На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Курсовик Чисельн методи ршення диференцальних рвнянь у частинних похдних 2-го порядку, початков крайов умови. Метод сток та представлення часткових похдних у скнчено-рзницевому вигляд. Структура похибки розв'язку задач, стйксть коректнсть.

Информация:

Тип работы: Курсовик. Предмет: Математика. Добавлен: 22.08.2010. Сдан: 2010. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


35
Міністерство освіти і науки України
Сумський державний університет
Кафедра інформатики
Курсова робота
на тему:
«Дослідження збіжності рішень для диференціальних рівнянь у частинних похідних, отриманих методом сіток»

Суми 2006
Вступ
Актуальність теми. Задачі, що відносяться до диференціальних рівнянь у частинних похідних другого порядку, виникають у різних прикладних областях, зокрема в задачах акустики, електродинаміки, динамічної теорії пружності тощо. Найчастіше при їх розв'язуванні використовують метод скінчених різниць(метод сіток). За цим методом вихідну диференціальну задачу у частинних похідних замінюють відповідною різницевою схемою, що є системою скінченої кількості алгебраїчних рівнянь. Тобто для розв'язування неперервної задачі будують дискретну модель, характер поведінки якої описують різницеві рівняння. Очевидно, будь-яка дискретна модель не тотожна вихідній неперервній задачі.
Особливістю наближених методів є те, що кожному рівнянню можна поставити у відповідність велику кількість різницевих апроксимацій, що мають майже однакові характеристики. Тому побудова різницевих схем, властивості яких якнайповніше відповідають вихідній диференціальній задачі, -- суть і предмет методу скінчених різниць, а розвиток теорії різницевих схем природно шукають у покращенні порядку апроксимації, а також у зменшенні кількості арифметичних операцій для знаходження розв'язків. Іншими словами, різницева схема повинна якомога краще моделювати властивості вихідного диференціального рівняння, до того ж кількість арифметичних дій, потрібних для знаходження розв'язку, має бути по можливості пропорційна кількості вузлів сітки.
Побудова різницевих схем для рівнянь у частинних похідних з узагальненими розв'язками, швидкість збіжності яких узгоджена з гладкістю цих розв'язків, привертає сьогодні особливу теоретичну увагу. Як зазначається або приймається за очевидне у кожній роботі з чисельних методів, основним питанням для теорії та практики наближених методів є питання точності розв'язку. Дослідження задач з негладкими розв'язками для рівнянь гіперболічного типу потребують особливої уваги через те, що негладкості середовища для таких рівнянь не зникають з часом. Проблема узагальнюється таким чином: як покращити точність наближеного методу, не збільшуючи при цьому паразитичних осциляцій, які з'являються при переході на кожний наступний ярус. Це явище виникає, коли розв'язок негладкий, має розриви та особливі точки (наявні сконцентровані зовнішні сили, точкові джерела тощо). Причина таких осциляцій -- дисперсія різницевої схеми по відношенню до диференціальної задачі, тобто відмінність (відставання або випередження) фазової швидкості сіткових гармонік від гармонік диференціальних. Звідси ясно, якою важливою є побудова таких схем для розв'язування гіперболічних рівнянь, де враховані дисперсійні властивості неперервної моделі і, можливо, до мінімуму зведений спотворюючий вплив цих властивостей.
