На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Диплом Мыслительные процессы, суждение и умозаключение. Усвоение понятий, решение мыслительных задач. Виды мышления, логическое мышление и актуальность проблемы его развития у учащихся. Возможности применения математических игр для развития логического мышления.

Информация:

Тип работы: Диплом. Предмет: Педагогика. Добавлен: 15.06.2010. Сдан: 2010. Страниц: 2. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


77
Федеральное агентство по образованию
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
"НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ"
ИНСТИТУТ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО И ИНФОРМАЦИОННО-ЭКОНОМИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ
КАФЕДРА АЛГЕБРЫ
ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИГРЫ, КАК СРЕДСТВО РАЗВИТИЯ ЛОГИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ
Выполнил студент группы 55
О.В. Голобокова
Специальность / направление подготовки 050201 Математика
Специализация / профиль Учитель математики
Форма обучения Очная
Научный руководитель к. п. н,
доцент кафедры алгебры С.В. Гейбука
Новосибирск 2010
Оглавление
    Введение
      Глава 1 Теоретические основы мышления, в частности логического
      1.1 Общее понятие о мышлении
      1.2 Мыслительные процессы
      1.3 Суждение и умозаключение
      1.4 Понятие. Усвоение понятий
      1.5 Понимание. Решение мыслительных задач
      1.6 Виды мышления
      1.7 Индивидуальные различия в мышлении
      1.9 Логическое мышление и актуальность проблемы его развития у учащихся
      Глава 2 Возможности применения математических игр для развития логического мышления
      2.1 Понятие математической игры и ее психолого-педагогические основы
      2.2 Крестики-нолики (2ч)
      2.3 Морской бой (3ч)
      2.4 Отгадай слово (2ч)
      2.5 Быки и коровы (3ч)
      Заключение
      Список литературы

Введение

"Век живи - век учись" - гласит народная мудрость. Но школа должна не только формировать у учащихся прочную основу знаний, умений и навыков, но и максимально развивать их умственную активность: учить мыслить.

Математика является одной из самых теоретических наук изучаемых в школе, именно этим определяется ее исключительная роль в развитии логического мышления. Развивать его нужно как можно раньше на различном материале.

Одной из возможностей развития логического мышления, по-моему мнению, являются математические игры. Из которых более простые, не занимающие много времени (крестики-нолики, отгадай слово) можно использовать в качестве разминки на уроках, а остальным (морской бой, быки и коровы), а так же анализу всех этих игр посвятить факультатив.

Актуальность данной темы определяется следующими обстоятельствами. Никто не будет спорить с тем, что каждый учитель должен развивать логическое мышление учащихся. Об этом говорится в методической литературе, в объяснительных записках к учебным программам. Однако, как это делать учитель не всегда знает. Нередко это приводит к тому, что развитие логического мышления в значительной мере идет стихийно, поэтому большинство учащихся не овладевает начальными приемами логического мышления (анализ, сравнение, синтез, абстрагирование и др.). Роль математики в развитии логического мышления исключительно велика, но, к сожалению, не все ее любят. Я предлагаю для развития логического мышления использовать математические игры, которые с одной стороны имеют интересную занимательную форму, а с другой стороны с помощью них можно реализовать следующие функции:

Во время математической игры происходит одновременно игровая, учебная и трудовая деятельность.

Математическая игра требует от школьника, то чтобы он знал предмет.

В играх ученики учатся планировать свою работу, оценивать результаты не только чужой, но и своей деятельности, проявлять смекалку при решении задач, творчески подходить к любому заданию, использовать и подбирать нужный материал, то есть способствует развитию как мышления в целом, так и логического мышления в частности.

Результаты игр показывают школьникам их уровень подготовленности, тренированности. Математические игры помогают в самосовершенствовании учащихся и, тем самым побуждают их познавательную активность, повышается интерес к предмету.

Во время участия в математических играх учащиеся не только получают новую информацию, но и приобретают опыт сбора нужной информации и правильного ее применения.

Цель моего исследования: изучить возможности развития логического мышления с помощью математических игр на уроках математики и внеклассных мероприятиях.

Объектом является развитие логического мышления.

Предмет исследования: математические игры с помощью которых можно развивать логическое мышление.

Методологическими основаниями для моей работы послужили труды: Е.Я. Гика, А.А. Данилкова, Е.А. Дышницкого, Н.И. Кондакова, Л.И. Холиной, Д.Б. Эльконина.

Были поставлены следующие задачи:

Изучить теоретический материал по теории мышления, логического мышления;

Выявить возможность применения математических игр для развития логического мышления.

Работа состоит из введения двух глав, заключения и списка литературы.

В первой главе я рассматриваю теоретические основы мышления, в частности логического. Во второй главе рассмотрены понятие математической игры, ее психолого-педагогические основы и несколько игр проанализированы с точки зрения возможности развития логического мышления учащихся. В заключении подведены итоги работы.

Глава 1 Теоретические основы мышления, в частности логического

1.1 Общее понятие о мышлении

Предметы и явления действительности обладают такими свойствами и отношениями, которые можно познать непосредственно, при помощи ощущений и восприятий (цвета, звуки, формы, размещение и перемещение тел в видимом пространстве), и такими свойствами и отношениями, которые можно познать лишь опосредованно и благодаря обобщению, т.е. посредством мышления. Мышление - это опосредованное и обобщённое отражение действительности, вид умственной деятельности, заключающейся в познании сущности вещей и явлений, закономерных связей и отношений между ними.

Первая особенность мышления - его опосредованный характер. То, что человек не может познать прямо, непосредственно, он познаёт косвенно, опосредованно: одни свойства через другие, неизвестное - через известное. Мышление всегда опирается на данные чувственного опыта - ощущения, восприятия, представления - и на ранее приобретённые теоретические знания. Косвенное познание и есть познание опосредованное.

Вторая особенность мышления - его обобщённость. Обобщение как познание общего и существенного в объектах действительности возможно потому, что все свойства этих объектов связаны друг с другом. Общее существует и проявляется лишь в отдельном, в конкретном.

Обобщения люди выражают посредством речи, языка. Словесное обозначение относится не только к отдельному объекту, но также и к целой группе сходных объектов. Обобщённость также присуща и образам (представлениям и даже восприятиям). Но там она всегда ограничена наглядностью. Слово же позволяет обобщать безгранично. Философские понятия материи, движения, закона, сущности, явления, качества, количества и т.д. - широчайшие обобщения, выраженные словом.

Мышление - высшая ступень познания человеком действительности. Чувственной основой мышления являются ощущения, восприятия и представления. Через органы чувств - эти единственные каналы связи организма с окружающим миром - поступает в мозг информация. Содержание информации перерабатывается мозгом. Наиболее сложной (логической) формой переработки информации является деятельность мышления. Решая мыслительные задачи, которые перед человеком ставит жизнь, человек размышляет, делает выводы и тем самым познаёт сущность вещей и явлений, открывает законы их связи, а затем на этой основе преобразует мир.

Мышление не только теснейшим образом связано с ощущениями и восприятиями, но оно формируется на основе их. Переход от ощущения к мысли - сложный процесс, который состоит прежде всего в выделении и обособлении предмета или признака его, в отвлечении от конкретного, единичного и установлении существенного, общего для многих предметов.

