грани и перпендикулярный этой грани, называется его высотой, опущенной из данной вершины.

Свойства тетраэдра

    Параллельные плоскости, проходящие через пары скрещивающихся рёбер тетраэдра, определяют описанный около тетраэдра параллелепипед.
    Все медианы и бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке. Эта точка делит медианы в отношении 3:1, считая от вершины. Эта точка делит бимедианы пополам.
    Плоскость, проходящая через середины двух скрещивающихся рёбер тетраэдра, делит его на две равные по объёму части.

Типы тетраэдров

Выделяют следующие специальные виды тетраэдров.
    Равногранный тетраэдр, у которого все грани — равные между собой треугольники.
    Ортоцентрический тетраэдр, у которого все высоты, опущенные из вершин на противоположные грани, пересекаются в одной точке.
    Прямоугольный тетраэдр, у которого все ребра, прилежащие к одной из вершин, перпендикулярны между собой.
    Правильный тетраэдр, у которого все грани — равносторонние треугольники.
    Каркасный тетраэдр — тетраэдр, отвечающий любому из следующих условий:
      существует сфера, касающаяся всех ребер,
      суммы длин скрещивающихся ребер равны,
      суммы двугранных углов при противоположных ребрах равны,
      окружности, вписанные в грани, попарно касаются,
      все четырехугольники, получающиеся на развертке тетраэдра, — описанные,
      перпендикуляры, восставленные к граням из центров вписанных в них окружностей, пересекаются в одной точке.
    Соразмерный тетраэдр, бивысоты которого равны.
    Инцентрический тетраэдр, у которого отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с центрами окружностей, вписанных в противоположные грани, пересекаются в одной точке.
 
Задача № 1
В тетраэдре  медианы основания пересекаются в точке . Площадь треугольника равна 2; объем пирамиды равен 6. Найдите длину отрезка .
 
Решение. 
отрезок высотой треугольной пирамиды , ее объем выражается формулой
 
Таким образом,
Ответ: 9.
 
Задача № 2
В тетраэдре точка – середина ребра , – вершина. Известно, что =3, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 45. Найдите длину отрезка .
 
Решение. 
Найдем площадь грани :

 
Отрезок является медианой правильного треугольника , а значит, его высотой.
Тогда
Ответ: 10.
 
Задача № 3
В правильной треугольной пирамиде точка — середина ребра ,  — вершина. Известно, что , а . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
 
Решение. 
Отрезок является медианой правильного треугольника , а значит, и его высотой. Тогда

Ответ: 45.


Задача № 4
В правильной треугольной пирамиде   – середина ребра ,   – вершина. Известно, что =4, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 54. Найдите длину ребра
 
Решение. 
Найдем площадь грани :

Отрезок является медианой правильного треугольника , а значит, и его высотой. Тогда

Ответ: 9.
 
Угол между прямой и плоскостью
Прямая и плоскость пересекаются, если они имеют одну единственную общую точку, которую называют точкой пересечения прямой и плоскости.
При этом прямая, которая пересекает плоскость, может быть перпендикулярна  к этой плоскости.
Прямая перпендикулярна  к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Проекцией точки  на плоскость называется либо сама точка , если точка лежит в плоскости, либо точка пересечения плоскости и прямой, перпендикулярной к плоскости и проходящей через точку, если точка не лежит в плоскости.
Проекцией прямой на плоскость называют множество проекций всех точек прямой на плоскость.
Угол между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, - это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.
Определение угла между прямой и плоскостью позволяет  заключить, что угол между прямой и плоскостью представляет собой  угол между двумя пересекающимися прямыми: самой прямой и ее проекцией на плоскость. Следовательно, угол между прямой и плоскостью есть острый угол.
Угол  между перпендикулярными прямой и плоскостью считают равным 90о, а угол между параллельными прямой и плоскостью либо не определяют вовсе, либо считают равным 0о.
Поэтапно-вычислительный метод
Угол между прямой и плоскостью можно вычислить, если этот угол удается включить в прямоугольный треугольник в качестве одного из острых углов.
 
Задача № 1
В правильной треугольной призме , все ребра которой равны 1, найти угол между прямой и плоскостью .
 
