На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти готовые бесплатные и платные работы или заказать написание уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов по самым низким ценам. Добавив заявку на написание требуемой для вас работы, вы узнаете реальную стоимость ее выполнения.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Быстрая помощь студентам

 

Результат поиска


Наименование:


курсовая работа Теория многогранников

Информация:

Тип работы: курсовая работа. Добавлен: 10.06.13. Сдан: 2012. Страниц: 22. Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%

Описание (план):


Глава I. Теория многогранников
 
§ 1. Историческая справка
 
Правильные  многогранники известны с древнейших времён. Их орнаментные модели можно  найти на резных каменных шарах, созданных в период позднего неолита, в Шотландии, как минимум за 1000 лет до Платона. В костях, которыми люди играли на заре цивилизации, уже угадываются формы правильных многогранников.
В значительной мере правильные многогранники были изучены древними греками. Некоторые источники (такие как Прокл Диадох) приписывают честь их открытия Пифагору. Другие утверждают, что ему были знакомы только тетраэдр, куб и додекаэдр, а честь открытия октаэдра и икосаэдра принадлежит Теэтету Афинскому, современнику Платона. В любом случае, Теэтет дал математическое описание всем пяти правильным многогранникам и первое известное доказательство того, что их ровно пять.
Первые  упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей  эры в Египте и Вавилоне. Достаточно вспомнить знаменитые египетские пирамиды и самую известную из них –  пирамиду Хеопса. Это правильная пирамида, в основании которой квадрат  со стороной 233 м и высота которой  достигает 146,5 м. Не случайно говорят, что  пирамида Хеопса – немой трактат  по геометрии.
История правильных многогранников уходит в  глубокую древность. Начиная с 7 века до нашей эры, в Древней Греции создаются философские школы. Большое  значение в этих школах приобретают  рассуждения, с помощью которых  удалось получать новые геометрические свойства. Одной из первых и самых  известных школ была Пифагорейская, названная в честь своего основателя Пифагора. Отличительным знаком пифагорейцев была пентаграмма, на языке математики – это правильный невыпуклый или  звездчатый пятиугольник. Пентаграмме  присваивалось способность защищать человека от злых духов.
Пифагорейцы полагали, что материя состоит  из четырех основных элементов: огня, земли, воздуха и воды. Существование  пяти правильных многогранников они  относили к строению материи и  Вселенной. Согласно этому мнению, атомы  основных элементов должны иметь  форму различных тел:
    Вселенная - додекаэдр
    Земля - куб
    Огонь - тетраэдр
    Вода - икосаэдр
    Воздух - октаэдр
Тетраэдр  символизировал огонь, т.к. его вершина  устремлена вверх; икосаэдр - воду, т.к. он самый "обтекаемый"; куб - землю, как самый "устойчивый"; октаэдр - воздух, как самый "воздушный". Пятый многогранник, додекаэдр, воплощал в себе "все сущее", символизировал все мироздание, считался главным.