Мышление выступает главным образом как решение задач, вопросов, проблем, которые постоянно выдвигаются перед людьми жизнью. Решение задач всегда должно дать человеку что-то новое, новые знания. Поиски решений иногда бывают очень трудными, поэтому мыслительная деятельность, как правило, - деятельность активная, требующая сосредоточённого внимания, терпения. Реальный процесс мысли - это всегда процесс не только познавательный, но и эмоционально-волевой.

Объективной материальной формой мышления является язык. Мысль становится мыслью и для себя и для других только через слово - устное и письменное. Благодаря языку мысли людей не теряются, а передаются в виде системы знаний из поколения в поколение. Однако существуют и дополнительные средства передачи результатов мышления: световые и звуковые сигналы, электрические импульсы, жесты и пр. Современная наука и техника широко используют условные знаки в качестве универсального и экономного средства передачи информации.

Облекаясь в словесную форму, мысль вместе с тем формируется и реализуется в процессе речи. Движение мысли, уточнение её, связь мыслей друг с другом и прочее происходят лишь посредством речевой деятельности. Мышление и речь (язык) едины.

Мышление неразрывно связано с практической деятельностью людей. Всякий вид деятельности предполагает обдумывание, учёт условий действия, планирование, наблюдение. Действуя, человек решает какие-либо задачи. Практическая деятельность - основное условие возникновения и развития мышления, а также критерий истинности мышления.

Далее рассмотрим мыслительные процессы - анализ, синтез, сравнение, абстрагирование, конкретизацию.

1.2 Мыслительные процессы

Мыслительная деятельность человека представляет собой решение разнообразных мыслительных задач, направленных на раскрытие сущности чего-либо. Мыслительная операция - это один из способов мыслительной деятельности, посредством которого человек решает мыслительные задачи.

Мыслительные операции разнообразны. Это - анализ и синтез, сравнение, абстрагирование, конкретизация, обобщение, классификация. Какие из логических операций применит человек, это будет зависеть от задачи и от характера информации, которую он подвергает мыслительной переработке.

Анализ - это мысленное разложение целого на части или мысленное выделение из целого его сторон, действий, отношений.

Синтез - обратный анализу процесс мысли, это - объединение частей, свойств, действий, отношений в одно целое. Анализ и синтез - две взаимосвязанные логические операции. Синтез, как и анализ, может быть как практическим, так и умственным.

Анализ и синтез сформировались в практической деятельности человека. В трудовой деятельности люди постоянно взаимодействуют с предметами и явлениями. Практическое освоение их и привело к формированию мыслительных операций анализа и синтеза.

Сравнение - это установление сходства и различия предметов и явлений. Сравнение основано на анализе. Прежде чем сравнивать объекты, необходимо выделить один или несколько признаков их, по которым будет произведено сравнение.

Сравнение может быть односторонним, или неполным, и многосторонним, или более полным. Сравнение, как анализ и синтез, может быть разных уровней - поверхностное и более глубокое. В этом случае мысль человека идёт от внешних признаков сходства и различия к внутренним, от видимого к скрытому, от явления к сущности.

Абстрагирование - это процесс мысленного отвлечения от некоторых признаков, сторон конкретного с целью лучшего познания его. Человек мысленно выделяет какой-нибудь признак предмета и рассматривает его изолированно от всех других признаков, временно отвлекаясь от них. Изолированное изучение отдельных признаков объекта при одновременном отвлечении от всех остальных помогает человеку глубже понять сущность вещей и явлений. Благодаря абстракции человек смог оторваться от единичного, конкретного и подняться на самую высокую ступень познания - научного теоретического мышления.

Конкретизация - процесс, обратный абстрагированию и неразрывно связанный с ним. Конкретизация есть возвращение мысли от общего и абстрактного к конкретному с целью раскрытия содержания.

Мыслительная деятельность всегда направлена на получение какого-либо результата. Человек анализирует предметы, сравнивает их, абстрагирует отдельные свойства с тем, чтобы выявить общее в них, чтобы раскрыть закономерности, управляющие их развитием, чтобы овладеть ими.

Обобщение, таким образом, есть выделение в предметах и явлениях общего, которое выражается в виде понятия, закона, правила, формулы и т.п.

Отметим, что именно формулировка суждений и вывод умозаключений являются необходимым условием анализа математических игр, представленных во второй главе.

1.3 Суждение и умозаключение

Мышление человека протекает в форме суждений и умозаключений. Суждение - это форма мышления, отражающая объекты действительности в их связях и отношениях. Каждое суждение есть отдельная мысль о чём-либо. Последовательная логическая связь нескольких суждений, необходимая для того, чтобы решить какую-либо мыслительную задачу, понять что-нибудь, найти ответ на вопрос, называется рассуждением. Рассуждение имеет практический смысл лишь тогда, когда оно приводит к определённому выводу, умозаключению. Умозаключение и будет ответом на вопрос, итогом поисков мысли.

Умозаключение - это вывод из нескольких суждений, дающий нам новое знание о предметах и явлениях объективного мира. Умозаключения бывают индуктивные, дедуктивные и по аналогии.

Индуктивное умозаключение - это умозаключение от единичного (частного) к общему. Из суждений о нескольких единичных случаях или о группах их человек делает общий вывод.

Рассуждение, в котором мысль движется в обратном направлении, называют дедукцией, а вывод - дедуктивным. Дедукция есть вывод частного случая из общего положения, переход мысли от общего к менее общему, к частному или единичному. При дедуктивном рассуждении мы, зная общее положение, правило или закон, делаем вывод о частных случаях, хотя их специально и не изучали.

Умозаключение по аналогии - это умозаключение от частного к частному. Сущность умозаключения по аналогии состоит в том, что на основании сходства двух предметов в некоторых отношениях делается вывод о сходстве этих предметов и в других отношениях. Умозаключение по аналогии лежит в основе создания многих гипотез, догадок.

Суждение и понятие не могут существовать друг без друга, поэтому далее рассмотрим, что такое понятие и что значит усвоить понятие.

1.4 Понятие. Усвоение понятий

Результаты познавательной деятельности людей фиксируют в форме понятий. Познать предмет - значит, раскрыть его сущность. Понятие - есть отражение существенных признаков предмета. Чтобы эти признаки раскрыть, нужно всесторонне изучить предмет, установить его связи с другими предметами. Понятие о предмете возникает на основе многих суждений и умозаключений о нём.

Понятие как результат обобщения опыта людей является высшим продуктом мозга, высшей ступенью познания мира.

Каждое новое поколение людей усваивает научные, технические, моральные, эстетические и другие понятия, выработанные обществом в процессе исторического развития.

Усвоить понятие - это значит осознать его содержание, уметь выделять существенные признаки, точно знать его границы (объём), его место среди других понятий с тем, чтобы не путать со сходными понятиями; уметь пользоваться данным понятием в познавательной и практической деятельности.

1.5 Понимание. Решение мыслительных задач

Мыслительная деятельность человека проявляется в понимании объектов мышления и в решении на этой основе разнообразных мыслительных задач.

Понимание - процесс проникновения мысли в сущность чего-либо. Объектом понимания может быть любой предмет, явление, факт, ситуация, действие, речь людей, произведение литературы и искусства, научная теория и т.д.

