Здесь можно найти образцы любых учебных материалов, т.е. получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ и рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Диплом Изучение абстрактных систем замыканий на множестве. Теорема о взаимосвязи между системами замыканий и операторами замыкания. Понятие и структура алгебраических систем замыканий. Анализ соответствия Галуа как наиболее важного примера систем замыканий.

Информация:

Тип работы: Диплом. Предмет: Математика. Добавлен: 27.05.2008. Сдан: 2008. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


1
Содержание
    Введение 3
      §1. Основные понятия и примеры 6
      §2. Связь систем замыканий с операторами замыкания 13
      §3. Алгебраические системы замыканий 16
      §4. Соответствия Галуа 20
      § 5. Задачи 27
    Библиографический список 32

Введение

Важную роль в математике играет множество подалгебр данной алгебры относительно отношения включения . Оно образует полную решётку с некоторыми характерными свойствами. Понятие замыкания также играет важную роль в алгебре и топологии. В данной дипломной работе рассматриваются основные свойства систем замыканий на множествах, взаимосвязь систем замыканий с операторами замыкания и соответствиями Галуа. Соответствия Галуа представляют собой достаточно интересный класс объектов. Они возникли и получили своё название из теории Галуа, но спустя некоторое время стали применяться не только в самой теории, но и во многих других областях математики. В данной работе соответствия Галуа будем рассматривать в качестве одного из наиболее важных примеров систем замыканий.

Целью квалификационной работы является изучение абстрактных систем замыканий на множестве.

Задачи:

1. рассмотреть понятие системы замыкания, проиллюстрировать это понятие на примерах;

2. сформулировать и доказать теорему о взаимосвязи между системами замыканий и операторами замыкания;

3. рассмотреть понятие алгебраических систем замыканий, сформулировать и доказать теорему об описании структуры алгебраических систем замыканий;

4. рассмотреть понятие соответствия Галуа, примеры соответствий Галуа. Установить связь соответствий Галуа с системами замыканий.

Исходя из цели и задач, дипломная работа состоит из пяти параграфов. В качестве первого шага введём необходимые определения и докажем ряд простых предложений. Этому отводится параграф 1.

В параграфе 2 докажем основную теорему об операторе замыканий, которая даёт прямой выход на соответствия Галуа.

В параграфе 3 сформулируем и докажем одну из наиболее важных теорем о структуре алгебраических систем замыканий.

Параграф 4 будет полностью посвящен соответствиям Галуа: определение, основные примеры и их связь с системами замыканий.

Последний параграф посвящен решению задач.

Основной литературой при написании квалификационной работы стали монографии Кона П. ([1]) и Куроша А. Г. ([2], [3]). Остальные источники ([4], [5], [6], [7]) использовались как дополнительная справочная литература.

Для удобства в данной работе использованы следующие обозначения:

? - начало доказательства;

^ - конец доказательства.

В работе принята сквозная двойная нумерация примеров, где первое число - номер параграфа, а второе - номер примера в параграфе.

Основными результатами работы являются:

1. доказательство теоремы о взаимосвязи между системами замыканий и операторами замыкания: Каждая система замыканий D на множестве A определяет оператор замыкания ? на A по правилу ?(X) = ?{Y D | YX}. Обратно, каждый оператор замыкания ? на A определяет систему замыканий D = {XA | ?(X) = X}.

2. доказательство теоремы о структуре алгебраических систем замыканий: Система S(A) подалгебр универсальной алгебры A является алгебраической системой замыканий. Обратно, если дана алгебраическая система замыканий D на множестве A, то для подходящего множества алгебраических операций Щ можно определить такую структуру универсальной алгебры на A, что S(A) = D.

3. установление связи соответствий Галуа с системами замыканий на конкретных примерах.

4. решение задач.

§1. Основные понятия и примеры

Понятие упорядоченного множества является фундаментальным для современной теоретико-множественной математики, поэтому первым делом ведём именно это понятие и понятия с ним связанные.

Определение 1. Пусть L - непустое множество с бинарным отношением , которое является рефлексивным, транзитивным и антисимметричным. Тогда введенное отношение - отношение порядка. Множество L - упорядоченное множество.

Определение 2. Упорядоченное множество, в котором два элемента сравнимы, называется линейно-упорядоченным множеством или цепью.

Определение 3. Решеткой называется упорядоченное множество, в котором любые два элемента имеют точную верхнюю и точную нижнюю грани.

В качестве второго шага введём те определения и предложения, которые непосредственно связаны с темой дипломной работы и которыми будем пользоваться в дальнейшем.

