На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Диплом Взаимосвязь предметов естественно-математического цикла. Методы осуществления межпредметной связи на уроках математики и роль понятийного аппарата. Взаимосвязь алгебры с геометрией. Взаимосвязь алгебры и начал анализа в процессе решения задач.

Информация:

Тип работы: Диплом. Предмет: Педагогика. Добавлен: 18.02.2011. Сдан: 2011. Страниц: 2. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):



/
Карагандинский Государственный университет им. Е.А. Букетова
Математический факультет
Касенова И.А.


Дипломная работа
Методика реализации межпредметных и внутрипредметных связей при обучении математике

Специальность: 050109 -- Математика.
Караганда 2008
Министерство образования и науки Республики Казахстан
Карагандинский Государственный университет им. Е.А. Букетова
Математический факультет
Кафедра методика преподавания математики и
информатики
Допущена к защите
зав.кафедрой, к. н. п., доцент
____ K.T. Бертисканова
"___"_______ 2008г.
Дипломная работа
Методика реализации межпредметных и внутрипредметных связей при обучении математике
Специальность 050109 - Математика.
Студент
Касенова И.А.
Научный руководитель:
Доцент КарГУ
Григорьева Т.С.
Караганда 2008
Содержание
    Введение
    Глава 1. Межпредметные связи в учебном процессе математики
    1.1 Межпредметность - современный принцип обучения
    1.2 Взаимосвязь предметов естественно-математического цикла
    1.3 Методы осуществления межпредметной связи на уроках математики
    Глава 2. Методика реализации внутрипредметных связей
    2.1 Роль понятийного аппарата во внутрипредметных связях
    2.2 Методика реализации внутри- и межпонятийных связей
    2.3 Взаимосвязь алгебры и начала анализа в процессе решения задач
    2.4 О взаимосвязях алгебры с геометрией
    Глава 3. Некоторые пути реализации внутрипредметных связей с помощью методов преподавания
    3.1 Обобщающее повторение как средство реализации внутрипредметных связей
    3.2 Сравнение как эффективный метод реализации внутрипредметных связей
    3.3 Самостоятельная работа учащихся
    Опытная работа
    Заключение
    Список использованной литературы
    Приложение1
Введение