Решение.
Пусть D – середина , тогда – перпендикуляр к плоскости , а D – проекция точки на эту плоскость (см. рис. 38).
Если  – искомый угол, то , где , , и поэтому . Отсюда .
Ответ: .
 
Векторно-координатный метод
Угол между прямой l и плоскостью можно вычислить по формуле

или в координатной форме
,
где – вектор нормали плоскости , – направляющий вектор прямой l;
· прямая l и плоскость параллельны тогда и только тогда, когда
.
 
Задача № 2
В единичном кубе найти угол между прямой и плоскостью , проходящей через точки , Е и F, где точка Е – середина ребра , а точка F лежит на ребре , так, что .
 
 
 
 
 
 
Решение.
Введем прямоугольную  систему координат.
Тогда , , , , , , , . Пусть – вектор, перпендикулярный плоскости , – искомый угол. Тогда
.
Вектор  найдем из условий перпендикулярности этого вектора векторам и , т.е. из условий
 или 
Пусть , тогда , и , . Так как и
то 
.
Отсюда  .
Ответ: .
 
Векторный метод
 
Задача № 3
В правильной четырехугольной пирамиде , все ребра которой равны 1, найти угол между прямой DE, где E – середина апофемы SF грани ASB, и плоскостью ASC.
 
Решение. Так как прямая ОD перпендикулярна плоскости ASC, то вектор является вектором нормали плоскости ASC.
Пусть , , , где , , . Тогда
,
,

,

,
.
Подставляя полученные значения в  формулу  , имеем
.
Отсюда  , где искомый угол.
Ответ: .


Метод опорных задач
Угол между прямой l и плоскостью можно вычислить по формуле
,
где ,
 
Задача № 4
В единичном кубе найти угол между прямой и плоскостью .
 
Решение.
Так как  и точки и лежат на прямой , параллельной плоскости , то последовательно получаем

  .
Отсюда  .
Ответ: .
 
 
Задача № 5
Отрезок АВ пересекает плоскость. Найти  расстояние от середины отрезка до плоскости, если расстояния от точек А и В до плоскости 6 см и 10 см.
 
Решение.
Пусть отрезок пересекает плоскость  в точке D, середину отрезка обозначим  как M. Перпендикуляр отрезка, опущенный  на плоскость (и определяющий расстояние от середины отрезка до плоскости) пусть касается плоскости в точке M1. Точки A и B проецируются на плоскость соответственно в точках A1 и B1.
Достроим отрезок AB до треугольника ABK, где точка К лежит на плоскости, параллельной исходной.
Найдем длину отрезка MM1, который и будет расстоянием от середины отрезка AB до плоскости.
Учтем что MM1 = MC - M1C
Для треугольника ВАВ1 по теореме Фалеса, МС будет средней линией треугольника. То есть
МС = ВВ1 / 2.
Для треугольника АА1В1 отрезок М1С  также является средней линией.
Откуда 
М1С = АА1/2
Так как ММ1 = МС – М1С
MM1 = ( BB1 ? AA1 ) / 2
Если AA1 ? BB1, путем аналогичных  рассуждений получим
MM1 = ( AA1 ? BB1 ) / 2
То есть для общего случая
MM1 = | BB1 ? AA1 | / 2
Подставим значения:
MM1 = | 10 ? 6 | / 2 = 2
Ответ: 2 см.
 
Задача № 6
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер AS и BC.
 
Решение.
Пусть M и N — середины ребер AS и BC соответственно. AN — медиана правильного треугольника ABC, следовательно, находится по формуле . Прямая AS проектируется на плоскость основания и прямую AN. Поэтому проекция точки M — точка  — лежит на отрезке AN. Значит, прямая AN является проекцией прямой MN, следовательно, угол — искомый.
где O — центр основания, значит,  — средняя линия треугольника ASO потому  — AO.
Тогда и Из прямоугольного треугольника находим:

Из прямоугольного треугольника находим:

Значит, искомый угол равен 
Ответ:


и т.д.................


Перейти к полному тексту работы


Скачать работу с онлайн повышением оригинальности до 90% по antiplagiat.ru, etxt.ru


Смотреть полный текст работы бесплатно


Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.