Определение 4. Пусть A - произвольное множество и B (A) - его булеан, то есть множество всех его подмножеств. Будем рассматривать некоторые подмножества булеана B (A), или системы подмножеств множества A. Система D   подмножеств множества A называется системой замыканий, если само множество A принадлежит D   и система D   замкнута относительно пересечений, то есть

?Y D   для любой непустой подсистемы YD.

Так как система замыканий замкнута относительно произвольных пересечений, то из предложения 1 следует, что система замыканий является полной решеткой (относительно упорядоченности по включению). Но это не обязательно подрешетка в B (A), так как операция объединения в D, вообще говоря, отлична от этой операции в B (A).

Одним из примеров системы замыканий является следующий:

Пример 1.1: Система всех подгрупп группы G является системой замыканий, так как G является подгруппой в G и пересечение любого непустого семейства подгрупп группы G само будет подгруппой в G.

Введем ещё одно важное понятие - понятие оператора замыкания на множестве.

Определение 5. Оператором замыкания на множестве A называется отображение ? множества B (A) в себя, которое подчиняется следующим трём аксиомам:

J. 1. X?(X);

J. 2. Если , то ?(X)?(Y);

J. 3. ??(X) = ?(X)

для всех X, YB (A).

Для каждой системы замыканий D на множестве A можно определить оператор замыкания ? равенством

?(X) = ?{YD | YX} для всех XA.

Отметим, что группа аксиом J. 1 - J. 3 является независимой. Покажем это.

Приведём пример отображения, при котором выполняются аксиомы J. 2, J. 3, а аксиома J. 1 не выполняется. Каждому подмножеству X множества A поставим в соответствие пустое множество. Очевидно, что при таком задании оператора не выполняется лишь первая аксиома.

Отображение ?, при котором выполняются только аксиомы J. 1, J. 2, определим так. Пусть A = {a, b, c}, опишем оператор ? следующим образом: каждому элементу поставим в соответствие множество, состоящее из самого этого элемента и элемента, находящегося рядом с ним. Пустое и само множество A при этом отображении переходят в себя:

, AA;

{a}{a, b}, {b}A, {c}{b, c};

{a, b}A, {a, c}A, {b, c}A.

Очевидно, что первая и вторая аксиомы выполняются, а третья не выполняется, так как ??(a) = A?{a, b} = ?(a).

Пример отображения, при котором не выполняется только аксиома J. 2 следующий. Пусть A = {a, b, c}. Отображение ? зададим так: пустое, все двухэлементные подмножества и само множество A переходят в себя, а всем одноэлементным подмножествам поставим в соответствие множество A:

, AA;

{a}A, {b}A, {c}A;

{a, b}{a, b}, {a, c}{a, c}, {b, c}{b, c}.

Очевидно, что аксиома J. 2 не выполняется, так как {a}{a, b}, но ?({a}) = A{a, b} = ?({a, b}).

Следовательно, мы показали, что система аксиом J. 1 - J. 3 будет независима.

Одним из видов операторов замыкания является алгебраический оператор замыкания. Дадим определение.

Определение 6. Оператор замыкания ? на множестве A называется алгебраическим, если для любых XA и aA

а?(X) влечет a?(F)

для некоторого конечного подмножества F множества X.

С определением алгебраического оператора замыкания тесно связано понятие алгебраической системы замыканий.

Определение 7. Система замыканий D на множестве A называется алгебраической, если соответствующий оператор замыкания ? является алгебраическим, то есть для любого XA

a{ D D : X D} влечёт a{ D D : F D}

для некоторого конечного FX.

Приведём один из наиболее важных примеров оператора замыкания, который широко применяется в топологии. Этот оператор ставит в соответствие каждому подмножеству X топологического пространства A его замыкание.

Пример 1.2: Пусть - топологическое пространство. Введем на множестве A отображение , заданное следующим образом: X[X], где [X] - замыкание множества XA. Покажем, что - оператор замыкания на множестве A.

Для этого проверим выполнимость свойств J. 1 - J. 3.

1) Если XY, то [X][Y].

Возьмем x0[X]. Тогда любая окрестность точки x0 содержит точки множества Xв любой окрестности точки x0 содержатся точки множества Yx0[Y].

2) X[X].

Каждая точка множества является его точкой прикосновения. Значит, каждая точка множества X лежит и в [X].

3) [[X]] = [X]. Докажем методом двойного включения.

a) [X][[X]]. Доказано во втором пункте.

b) x0[[X]]Возьмем U (x0), для неё y0U (x0)[X]y - точка прикосновения множества XU (y0) найдутся точки множества X. Возьмем U (y0)U (x0), z0U (y0)X. Отсюда z0U (x0)X. Тогда x0 - точка прикосновения множества Xx0[X]. Таким образом, [[X]][X].