Стан проблеми. Огляд літератури. Проблема існування дисперсії розглядалася багатьма авторами. Першими роботами, у яких було відмічено зв'язок між дисперсією різницевих схем та втратою точності розв'язків рівнянь гіперболічного типу, були роботи К. Роберта, В. Вайса та Дж. Фромма, в яких дисперсія досліджувалася для різних різницевих схем, що апроксимують гіперболічне рівняння першого порядку. Надалі на існування дисперсії для одновимірних рівнянь вказувалося в роботах С. Орзаґа, Р. Чина. М.М. Москальковим показаний зв'язок осциляцій сіткових розв'язків з дисперсією гармонік різницевої схеми для одновимірних гіперболічних рівнянь як першого, так і другого порядку. Різними авторами проводився дисперсійний аналіз для різних задач математичної фізики. Для рівнянь газової динаміки розв'язувалися проблеми зв'язку дисперсії та стійкості різницевих схем. Для спектральних методів розв'язування задач гідродинаміки подібні проблеми ставилися. Огляд робіт, присвячених цьому питанню, можна знайти в роботі Л. Трефетхена, де досліджувалися дисперсійні властивості різницевих схем, що апроксимують двовимірне хвильове рівняння. За допомогою методу диференціальних наближень проблема дисперсії також досліджувалася.
Пропонувалися різні методи боротьби з наслідками дисперсії --паразитичними осциляціями розв'язків гіперболічних рівнянь. Один з них -- введення в рівняння так званої штучної в'язкості (див. роботу П.Роуча). Однак цей спосіб не завжди задовільний: втрачається справжній профіль розв'язку та ускладнюються алгоритми, особливо, коли необхідно працювати з великою кількістю вузлів сітки. За іншими методами, що враховують існування дисперсії, пропонується вводити додатковий антидисперсійний ярус, або розглядати не ортогональні сітки як на площині, так і в тривимірному просторі.
В роботах О.С. Макаренка та М.М. Москалькова було вперше доведено, що в двовимірному випадку, виявляється, існує залежність дисперсії різницевої схеми не лише від номера сіткових гармонік, а й від напрямку руху хвилі. Для неявних різницевих схем для двовимірного гіперболічного рівняння було показано, що можна суттєво покращити дисперсію у заданому напрямку руху хвилі за допомогою вибору вагів схеми.
В роботі В.Л. Макарова, С.В. Макарова, М.М. Москалькова було помічено, що у різницевих схем на правильних трикутних сітках дисперсійні властивості кращі за дисперсійні властивості схем на звичайних шаблонах прямокутної сітки. Пояснюється це тим, що існує залежність між виглядом шаблону та дисперсією схеми. Відмічалося, також, що на правильній трикутній сітці можна побудувати схеми четвертого порядку точності для рівняння Пуассона. Вперше подібне покращення апроксимації для не ортогональних сіток розглядав В.І. Лебедев.
Чисельні методи рішення диференціальних рівнянь у частинних похідних 2-го порядку
Загальний вигляд диференціальних рівнянь у часткових похідних 2-го порядку:
(1)
Розв'язком рівняння (1) називається функція u=u(x,y), що перетворює це рівняння на тотожність. Графіком розв'язку є поверхня в просторі Oxyu.
Рівняння (1) називається лінійним, якщо воно першого степеня щодо шуканої функції і всіх її похідних і не містить їхніх добутків, тобто це рівняння може бути записане у вигляді
(2)
У загальному випадку A,B,C,a,b,c - це коефіцієнти, що можуть залежати тільки від х,у. Уводиться визначення дискримінанта:
У залежності від знака дискримінанта D лінійне диференціальне рівняння (2) відноситься до одного з наступних типів:
Якщо D>0, то рівняння еліптичне.
Якщо D=0, то рівняння параболічне.
Якщо D<0, то рівняння гіперболічне.
Якщо D не зберігає знак - рівняння змішаного типу.
Приклади:
рівняння еліптичного типу.
- рівняння параболічного типу.
рівняння гіперболічного типу.
Рівняння вигляду - називається характеристичним рівнянням. Розв'язки цього рівняння називають характеристиками.
Початкові і крайові умови
Диференціальні рівняння в часткових похідних мають незлічену множину розв'язків, тому для однозначності розв'язку необхідно до вихідного рівняння приєднати додаткові умови. Для диференціальних рівнянь у часткових похідних 2-го порядку вони можуть бути початковими і граничними. По суті, розрізнити ці умови можна лише в тому випадку, коли одна з незалежних змінних диференціального рівняння відіграє роль часу, а інша - роль координати. Тоді якщо умови задані для початкового моменту часу, то це початкові умови, а умови, що відносяться до фіксованих значень координат - граничні або крайові.