Позже учение пифагорейцев о правильных многогранниках изложил в своих трудах другой древнегреческий ученый, философ - идеалист Платон. С тех пор правильные многогранники  стали называться платоновыми телами. Платон писал о них в своём  трактате Тимей (360г до н. э.), где сопоставил каждую из четырёх стихий (землю, воздух, воду и огонь) определённому правильному многограннику. Земля сопоставлялась кубу, воздух — октаэдру, вода — икосаэдру, а огонь — тетраэдру. Для возникновения данных ассоциаций были следующие причины: жар огня ощущается чётко и остро (как маленькие тетраэдры); воздух состоит из октаэдров: его мельчайшие компоненты настолько гладкие, что их с трудом можно почувствовать; вода выливается, если её взять в руку, как будто она сделана из множества маленьких шариков (к которым ближе всего икосаэдры); в противоположность воде, совершенно непохожие на шар кубики составляют землю, что служит причиной тому, что земля рассыпается в руках, в противоположность плавному току воды. По поводу пятого элемента, додекаэдра, Платон сделал смутное замечание: «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца». Аристотель добавил пятый элемент — эфир и постулировал, что небеса сделаны из этого элемента, но он не сопоставлял его платоновскому пятому элементу.
Открытие тринадцати полуправильных выпуклых многогранников приписывается  Архимеду, который впервые перечислил их в недошедшей до нас работе. Ссылки на эту работу имеются в трудах математика Паппа.
Евклид дал полное математическое описание правильных многогранников в последней, XIII книге Начал. Предложения 13—17 этой книги описывают структуру тетраэдра, октаэдра, куба, икосаэдра и додекаэдра в данном порядке. Для каждого многогранника Евклид нашёл отношение диаметра описанной сферы к длине ребра. В 18-м предложении утверждается, что не существует других правильных многогранников. Андреас Шпейзер отстаивал точку зрения, что построение пяти правильных многогранников является главной целью дедуктивной системы геометрии в том виде, как та была создана греками и канонизирована в «Началах» Евклида[1]. Большое количество информации XIII книги «Начал», возможно, взято из трудов Теэтета.
В XVI веке немецкий астроном Иоганн Кеплер пытался найти связь между пятью известными на тот момент планетами Солнечной системы (исключая Землю) и правильными многогранниками. В «Тайне мира», опубликованной в 1596 году, Кеплер изложил свою модель Солнечной системы. В ней пять правильных многогранников помещались один в другой и разделялись серией вписанных и описанных сфер. Каждая из шести сфер соответствовала одной из планет (Меркурию, Венере, Земле, Марсу, Юпитеру и Сатурну). Многогранники были расположены в следующем порядке (от внутреннего к внешнему): октаэдр, за ним икосаэдр, додекаэдр, тетраэдр и, наконец, куб. Таким образом, структура Солнечной системы и отношения расстояний между планетами определялись правильными многогранниками. Позже от оригинальной идеи Кеплера пришлось отказаться, но результатом его поисков стало открытие двух законов орбитальной динамики — законов Кеплера, — изменивших курс физики и астрономии, а также правильных звёздчатых многогранников (тел Кеплера-Пуансо).
 