Понимание может быть включено в процесс восприятия объекта и выражаться в узнавании, осознании его, оно может осуществляться и вне восприятия.

Понимание является обязательным условием решения мыслительных задач.

Действуя, человек решает разнообразные задачи. Задача представляет собой ситуацию, которая определяет действие человека, удовлетворяющего потребность путём изменения этой ситуации.

Сущность задачи состоит в достижении цели. Сложные задачи человек решает в несколько этапов. Осознав цель, вопрос, возникшую потребность, он затем анализирует условия задачи, составляет план действий и действует.

Одни задачи человек решает непосредственно, путём выполнения привычных практических и умственных действий, другие задачи решает опосредованно, путём приобретения знаний, необходимых для анализа условий задачи. Задачи последнего типа называются мыслительными.

Решение мыслительных задач проходит несколько этапов. Первый этап - осознание вопроса задачи и стремление найти на него ответ. Без вопроса нет задачи, нет вообще деятельности мышления.

Второй этап решения мыслительных задач - это анализ условий задачи. Не зная условий, нельзя решить ни одной задачи, ни практической, ни умственной.

Третий этап решения мыслительной задачи - само решение. Процесс решения осуществляется посредством различных умственных действий с использованием логических операций. Умственные действия образуют определённую систему, последовательно сменяя друг друга.

Последним этапом решения мыслительных задач является проверка правильности решения. Проверка правильности решения дисциплинирует мыслительную деятельность, позволяет осмыслить каждый шаг её, найти незамеченные ошибки и исправить их.

Умение решать мыслительные задачи характеризует ум человека, особенно, если человек может решать их самостоятельно и наиболее экономными способами. Вторым признаком развития будем считать умение учащихся выделять группы похожих случаев.

При реализации знаний, описанных во второй главе, одним из показателей развития мышления мы будем считать увеличение степени самостоятельности учащихся при решении мыслительных задач. Вторым признаком развития будем считать умение учащихся выделять группы случаев, характеризующихся по какому-либо признаку.

1.6 Виды мышления

В зависимости от того, какое место в мыслительном процессе занимают слово, образ и действие, как они соотносятся между собой, выделяют три вида мышления: конкретно-действенное, или практическое, конкретно-образное и абстрактное [1]. Эти виды мышления выделяются ещё и на основании особенностей задач - практических и теоретических. Так же существует и другое разделение: предметно-действенное, образное и теоретическое (понятийное) [10]. Но мы остановимся на первой классификации видов мышления.

Конкретно-действенное мышление направлено на решение конкретных задач в условиях производственной, конструктивной, организаторской и иной практической деятельности людей. Практическое мышление - это, прежде всего, техническое, конструктивное мышление. Оно состоит в понимании техники и в умении человека самостоятельно решать технические задачи. Процесс технической деятельности есть процесс взаимодействий умственных и практических компонентов работы. Сложные операции абстрактного мышления переплетаются с практическими действиями человека, неразрывно связаны с ними. Характерными особенностями конкретно-действенного мышления являются ярко выраженная наблюдательность, внимание к деталям, частностям и умение использовать их в конкретной ситуации, оперирование пространственными образами и схемами, умение быстро переходить от размышления к действию и обратно. Именно в этом виде мышления в наибольшей мере проявляется единство мысли и воли.

Конкретно-образное, или художественное, мышление характеризуется тем, что отвлечённые мысли, обобщения человек воплощает в конкретные образы.

Абстрактное, или словесно-логическое мышление направлено в основном на нахождение общих закономерностей в природе и человеческом обществе. Абстрактное, теоретическое мышление отражает общие связи и отношения. Оно оперирует главным образом понятиями, широкими категориями, а образы, представления в нём играют вспомогательную роль.

Отметим, что абстрактное мышление некоторые авторы [14] называют так же словесно-логическим, другие авторы [29, 13] называют его абстрактно-логическим или отвлеченным. Но с другой стороны словесно-логическое и логическое мышление иногда отождествляют [21].

Рассмотрим несколько определений:

Абстрактное мышление - мышление, оперирующее сложными отвлеченными понятиями и умозаключениями, позволяющее мысленно вычленить и превратить в самостоятельный объект рассмотрения отдельные стороны, свойства или состояния предмета, явления. Такое вычлененное и самостоятельное свойство является абстракцией обобщения и образования понятий. Выделение содержательных, обладающих относительной самостоятельностью, абстракцией соответствует теоретическому мышлению, способному к созданию рационалистических схем, тогда как формальные абстракции вычленяют свойства предмета, не существующие сами по себе и независимо от него, и соответствуют эмпирическому уровню [23].

Абстрактно-логическое (отвлеченное) мышление - вид мышления, основанный на выделении существенных свойств и связей предмета и отвлечении от других, несущественных [29].

Абстрактно-логическое мышление - это естественная способность здорового человеческого мозга к самостоятельной разработке самостоятельных методов "добывания" из окружающей действительности новых знаний. Высокая способность оперировать с "отвлеченными", "воображаемыми" понятиями (которые в принципе невозможно увидеть или "потрогать руками" и способность к отслеживанию влияния "отвлеченных" понятий на явления конкретной жизни) [13].

Словесно-логическое мышление (логическое) - вид мышления, осуществляемый с помощью логических операций с понятиями. При словесно-логическом мышлении оперируя логическими понятиями, субъект может познавать существенные закономерности и ненаблюдаемые взаимосвязи исследуемой реальности. Развитие словесно-логического мышления перестраивает и упорядочивает мир образных представлений и практических действий [18].

Рассмотрим теперь определение логического мышления, которое дает Бурмистрова:

Логическое мышление - это умение оперировать абстрактными понятиями, это управляемое мышление, это мышление путем рассуждений, это строгое следование законам неумолимой логики, это безукоризненное построение причинно-следственных связей.

Следует отметить, что во всех представленных определениях есть нечто общее: Все эти виды мышления направлены на оперирование абстрактными понятиями и они невозможны без рассуждений.

Таким образом единой точки зрения на то как соотносятся между собой абстрактное и логическое мышление нет. Далее в работе я соглашусь с А.А. Ивиным и Ю.В. Бурмистровой и буду предполагать, что абстрактное и логическое мышление взаимосвязаны между собой, но не тождественны, логическое мышление более строгое и формализованное. В качестве основы для дальнейшего исследования возьму определение Е.В. Бурмистровой.

Далее более подробно понятие логического мышления будет рассмотрен в 1.9

Возвращаясь к трем видам мышления, следует отметить, что тесно связаны друг с другом. У многих людей в одинаковой мере развиты конкретно-действенное, конкретно-образное и теоретическое мышление, но в зависимости от характера задач, которые человек решает, на первый план выступает то один, то другой, то третий вид мышления.

Если мышление рассматривать в процессе развития его у детей, то можно обнаружить, что раньше всего возникает мышление конкретно-действенное, потом конкретно-образное и, наконец, абстрактно-логическое. Но особенности каждого из указанных видов мышления у детей несколько иные, связь их проще.

В своей работе я и буду развивать логическое мышление.

Теперь рассмотрим индивидуальные различия в мышлении.