Представлення часткових похідних у скінчено-різницевому вигляді
Розглянемо диференціальне рівняння ;
Апроксимуємо часткові похідні відповідними різницями:
.
Аналогічно можна записати
тобто різницю зміщаємо до центра
Формула для змішаної похідної
Ці формули переходу до різницевих схем можна записати, використовуючи позначення:
,
,
.
Скористаємося розкладанням у ряд Тейлора:
Для того, щоб оцінити похибку 2-ої похідної заміняємо в першій заміні, у другій заміні .
Отже, для
а для
Користуючись цими розкладаннями, одержимо
Аналогічну формулу можна записати для похідної по у.
.
Аналогічно можна одержати оцінки для інших похідних.
Метод сіток
Ідея методу сіток відома давно ще за часів Ейлера. Однак, практичне використання цього методу наштовхувалося на серйозні труднощі, тому що одержання з його допомогою досить точного розв'язку крайової задачі звичайно приводило до колосальних систем алгебраїчних рівнянь, на розв'язок яких при ручному розрахунку були потрібні роки. Положення різко змінилося з появою електронних обчислювальних машин. Метод сіток допускає зручну реалізацію на ЕОМ, тому що застосування його зазвичай зводиться до масової повторюваності однорідних циклів. В даний час метод сіток є одним з найбільш ефективних методів розв'язку лінійних диференціальних рівнянь. Метод сіток (інакше метод скінчених різниць) для наближеного розв'язку крайових задач двовимірних диференціальних рівнянь полягає в наступному:
У плоскій області G, у якій розшукується розв'язок, будується сіткова область Gh, що складається з однакових осередків і наближає дану область G;
Задане диференціальне рівняння заміняється у вузлах побудованої сітки відповідним скінчено-різницевим рівнянням;
На підставі граничних умов установлюються значення шуканого розв'язку в граничних вузлах області Gh
Розв'язавши отриману систему скінчено-різницевих рівнянь, ми знайдемо значення шуканої функції у вузлах сітки, тобто будемо мати чисельний розв'язок нашої задачі. Вибір сіткової області здійснюється в залежності від конкретної задачі, але у всіх випадках контур Гh сіткової області Gh варто вибирати так, щоб він якнайкраще апроксимував контур Г заданої області G. Сітка будується таким чином, щоб вузли (xi,yi) сітки Sh або належали області G, або відстояли від її границі Г на відстань меншому, ніж h. Точки (вузли) сітки Sh називаються сусідніми, якщо вони розміщені один від одного в напрямку осі Ох або осі Оу на відстань, що дорівнює кроку сітки h. Вузол Ah сітки Sh називається внутрішнім, якщо він належить області G, а всі чотири сусідніх з ним вузла - множині Sh; інакше він називається граничним. Граничний вузол сітки Sh називається вузлом першого роду, якщо він має сусідній внутрішній вузол цієї сітки, інакше граничний вузол називається вузлом другого роду. Внутрішні вузли і граничні вузли першого роду сітки Sh називаються розрахунковими точками. Граничні вузли другого роду не входять в обчислення і можуть бути вилучені із сітки.
На перший погляд процедура застосування методу сіток, що складається з трьох етапів, може здатися простою і легко реалізованою. Однак насправді це не так. Через велику розмаїтість типів і розмірів сіток, видів рівнянь у часткових похідних, граничних і початкових умов, можливих кінцево-різницевих апроксимацій цих рівнянь і методів їхнього розв'язку, чисельне розв'язку рівнянь у часткових похідних вимагає модифікацій алгоритму при розгляді кожного конкретного приклада.