§ 2. Определение многогранников
 
Многогранник или полиэдр — поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающих некоторое геометрическое тело, которое также иногда называется многогранником. Следовательно, многогранником называется тело, граница которого является объединением конечного числа многоугольников.
Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет  до нашей эры в Египте и Вавилоне. Но теория многогранников является и  современным разделом математики. Она  тесно связана с топологией, теорией  графов, имеет большое значение как  для теоретических исследований по геометрии, так и для практических приложений в других разделах математики, например, в алгебре, теории чисел, прикладной математики - линейном программировании, теории оптимального управления.
Многогранники имеют красивые формы, например, правильные, полуправильные и звездчатые многогранники. Они  обладают богатой историей, которая  связана с именами таких ученых, как Пифагор, Евклид, Архимед. Многогранники  выделяются необычными свойствами, самое  яркое из которых формулируется  в теореме Эйлера о числе граней, вершин и ребер выпуклого многогранника: для любого выпуклого многогранника  справедливо соотношение Г+В-Р=2, где Г-число граней, В-число вершин, Р-число ребер данного многогранника. Теорему Эйлера историки математики называют первой теоремой топологии - крупного раздела современной математики.
С древнейших времен наши представления  о красоте связаны с симметрией. Наверное, этим объясняется интерес  человека к многогранникам - удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание выдающихся мыслителей.
Многогранник – это тело или  поверхность? Одни считают, что многогранник – это поверхность, состоящая  из плоских граней. Другие утверждают, что многогранник – это трехмерное тело, ограниченное плоскими многоугольниками. Правы и те, и другие – все  зависит от контекста. Для столяра, сколачивающего ящик из шести фанерных прямоугольников, параллелепипед – это поверхность. А для каменщика, возводящего кирпичную стену, параллелепипед – это, наверное, тело. В этой работе многогранник будет рассматриваться в основном как поверхность.
Многогранником называется множество  плоских выпуклых многоугольников  – граней, расположенных в пространстве так, что
1) Каждая сторона любого многоугольника  является стороной в точности  еще одного многоугольника из  множества плоских выпуклых многоугольников (эта сторона, общая для двух многоугольников, называется ребром);
2) от каждого многоугольника из множества плоских выпуклых многоугольников к любому другому можно пройти по цепочке многоугольников, в которой каждые два последовательных многоугольника являются смежными по общей стороне;
3) если два многоугольника имеют  общую вершину, то такую цепочку  можно составить из многоугольников,  сходящихся в этой вершине. 
Многоугольники называются гранями, их стороны — рёбрами, а их вершины — вершинами многогранника. Грани многогранника являются многоугольниками, понимаемыми как части плоскости, ограниченные ломаными. С этой точки зрения многогранник есть поверхность, составленная из многоугольных кусков. Если эта поверхность сама себя не пересекает, то она есть полная поверхность некоторого геометрического тела, которое также называется многогранником; отсюда возникает третья точка зрения на многогранник как на геометрические тела, причём допускается также существование у этих тел «дырок», т. е. — что эти тела не односвязаны.
Основываясь на определении многогранника, можно указать четыре правильных невыпуклых многогранника (т. н. тела Пуансо), впервые найденных французским математиком Л. Пуансо в 1809. Доказательство несуществования других невыпуклых правильных многогранников дал французский математик О. Коши в 1811. В этих многогранниках либо грани пересекают друг друга, либо сами грани — самопересекающиеся многоугольники. Для изучения вопросов, связанных с площадями поверхностей и объёмами таких многогранников, удобно определять многогранник как поверхность, состоящую из плоских граней.
Если у многогранника можно так ориентировать грани, чтобы каждое ребро в тех двух гранях, которые смежны по этому ребру, имело бы обратные направления, то его называют ориентируемым, в противном случае — неориентируемым. Для ориентируемого многогранника (даже если он самопересекающийся и его грани — самопересекающиеся многоугольники) можно ввести понятия площади поверхности и величины объёма. Площадью ориентируемого многогранника называют просто сумму площадей его граней. Для определения объёма надо заметить, что совокупность внутренних кусков граней многогранника разрезает пространство на определённое число связных кусков, из которых один по отношению к многограннику бесконечный (внешний), а остальные конечные (внутренние). Если из внешней по отношению к многограннику точки провести отрезок в какую-либо внутреннюю точку внутреннего куска, то сумму «коэффициентов» тех внутренних кусков граней многогранника, которые пересечёт этот отрезок, называют коэффициентом рассматриваемого внутреннего куска многогранника (она не зависит от выбора внешней точки О). Такой коэффициент есть целое положительное, отрицательное число или нуль. Сумму обычных объёмов всех внутренних кусков многогранника, умноженных на эти их коэффициенты, называют объёмом многогранника.
Можно рассматривать и n-мерные многогранники. Некоторые из указанных определений и теорем имеют n-мерное обобщение. В частности, найдены все выпуклые правильные многогранники; при n = 4 их оказалось 6, а при всех больших n всего три: обобщение тетраэдра, куба и октаэдра.  

