На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Курсовик Примеры алгебраических групп матриц, классические матричные группы: общая, специальная, симплектическая и ортогональная. Компоненты алгебраической группы. Ранг матрицы, возвращение к уравнениям, совместимость. Линейные отображения, действия с матрицами.

Информация:

Тип работы: Курсовик. Предмет: Математика. Добавлен: 22.09.2009. Сдан: 2009. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Учреждение образования
"Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины"
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Курсовая работа
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ МАТРИЦ

Исполнитель:
студентка группы H.01.01.01 М-42
Мариненко В.В.
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук,
профессор Скиба С.В.
Гомель 2003
Содержание

    Введение
    1. Алгебраические группы матриц
      1.1 Примеры алгебраических групп матриц
      1.2 О полугруппах
      1.3 Компоненты алгебраической группы
      1.4 О -группах
    2 Ранг матрицы
      2.1 Возвращение к уравнениям
      2.2 Ранг матрицы
      2.3 Критерий совместности
    3 Линейные отображения. Действия с матрицами
      3.1 Матрицы и отображения
      3.2 Произведение матриц
      3.3 Квадратные матрицы
    Заключение
    Список использованных источников
    Введение

    Множество матриц -ой степени над будем рассматривать как аффинное пространство с имеющейся на ней полиномиальной топологией. Алгебраические группы матриц определяются как невырожденные части алгебраических множеств из , являющиеся группами относительно обычного матричного умножения. Простейший пример такой группы - общая линейная группа . В настоящем параграфе мы начнем систематическое изучение алгебраических матричных групп.
    Все топологические понятия относятся к полиномиальной топологии; черта обозначает замыкание в , диез - замыкание в , бемоль - взятие невырожденной части, т. е. - совокупность всех невырожденных матриц из . Иногда, допуская вольность, мы употребляем для групп те же понятия, что и для подлежащих алгебраических множеств, - например, говорим об общих точках групп; это не должно вызывать недоразумений.
1. Алгебраические группы матриц

1.1 Примеры алгебраических групп матриц


Классические матричные группы -
общая, специальная, симплектическая и ортогональная:
где
- единичная матрица и штрих обозначает транспонирование.
Диагональная группа , группы клеточно-диагональных матриц данного вида. Треугольная группа (для определенности --- с нижним нулевым углом), унитреугольная группа (треугольные матрицы с единичной диагональю), группы клеточно-треугольных матриц данного вида.
Централизатор произвольного множества из в алгебраической группе , нормализатор замкнутого множества из в .
Пересечение всех алгебраических групп, содержащих данное множество матриц из --- алгебраическая группа. Она обозначается и называется алгебраической группой, порожденной множеством .
Каждую алгебраическую линейную группу из можно изоморфно --- в смысле умножения и полиномиальной топологии --- отождествить с замкнутой подгруппой из в силу формулы
Такое отождествление позволяет при желании ограничиться рассмотрением только таких групп матриц, которые сами являются алгебраическими множествами (а не их невырожденными частями). Это дает другое оправдание тем вольностям в терминологии, которые упоминались в начале параграфа.
Множество всех матриц из , оставляющих инвариантной заданную невырожденную билинейную форму на .
Пусть --- алгебра над конечной размерности (безразлично, ассоциативная или нет), --- группа всех ее автоморфизмов. Фиксируя в какую-нибудь базу и сопоставляя автоморфизмам алгебры их матрицы в этой базе, мы получим на строение алгебраической группы. Действительно, пусть
т. е. --- структурные константы алгебры . Пусть далее
где . Тогда задается в матричных координатах очевидными полиномиальными уравнениями, вытекающими из соотношений
Указать в приведенных выше примерах определяющие уравнения, найти общую точку, если она есть.
В дальнейшем нам встретится еще много примеров и конструкций алгебраических матричных групп.
1.1.1 Если матричная группа содержит алгебраическую подгруппу конечного индекса, то сама алгебраическая.
Доказательство. Пусть - аннулятор группы в , - его корень в . Надо показать, что . Пусть, напротив, . Пусть - смежные классы по . Для каждого выберем многочлен
и положим
Очевидно, , . Получили противоречие.
Пусть --- алгебраическая группа, , --- подмножество и замкнутое подмножество из . Тогда множества
где , замкнуты. Если тоже замкнуто и --- общее поле квазиопределения для , , , то , , квазиопределены над . В частности, если существует хотя бы одно с условием (соответственно, , ), то можно считать, что (см. 7.1.5).
Если на множестве выполняется теоретико-групповое тождество , то оно выполняется и на его замыкании . В частности, коммутативность, разрешимость, нильпотентность матричной группы сохраняются на ее замыкании в полиномиальной топологии.

