На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


автореферат Розвиток теорї задачi Кошi та двоточкової задачi для еволюцiйних рiвнянь з псевдо-Бесселевими операторами в класах початкових умов, що є узагальненими. Вивчення властивостей перетворення Бесселя функцї та оператора узагальненого зсуву аргументу.

Информация:

Тип работы: автореферат. Предмет: Математика. Добавлен: 11.04.2009. Сдан: 2009. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


Чернівецький національний університет
імені Юрія Федьковича
ЛЕНЮК ОЛЕГ МИХАЙЛОВИЧ

УДК 517.956
ЕВОЛЮЦІЙНІ РІВНЯННЯ З
ПСЕВДО-БЕССЕЛЕВИМИ ОПЕРАТОРАМИ
01.01.02 - диференціальні рівняння
АВТОРЕФЕРАТ
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Чернівці - 2008
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальнiсть теми. Останнi десятилiття інтенсивно розвивається теорiя псевдодиференцiальних операторiв (ПДО), якi формально можна подати у виглядi $F_{\sigma\tox}^{-1}[a(t,x;\sigma)F_{x\to\sigma}]$, $\{x,\sigma\}\subset \mathbb{R}^{n}$, $t>0$, де $a$\,-- функцiя (символ), що задовольняє певнi умови, $F$, $F^{-1}$\,-- пряме та обернене перетворення Фур'є. Iмпульсом для такого розвитку послужив той факт, що ПДО тiсно пов'язанi з важливими задачами аналiзу i сучасної математичної фiзики. Серед нових роздiлiв цiєї теорії особливої уваги заслуговує теорiя рiвнянь з ПДО, побудованими за негладкими однорiдними символами. Випадок однорiдних символiв має важливi застосування в теорiї випадкових процесiв. Теорiя ПДО з негладкими символами тiсно пов'язана також iз сучасною теорією фракталiв.
Дослiдженням ПДО та задачi Кошi для еволюцiйних рiвнянь з ПДО займалось багато математикiв, використовуючи рiзнi методи i пiдходи (M. Nagase, R. Shinkai, C. Tsutsumi, М.А. Шубiн, М. Тейлор, Л. Хермандер, Ю.А. Дубiнський, Б.Й. Пташник та iн.); при цьому одержанi значнi i важливi результати про розв'язнiсть задачi Кошi у рiзних функцiональних просторах.
У теорiї задачi Кошi для параболiчних псевдо диференціальних рiвнянь (ППДР) на теперiшнiй час добре вiдомi результати про будову та оцiнки фундаментальних розв'язкiв задачi Кошi (ФРЗК), за допомогою яких одержанi iнтегральнi зображення розв'язкiв. Якщо символ не залежить вiд $t$, $x$ (тобто $a=a(\sigma)$), то задача Кошi коректно розв'язна в просторi узагальнених функцiй типу розподiлiв; при цьому розв'язок подається у виглядi згортки ФРЗК з початковою умовою, яка є узагальненою функцiєю. Дослiдженi якiснi властивостi розв'язкiв ППДР та систем таких рiвнянь (зокрема, поведiнка розв'язкiв при необмеженому зростаннi часової змiнної, їх невiд'ємнiсть, стiйкiсть за Ляпуновим, теореми типу Лiувiлля).
Цi результати є науковим надбанням ряду вiтчизняних та зарубiжних математикiв, зокрема, С.Д. Ейдельмана, Я.М. Дрiня, М.В. Федорюка, А.Н. Кочубея, В.В. Городецького, В.А. Лiтовченка, Р.Я. Дрiня та iн.
До псевдодиференцiальних рiвнянь формально можна вiднести i сингулярнi еволюцiйнi рiвняння з оператором Бесселя ($B$-параболiчнi рiвняння), який вироджується по певнiй просторовiй змiннiй, а саме рiвняння при цьому вироджується на межi областi, оскiльки оператор Бесселя $B_{\nu}=\frac{d^2}{dx^2}+\frac{2\nu+1}{x}\frac{d}{dx}$, $\nu>-\frac{1}{2}$, можна визначити за допомогою спiввiдношення $B_{\nu}\varphi=-F_{B_{\nu}}^{-1}[\sigma^2F_{B_{\nu}}[\varphi]]$, де $F_{B_{\nu}}$, $F_{ B_{\nu}}^{-1}$\,-- пряме та обернене перетворення Бесселя, $\varphi$\,-- елемент простору, в якому вказане перетворення визначене. Класична теорiя задачi Кошi та крайових задач для сингулярних параболiчних рiвнянь побудована в працях I.А. Кiпрiянова, В.В. Катрахова, М.I. Матiйчука, В.В. Крехiвського, С.Д. Iвасишена, В.П. Лавренчука, I.I. Веренич та iн. Задача Кошi для сингулярних параболiчних рiвнянь у класах розподiлiв та у класах узагальнених функцiй типу $S^{\prime}$ та типу $W^{\prime}$ вивчалась Я.I. Житомирським, В.В. Городецьким, I.В. Житарюком, В.П. Лавренчуком, О.В Мартинюк.