§ 3. Определение выпуклого многогранника
 
Многогранник называется выпуклым, если он весь лежит по одну сторону от плоскости любой его грани; тогда грани его тоже выпуклы. Выпуклый многогранник разрезает пространство на две части — внешнюю и внутреннюю. Внутренняя его часть есть выпуклое тело. Обратно, если поверхность выпуклого тела многогранная, то соответствующий многогранник — выпуклый.
Важнейшие теоремы общей теории выпуклых многогранников (рассматриваемых как поверхности) следующие:
Теорема Эйлера (1758): число вершин минус число рёбер плюс число граней выпуклого многогранника равно двум: в – р + г = 2. (эйлерова характеристика многогранника)
Теорема Коши (1812) (в современной форме): если два выпуклых многогранника изометричны друг другу (т. е. один многогранник может быть взаимно однозначно отображён на другой многогранник с сохранением длин лежащих на нём линий), то второй многогранник может быть получен из первого движением его как жёсткого целого (или движением и зеркальным отражением). Отсюда, в частности, следует, что если грани выпуклого многогранника жестки, то он сам жёсток, хотя бы его грани были скреплены друг с другом по ребрам шарнирно. Это предполагал верным ещё Евклид и знает всякий, клеивший картонные модели многогранника, но доказал Коши только через 2000 лет после Евклида.
Теорема А. Д. Александрова (1939): если взять конечное число плоских выпуклых многоугольников (сделанных, например, из бумаги) и указать, какую сторону какого из них с какой стороной какого другого мы будем склеивать (склеиваемые стороны, конечно, должны быть одинаковой длины), т. е. если рассмотреть развёртку (выкройку) многогранника, то для того, чтобы так склеенную замкнутую поверхность можно было, соответственно расправив (т. е. изогнув, если нужно, но не растягивая, не сжимая, не разрывая и больше не склеивая), превратить в поверхность выпуклого многогранника, необходимо и достаточно, чтобы: а) удовлетворялось условие Эйлера в — р + г = 2 и б) чтобы сумма плоских углов, сходящихся при склеивании в одной вершине, для любой вершины была меньше 360°. Эта теорема есть теорема существования, т. е. она показывает, с какими развёртками существуют выпуклые многогранники, а теорема Коши есть для неё теорема единственности, т. е. она показывает, что существует только один (с точностью до движения и отражения) выпуклый многогранник с такой развёрткой.
Теорема (существования) Минковского (1896): существует выпуклый многогранник с любыми площадями граней и любыми направлениями внешних нормалей к ним, лишь бы сумма векторов, имеющих направления нормалей и длины, равные площадям соответствующих граней, была равна нулю и эти векторы не лежали бы все в одной плоскости. Эти условия необходимы.
Теорема (единственности) Минковского (1896): выпуклый многогранник вполне определяется площадями своих граней и направлениями внешних нормалей к ним; и углубляющая её теорема (единственности) А. Д. Александрова: два выпуклых многогранника с попарно параллельными гранями не равны друг другу только в том случае, если для одной из пар параллельных граней с одинаково направленными внешними нормалями одна из этих граней может быть при помощи параллельного переноса вложена в другую.
Теорема Штейница (1917): существует выпуклый многогранник с любой наперёд заданной сеткой. При этом сеткой выпуклого многогранника называют сетку, составленную его ребрами. Два многогранника принадлежат к одному и тому же типу, если топологически тождественны сетки их рёбер, т. е. если один из них отличается от другого лишь длиной своих рёбер и величиной углов между ними. Сетку рёбер выпуклого многогранника можно спроектировать на плоскость из внешней точки, весьма близкой к внутренней точке какой-либо его грани. Сама эта грань проектируется тогда в виде внешнего выпуклого многоугольника, а все остальные — в виде малых выпуклых многоугольников, которые его заполняют, не налегая друг на друга, и смежны друг с другом целыми сторонами. Тип сетки рёбер многогранника при таком проектировании не меняется.
 
§ 4. Определение правильного многогранника
 
История правильных многогранников уходит в  глубокую древность. Правильными многогранниками  были заинтересованы Пифагор и его ученики. Их поражала красота, совершенство, гармония этих фигур. Пифагорейцы считали правильные многогранники божественными фигурами и использовали в своих философских сочинениях: первоосновам бытия - огню, земле, воздуху, воде придавалась форма соответственно тетраэдра, куба, октаэдра, икосаэдра, а вся Вселенная имела форму додекаэдра. Позже учение пифагорейцев о правильных многогранниках изложил в своих трудах другой древнегреческий ученый, философ - идеалист Платон. С тех пор правильные многогранники стали называться платоновыми телами.
Правильным  многогранником  называется  выпуклый   многогранник,   грани которого – равные правильные многоугольники,  а  двугранные  углы  при  всех вершинах равны между собой. Доказано, что в  каждой  из  вершин  правильного многогранника сходится одно и то же число  граней  и  одно  и  то  же  число ребер. Правильный многогранник или платоново тело — это выпуклый многогранник с максимально возможной симметрией.
Многогранник называется правильным, если:
1) Он выпуклый;
2) Все его грани являются равными правильными многоугольниками;
3) В каждой его вершине сходится одинаковое число рёбер.
Существует всего пять правильных многогранников:
 