1.7 Индивидуальные различия в мышлении

Виды мышления являются вместе с тем типологическими особенностями умственной и практической деятельности людей. В основе каждого вида лежит особое отношение сигнальных систем. Если у человека преобладает конкретно-действенное или конкретно-образное мышление, это означает относительное преобладание у него первой сигнальной системы над другой; если же человеку наиболее свойственно словесно-логическое мышление, это означает относительное преобладание у него второй сигнальной системы над первой. Существуют и другие различия в мыслительной деятельности людей. Если они устойчивы, их называют качествами ума.

Понятие ума шире понятия мышления. Ум человека характеризуют не только особенности его мышления, но и особенности других познавательных процессов (наблюдательность, творческое воображение, логическая память, внимательность). Понимая сложные связи между предметами и явлениями окружающего мира, умный человек должен хорошо понимать и других людей, быть чутким, отзывчивым, добрым. Качества мышления - основные качества ума. К ним относят гибкость, самостоятельность, глубину, широту, последовательность и некоторые другие мышления.

Гибкость ума выражается в подвижности мыслительных процессов, умении учитывать меняющиеся условия умственных или практических действий и в соответствии с этим менять способы решения задач. Гибкости мышления противостоит инертность мышления. Человеку инертной мысли более свойственно воспроизведение усвоенного, чем активные поиски неизвестного. Инертный ум - это ленивый ум. Гибкость ума - обязательное качество людей творчества.

Самостоятельность ума выражается в способности ставить вопросы и находить оригинальные пути их решения. Самостоятельность ума предполагает его самокритичность, т.е. умение человека видеть сильные и слабые стороны своей деятельности вообще и умственной в частности.

Другие качества ума - глубина, широта и последовательность также имеют важное значение. Человек глубокого ума способен "доходить до корня", вникать в сущность предметов и явлений. Люди последовательного ума умеют строго логически рассуждать, убедительно доказывать истинность или ложность какого-либо вывода, проверять ход рассуждения.

Все эти качества ума воспитываются в процессе обучения детей в школе, а также путём настойчивой работы над собой.

На мой взгляд, игры представленные во второй главе помогают формированию самостоятельности, последовательности, глубины и широты. Они учат строго логически рассуждать.

Теперь рассмотрим, как же формируется мышление у детей.

1.8 Формирование мышления у детей
Ребёнок рождается, не обладая мышлением. Чтобы мыслить, необходимо обладать некоторым чувственным и практическим опытом, закреплённым памятью. К концу первого года жизни у ребёнка можно наблюдать проявления элементарного мышления.
Основным условием развития мышления детей является целенаправленное воспитание и обучение их. В процессе воспитания ребёнок овладевает предметными действиями и речью, научается самостоятельно решать сначала простые, затем и сложные задачи, а также понимать требования, предъявляемые взрослыми, и действовать в соответствии с ними.
Развитие мышления выражается в постепенном расширении содержания мысли, в последовательном возникновении форм и способов мыслительной деятельности и изменении их по мере общего формирования личности. Одновременно у ребёнка усиливаются и побуждения к мыслительной деятельности - познавательные интересы.
Мышление развивается на протяжении всей жизни человека в процессе его деятельности. На каждом возрастном этапе мышление имеет свои особенности.
Мышление ребёнка раннего возраста выступает в форме действий, направленных на решение конкретных задач: достать какой-нибудь предмет, находящийся в поле зрения, надеть кольца на стержень игрушечной пирамиды, закрыть или открыть коробочку, найти спрятанную вещь, влезть на стул, принести игрушку и т.п. Выполняя эти действия, ребёнок думает. Он мыслит, действуя, его мышление наглядно-действенное.
Овладение речью окружающих людей вызывает сдвиг в развитии наглядно-действенного мышления ребёнка. Благодаря языку дети начинают мыслить обобщённо.
Дальнейшее развитие мышления выражается в изменении соотношения между действием, образом и словом. В решении задач всё большую роль играет слово.
Существует определённая последовательность в развитии видов мышления в дошкольном возрасте. Впереди идёт развитие наглядно-действенного мышления, вслед за ним формируется наглядно-образное и, наконец, словесное мышление.
Мышление учащихся среднего школьного возраста (11-15 лет) оперирует знаниями, усвоенными главным образом словесно. При изучении разнообразных учебных предметов - математики, физики, химии, истории, грамматики и др. - учащиеся имеют дело не только с фактами, но и с закономерными отношениями, общими связями между ними.
В старшем школьном возрасте, для которого и представлены игры во второй главе, мышление становится абстрактным. Вместе с тем наблюдается и развитие конкретно-образного мышления, в особенности под влиянием изучения художественной литературы.
Обучаясь основам наук, школьники усваивают системы научных понятий, каждое из которых отражает одну из сторон действительности. Формирование понятий - процесс длительный, зависящий от уровня обобщённости и абстрактности их, от возраста школьников, их умственной направленности и от методов обучения.
В усвоении понятий существует несколько уровней: по мере развития учащиеся всё ближе подходят к сущности предмета, явления, обозначенного понятием, легче обобщают и связывают друг с другом отдельные понятия.
Для первого уровня характерно элементарное обобщение конкретных случаев, взятых из личного опыта школьников или из литературы. На втором уровне усвоения выделяются отдельные признаки понятия. Границы понятия учащиеся то сужают, то излишне расширяют. На третьем уровне учащиеся пытаются дать развёрнутое определение понятия с указанием основных признаков и приводят верные примеры из жизни. На четвёртом уровне происходит полное овладение понятием, указание его места среди других моральных понятий, успешное применение понятия в жизни. Одновременно с развитием понятий формируются суждения и умозаключения.
Для учащихся 1-2 классов характерны суждения категорические, утвердительной формы. Дети судят о каком-либо предмете односторонне и не доказывают своих суждений. В связи с увеличением объёма знаний и ростом словаря у школьников 3-4 классов появляются суждения проблематические и условные. Учащиеся 4 класса может рассуждать, опираясь не только на прямые, но и на косвенные доказательства, особенно на конкретном материале, взятом из личных наблюдений. В среднем возрасте школьники употребляют также разделительные суждения и свои высказывания чаще обосновывают, доказывают. Учащиеся старших классов практически владеют всеми формами выражения мысли. Суждения с предположением выражения, допущения, сомнения и т.д. становятся нормой в их рассуждениях. С одинаковой лёгкостью старшие школьники пользуются индуктивными и дедуктивными умозаключениями и умозаключением по аналогии. Самостоятельно могут ставить вопрос и доказывать правильность ответа на него. Особенно это видно в игре "быки и коровы", в которой в первой партии вопросы задает учитель, а в остальных учащиеся учатся сами формулировать вопросы, отвечать на них и анализировать различные аспекты проблемы.
Развитие понятий, суждений и умозаключений происходит в единстве с овладением, обобщением и пр. Успешное овладение мыслительными операциями зависит не только от усвоения знаний, но и от специальной работы учителя в этом направлении.
Далее рассмотрим, что же такое логическое мышление.

1.9 Логическое мышление и актуальность проблемы его развития у учащихся

Логическое, или словесно-логическое мышление функционирует на базе языковых средств и представляет собой наиболее поздний этап исторического и онтогенетического развития мышления. Для логического мышления характерно использование понятий, логических конструкций, которые иногда не имеют прямого образного выражения (например, стоимость, честность, гордость и т.д.). Благодаря логическому мышлению человек может устанавливать наиболее общие закономерности, предвидеть развитие процессов в природе и обществе, обобщать различный, наглядный материал.