До класу псевдодиференцiальних рiвнянь природно вiднести еволюцiйнi рiвняння з оператором $A=F_{B_{\nu}}^{-1}[a\cdotF_{B_{\nu}}]$, де $a$\,-- однорiдний негладкий у точцi $0$ символ. Для таких рiвнянь задача Кошi не вивчена. Оператор $A$ надалi називатимемо псевдо-Бесселевим оператором. Отже, актуальним є питання про розвиток теорiї задачi Кошi (та двоточкової задачi) для еволюцiйного рiвняння вигляду $$\frac{\partial u(t,x)}{\partial t}+Au(t,x)=0,\hspace{0.3cm}t\in(0,T),\ x\in \mathbb{R}_+, \eqno(1) $$ одержання для таких рiвнянь результатiв, подiбних до вiдомих у теорiї задачi Кошi для параболiчних псевдодиференцiальних рiвнянь зi сталим символом $a=a(\sigma)$ (тобто символом, не залежним вiд $t$, $x$) та початковими умовами, якi є узагальненими функцiями типу розподiлiв. Одним з основних методiв дослiдження задачi Кошi для (1) є метод перетворення Бесселя, тому важливим є питання побудови теорiї такого перетворення вiдповiдних просторiв основних та узагальнених функцiй одночасно з теорiєю задачi Кошi для (1). Властивостi простору основних функцiй iстотно залежать від властивостей символа оператора $A$\,-- функцiї $a$. Якщо позначити цей простiр через $\stackrel{o}{\Phi}$, то $$\stackrel{o}{\Phi}=\left\{\varphi\in C^{\infty}(\mathbb{R})|\forall\alpha\in \mathbb{Z}_+\, \exists c_{\alpha}>0\,:\, |D_x^{\alpha}\varphi(x)|\le c_{\alpha}(1+|x|)^{-(\alpha+\gamma_0)}, \, x\in \mathbb{R}\right\}, $$ де $\gamma_0>0$\,-- фiксований параметр, кожна функцiя з $\stackrel{o}{\Phi}$ є парною.
Дисертацiйна робота присвячена розв'язанню вказаних проблем для еволюцiйних рiвнянь з псевдо-Бесселевими операторами в класах початкових даних, якi є узагальненими функцiями з простору $(\stackrel{o} {\Phi})^{\prime}$ (простору, топологiчно спряженого до простору основних функцiй $\stackrel{o}{\Phi}$).
Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертацiя виконана в рамках науково-дослiдних робіт ''Нерегулярні крайові задачі для параболічних рівнянь та рівнянь математичної фізики'' (номер держреєстрацiї 0197U014404) та ''Дослідження коректності сингулярних параболічних крайових задач, задач для псевдодиференціальних операторів нескінченного порядку та їх застосування'' (номер держреєстрацiї 0105U002886) кафедри диференцiальних рiвнянь Чернiвецького нацiонального унiверситету iменi Юрiя Федьковича.
Мета i завдання дослiдження. Метою роботи є розвиток теорії задачi Кошi та двоточкової задачi для еволюцiйних рiвнянь з псевдо-Бесселевими операторами в класах початкових умов, якi є узагальненими функцiями з простору $(\stackrel{o}{\Phi})^{\prime}$; одержання для таких рiвнянь результатiв, подiбних до вiдомих у теорiї задачi Кошi для параболiчних псевдодиференцiальних рiвнянь зi сталим символом та початковими умовами, якi є узагальненими функцiями типу розподiлiв. Безпосереднiми основними задачами дослiдження є:
- вивчення властивостей перетворення Бесселя функцiй iз простору $\stackrel{o}{\Phi}$ та оператора узагальненого зсуву аргументу в просторi $\stackrel{o}{\Phi}$;
- дослiдження властивостей перетворення Бесселя узагальнених функцiй з простору $(\stackrel{o}{\Phi})^{\prime}$, згорток, згортувачiв та мультиплiкаторiв;
- встановлення коректної розв'язностi задачi Кошi для еволюцiйних рiвнянь з псевдо-Бесселевими операторами у просторi узагальнених функцiй $(\stackrel{o}{\Phi})^{\prime}$;
- встановлення коректної розв'язностi двоточкової задачi для вказаних рiвнянь у просторi узагальнених функцій $(\stackrel{o}{\Phi})^{\prime}$.