1.2 О полугруппах


Определим действие элементов из
на рациональные функции из , , полагая
Для каждого отображение (сдвиг аргумента) есть автоморфизм поля . Отображение есть изоморфизм полной линейной группы в группу автоморфизмов расширения .
Имеет место следующее предложение.
1.2.1 Все замкнутые (в полиномиальной топологии) полугруппы из являются группами. Более общно: замыкание произвольной полугруппы --- группа. Более точно: если --- аннулятор в , то совпадает с

Здесь вместо можно написать .
Доказательство. Во-первых, и, значит, . Действительно, если , и , то , т. е. . Подпространство многочленов из степени отображается оператором на себя, так как оно конечномерно, а опрератор обратим. Но тогда и всё отображается на себя, как объединение всех .
Во-вторых, , т. е. для каждого . Действительно, пусть . По уже доказанному, . Найдём с условием . Тогда .
В-третьих, , т. е. для всех , . Действительно, . Предложение доказано.
Таким образом, теория алгебраических полугрупп из исчерпывается теорией алгебраических групп.
Отметим ещё одно полезное предложение.
1.2.2 Пусть алгебраическая группа неприводима, т. е. --- многообразие, --- густое подмножество, плотное в . Тогда каждый элемент является произведением двух элементов из ; в частности, если --- подгруппа, то она совпадает с .
Доказательство. Множества и тоже густые и плотные, поэтому пересечение непусто (см. п. 8.2).
Если --- полугруппа из , то .

1.3 Компоненты алгебраической группы


Пусть
--- алгебраическая группа матриц. Невырожденные части компонент её подлежащего многообразия называеются компонентами группы . наличие в групповой структуры позволяет высказать о компонентах ряд важных утверждений, отсутствующих в случае произвольного многообразия.
1.3.1 Теорема. Пусть --- алгебраическая группа матриц. Её компонента , содержащая единицу, единственна и является нормальной подгруппой. Остальные компоненты --- смежные классы по (в частности, они являются связными компонентами группы в полиномиальной топологии). --- единственная связная замкнутая подгруппа конечного индекса в . Аннулятор компоненты связан с аннулятором всей группы следующим образом:
для некоторого , зависящего от
, где --- аннулятор единицы в , --- некоторый многочлен из .
Доказательство. а) Пусть --- общее поле определения всех компонент группы . Пусть , содержат единицу , , --- их независимые общие точки над и , . Имеем специализации
над , откуда , , . Этим доказана единственность компоненты .
б) Очевидно, что отображения
являются гомеоморфизмами пространства . Так как инвариантна относительно них, то --- нормальная подгруппа группы .
в) Пусть . Тогда при фиксированном --- снова все компоненты группы . В частности, , . Этим доказано, что --- смежные классы по и, значит, связные компоненты группы .
г) Если --- связная замкнутая подгруппа группы , то, предыдущему, . Если, кроме того, конечного индекса, то она той же размерности, что и , потому совпадает с .
д) Для каждого возьмем многочлен
Пусть --- точка из , в которой . Рассмотрим многочлен
Он искомый. В самом деле, очевидно, . Оба включения справа налево очевидны (использовать простоту идеала ). Остается доказать включение
Пусть , . Имеем:
Если , то , если же , , то . В любом случае . Следовательно, . Теорема доказана.
Мы видим, в частности, что для алгебраической группы неприводимость и связность в полиномиальной топологии --- одно и то же; в дальнейшем мы будем пользоваться только вторым термином, чтобы избежать путаницы с понятием матричной приводимости групп (к полураспавшейся форме).
Доказать, что связанная компонента единицы алгебраической группы содержится в любой замкнутой подгруппе конечного индекса.
Подгруппа алгебраической группы тогда и только тогда замкнута, когда замкнуто её пересечение со связной компонентой единицы .
<<Только тогда>> очевидно. <<Тогда>> вытекает из 9.1.9, если заметить, что
Конечная нормальная подгруппа связной алгебраической группы всегда лежит в центре .
В заключение отметим, что если в качестве универсальной области выбрано поле комплексных чисел , то в алгебраической группе можно рассматривать две топологии --- полиномиальную и евклидову. Ясно, что вторая тоньше первой, поэтому, в частности, евклидова связная компонента единицы содержится в полиномиальной связной компоненте. Можно было бы доказать и обратное, т. е. на самом деле связные компоненты комплексной алгебраической группы в обеих топологиях одни и те же. Этот результат становится неверным, если рассматривать -порцию комплексной алгебраической группы (по поводу определения см. следующий пункт).