На сегодняшний день нужны такие программы и учебники по математике, которые позволили бы эффективно дифференцировать усвоение материала учащимися на обязательном и углубленном уровнях. Это возможно за счёт реализации в учебных курсах различной степени полноты межпредметных и внутрипредметных связей. Усиление межпредметных и внутрипредметных связей следует рассматривать как одно из важнейших направлений дидактического совершенствования школьного курса математики.
Учет межпредметных и внутрипредметных связей при обучении способствует систематизации и углублению знаний учащихся, формированию у них навыков и умений самостоятельной познавательной деятельности, переносу знаний, полученных на более низких ступенях обучения, на более высокие ступени.
Дадим определение межпредметным и внутрипредметным связям. Связь - это взаимообусловленность существования явлений, разделённых в пространстве и (или) во времени.
Межпредметные связи играют существенную роль в обеспечении единства обучения и воспитания. Они выступают как средство усиления этого единства комплексного подхода к обучению. Совокупность функций межпредметных связей реализуется в процессе обучения тогда, когда учитель математики осуществляет все их многообразие. [10]
Внутрипредметные связи математики - это взаимосвязь и взаимообусловленность математических понятий, разделённых временем их изучения. Учёт внутрипредметных связей означает целесообразную организацию изучения взаимосвязанных понятий на определённых этапах изучения.
Внутрипредметные связи характеризуются двумя основными направлениями в осуществлении: первое направление -- это направление от исходных понятий к конечным (назовём связи в этом направлении преемственными); второе направление -- это направление от конечных понятий к тем начальным понятиям, через которые реализуются конечные: активное влияние конечных понятий, идей, методов на исходные понятия, идеи, методы (для удобства назовём эти связи рекурсивными). Внутрипредметные связи -- объединение преемственных и рекурсивных связей, дополненное взаимосвязями между главными линиями и идеями развития данной науки.
Роль внутрипредметных связей в учебном курсе велика, они непосредственно влияют на достижение обучающей, развивающей и воспитывающей целей обучения. При этом внутрипредметные связи формируют у учащихся научное мировоззрение, помогают видеть мир в движении и развитии, способствуют установлению логических связей между понятиями, тем самым развивают логическое мышление учащихся, выступают средством предупреждения и ликвидации формализма в знаниях школьников, позволяют сформировать такую систему знаний, которая предстаёт перед учащимися не как застывшая, а как динамичная, качественно изменяющаяся, сокращают затраты учебного времени, способствуют устранению перегрузки школьников.[7]
Цель: теоретическое обоснование и практическое подтверждение целесообразности использования межпредметных и внутрипредметных связей для повышения уровня знаний учащихся по математики.
Объект исследования: учебный процесс в средней общеобразовательной школе.
Предмет исследования: методические вопросы использования межпредметных и внутрипредметных связей при обучении математики.
Гипотеза: если в процессе обучения математики применять медпрежметные и внутрипредметные связи, то это будет способствовать сознательному усвоению знаний учащихся по связанным предметам и повышению качества их подготовки к этим предметам.
Задачи исследования:
Раскрыть сущность межпредметных и внутрипредметных связей
Выявить темы школьного курса математики, в которых межпредметные и внутрипредметные связи наиболее полно реализуются.
Составить задания, решение которых основано на применении межпредметных и внутрипредметных связей.
4. Опытным путём проверить эффективность использования межпредметных и внутрипредметных связей.
5. Подготовить методические рекомендации.
Методы исследования:
Изучение научно-методической литературы по рассматриваемой теме.
Анализ содержания школьных учебников, учебных программ по математике и физике.
Наблюдение за деятельностью учителя и учащихся на уроках математики и физики.
Практическая значимость: состоит в том, что разработанная методика использования межпредметных связей при обучении математике может быть использована студентами в период прохождения педагогической практики, а также учителями школ в их практической деятельности.
На основе результатов исследования подготовлены методические рекомендации по применению межпредментых и внутрипредметных связей в курсе математики.
На защиту выносятся: обоснование необходимости применения межпредметных и внутрипредметных связей при обучении математики.
Цель и задачи определили структуру дипломной работы. Дипломная работа состоит из трёх глав, опытной работы и приложения.
Первая глава называется «Межпредметные связи в учебном процессе математики». В ней рассмотрен следующий материал: межпредметность - современный принцип обучения; взаимосвязь предметов естественно - математического цикла; методы осуществления межпредметной связи на уроках математики. Вторая глава «Методика реализации внутрипредметных связей». Она включает в себя: роль понятийного аппарата во внутрипредметных связях; методика реализации внутри- и межпонятийных связях; взаимосвязь алгебры и начала анализа с геометрией. Третья глава «Некоторые вопросы реализации внутрипредметных связей с помощью методов преподавания». В этой главе содержится следующее: обобщающее повторении как средство реализации внутрипредметных связей, сравнение как эффективный метод реализации внутрипредметных связей, самостоятельная работа учащихся. Затем следует опытная работа и приложение.

Глава 1. Межпредметные связи в учебном процессе математики

1.1 Межпредметность - современный принцип обучения


Воспитание и обучение обусловливают качественную характеристику образования - результаты педагогического процесса, отражающие степень реализации целей образования. Результаты образования определяются степенью присвоения ценностей, рождающихся в педагогическом процессе, которые так важны для экономического, нравственного, интеллектуального состояния всех "потребителей" продукции образовательной сферы - и государства, и общества, и каждого человека. В свою очередь, результаты образования как педагогического процесса связаны со стратегиями развития образования, ориентированными на перспективу.
Задача обучения математике в образовательной средней школе - обеспечить прочное и социальное овладение учащимися математическими знаниями и навыками, нужными в повседневной жизни, достаточными для изучения других наук, для продолжения образования.
Обучение математике должно способствовать формированию у учащихся правильных представлений о природе математике, сущности и специфике ее методов, о месте математике в системе наук и ее роли в науке.
Велико значение изучения математики для общего развития учащихся, формирования у них навыков логического мышления, развития пространственных представлений, воображения, творческого мышления.
В силу чрезвычайной общности отражения реального мира математика находит широкое применение в практике и в этом смысле по своей природе является политехнической наукой. Политехническая направленность курса математики обеспечивает содержанием программы, характером изложения учебного материала и содержанием упражнений, реализацией межпредметных связей.
Межпредметные связи при их систематическом и целенаправленном осуществлении перестраивают весь
процесс обучения, т. е. выступают как современный дидактический принцип.[10]
Принцип обучения -- это исходное руководящее требование к содержанию и организации учебно-воспитательного процесса, вытекающее из его закономерностей направленное на решение актуальных социальных задач школы.
Принцип межпредметных связей, позволяет всесторонне раскрыть многоаспектные объекты учебного познания и комплексные проблемы современности. Принцип межпредметных связей как обязательное требование к содержанию и организации учебно-воспитательного процесса и познавательной деятельности учащихся способствует
-- формированию системности знаний на основе развития ведущих общенаучных идей и понятий (образовательная функция межпредметных связей);
-- развитию системного и диалектического мышления, гибкости и самостоятельности ума, познавательной активности и интересов учащихся (развивающая функция межпредметных связей);
-- формированию политехнических знаний и умений (воспитывающая функция межпредметных связей);
-- координации в работе учителей различных предметов, их сотрудничеству, выработке единых педагогических требований в коллективе, единой трактовке общенаучных понятий, согласованности в проведении комплексных форм организации учебно-воспитательного процесса (организационная функция межпредметных связей).
Принцип межпредметности способствует реализации каждого из других принципов обучения так же, как все эти принципы создают дидактические основы для планомерного осуществления межпредметных связей. Взаимосвязь принципов обучения с принципом межпредметности представлена на рисунке 1.[10]
Взаимосвязь принципа межпредметности с другими принципами обучения