Стійкість скінчено-різницевої схеми для розв'язку рівнянь параболічного типу (рівняння теплопровідності)
Як приклад рівняння параболічного типу розглянемо рівняння теплопровідності:
,
де u=u(x,t) - температура, t - час, - довжина стрижня.
Для простоти покладемо, а=1.
Початкові і крайові умови:
,
и..
При використанні скінчено-різницевої схеми для розв'язку крайової задачі виникає питання про стійкість такої схеми. Під цим розуміють наступне: скінчено-різницева схема називається стійкою, якщо малі похибки в процесі розв'язку загасають або у всякому разі залишаються малими при необмеженому збільшенні номера поточного шару.
Для рівняння
(3)
скінчено-різницева схема матиме вигляд:
. (4)
З'ясуємо умови стійкості з граничними і початковими умовами
(5)
Маємо:
і ,
де , .
Переходячи до скінчених різниць у рівнянні (4), будемо мати:
=0 (6)
У граничних вузлах сітки Г виконані такі умови:
, , .
Припустимо, що в точках початкового шару t=0 допущена помилка , тобто
,
і нехай - розв'язок рівняння (6):
. (7)
яке задовольняє граничним умовам, що містять помилку:
, , .
Нас цікавить, як зміниться похибка при необмеженому зростанні номера j. Віднімаючи з рівняння (7) рівняння (6), для похибки одержимо скінчено-різницеве рівняння.
=0. (8)
На границі Г області маємо:
(8а)
Частковий розв'язок рівняння (8) будемо шукати у вигляді
, (9)
де числа і p (р>0) підберемо так, щоб вираз (9) задовольняв рівнянню (8) і однорідним крайовим умовам.
.
Користуючись ними маємо:
,
звідки випливає, що pl=m і (m=1,2,3……).
Отже,
.
Підставляючи цей вираз в рівняння (8), будемо мати:
(10)
Після перетворень рівняння (10) набуде вигляду:
.
Звідси
. (11)
Зауважимо, що не залежить від точки (). Таким чином, для однорідного рівняння (8) одержуємо лінійно незалежні розв'язки вигляду:
(m=1,2,…....,n-1),
причому кожен розв'язок задовольняє однорідним крайовим умовам.
Лінійна комбінація цих розв'язків
(12)
також є розв'язком рівняння (8), що задовольняє при будь-яких значеннях коефіцієнтів однорідним крайовим умовам. Ці коефіцієнти підбираються так, щоб виконувалася перша умова (8а), тобто щоб (і=1,2,…...,n-1).
Для стійкості розглянутої скінчено-різницевої схеми (6) необхідно, щоб при будь-яких значеннях постійних функція , обумовлена рівністю (12), залишалася обмеженою при .
Для цього досить, щоб для всіх m була виконана рівність:
.
Звідси
і (m=1,2,…...,n-1).
Остання нерівність буде виконана, якщо виконується умова:
. (13)
Отримані нерівності дають достатні умови стійкості розглянутої скінчено-різницевої схеми для змішаної задачі у випадку рівняння теплопровідності (параболічного типу).
Гіперболічний тип
Як приклад рівняння гіперболічного типу розглянемо рівняння коливань однорідної обмеженої струни:
,
де u=u(x,t) - зсув струни, t - час, - координата довільної точки струни.
Для простоти покладемо, а=1.
Початкові і крайові умови:
.
и.
Схема стійка, якщо виконано умову Куранта k< h. Це означає, що малі похибки, що виникають, наприклад, при обчисленні розв'язку на першому шарі, не будуть необмежено зростати при переході до кожного нового тимчасового шару. При виконанні умов Куранта схема має рівномірну збіжність, тобто при h 0 розв'язок різницевої задачі рівномірно прагне до розв'язку вихідної змішаної задачі.
Недолік схеми в тім, що як тільки обрана величина кроку сітки h у напрямку x, з'являються обмеження на величину кроку за змінною t. Якщо необхідно зробити обчислення для великого значення величини T, то може знадобитися велика кількість кроків по змінній t. Зазначений недолік характерний для всіх явних різницевих схем.