В то же время даже самое отвлеченное мышление никогда полностью не отрывается от наглядно-чувственного опыта. И любое абстрактное понятие имеет у каждого человека свою конкретную чувственную опору, которая, конечно, не может отразить всей глубины понятия, но в тоже время позволяет не отрываться от реального мира. При этом чрезмерное количество ярких запоминающихся деталей в объекте может отвлекать внимание от основных, существенных свойств познаваемого объекта и тем самым затруднять его анализ.

К основным формам логического мышления относятся, перечисленные выше понятие, суждение, умозаключение.

Понятие закрепляется и выражается с помощью слова или словосочетания. Многозначность слов затрудняет процесс логического мышления и незнание точного значения употребляемых слов. Понятие как логическая форма мышления не в состоянии передать все богатство человеческой мысли, оно лишь основа наших рассуждений и высказываний о различных свойствах и качественных предметов.

Суждение же не может существовать без понятий, но и понятие не может быть без суждения, т.к. заложенная в понятии мысль и раскрывается лишь в суждениях и высказываниях. Суждение чаще всего выражается в виде содержащего утверждение или отрицание повествовательного предложения.

Без умозаключений процесс мышления невозможен. Они используются в повседневной жизни и научной деятельности. Принимая те или иные решения, делая определенные выводы, используя различные аргументы, мы стремимся из уже проверенных на практике знаний получить в итоге новые знания.

При размышлениях, не осознавая этого, мы очень часто используем приемы логического мышления: сравнение, анализ, синтез, абстрагирование, обобщение (объединение отдельных предметов в некотором понятии), описание (перечисление внешних, чувственно воспринимаемы признаков предмета. Цель - создать с помощью такого чувственно-наглядного образа представление предмете), характеристика (предназначена для перечисления некоторых внутренних, существенных признаков предмета, а не его внешнего вида, как при описании), классификация (распределение предметов по группам (классам), где каждый класс имеет свое постоянное определенное место).

Логическое мышление не дано от рождения. Оно складывается постепенно, вырастает из предыдущих ступеней отражения реальности и переработки информации о ней.

Овладение этим способом мышления означает "гигантский", по своим размерам скачек. Внешнее логическое мышление реализуется как система логических преобразований и связей высказываний.

Об актуальности проблемы развития логического мышления школьников можно говорить в различных аспектах.

Проблема развития логического мышления должна иметь свое отражение в школьном курсе математики в силу недостаточности подготовки учащихся в этой части, в силу большого числа логических ошибок, допускаемых учащимися в усваиваемом содержании школьного курса математики, где предъявляются наиболее высокие требования по сравнению с другими школьными предметами по логической организации материала.

Часто возникает вопрос о взаимосвязи творческого и логического мышления. В реальном процессе мышления творческое и логическое мышление тесно переплетены, взаимопроникают, но нетождественны.

В целях изучения проблемы развития логического мышления эти два понятия целесообразно разделить. Тогда логическое мышление, проходящее в рамках формальной логики, отвечающее требованиям формальной логики. Логическое мышление в таком понимании не является творческим, т.к согласно законам и правилам формальной логики нельзя вывести из посылок ничего такого, что не было бы в этих посылках заключено. Эта мысль содержится в словах английского философа Д. Локка о том, что силлогизм в лучшем случае есть лишь искусство вести борьбу при помощи того небольшого знания, какое у нас есть, не прибавляя к нему ничего. Известные математики, изучавшие процесс открытия нового знания (Ж. Адамар, А. Пуанкаре), психологи, изучавшие процесс мышления (Я.А. Пономарев, А.Ф. Эсаулов и др.), разделяют творческое и логически мышление. Логические рассуждения предполагают отсутствие скачка мысли, пропуска отдельных звеньев в рассуждении и всего рассуждения, т.е. озарения, инсайда, интуиции.

Задача развития логического мышления учащихся ставится и определенным образом решается в массовой школе. Во всех школьных программах по математике как одна из целей обучения предмету отмечена - развитие логического мышления.

Но программы по математике пока не содержат расшифровки этой цели. Поэтому каждый учитель понимает ее по-своему и по-своему ее решает. Представляется, что есть необходимость осознавать проблему развития логического мышления во всей широте и многогранности и уметь ее реализовывать. Для этого можно использовать математические игры, которые способствуют более четкому мышлению, помогают формулировать умозаключения.

В этом случае выработка умений учащихся логически мыслить протекает быстрее. С другой стороны занимательность материала может способствовать развитию интереса к математике в целом, что тоже не маловажно.

Я предлагаю развивать логическое мышление по средствам математических игр, о чем и расскажу в следующей главе.

Глава 2 Возможности применения математических игр для развития логического мышления

2.1 Понятие математической игры и ее психолого-педагогические основы

Понятие математической игры сложное. Жестких определений этого понятия нет, разные авторы понимают это по-разному. Я считаю наиболее подходящим определение предложенное Е.А. Дышниским: Математические игры - это игры в виде разнообразных задач и упражнений занимательного характера, требующих проявления находчивости, оригинальности мышления, смекалки, умения критически оценить условия и постановку вопроса. К математическим играм относятся либо игры, имеющие дело с фигурами, числами, и тому подобным, либо игры, результат которых может быть предварительно предопределён теоретическим анализом [11].

Математическая игра является одной из форм внеклассной работы по математике. Она используется в системе внеклассной работы для формирования у детей интереса к предмету, приобретения ими новых знаний, умений, навыков, углубление уже имеющихся знаний. Игра наряду с учением и трудом - один из основных видов деятельности человека, удивительный феномен нашего существования.

Что же понимается под словом игра? Термин "игра" многозначен, в широком употреблении границы между игрой и не игрой чрезвычайно размыты. Как справедливо подчеркивал Д.Б. Эльконин [24] и С.А. Шкаков [30], слова "игра" и "играть" употребляются в самых различных смыслах: развлечение, исполнение музыкального произведения или роли в пьесе. Ведущая функция игры - отдых, развлечение. Это свойство как раз и отличает игру от не игры.

Российский психолог А.Н. Леонтьев считает игру ведущим типом деятельности ребенка, с развитием которой происходят главные изменения психики детей, подготавливающие переход к новой, высшей степени их развития. Забавляясь и играя, ребенок обретает себя и осознает себя личностью.

Игра, в частности математическая, необычайно информативна и многое "рассказывает" самому ребенку о нем. Она помогает найти ребенком себя в коллективе сотоварищей, в целом обществе, человечестве, во вселенной.

В педагогике к играм относят самые разнообразные действия и формы занятий детей. Игра - это занятие, во-первых, субъективно значимое, приятное, самостоятельное и добровольное, во-вторых, - имеющее аналог в реальной действительности, но отличающаяся своей не утилитарностью и буквальностью воспроизведения, в-третьих, - возникающая спонтанно или создаваемая искусственно для развития каких-либо функций или качеств личности, закрепления достижений или снятия напряжения.

А.С. Макаренко считал, что "игра должна постоянно пополнять знания, быть средством всестороннего развития ребенка, его способностей, вызывать положительные эмоции, пополнять жизнь детского коллектива интересным содержанием" [17].