Тип правильного многогранника
Число рёбер, примыкающих к вершине

Тетраэдр
3
3
4
6
4

Гексаэдр или Куб
4
3
8
12
6

Октаэдр
3
4
6
12
8

Додекаэдр
5
3
20
30
12

Икосаэдр
3
5
12
30
20

Название каждого многогранника  происходит от греческого названия количества его граней и слова "грань". Тетраэдр имеет 4 грани, в переводе с греческого "тетра" - четыре, "эдрон" - грань. гексаэдр (куб) имеет 6 граней, "гекса" - шесть; октаэдр - восьмигранник, "окто" - восемь; додекаэдр - двенадцатигранник, "додека" - двенадцать; икосаэдр имеет 20 граней, "икоси" - двадцать.
Правильным многогранником называется многогранник, у которого все грани  правильные равные многоугольники, и  все двугранные углы равны. Но есть и такие многогранники, у которых  все многогранные углы равны, а грани - правильные, но разноименные правильные многоугольники. Многогранники такого типа называются равноугольно-полуправильными  многогранниками. Впервые многогранники  такое типа открыл Архимед. Им подробно описаны 13 многогранников, которые  позже в честь великого ученого  были названы телами Архимеда. Это  усеченный тетраэдр, усеченный оксаэдр, усеченный икосаэдр, усеченный куб, усеченный додекаэдр, кубооктаэдр, икосододекаэдр, усеченный кубооктаэдр  усеченный икосододекаэдр, ромбокубооктаэдр, ромбоикосододекаэдр, "плосконосый" (курносый) куб, "плосконосый" (курносый) додекаэдр.
Кроме полуправильных многогранников из правильных многогранников - Платоновых тел, можно получить так называемые правильные звездчатые многогранники. Их всего четыре, они называются также телами Кеплера-Пуансо. Кеплер открыл малый додекаэдр, названный  им колючим или ежом, и большой додекаэдр. Пуансо открыл два других правильных звездчатых многогранника, двойственных соответственно первым двум: большой звездчатый додекаэдр и большой икосаэдр.
Комбинаторные свойства:
- Эйлером была выведена формула, связывающая число вершин (В), граней (Г) и рёбер (Р) любого выпуклого многогранника простым соотношением: В + Г = Р + 2.
- Отношение количества вершин правильного многогранника к количеству рёбер одной его грани равно отношению количества граней этого же многогранника к количеству рёбер, выходящих из одной его вершины. У тетраэдра это отношение равно 4:3, у гексаэдра и октаэдра — 2:1, а у додекаэдра и икосаэдра — 4:1.
- Правильный многогранник может быть комбинаторно описан символом Шлефли {p, q}, где:
p — число сторон каждой грани;
q — число рёбер, сходящихся в каждой вершине.
Символы Шлефли для правильных многогранников приведены в следующей таблице:
Многогранник
Символ Шлефли
тетраэдр

4
6
4
{3, 3}
куб

8
12
6
{4, 3}
октаэдр

6
12
8
{3, 4}
додекаэдр

20
30
12
{5, 3}
икосаэдр

12
30
20
{3, 5}

 
- Другой комбинаторной характеристикой многогранника, которую можно выразить через числа p и q, является общее количество вершин (В), рёбер (Р) и граней (Г). Поскольку любое ребро соединяет две вершины и лежит между двумя гранями, выполняются соотношения:

Из этих соотношений  и формулы Эйлера можно получить следующие выражения для В, Р  и Г:

Геометрические свойства:
Радиусы, площади и объёмы
С каждым правильным многогранником связаны  три концентрические сферы:
    Описанная сфера, проходящая через вершины многогранника;
    Срединная сфера, касающаяся каждого его ребра в середине;
    Вписанная сфера, касающаяся каждой его грани в её центре.
Радиусы описанной (R) и вписанной (r) сфер задаются формулами:
  
где ? - двугранный угол между смежными гранями многогранника.
Радиус срединной  сферы задаётся формулой:   где h принимает значения 4, 6, 6, 10 и 10 для тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдра и икосаэдра соответственно. Отношения описанных радиусов к вписанным радиусам симметрично относительно p и q:

Площадь поверхности S правильного многогранника {p, q} вычисляется, как площадь правильного p-угольника, умноженная на число граней Г:

Объём правильного многогранника вычисляется, как умноженный на число граней объём правильной пирамиды, основанием которой служит правильный p-угольник, а высотой — радиус вписанной сферы r:

Приведённая таблица содержит список различных радиусов, площадей поверхностей и объёмов правильных многогранников. Значение длины ребра a в таблице  приравнены к 2.
(a = 2)
тетраэдр





куб





октаэдр





додекаэдр

?2



икосаэдр


??