Еліптичний тип
Як приклад рівняння еліптичного типу розглянемо задачу Дирихле (перша крайова задача для рівняння Лапласа ):
,
Крайова умова:
на колі (Г) виконується .
Перепишемо систему рівнянь у вигляді, зручному для застосування методу простої ітерації:
для внутрішніх вузлів
ui,k= - (14)
для граничных вузлів
(15)
Тут для внутрішніх вузлів використовувався п'ятиточковий шаблон, зображений. Припустимо, що gi,k<0. Розв'яжемо систему рівнянь відносно ui,k методом простої ітерації згідно з ітераційним процесом:
для внутрішніх вузлів
для граничних вузлів
р=0,1,2,…,задане.
Доведено, що якщо gi,k<0, то послідовні наближення збігаються до точного розв'язку різницевої схеми ui,k або системи рівнянь (14), (15) і має місце оцінка
max
i,k i,k
де q=max .
i,k
Доведення цього твердження полягає в перевірці умови збіжності методу простої ітерації для системи лінійних рівнянь, при цьому мається на увазі, що невідомий вектор утворює елементи ui,k. Наприклад, компоненти вектора можна перенумерувати таким чином: нехай тоді
x1= u1.1, x 2 =u 2.1,…, x N1 = u N1.1;
x N1+1=u 2.1 x N1+2 =u 2.2,…, x 2N1 =u N1.2;
…………………………x N1N2 =u N1N2.
Відносно вектора = різницева схема є системою лінійних рівнянь в матричному записі де матриця А має в кожному рядку не більше п'яти елементів
.........
........
А=... ... .. ...
... ... .. ...
.........
Це пов'язано з тим, що похідні в кожному внутрішньому вузлі (i,k) апроксимувались за п'ятьма сусідніми вузлами.
Розв'язання різницевих рівнянь при h 0 збігається до точного розв'язання крайової задачі зі швидкістю, яка визначається порядком апроксимації рівнянь та крайових умов. Таким чином, для точного розв'язання (u(x,y)) оцінки похибки
max O(h2), h 0 (16)
i, k
Оцінка похибки (16) є справедливою, якщо точний розв'язок неперервно диференційований чотири рази в області G. Для областей з кутовими точками, наприклад прямокутника, взагалі кажучи, u(x,y) . Але якщо гранична функція, тобто задовольняє в кутах спеціальні умови узгодження, то точний розв'язок u(x,y) і є вірною оцінка (16).
Для прямокутної області G= такими умовами узгодження можуть бути:
достатня гладкість ;
функція повинна задовольняти в кутах прямокутника диференціальне рівняння.
Оцінка похибки (8.96) має в основному теоретичне значення, оскільки містить константу С, яку практично важко визначити
max ch2+ O(h2), h 0
i, k
Тому в реальних розрахунках використовується правило Рунге оцінки похибки, аналогічне тому, яке використовується в чисельному розв'язанні задачі Коші і розв'язанні звичайних диференціальних рівнянь. Робиться два варіанти розрахунку з кроком h та ; тоді похибка має вигляд
max max +О(h2)
і головна частина похибки визначається на вузлах,що збігаються.
Потрібно зазначити,що рівномірними прямокутними сітками найбільш зручно користуватиcя при розв'язанні задач у прямокутних областях. Якщо область має форму паралелограма(скошена система),то користуються координатами,осі яких паралельні сторонам цього паралелограма. Декартові прямокутні координати пов'язані з косокутними координатами співвідношеннями , де а - кут між . У диференціальних виразах похідні за х та у замінюються похідними за . Усі похідні апроксимуються за допомогою центральних різниць. Якщо область має форму кола, зручно користуватись полярними координатами
Наведемо деякі загальні зауваження. При чисельному розв'язанні крайових задач для диференціаль и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.