Можно дать следующее определение игры. Игра - вид деятельности, имитирующий реальную жизнь, имеющий четкие правила и ограниченную продолжительность. Но, несмотря на различия в подходах к определению сущности игры, ее назначения, все исследователи сходятся в одном: игра, в том числе математическая, является способом развития личности, обогащения ее жизненного опыта. Поэтому игра используется как средство, форма и метод обучения и воспитания.

Существует много классификаций и видов игры. Если классифицировать игру по предметным областям, то можно выделить математическую игру. Математическая игра по области деятельности это, прежде всего, интеллектуальная игра, то есть игра, где успех достигается в основном за счет мыслительных способностей человека, его ума, имеющихся у него знаний по математике.

Математическая игра помогает закреплять и расширять предусмотренные школьной программой знания, умения и навыки.

В современной школе математическая игра используется в следующих случаях: в качестве самостоятельной технологии* для освоения понятия, темы или даже раздела учебного предмета; как элемент более обширной технологии; в качестве урока или его части; как технология внеклассной работы.

Математическая игра, включенная в занятие, и просто игровая деятельность в процессе обучения оказывают заметное влияние на деятельность учащихся. Игровой мотив является для них действительным подкреплением познавательному мотиву, способствует созданию дополнительных условий для активной мыслительной деятельности учащихся, повышает концентрированность внимания, настойчивость, работоспособность, создает дополнительные условия для появления радости успеха, удовлетворенности, чувства коллективизма [11].

Математическая игра, да и любая игра в учебно-воспитательном процессе, имеет характеристические черты. С одной стороны, условный характер игры, наличие сюжета или условий, наличие используемых предметов и действий, с помощью которых происходит решение игровой задачи. С другой стороны, свобода выбора, импровизация во внешней и внутренней деятельности позволяют участникам игры получать новую информацию, новые знания, обогащаться новым чувственным опытом и опытом мыслительной и практической деятельности. Через игру, реальные чувства и мысли участников игры, их положительный настрой, реальные действия, творчество возможно успешное решение учебно-воспитательных задач, а именно, формирование положительной мотивации в учебной деятельности, чувства успеха, интереса, активности, потребности в общении, желании достичь лучшего результата, превзойти себя, повысить свое мастерство [26].

Математических игр очень много. В своей работе я рассмотрю только некоторые. А именно "игры на бумаге". Любая из таких игр - это не просто забава. Это целый кладезь новой информации и полезных навыков, тренажер, учащий мыслить и рассуждать.

С моей точки зрения, целесообразно для начала рассмотреть простую на первый взгляд игру (которая известна почти всем) - крестики-нолики. Хотя правила игры довольно просты, это вовсе не означает, что и сама игра элементарна. В крестики-нолики можно играть в качестве разминки на уроке. Но чтобы ее проанализировать понадобится несколько занятий.

С моей точки зрения, наиболее эффективными для развития логического мышления являются игры на отгадывание. Стремление к разгадыванию различных загадок и тайн свойственно человеку в любом возрасте. Детская страсть к играм и головоломкам "на отгадывание" иногда пробуждает у школьников желание целиком посвятить себя математике, физике, биологии, чтобы "отгадать" уже более серьезные, научные загадки и проблемы. Лучшие отгадчики в последствии, случается, создают математические теории, расшифровывают древние папирусы или открывают новые законы природы. Несомненно, игры на отгадывание развивают творческие способности человека, его логическое мышление, учат ставить важные вопросы и находить на них ответы.

Все игры на отгадывание во многом похожи друг на друга - один игрок что-то загадывает, задумывает или расставляет, а другой, задавая те или иные вопросы и получая ответы на них, должен найти разгадку, определить задуманный объект. В этой главе я рассмотрю три игры на отгадывание, содержащие определенные математические и логические элементы. В игре "быки и коровы" - требуется отгадать число, в "отгадать слово" - определить слово, а в игре "морской бой" - обнаружить расположение кораблей. Во всех трех играх, построенных на вопросах и ответах, отгадчик на каждом ходу извлекает некоторую информацию о задуманном объекте и после ряда вопросов отгадывает его (то есть находит задуманное число, слово или расположение кораблей). Цель игры заключается в том, чтобы определить объект, задав как можно меньше вопросов. Загадчик и отгадчик меняются ролями, и победитель определяется по совокупности встреч.

Каждая из игр обычно занимает не много времени, но если анализировать эти игры, искать выигрышные стратегии, то это может занять несколько занятий.

Ниже предложена разработка факультативного курса, для старших классов.

Я предлагаю следующее тематическое планирование. Посвятить:

Крестики-нолики - 2 часа;

Морской бой - 3 часа;

Отгадай слово - 2 часа;

Быки и коровы - 3 часа;

Резерв - 2 часа.

Это приблизительное планирование, в зависимости от того с какой скоростью школьники разбирают предложенные игры, можно увеличить или уменьшить предложенное количество часов.

Для этого факультатива не требуется специальных знаний, и он в занимательной форме способствует развитию логического мышления.

2.2 Крестики-нолики (2ч)

Учитель рассказывает правила игры и некоторые аспекты игры: Итак, самая простая игра - крестики-нолики на доске 3Ч3. Даже на таком простом примере можно проиллюстрировать многие важные понятия математической теории игр. Игра "3 в ряд" относится к категории конечных, переборных, стратегических игр двух лиц. Вначале урока школьникам нужно объяснить правила игры: партнеры по очереди ставят на поля квадрата (доски) крестики и нолики, и выигрывает тот, кто первым выстроит три своих знака в ряд. Игра длится не более девяти ходов. Если никому из игроков не удается добиться цели, партия заканчивается вничью.

Теперь давайте сыграть. Разбейтесь на пары и начинайте игру (3 - 4 мин). После нескольких партий мы проанализируем игру.

Учитель предлагает школьникам проанализировать игры, для этого они рассматривают как составить дерево перебора. Переходя от крестиков-ноликов к дереву перебора школьники учатся абстрагированию и анализу. При обратной операции ("от дерева к партии") развивают конкретизацию.

Учитель: Составляя дерево, будем обозначать вершинами (точками) возникающие в процессе игры "позиции" (расположения крестиков и ноликов). Пусть начинают крестики. Соединим начальную вершину (пустая доска) с теми девятью, которые отвечают первому ходу крестиков. Каждую из них соединим с восемью вершинами, отвечающими ходами ноликов, и т.д. В результате мы получаем дерево игры (дерево перебора) [Приложение 1]. Начальная вершина - корень дерева, максимальная длина ветви (глубина перебора) в данном случае равна девяти.

Рассмотрев часть дерева перебора, с помощью вопросов учитель приводит школьников к мысли, что необходимо выделить группы партий, которые отличаются друг от друга по какому-либо признаку, например по первой занятой клетке.

Дети, анализируя сыгранные партии, приходят к выводу: У крестиков три принципиальных начала - занять угол, центр или боковую клеточку доски.

Рисунок 1

Учитель задает вопросы, чтобы дети проанализировали, что будет если крестики не будут занимать первым ходом центральное место:

Учитель: Пусть крестики сделали ход а1. Какие возможные ходы есть у ноликов?

Ученик: Из восьми возможных ответов правильным для ноликов является лишь ход в центр доски. После этого ничья достигается без труда (а1 рисунок 1)

Учитель: Предположим, что нолики сыграли иначе: на a1 ответили b1. Тогда следует ход крестиков а3. Каким должен быть ход ноликов?