Константы ? и ? задаются выражениями

§ 5. Многогранники в повседневной жизни

Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как правильные многогранники. "Правильных многогранников вызывающе мало, - написал  когда-то Л. Кэролл, - но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных  наук".

Правильные многогранники –  самые выгодные фигуры, поэтому они широко распространены в природе. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Например, кристаллы поваренной соли имеют форму куба. При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми кварцами, монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра. Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана. Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра. В разных химических реакциях применяется сурьмянистый сернокислый натрий – вещество, синтезированное учёными. Кристалл сурьмянистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра. Последний правильный многогранник – икосаэдр передаёт форму кристаллов бора.

Алмаз (октаэдр)
Шеелит (пирамида)
Хрусталь (призма)
Поваренная соль (куб)

Икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. Вирус не может  быть совершенно круглым, как считалось  ранее. Чтобы установить его форму, брали различные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень - икосаэдр.
Важное место занимали правильные многогранники в системе гармоничного устройства мира И. Кеплера. Все та же вера в гармонию, красоту и математически  закономерное устройство мироздания привела  И. Кеплера к мысли о том, что  поскольку существует пять правильных многогранников, то им соответствуют  только шесть планет. По его мнению, сферы планет связаны между собой  вписанными в них платоновыми  телами. Поскольку для каждого  правильного многогранника центры вписанной и описанной сфер совпадают, то вся модель будет иметь единый центр, в котором будет находиться Солнце.
Проделав огромную вычислительную работу, в 1596 г. И. Кеплер в книге "Тайна  мироздания" опубликовал результаты своего открытия. В сферу орбиты Сатурна он вписывает куб, в куб - сферу Юпитера, в сферу Юпитера - тетраэдр, и так далее последовательно  вписываются друг в друга сфера  Марса - додекаэдр, сфера Земли - икосаэдр, сфера Венеры - октаэдр, сфера Меркурия. Тайна мироздания кажется открытой.
Сегодня можно с уверенностью сказать, что расстояния между планетами  не связаны ни с какими многогранниками. Впрочем, возможно, что без "Тайны  мироздания", "Гармонии мира" И. Кеплера, правильных многогранников не было бы трех знаменитых законов И. Кеплера, которые играют важную роль в описании движения планет.
Где еще можно увидеть эти  удивительные тела? В очень красивой книге немецкого биолога начала нашего века Э. Геккеля "Красота форм в природе" можно прочитать  такие строки: "Природа вскармливает на своем лоне неисчерпаемое количество удивительных созданий, которые по красоте и разнообразию далеко превосходят  все созданные искусством человека формы". Создания природы, приведенные  в этой книге, красивы и симметричны. Это неотделимое свойство природной гармонии.
Правильные многогранники встречаются  так же и в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии (Circjgjnia icosahtdra) по форме напоминает икосаэдр. Большинство феодарий живут на морской  глубине и служат добычей коралловых рыбок. Но простейшее животное защищает себя двенадцатью иглами, выходящими из 12 вершин скелета. Оно больше похоже на звёздчатый многогранник. Из всех многогранников с тем же числом граней икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Чем же вызвана такая природная геометризация? Может быть, тем, что из всех многогранников с таким же количеством граней именно икосаэдр имеет наибольший объем и наименьшую площадь поверхности. Это геометрическое свойство помогает морскому микроорганизму преодолевать давление водной толщи.
Интересно и то, что именно икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось ранее. Чтобы установить его форму, брали различные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень - икосаэдр. Его геометрические свойства, о которых говорилось выше, позволяют экономить генетическую информацию. Правильные многогранники - самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется.
Наука геометрия возникла из практических задач, ее предложения выражают реальные факты и находят многочисленные применения. Геометрия появляется всюду, где нужна хотя бы малейшая точность в определении формы и размеров. Формы многогранников используются в архитектурных проектах. Идет это с глубокой древности. Пирамида – это норма тектоники – внутреннего устройства каменных зданий прошлого. Силуэты каменных церквей и соборов, как правило, вписываются в форму пирамиды.
Великая пирамида была построена как  гробница Хуфу, известного грекам как  Хеопс. Он был одним из фараонов, или царей древнего Египта, а его  гробница была завершена в 2580 году до н.э. Позднее в Гизе было построено  еще две пирамиды, для сына и  внука Хуфу, а также меньшие  по размерам пирамиды для их цариц.
В III веке до н.э. был построен Александрийский маяк, чтобы корабли могли благополучно миновать рифы на пути в александрийскую бухту. Ночью им помогало в этом отражение языков пламени, а днем - столб дыма. Это был первый в мире маяк, и простоял он 1500 лет. Фаросский маяк состоял из трех мраморных башен, стоявших на основании из массивных каменных блоков. Первая башня была прямоугольной, в ней находились комнаты, в которых жили рабочие и солдаты. Над этой башней располагалась меньшая, восьмиугольная башня со спиральным пандусом, ведущим в верхнюю башню. Верхняя башня формой напоминала цилиндр, в котором горел огонь, помогавший кораблям благополучно достигнуть бухты. На вершине башни стояла статуя Зевса Спасителя. Общая высота маяка составляла 117 метров. Силуэты этих здании вписываются в формы многогранников.
 