Пример 1.3: Каждому множеству X точек плоскости A = R2 поставим в соответствие его выпуклую оболочку . Ясно, что X оператор замыкания на множестве A.

Предложение 1. Если A - такое упорядоченное множество с наибольшим элементом, в котором каждое подмножество обладает точной нижней гранью, то A является полной решеткой.

Доказательство:

? Заметим, что если каждое подмножество точной нижней гранью обладает, следовательно, ей обладает и пустое множество, то есть в A существует наибольший элемент.

Требуется доказать, что A - полная решетка, то есть любое непустое подмножество имеет наибольший и наименьший элемент.

Рассмотрим XA, Y - множество всех верхних граней множества X в A и положим y = inf Y. Тогда любой элемент из X будет нижней гранью множества Y и, следовательно, xy для любого xX; если также xz для любого xX, то zY и, следовательно, yz. Поэтому y = sup X. ^

Определение 8. Упорядоченное множество (I,) называется направленным, если для любых i, jI существует такой элемент kI, что ik, jk, то есть для любого двухэлементного множества из I существует верхняя граница.

Предложение 2. Пусть A - упорядоченное множество; тогда следующие три условия эквивалентны:

(i) Каждое непустое направленное подмножество множества A имеет точную верхнюю грань.

(ii) Каждая непустая цепь множества A имеет точную верхнюю грань.

Доказательство:

? Каждая вполне упорядоченная цепь является цепью, и каждая цепь направлена, следовательно, (i)(ii); чтобы закончить доказательство, покажем, что (ii)(i). Возьмем максимальную цепь, в ней существует точная верхняя грань. Тогда по лемме Цорна и направленное подмножество множества A имеет точную верхнюю грань. ^

Предложение 3 (лемма Цорна). Непустое упорядоченное множество, в котором каждая цепь обладает верхней гранью, имеет максимальный элемент, точнее для любого элемента a из A существует элемент ba, являющийся максимальным в A.

Лемма Цорна была предложена в 1935 году. Она часто заменяет рассуждения, основанные на таких эквивалентных ей принципах, как принцип максимальности Хаусдорфа, аксиома выбора, теорема Цермело о вполне упорядоченности.

Можно показать эквивалентность этих утверждений лемме Цорна, но мы не будем этого делать, так как это не является целью дипломной работы. Лемма Цорна принимается нами в качестве аксиомы.

§2. Связь систем замыканий с операторами замыкания

В параграфе 1 были даны определения систем замыканий и операторов замыкания. Между ними существует взаимосвязь. Сформулируем эту взаимосвязь в качестве теоремы и докажем её.

Теорема 1. Каждая система замыканий D на множестве A определяет оператор замыкания ? на A по правилу

?(X) = ?{Y D | YX}.

Обратно, каждый оператор замыкания ? на A определяет систему замыканий

D = {XA | ?(X) = X}.

Доказательство:

? 1) Пусть дана система замыканий D   и оператор ?, определенный по правилу ?(X) = ?{Y D | YX}. Докажем, что ? - оператор замыкания. Для этого проверим выполнимость условий J. 1 - J. 3. Этот оператор удовлетворяет условиям J. 1 - 2 по определению. По условию, D - система замыканий. Тогда

?(X) = XXD, (1)

так как ?(X) D, то отсюда вытекает J. 3.

2) Обратно, пусть задан оператор замыкания ? (удовлетворяющий J. 1 - 3) и пусть

D = {XA | ?(X) = X}. (2)

Докажем, что D - система замыканий. Если (Xi)iI - произвольное семейство в D   и ?Xi = X, то XXi; следовательно, по J. 1. ?(X)?(Xi) = Xi для всех i, и поэтому

?(X)?Xi = X.

Вместе с условием J. 2 это показывает, что ?(X) = X, то есть XD. Таким образом, с помощью ? мы построили систему замыканий D.

3) Покажем, что соответствие D ? взаимно однозначно.

Во-первых, пусть D - произвольная система замыканий, ? - оператор, определенный равенством ?(X) = ?{YD | YX} для всех XA, и D ' - система замыканий, определенная оператором ? по формуле (2). Тогда D ' = D в силу (1). Возьмем затем произвольный оператор замыкания ?, и пусть D - система замыканий, определенная оператором ? по формуле (2), а ? ' - оператор, определенный системой D по формуле ?(X) = ?{YD | YX}. Как только что было показано, D тогда также определяется оператором ? ', и, следовательно,

?(X) = X? '(X) = X. (3)

В силу J. 3, ??(X) = ?(X); поэтому из (3) вытекает, что ? '?(X) = ?(X). Но X?(X) и, применяя ? ' получаем ? '(X)? '?(X) = ?(X), а обратное включение следует из соображений симметрии. ^

Системы замыканий и операторы замыкания могут быть определены на любой полной решётке L и соотношения между ними, установленные в теореме 1, сохраняются.