Ученик: Единственный ответ ноликов а2.

Учитель: На что решает ход с3. Каким будет следующий ход ноликов и чем закончится пария?

Ученик: Это партия заканчивается с вилкой, то есть с двойной угрозой b2 или b3 (рисунок 1а). Следующим ходом крестики ставят третий знак и выигрывают.

Учитель: Анализ центральной и боковых клеток вы сделаете дома.

Теперь учитель предлагает к обычной доске 3Ч3 всего одно поле - d1 (рисунок 1б): Чем завершается игра в этом случае?

Играя, ученики быстро приходят к умозаключению: На такой доске крестики быстро одерживают победу. Решает ход с1. Если нолики не играют b2, то, как мы знаем, они проигрывают на обычной доске 3Ч3 (дело обойдется без дополнительного поля). Если же они займут поле b2, то после b1 неизбежен следующий ход крестиков на а1 или d1 (рисунок 1б).

Учитель подчеркивает: Существует доска из 10 полей, на которой крестики фиксировано одерживают победу. А что будет происходить на доске из семи клеток, представляющей собой два ряда 4Ч1, пересекающиеся в одной из своих внутренних клеток (рисунок 1в)?

Вновь дети играют и приходят к умозаключению: Выигрыш достигается уже на третьем ходу. Первый крестик ставится на пересечении рядов, второй - на одно из соседних внутренних полей, после чего нолики беззащитны. Нетрудно убедиться, что, какова бы ни была доска с числом клеток, меньшим семи, результат игры будет ничейный.

Учитель: Вернемся к крестикам-ноликам на доске 3Ч3. Кажется забавным, но на ней можно играть в поддавки! Тому, кто первым выставит ряд из трех своих знаков, засчитывается поражение. Давайте сыграем в поддавки и проанализируем игру.

Школьники играют, а затем сравнивают обычную игру 3Ч3 и поддавки, и приходят к умозаключению: В отличие от "прямой" игры в "обратной" инициатива принадлежит ноликам. Впрочем, у крестиков имеется надежная ничейная стратегия - на первом ходу они должны занять центр и далее симметрично повторять ходы партнера.

Учитель: Давайте рассмотрим новую разновидность игры. Следующий вариант крестиков-ноликов свидетельствует о том, что даже такая маленькая доска, как 3Ч3, может служить неиссякаемым источником для изобретателей игр. От обычных правил отличие только в том, что каждый игрок при своем ходе может по желанию поставить либо крестик, либо нолик. Побеждает тот, кто первым закончит ряд из трех одинаковых знаков, причем безразлично каких. В обычной игре, да и в поддавках, если партнеры не делают грубых ошибок, партия заканчивается в ничью. Кто же выиграет в данном варианте?

Чтобы это определить школьники вновь играют, а затем вместе с учителем анализируют игру.

Учитель задает наводящие вопросы: Предположим, что первый игрок первым ходом занимает центр, b2, например, как обычно, ставит на нем крестик (рис.2а).

Рисунок 2

Ученик: Второй игрок может занять либо угловое поле, либо лежащее на стороне доски, и, чтобы не проиграть сразу, он должен поставить нолик.

Учитель: Если выбрано угловое поле а1, что будет делать первый игрок?

Ученик: Первый игрок рисует нолик в противоположной вершине с3 и куда теперь противник ни поставил крестик или нолик, он своим следующим ходом заканчивает соответственно ряд из крестиков или ноликов.

Учитель: Что будет происходить, если второй игрок занимает первым ходом боковое поле а2?

Ученик: То первый ставит нолик на одной линии с двумя имеющимися знаками, то есть на поле с2. У второго игрока нет ничего лучшего, чем поставить еще один нолик на b1, и после ответного, четвертого нолика на b3 он вынужден сдаться (рис 2а). Тем саамы, в этой игре побеждает начинающий.

Так же учитель предлагает еще один вариант игры на доске 3Ч3: Партнеры по очереди ставят на доску три своих крестика или нолика, после чего новые знаки уже не рисуются. Если за это время никто не выстроил три знака в ряд, игра продолжается. Теперь на каждом ходу игроки могут переставить один свой знак на соседнее поле по вертикали или горизонтали. Выигрывает вновь тот, кто раньше выстроит три знака в ряд. Эту игру учитель вы проанализируете дома.

Дети, проанализировав, должны прийти к умозаключению, что как в предыдущей игре, право первого хода является здесь решающим. Начинающий должен поставить свой крестик в центр доски. Если теперь нолик поставлен в углу, например, на поле а2, то первый игрок ставит крестик на b1. Ответ вынужден - b3. На это следует с3, ответ опять единственный - а1. Дебют партии закончен (рис.2б). Двумя следующими ходами первый игрок переставляет крестики с b2 на с2 и с b1 на с1 и выигрывает партию. Если на первом ходу второй игрок займет боковое поле, например b3, то первый играет а1, а второй отвечает с3, тогда первый идет а3, а противник а2. Все знаки выставлены, теперь первый игрок переставляет крестик с а1 сначала на b1, а затем на с1 и берет вверх. Если договориться, чтобы начинающий не занимал первым ходом центральное поле, то при правильной игре обоих партнеров ни один из них не сможет добиться цели, партия заканчивается в ничью.

Учитель: Конечно, в последней игре вместо крестиков и ноликов удобнее пользоваться белыми и черными шашками. Эту игру можно рассматривать как вступление в класс игр, представляющих собой гибрид крестиков-ноликов и шашек. На доске 4Ч4 такая игра называется так-тикль. Об этой игре и другой разновидности крестиков-ноликов я вам просто расскажу, по желанию, можете поиграть в нее дома.

В так-тиль каждая сторона имеет по четыре шашки (рисунок 2в). Игроки по очереди передвигают их на одну клетку по вертикали и горизонтали, и кто первым расположит три шашки в ряд, тот и выигрывает.

Вот примерная партия в так-тиль:

1. с1-с2 d1-c1.

2 b4-b3 b1-b2

3. b3-a3 (грозило 3…а4-а3) 3…а4-b4 4. а1-b1 с выигрышем, так как черные не могут воспрепятствовать маневру

5. d4-d3.

С помощью ЭВМ доказано, что так-тикль ничейная, то есть при точной игре ни одному из партнеров не удается поставить три шашки в ряд.

Дальнейшим обобщением двух последних игр является "мельница", одна из самых древних в истории человечества игр. На рис.3 изображено несколько "мельниц". Первоначальная форма доски (а) до сих пор остается самой популярной. В этом варианте. Называемом простой мельницей, у каждой стороны по девять шашек. В мельнице улитке (б) число шашек увеличивается до 12, а в шестиугольной (в) у противников по 13 шашек.

Рисунок 3

Известны так же мельница-паутина, мельница-сетка, пятиугольная мельница и др. во всех разновидностях игры правила одинаковые. Партия состоит из трех этапов. Первый этап (дебют) заключается в расстановке шашек. Игроки по очереди ставят свои шашки на любые свободные поля доски. Три шашки одного цвета, выставленные в ряд, образуют фигуру, называемую мельницей. Построив ее. Игрок снимает с доски любую шашку противника. Если одним ходом удалось соорудить две мельницы, то с доски снимают две шашки.