Наукова новизна одержаних результатiв. Для еволюцiйних рiвнянь з псевдо-Бесселевими операторами у дисертації вперше одержано такi результати: доведено теореми про перетворення Бесселя простору $\stackrel{o}{\Phi}$, описана топологiчна структура простору, який є образом простору основних функцій $\stackrel{o}{\Phi}$ при перетвореннi Бесселя; доведено, що операцiя узагальненого зсуву аргументу визначена i нескiнченно диференцiйовна у просторi $\stackrel{o}{\Phi}$ (тобто граничнi спiввiдношення вигляду $(T_x^{\xi+\Delta\xi}\varphi-T_x^{\xi}\varphi)(\Delta\xi)^{-1}\to{\frac {\partial}{\partial\xi}}T_x^{\xi}\varphi$, $\Delta\xi\to 0$, справджуються у просторi $\stackrel{o}{\Phi}$; $\varphi\in\stackrel{o}{\Phi}$, $T_x^{\xi}$\,-- оператор узагальненого зсуву аргументу, який вiдповiдає оператору Бесселя); знайдено необхiднi i достатнi умови, якi характеризують клас згортувачiв\,-- узагальнених функцiй iз простору $(\stackrel{o}{\Phi})^{\prime}$; дослiдженi властивості перетворення Бесселя таких узагальнених функцiй; досліджені властивостi фундаментального розв'язку задачi Кошi (ФРЗК) як абстрактної функцiї часового параметра iз значеннями у просторi $\stackrel{o}{\Phi}$, встановленi оцiнки похiдних ФРЗК, доведена диференцiйовнiсть (по $t$) згортки ФРЗК з довiльною узагальненою функцiєю з простору $(\stackrel{o}{\Phi})^{\prime}$; вивчена поведiнка вказаних згорток при $t\to +0$ у просторi узагальнених функцiй $(\stackrel{o}{\Phi})^{\prime}$; встановлено коректну розв'язнiсть задачi Кошi у певному пiдпросторi узагальнених функцiй простору $(\stackrel{o}{\Phi})^{\prime}$, який збігається з множиною початкових значень гладких розв'язкiв вказаних рiвнянь; при цьому розв'язок має вигляд $u(t,x)=(f*G)(t,x)$, $f\in (\stackrel{o}{\Phi}) ^{\prime}$ ($G$\,-- ФРЗК), $u(t,\cdot)$ при кожному $t\in(0,T)$ належить до простору основних функцій $\stackrel{o}{\Phi}$, але граничне значення $u(t,\cdot)$ при $t\to+0$ iснує вже в просторi узагальнених функцій $(\stackrel{o}{\Phi})^{\prime}$; доведено, що розв'язок $u$ задачi Кошi володiє властивiстю локалiзацiї, яка полягає в тому, що якщо початкова умова\,-- узагальнена функцiя $f$\,-- в деякiй областi $Q$ збiгається з неперервною функцiєю $g$, то розв'язок $u(t,x)$ вiдповiдної задачi Кошi збiгається до $g(x)$ при $t\to +0$ на довiльному компактi $\K \subset Q$ (тобто, в цьому випадку має мiсце локальне посилення збiжностi); дослiджено властивості фундаментального розв'язку двоточкової задачi для еволюційного рiвняння з псевдо-Бесселевим оператором, встановлено коректну розв'язнiсть цiєї задачi у випадку, коли гранична функцiя є узагальненою функцiєю з простору $(\stackrel{o}{\Phi})^{\prime}$, доведено властивiсть локалiзацiї розв'язку; встановлено коректну розв'язнiсть задачi Кошi для еволюцiйного рiвняння з оператором Бесселя дробового диференцiювання в класi узагальнених початкових умов типу ультрарозподiлiв.
При одержаннi цих результатiв модифiкованi методи теорiї задачi Кошi для сингулярних та псевдодиференцiальних параболічних рiвнянь.
Практичне значення одержаних результатiв. Дослiдження мають теоретичний характер. Їх результати можуть знайти застосування у теорiї параболiчних псевдо диференціальних рiвнянь, теорiї перетворення Бесселя, теорiї узагальнених функцiй.
Особистий внесок здобувача. Основнi результати дисертації одержанi автором самостiйно. У спільних з науковим керівником працях [1,2,3,6,7,10,11] В.В. Городецькому належить постановка задач та аналіз отриманих здобувачем результатів.