На самом деле теорема 1 является частным случаем соответствующей теоремы (при L = B (A)) для произвольной полной решётки L.

Элементы системы D называются замкнутыми множествами множества A, а ?(X) называется замыканием множества X в A (?(X) на самом деле замкнуто в силу J. 3). Как было отмечено, D   является полной решеткой относительно . Точнее, если задано некоторое семейство (Xi)iI в D, то множество ?Xi будет наибольшим замкнутым множеством, содержащимся во всех множествах Xi, а ?{YD | YXi для всех iI} - наименьшим замкнутым множеством, содержащим все множества Xi.

§3. Алгебраические системы замыканий

Начнем с понятия алгебраической операции.

Пусть A - универсальная алгебра с множеством алгебраических операций Щ. Каждая операция щ из Щ имеет определённую арность n, nN{0}.

Для любого натурального n n-арная операция щ - это отображение из An в A, то есть каждой упорядоченной n-ке {a1; …; an}An операция щ ставит в соответствие однозначно определённый элемент щ(a1; …; an) из A.

В случае п = 1 это будет любое преобразование множества A (отображение A в себя).

Если n = 0, то a0 - это одноэлементное множество и 0-арная операция щ переводит элемент a0 в некоторый элемент щ(a0) = щ из A, то есть 0-арная операция щ фиксирует некоторый элемент в A: является некоторым выделенным элементом алгебры A.

Если дана универсальная алгебра A с множеством алгебраических операций Щ, то подмножество BA называется подалгеброй алгебры A, если оно замкнуто относительно всех операций из Щ. Иными словами, для любого щЩ, n1, и любых а1, а2, …, апB должно быть

щ(а1, а2, …, ап)B.

С другой стороны, элементы, отмечаемые в A всеми 0-арными операциями из Щ (если такие существуют), должны содержаться в подалгебре B.

Очевидно, что пересечение любой системы подалгебр универсальной алгебры A, если оно не пусто, будет подалгеброй этой алгебры.

Отсюда следует, что если X - непустое подмножество алгебры A, то в A существует наименьшая среди подалгебр, содержащих целиком множество X. То есть существует наименьшая подалгебра в A, содержащая X и она равна пересечению всех подалгебр алгебры A, содержащих X. Обозначим её через и назовём подалгеброй, порожденной множеством X.

Стоит отметить, что пересечение подалгебр может быть пустым, если множество алгебраических операций Щ алгебры не содержит 0-арных операций.

Заметим, что система S(А) всех подалгебр алгебры A является алгебраической системой замыканий, то есть соответствующий оператор замыкания X является алгебраическим.

Очевидно, что соответствие X является оператором замыкания. Проверим, является ли он алгебраическим.

Возьмём a, тогда a будет принадлежать и , где - конечное подмножество множества X, так как элемент a получается путём применения конечного числа конечноместных n-арных операций щЩ.

Справедливо и обратное утверждение:

Если D - произвольная алгебраическая система замыканий на множестве A, то для подходящего набора алгебраических операций Щ и соответствующей структуры универсальной алгебры на A, имеем S(A) = D.

Для доказательства обозначим через ?(X) оператор замыкания для алгебраической системы замыканий D на множестве A. Зададим алгебраические операции на A следующим образом. Каждой n-ке a1, …, anA, где nN, и произвольному элементу b?({a1, …, an}) поставим в соответствие свою n-арную операцию щ, определенную следующим правилом:

щ(x1, …, xn) = (4)

Это определяет структуру универсальной алгебры на A, где для каждого натурального числа n операции из Щ заданы формулой (4). Таким образом определено бесконечно много алгебраических операций на множестве A, если A бесконечно.

Пусть ?Щ(X) =  - оператор замыкания, соответствующий системе S(A) подалгебр универсальной алгебры A. Проверим, что ?(X) = ?Щ(X).

Пусть XA и предположим сначала, что X конечно, то есть X = {c1, …, cm}. Тогда ?(X)?Щ(X) по определению (4) алгебраических операций щ.

C другой стороны, так как ??(X) = ?(X), то для любой n-ки a1, …, an?(X) и для любой n-арной операции щЩ щ(a1, …, an)?({a1, …, an})??(X) = ?(X). Поэтому ?(X) является подалгеброй алгебры и, значит, и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.