Второй этап (миттельшпиль) начинается после расстановки всех шашек. Теперь партнеры по очереди передвигают их вдоль линий на соседние поля. Цель прежняя - выстроить мельницу и снять с доски шашку противника.

Третий этап (эндшпиль) наступает, когда у одного из игроков остается три шашки. Теперь он получает право при очередном ходе переставлять любую из них на произвольное свободное поле доски, не обращая внимания на линии, соединяющие поля. Сооружая мельницу своими тремя шашками, он снимает шашку партнера, который ходит по обычным правилам до тех пор, пока у него не останется три шашки.

Побеждает тот, кто сумеет довести число шашек противника до двух, лишая его возможности построить мельницу. Партия может закончиться и раньше, если в какой-то момент один из партнеров не в состоянии сделать ход, то есть все его шашки зажаты. Если у обоих партнеров осталось мало шашек (например, по три) и ни один из них уже не может соорудить мельницу, партия заканчивается в ничью. Заметим, что запрещается дважды использовать одну и ту же мельницу. Занимать шашками три данных поля доски можно сколько угодно раз, но шашка противника снимается только при первом построении мельницы.

Учитель подводит итог: Мы с вами на этих занятиях рассмотрели игру крестики-нолики. Попытались найти выигрышные стратегии. Дальнейшее анализирование игры вы можете продолжить самостоятельно.

Замечание: Отметим, что для того чтобы провести анализ игры школьники сначала должны были девять способов сделать первый ход объединить в группы по какому-либо признаку (занято первое поле - первая группа, занято угловое поле - вторая группа, занято боковое поле - третья группа), т.е. они должны провести сравнение и классификацию некоторых объектов. Когда школьники переходят от конкретных партий к построению дерева перебора, т.е. учащиеся должны абстрагироваться от поля, крестиков и ноликов и перейти к математической модели. После того, как учитель изменил начальные условия школьники должны были самостоятельно попробовать найти самостоятельную стратегию. Предполагается, что к концу занятия ученики быстрее учатся находить ключевые моменты (первый ход, правила заполнения поля, для того чтобы не проиграть)

2.3 Морской бой (3ч)

Учитель: Многие люди знают игру "морской бой". Несмотря на внешнюю простоту, эта популярная игра и ее различные модификации содержат немало тонкостей. Классический морской бой. Начнем с самого популярного варианта морского боя, распространенного во многих странах. Каждый из двух игроков рисует на клетчатом листе бумаги две доски размером 10Ч10. На первой из них он расставляет свои корабли, а на второй разгадывает расположение кораблей противника. В состав флотилии входит десять кораблей: один линкор (корабль 4Ч1), два крейсера (3Ч1), три эсминца (2Ч1) и четыре катера (1Ч1). Корабли могут занимать любые поля доски, но не должны касаться друг друга ни сторонами, ни углами. После размещения флота игроки начинают по очереди стрелять по неприятельской территории, то есть называть поля доски - а3, б7, и9 и т.д. (горизонтали доски будем обозначать числами от 1 до 10, а вертикали - русскими буквами от а до к) после каждого выстрела игрок получает от партнера следующую информацию: "попал", если выстрел пришелся по полю с кораблем; "убил", а если это последнее поле корабля (по другим полям, занятым им, попадание произошло раньше); и наконец, "мимо", если поле пустое. В первых двух случаях игрок производит еще один выстрел, и так до первого промаха, после чего очередь хода передается партнеру. Побеждает тот, кто потопит все 10 кораблей противника. Таким образом, в данной текстовой игре шифром служит набор прямоугольников, расположенных на доске, а самим тестом - удары по ней. Обычно выстрел в морском бое обозначается точкой, а при попадании в корабль точка превращается в крестик (сам потопленный корабль обводится прямоугольником). Конечно, точка становится и на те поля, про которые уже точно известно, что они не могут входить в состав ни одного из кораблей (лежат наискосок от "подбитых" полей или окружают потопленный корабль).

Рисунок 4

Вот рассказаны правила игры, теперь можете поиграть. Разбейтесь на пары, на розданных листах, с начерченными полями рисуйте корабли и начинайте игру.

После того как партии сыграны, учитель вместе с учениками сравнивают сыгранные партии и в целом анализируют игру.

Учитель замечает: Успех в этой игре в какой-то мере зависит от везения. Можно беспорядочно наносить удары по неприятельской территории и при этом без промаха уничтожить все его корабли. Но вряд ли на это стоит рассчитывать. Если говорить об искусстве игры в морской бой, возникают два вопроса:

1) как стрелять, чтобы повысить вероятность попадания в неприятельские корабли;

2) как расставлять собственные корабли, чтобы противнику было труднее их потопить? Предположим, мы хотим попасть в неприятельский линкор. Как мы должны стрелять, чтобы сделать это как можно быстрее?

Ученики предлагают различные варианты ответа: Можно стрелять последовательно сначала по полям первой горизонтали (слева на право), затем по полям второй и т.д.

Учитель: А давайте определим после какого удара мы точно попадем в линкор?

Школьники считают и делают вывод: В худшем случае это будет на 97-ом ударе (если корабль занимает поля с ж10 по к10).

Учитель: А давайте подумаем, как делать ходы, чтобы сделать это быстрее.

Дети анализируют сыгранные партии и приходят к умозаключению: Оптимальным вариантом будет, если делать ходы так, как показано на рисунке 5а или 5б.

Учитель: Сколько максимально может быть ходов?

Ученик: Это произойдет не позднее 24-го удара (24 крестика следуют друг за другом через три поля вдоль каждой вертикали и горизонтали).

Рисунок 5

Рисунок 6

Учитель: А давайте рассмотрим более общий случай. Предположим, что на доске nЧn расположен один-единственный корабль kЧ1 (k-мино). Совокупность выстрелов, гарантирующих нам попадание в этот корабль, назовем стратегией. Стратегию, содержащую минимальное число выстрелов, назовем оптимальной; число выстрелов в ней обозначим через . Для начала рассмотрим доску 4Ч4 и корабль размером 4Ч1. Сколько будет равна ?

Школьники анализируют и приходят к умозаключению: . Все семь оптимальных стратегий для доски 4Ч4 представлены на рисунке 8 (стратегии, которые совпадают при поворотах и зеркальных отражениях доски, мы не различаем). Сдвигая все выстрелы на четыре поля по вертикали и горизонтали, получаем семь стратегий на доске 10Ч10. Однако две из них являются оптимальными (рисунок.5а и 5б), причем .

Учитель: А как же будет в общем случае, для попадания в корабль kЧ1, расположенный на доске nЧn?

Школьники, подумав, вновь выдвигают гипотезу: Выстрелы должны отстоять друг от друга на k полей по вертикали и горизонтали. Это означает, что на каждой линии содержится примерно по выстрелов оптимальной стратегии, и мы получаем приближенную формулу .

Учитель подводит итог: Опытные игроки обычно действуют следующим образом. Сначала, пользуясь одной из стратегий на рисунке 5, обнаруживают единственный линкор противника. Когда с ним будет покончено, принимаются за поиск крейсеров. Теперь удары наносятся не через три поля по вертикали и горизонтали, а через два. Потопив оба крейсера, переходят к эсминцам. Когда непотопленными останутся одни катера, выб и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.