Апробацiя результатiв дисертацiї. Результати досліджень, включені до дисертації, доповідались на: VII Мiжнародній науковій конференцiї iменi академiка М. Кравчука (Київ, 1998р.), Мiжнародній конференції імені Й.П. Шаудера (Львів, 1999 р.), Мiжнародній конференцiї "Диференціальні рівняння та їх застосування", присвяченій 60-річчю кафедри інтегральних і диференціальних рівнянь Київського національного університету імені Тараса Шевченка (Київ, 2005 р.), Міжнародній математичній конференції ім. В.Я. Скоробагатька (Дрогобич, 2007 р.), XIV Всеукраїнській науковій конференції "Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики", присвяченій 90-річчю з дня народження проф. О.М. Костовського (Львів, 2007 р.), IV Міжнародній науково-практичній конференції "Наука: теорія і практика - 2007" (Пшемисль (Польща), 2007 р.), наукових семінарах кафедри диференціальних рівнянь та факультету прикладної математики Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича (Чернівці, 2007 р.).
Публiкацiї. Основні результати дисертаційної роботи опубліковані в 12 працях, з них 3 - у наукових журналах, 3 - у збірниках наукових праць і 6 - у матеріалах конференцій. Серед публікацій 5 праць у наукових фахових виданнях з переліку № 1, затвердженого ВАК України від 9.06.1999 р.
Структура i обсяг роботи. Дисертація складається з вступу, п'яти розділів, висновку та списку використаних джерел, який містить 112 найменувань. Повний обсяг роботи становить 142 сторінки.
Автор висловлює щиру подяку науковому керівникові професору Городецькому Василю Васильовичу за допомогу при написанні роботи, корисні поради та цікаві ідеї.


ЗМICТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовується актуальність теми дослідження, сформульовано мету і задачі дослідження, вказується на зв'язок дисертації з науковими темами кафедри, де вона виконувалася, наводяться основні результати, відзначається їх новизна, практичне значення та апробація.
У першому розділі наведені основні результати, відомі на теперішній час стосовно задачі Коші та крайових задач для сингулярних та псевдодиференціальних параболічних рівнянь, зроблено огляд наукових праць, безпосередньо пов'язаних з дисертацією і з яких запозичуються методи досліджень та результати яких поширюються на більш загальні об'єкти.
У розділі 2 вивчаються властивості перетворення Бесселя функцій з простору ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$, досліджена топологічна структура простору ${\mathop{\Psi}\limits^{\circ}} =F_B[{\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}]$, доведено, що операція узагальненого зсуву аргументу диференційовна (нескінченно диференційовна) у просторі ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$. Досліджені властивості перетворення Бесселя узагальнених функцій з простору $({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}})'$, згорток узагальнених функцій з основними. Знайдено умови, які характеризують клас згортувачів\,-- узагальнених функцій із простору $({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}})'$ та мультиплікаторів.
У підрозділі 2.1 наведено означення та топологічна структура просторів $\Phi$ та ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$. Нехай $\gamma$\,-- фіксоване число з множини $(1; +\infty) \setminus\{2; 3; 4; \dots\}$, $\nu$\,-- фіксоване число з множини $\left\{{3}/{2}; {5}/{2}; {7}/{2}; \dots \right\}$, $\gamma_0:=$ $1 + [\gamma]+p_0$, $p_0 = 2\nu+1$, $M(x):= 1 + |x|$, $x \in \mathbb{R}$. Елементами простору $\Phi$, за означенням, є нескінченно диференційовні на $\mathbb{R}$ функції $\varphi$, які задовольняють нерівності $$ |D_x^k \varphi(x)| \leq \frac{c_k}{(1 + |x|)^{\gamma_0+k}}, \quad x \in \mathbb{R}, \, k \in \Z_+.$$
У $\Phi$ вводиться структура зліченно нормованого простору за допомогою норм: $$ \|\varphi\|_{p}:= \supl_{x \in\R}\left\{ \suml_{k=0}^{p} M(x)^{\gamma_0+k} |D_x^k \varphi(x)|\right\}, \quad \varphi \in \Phi, p \in \Z_+.$$
У просторі $\Phi$ визначені і неперервні операції зсуву аргументу та операція диференціювання.
Символом ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$ позначатимемо сукупність усіх парних функцій з простору $\Phi$. Оскільки ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$ утворює підпростір $\Phi$, то в ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$ природним способом вводиться топологія. Цей простір з відповідною топологією називатимемо основним простором, а його елементи\,-- основними функціями.
У підрозділі 2.2 наведені твердження, які стосуються основних властивостей перетворення Бесселя просторів ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$.