1.4. О -группах


Пусть
- поле. По определению, алгебраическая -группа --- это группа матриц из , выделяемая полиномиальными уравнениями с коэффициентами в . Иначе можно сказать, что это -порция, т. е. пересечение с , некоторой алгебраической группы, квазиопределенной над . Обычные алгебраические группы тоже можно трактовать как -группы по отношению к некоторой большей универсальной области . В этом смысле понятие алгебраической -группы является более общим, так как от не требуется ни алгебраической замкнутости, ни бесконечной степени трансцендентности над простым полем.
В свойствах алгебраических групп и -групп много общего. Имеется сандартный способ перехода от первых ко вторым --- посредством поля определения (в чём и состоит основное значение этого понятия). Нам не раз представится возможность продемонстрировать этот способ. В целом же -группы в нашем изложении останутся на заднем плане, лишь иногда выходя на авансцену.
Многие результаты о -группах по формулировке и доказательству вполне аналогичны результатам об абсолютных алгебраических группах (в ) и опираются на сведения из алгебраической геометрии для -множеств, (по определению, алгебраическое -множество выделяется в уравнениями с коэффициентами из ).
2 Ранг матрицы

2.1 Возвращение к уравнениям


В арифметическом линейном пространстве
столбцов высоты рассмотрим векторов
и их линейную оболочку . Пусть дан еще один вектор . Спрашивается, принадлежит ли подпространству , а если принадлежит, то каким образом его координаты выражаются через координаты векторов . В случае вторая часть вопроса относится к значениям координат вектора в базисе . Мы берем линейную комбинацию векторов с произвольными коэффициентами и составляем уравнение . Наглядный вид этого уравнения
есть лишь иная запись системы из линейных уравнений с неизвестными:
Первое впечатление таково, что мы вернулись к исходным позициям, потеряв время и ничего не выиграв. На самом же деле мы располагаем теперь рядом важных понятий. Осталось приобрести навыки в обращении с ними.
В этом месте удобно условиться в обозначениях. В дальнейшем для сокращения записи мы часто будем обозначать сумму значком . При этом --- величины произвольной природы (числа, векторы-строки и т. д.), для которых выполнены все законы сложения чисел или векторов. Правила
достаточно понятны, чтобы их нужно было разъяснять. Будут рассматриваться также двойные суммы,
в которых порядок суммирования (по первому и по второму индексу) можно выбирать по своему желанию. Это легко понять, если расположить величины в прямоугольную матрицу размера : в нашей воле начинать суммирование элементов матрицы по строкам или по столбцам.
Другие возможные типы суммирования будут разъясняться в нужном месте.

2.2 Ранг матрицы

Назовем пространством столбцов прямоугольной матрицы размера введенное выше пространство , которое мы будем обозначать теперь символом или просто (в --- вертикальный). Его размерность назовем рангом по столбцам матрицы . Аналогично вводится ранг по строкам матрицы : , где --- подпространство в , натянутое на векторы-строки , (г --- горизонтальный). Другими словами,
- ранги систем векторов-столбцов и соответственно векторов-строк. По теореме о существовании конечного базиса у подпространства величины и определены правильно.
Будем говорить, что матрица получена из при помощи элементарного преобразования типа (I), если для какой-то пары индексов и для . Если же для всех и , , то говорим, что к применено элементарное преобразование типа (II).
Заметим, что элементарные преобразования обоих типов обратимы, т. е. матрица , получающаяся из при помощи одного элементарного преобразования, переходит снова в путем применения одного элементарного преобразования, причем того же типа.
2.2.1 Лемма. Если матрица получена из прямоугольной матрицы путем применения конечной последовательности элементарных преобразований, то имеют место равенства:
(i)
(ii)
Доказательство. Достаточно рассмотреть тот случай, когда получена из путем применения одного элементарного преобразования (сокращенно э. п.).
(i) Так как, очевидно, , то э. п. типа (I) не меняет . Далее, и, следовательно, , так что не меняется и при э. п. типа (II).
(ii) Пусть --- столбцы матрицы . Нам нужно доказать, что
Тогда всякой, в том числе и максимальной, независимой системе столбцов одной матрицы будет отвечать независимая система столбцов с теми же номерами другой матрицы, чем и устанавливается равенство . Заметим еще, что в силу обратимости элементарных преобразований достаточно доказать импликацию в одну сторону. Пусть, например, . Тогда, заменяя в (1) на и все на 0, мы видим, что --- решение однородной системы ОС, ассоциированной с линейной системой (2). По соответствующей теореме это решение будет также решением однородной системы , получающейся из ОС при помощи э. п. типа (I) или (II) и имеющей своей матрицей как раз матрицу . Так как система кратко записывается в виде , то мы приходим к соотношению
Основным результатом этого параграфа является следующее утверждение:
и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.