Глава II. Теоремы общей теории выпуклых многогранников
 
§ 5. Доказательство теоремы Эйлера
 
Эйлер (Euler) Леонард (1707-1783), математик, механик, физик  и астроном. По происхождению швейцарец. В 1726 был приглашен в Петербургскую  АН и переехал в 1727 в Россию. Был  адъюнктом (1726), а в 1731-1741 и с 1766 академиком Петербургской АН (в 1742-1766 иностранный почетный член). В 1741-1766 работал в Берлине, член Берлинской АН. Эйлер — ученый необычайной широты интересов и творческой продуктивности. Автор более 800 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближенным вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и других, оказавших значительное влияние на развитие науки.
В 1620 году Рене Декарт показал, что сумма углов всех граней многогранника равна одновременно 360? (Р — Г) и 360? (В — 2). Из этого непосредственно следует утверждение теоремы. В 1750 году Леонард Эйлер доказал тождество для выпуклых многогранников. Теорема Эйлера заложила фундамент нового раздела математики — топологии. Более строгое доказательство дал Коши в 1811 г.
Теорема Эйлера: Для любого выпуклого многогранника справедливо соотношение Г+В-Р=2, где Г – число граней, В – число вершин и Р – число ребер данного многогранника.
Доказательство  теоремы, связанное с нахождением  суммы плоских углов выпуклого  многогранника:
Обозначим эту сумму, как  . Напомним, что плоскими углами многогранника являются внутренние плоские углы его граней. Например, найдем для таких многогранников:
а) тетраэдр имеет 4 грани – все треугольники. Таким образом, ;
б) куб имеет 6 граней – все квадраты. Таким  образом, ;
в) возьмем  теперь произвольную пятиугольную призму. У нее две грани – пятиугольники  и пять граней – параллелограммы. Сумма углов выпуклого пятиугольника  равна  . Сумма углов параллелограмма равна . Таким образом, .
Итак, для  нахождения мы вычисляли сначала сумму углов, принадлежащих каждой грани. Воспользуемся этим приемом и в общем случае.
Введем следующие  обозначения: , , …, - число сторон в 1, 2, 3-й и т.д. последней грани многогранника.
Тогда
Далее найдем общее число сторон всех граней многогранника. Оно равно  . Так как каждое ребро многогранника принадлежит двум граням, имеем: .
Таким образом, получаем:
      (1)
Сосчитаем теперь
и т.д.................


Перейти к полному тексту работы


Скачать работу с онлайн повышением уникальности до 90% по antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru


Смотреть полный текст работы бесплатно


Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.