Здесь можно найти учебные материалы, которые помогут вам в написании курсовых работ, дипломов, контрольных работ и рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Реферат/Курсовая Непрерывная, но не дифференцируемая функции

Информация:

Тип работы: Реферат/Курсовая. Добавлен: 03.06.13. Сдан: 2012. Страниц: 13. Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%

Описание (план):


    МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
    ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
    ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
    «УССУРИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ»
    Физико–математический факультет 

    Курсовая  работа по математическому  анализу
    Тема: «Непрерывная, но не дифференцируемая функции» 
 
 

                  Выполнила: Пляшешник Ксения
                                  студентка 131 группы                                          
                                     Руководитель: Делюкова Я.В. 
             
             
             
             

    Уссурийск – 2011г.
 

         Содержание
        Введение 3
        Историческая  справка 4
        Основные  определения и теоремы 5
        Пример  непрерывной функции без производной 10
         Решение упражнений 13
        Заключение 21
        Список  литературы 22
 

    Введение

      Курсовая работа посвящена изучению  связи между непрерывностью и  существованием производной функции одной переменной. Исходя из цели ставились задачи:
      Изучить учебную литературу;
      Изучить пример непрерывной функции, не имеющей производной ни в одной точке, построенной ван-дер-Варденом;
      Прорешать систему упражнений.
 

      Историческая справка

      Ба?ртель Лее?ндерт ван дер Ва?рден (нидерл. Bartel Leendert van der Waerden, 2 февраля 1903, Амстердам, Нидерланды 12 января 1996, Цюрих, Швейцария) — голландский математик.
    Обучался  в Амстердамском университете, затем  в Гёттингенском университете, где на него огромное влияние оказала Эмми Нётер.
    Основные  работы в области алгебры, алгебраической геометрии, где он (наряду с Андре Вейлем и О.Зарисским) поднял уровень строгости, и математической физики, где он занимался приложением теории групп к вопросам квантовой механики (наряду с Германом Вейлем и Ю.Вигнером). Его классическая книга Современная алгебра (1930) стала образцом для последующих учебников по абстрактной алгебре и выдержала множество переизданий.
    Ван дер Варден — один из крупнейших специалистов по истории математики и астрономии в Древнем мире. Его Пробуждающаяся наука (Ontwakende wetenschap 1950, русский перевод 1959) даёт развёрнутое изложение истории математики и астрономии в Древнем Египте, Вавилоне и Греции. В Приложении к русскому переводу этой книги опубликована статья «Пифагорейское учение о гармонии» (1943) — фундаментальное изложение пифагорейских взглядов на музыкальную гармонию.

    Основные  определения и  теоремы

    Предел  функции в точке. Левые и правые пределы
    Определение (предел по Коши, на языке  Число называется пределом функции в точке , если
    Определение (на языке окрестности) Число называется пределом функции в точке , если для любой -окрестности числа сущесвует - окрестность точки такая, что как только
    Определение (по Гейне) Число называется пределом функции         в точке , если для любой последовательности , сходящейся к ( то есть , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу
    Определение Число называется левым пределом функции в точке , если
    Определение Число  называется правым пределом функции в точке , если
    Теорема (необходимое и достаточное условие  существования предела)
    Для того чтобы в точке  существовал предел функции необходимо и достаточно,  чтобы существовали левые и правые пределы равные между собой.
    Понятие производной. Односторонние  производные.
    Рассмотрим  функцию   заданную на множестве
      Возьмем  возьмем приращение . Дадим точке приращение Получим .
      Вычислим значение функции в точках . и
      Найдем приращение функции в точке .
         
      Составим отношение приращения функции в точке к приращению аргумента   .
 
 
причем  приращение аргумента может быть как положительным, так и отрицательным, то этот предел называется производной в точке и обозначают . Он может быть и бесконечным. 

 левой (левосторонней) производной функции в точке , а если
существует  конечный предел то его называют правосторонней производной функции в точке .
    Функция имеет в точке тогда и только тогда, когда в точке совпадают ее левая и правая производные:
        ((.
        Рассмотрим  функцию  Найдем односторонние производные в точке  
     
     
     
     

        Следовательно, (=-1;(=1 и   ((, то есть в точке функция производной не имеет.
    Различные определения непрерывности  функции в точке.
    Определение 1 (основное) Функция называется непрерывной в точке , если предел функции при равен значению функции в этой точке.    

    Определение 2 (на языке Функция называется непрерывной в точке , если ?, ?>0, такое что .
    Определение 3 (по Гейне, на языке последовательности) Функция называется непрерывной в точке , если для любой последовательности сходящейся к точке соответствующая последовательность значений функции сходится к .
     