На функціях з простору ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$ визначене перетворення Бесселя $F_B$: $$ F_B[\varphi](\xi) = \intl_{0}^{\infty} \varphi(x) j_{\nu}(x \xi) x^{2\nu+1} dx, \quad \varphi \in {\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}, $$ де $j_\nu$\,-- нормована функція Бесселя.
$F_B[\varphi]$\,-- парна, обмежена, неперервна на $\mathbb{R}$ функція. Інші властивості перетворення Бесселя наведено у вигляді наступних тверджень.
Твердження 2.1. Якщо $\varphi \in {\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$, то $F_B[\varphi]$\,-- нескінченно диференційовна на $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ функція.
Твердження 2.2. У функції $D_{\xi}^k F_B[\varphi](\xi)$, $\xi \neq 0$, $k \in \mathbb{Z}_+$, існують скінченні односторонні границі $\dst \liml_{\xi \to \pm 0} D_{\xi}^k F_B[\varphi](\xi)$, $\varphi \in{\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$.
Твердження 2.3. Функції з простору ${\mathop{\Psi}\limits^{\circ}}= F_B[\mathop{\Phi}\limits^{\circ}]$ задовольняють умову:} $$ \forall s \in \mathbb{Z}_+ \enskip \exists c_s > 0: \enskip \supl_{\xi \in \mathbb{R} \setminus \{0\}} |\xi^s D_{\xi}^s F_B[\varphi](\xi)| \leq c_s, \quad \forall \varphi \in {\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}.$$
Твердження 2.4. $\xi^s D_{\xi}^s F_B[\varphi] \in L_1(\mathbb{R})$, $s \in \mathbb{Z}_+ $, для довільної функції $\varphi \in {\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$.
На функціях $F_B[\varphi] \in {\mathop{\Psi}\limits^{\circ}}$ визначене обернене перетворення Бесселя $$ \varphi(x) = F_B^{-1}[F_B[\varphi]](x) = c_{\nu} \cdot\intl_{0}^{\infty} F_B[\varphi](\xi) j_{\nu}(x \xi) \xi^{2\nu+1}d\xi,$$ де $c_{\nu} = (2^{2\nu} \Gamma^2(\nu+1))^{-1}$.
Твердження 2.5. Перетворення Бесселя неперервно відображає ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$ на простір ${\mathop{\Psi}\limits^{\circ}}$.
У підрозділі 2.3 розглядається оператор узагальненого зсуву аргументу в просторі ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$.
Символом $T_x^{\xi}$ позначимо оператор узагальненого зсуву аргументу, який відповідає оператору Бесселя: $$ T_x^{\xi} \varphi(x) = b_{\nu} \intl_{0}^{\pi} \varphi(\sqrt{x^2+\xi^2 - 2x \xi \cos \omega})\sin^{2\nu} \omega d\omega, \quad \varphi \in {\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}, $$ де $b_{\nu} = \Gamma(\nu+1)/(\Gamma(1/2) \Gamma(\nu+1/2))$. Будемо говорити, що оператор $T_x^{\xi}$ визначений у просторі ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$, якщо $T_x^{\xi} \varphi \in {\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$ для кожного $\varphi \in {\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$.
Лема 2.1. Оператор узагальненого зсуву аргументу $T_x^{\xi}$ визначений і неперервний у просторі ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$.
Наслідок 2.1. Операція узагальненого зсуву аргументу нескінченно диференційовна у просторі ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$.
У підрозділі 2.4 розглядається простір узагальнених функцій $({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}})'$, перетворення Бесселя узагальнених функцій з простору $({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}})'$. Вивчаються властивості згорток, згортувачів та мультиплікаторів.
Символом $({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}})'$ позначатимемо простір усіх лінійних неперервних функціоналів над відповідним простором основних функцій зі слабкою збіжністю, а його елементи називатимемо узагальненими функціями.
Оскільки в просторі ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$ визначена операція узагальненого зсуву аргументу, то згортку узагальненої функції $f \in ({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}})'$ з основною функцією задамо формулою $ (f*\varphi)(x) = <f_{\xi}, T_{x}^{\xi}\varphi(x)>$, при цьому $f* \varphi$ є нескінченно диференційовною на $\mathbb{R}$ функцією, бо, згідно з наслідком 2.1, операція узагальненого зсуву аргументу нескінченно диференційовна у просторі ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$.
Якщо $f \in ({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}})'$ і $f*\varphi \in {\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$, $\forall \varphi \in {\mathop{\Phi} \limits^{\circ}}$, то функціонал $f$ називається згортувачем у просторі ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$.
Оскільки $F_B^{-1}[\varphi] \in {\mathop{\Phi}\limits^{\circ} и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.