    Определение 4  (на языке приращений) Функция называется непрерывной в точке , если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
        Понятие дифференцируемой функции
    Определение 1 Функция , заданная на множестве (называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке можно представить как (*), где A-const, независящая от  , - бесконечно малая при
    Определение 2 Функция, дифференцируемая в любой точке множества, называется дифференцируемой на множестве.
    Связь между дифференцируемостью и непрерывностью
    Теорема. Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в точке .
    Доказательство.
    Пусть задана функция  Функция дифференцируема в точке , где  

    При
    Обратная  теорема. Если функция непрерывна, то она дифференцируема.
    Обратная  теорема неверна.
      в - не дифференцируема, хотя непрерывна.
    Классификация точек разрыва
    Определение Функция не являющаяся непрерывной в точке является разрывной в точке , а саму точку называют точкой разрыва.
    Существуют  две классификации точек разрыва: I  и II рода.
    Определение Точка называется точкой разрыва I рода, если в этой точке существуют конечные односторонние пределы неравные друг другу.
    Определение Точка называется точкой устранимого разрыва, если , но они не равны значению функции в точке .
    Определение Точка называется точкой разрыва II рода, если в этой точке односторонние пределы равны или один из односторонних пределов бесконечен или в точке не существует предела.
      бесконечные;
      бесконечный или бесконечный;

        Признаки  равномерной сходимости рядов
             Признак Вейерштрасса.
    Если  члены функционального ряда (1) удовлетворяют в области неравенствам где - член некоторого сходящегося числового ряда то ряд (1) сходится в равнмерно.
    Теорема 1 Пусть функции определены в промежутке и все непрерывны в некоторой точке этого промежутка. Если ряд(1) в промежутке сходится равномерно, то и сумма ряда в точке также будет непрерывна. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Пример  непрерывной функции без производной
    Первый  пример такого рода был построен Вейерштрассом; его функция определяется рядом:
    ,
    где 0<a<1, а b есть нечетное натуральное число (причем ab>1+?). Этот ряд мажорируется сходящейся прогрессией , следовательно (признаки равномерной сходимости рядов), сходится равномерно, и его сумма является всюду непрерывной функцией от x. Кропотливым исследованием Вейерштрассу удалось показать, что тем не менее ни в одной точке для нее не существует конечной производной.
    Здесь будет рассмотрен более простой пример ван-дер-Вардена, построенный по существу на той же идее, лишь колеблющиеся кривые у=cos?? заменены колеблющимися ломаными.
    Итак, обозначим через  абсолютную величину разности между числом ? и ближайшим к нему  целым числом. Эта функция будет линейной в каждом промежутке вида , где s-целое; она непрерывна и имеет период 1. Ее график представляет собой ломаную, он изображен на рис.1; отдельные звенья ломаной имеют угловой коэффициент ±1.
      

    Положим, затем, для к=1,2,3,…: 

    Эта функция будет линейной в промежутках  вида ; она также непрерывна и имеет период . Ее график также ломаная, но с более мелкими зубчиками; на рис.1(б), например, изображен график функции . Во всех случаях угловые коэффициенты отдельных звеньев ломаной и здесь равны ±1.
    Определим теперь, для всех вещественных значений x, функцию f(x) равенством 

    Так как, очевидно, 0?  (k=0,1,2,…), так что ряд мажорируется сходящейся прогрессией , то (как и в случае функции Вейерштрасса) ряд сходится равномерно, и функция всюду непрерывна.
    Остановимся на любом значении . Вычисляя его с точностью до (где n=0,1,2,…), по недостатку и по избытку, мы заключим его между числами вида:
    ? , где -целое.
     (n=0,1,2,…).
    Очевидно, что замкнутые промежутки оказываются  вложенными один в другой. В каждом из них найдется такая точка , что расстояние ее от точки равно половине длины промежутка.
    =;
    Ясно, что с возрастанием n варианта .
    Составим  теперь отношение приращений
    =
    Но  при k>n, число есть целое кратное периодам функции , соответствующие члены ряда обращаются в 0 и могут быть опущены. Если же k?n, то функция , линейная в промежутке , будет линейной и в содержащемся на нем промежутке , причем
       (k=0,1,…,n).
    Таким образом, имеем окончательно иными словами, это отношение равно четному целому числу при нечетном n и нечетному числу при четном n. Отсюда ясно, что при отношение приращений ни к какому конечному пределу стремится не может, так что наша функция при конечной производной не имеет. 
 
 
 
 
 
 

     

 
 
 
 
 
 
    Решение упражнений
    Упражнение 1 ([2], №909)
    Функция определена следующим образом: . Исследовать непрерывность и выяснить существование
    Решение 

    На   непрерывна как многочлен;
    На (0;1)    непрерывна как многочлен;
    На (1;2)  непрерывна как многочлен;
    На (2; непрерывна как элементарная функция.
     - точки подозрительные на разрыв
     
и т.д.................


Перейти к полному тексту работы


Скачать работу с онлайн повышением уникальности до 90% по antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru


Смотреть полный текст работы бесплатно


Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.