webkursovik.ru/
Рис.1
Обучение в современной школе реализуется как целостный учебно-воспитательный процесс, имеющий общую структуру и функции, которые отражают взаимодействие преподавания и учения. Функция обучения -- это качественная характеристика учебно-воспитательного процесса, в которой выражена его целенаправленность и результативность в формировании личности ученика. Межпредметные связи способствуют реализации всех функций обучения: образовательной, развивающей и воспитывающей. Эти функции осуществляются во взаимосвязи и взаимно дополняют друг друга.
В дидактической системе, построенной на основе принципа межпредметности, перестраиваются все этапы (звенья) деятельности учителя и учащихся. Обучающая деятельность учителя и учебно-познавательная деятельность учащихся имеют общую процессуальную структуру цель -- мотив -- содержание -- средства -- результат -- контроль. Однако содержание этих звеньев различно в деятельности учителя, имеющей руководящий характер, и в деятельности учащихся, имеющей управляемый характер. Под влиянием межпредметных связей содержание этих звеньев и способы их реализации приобретают специфику (см. рис. 2).
Межпредметные связи позволяют вычленить главные элементы содержания образования, предусмотреть развитие системообразующих идей, понятий, общенаучных приемов учебной деятельности, возможности комплексного применения знаний из различных предметов в трудовой деятельности учащихся.[7]
Можно отметить следующие развивающие возможности урока с применением межпредметных связей:
Во-первых, он позволяет реализовать один из важнейших принципов дидактики - принцип системности обучения (если комплекс учебного материала отвечает целостности, структурности, взаимозависимости, иерархичности, множественности).
Во-вторых, создает оптимальные условия, для развития мышления (способность к абстракции, умения выделять главное, проводить аналогии, осуществлять анализ, сопоставление, обобщение и т.д.), тем самым, развивая логичность, гибкость, критичность.
В-третьих, способствует развитию системного мировоззрения, гармонизации личности учащихся.
Также межпредметные связи выполняют в обучении математики ряд функций. К ним относятся образовательная, развивающая, воспитывающая и конструктивная.
Образовательная функция межпредметных связей состоит в том, что с их помощью учитель математики и формирует такие качества знаний учащихся, как системность, глубина, осознанность, гибкость. Межпредметные связи выступают как средство развития математических понятий, способствуют усвоению связей между ними и общими понятиями.
Развивающая функция межпредметных связей определяется их ролью в развитии системного и творческого мышления учащихся, в формировании их познавательной активности, самостоятельности и интереса к познанию математики. Межпредметные связи помогают преодолеть предметную инертность мышления и расширяют кругозор учащихся.
Воспитывающая функция межпредметных связей выражена в их содействии всем направлениям воспитания школьников в обучении математики Учитель математики, опираясь на связи с другими предметами, реализует комплексный подход к воспитанию.
Конструктивная функция межпредметных связей состоит в том, что с их помощью учитель совершенствует содержание учебного материала, методы и формы организации обучения. Реализация межпредметных связей требует совместного планирования учителями предметов естественнонаучного цикла комплексных форм учебной и внеклассной работы, которые предполагают знания ими учебников и программ смежных предметов.[10]
Содержание, объем, время и способы и использования знаний из других предметов можно определить только на основе планирования. Для этого необходимо тщательное изучение рекомендаций, данных учебными программами в разделах «Межпредметные связи» по каждой учебной теме курса, а также изучение учебных планов и материала учебников смежных предметов.

1.2 Взаимосвязь предметов естественно-математического цикла

Предметы естественно-математического цикла дают учащимся знания о живой и неживой природе, о материальном единстве мира, о природных ресурсах и их использовании в хозяйственной деятельности человека. Общие учебно-воспитательные задачи этих предметов направлены на формирование диалектико-материалистического мировоззрения, атеистических убеждений, политехнических знаний и умений учащихся, всестороннее гармоническое развитие личности. На основе изучения общих законов развития природы, особенностей отдельных форм движения материи и их взаимосвязей учителя формируют у учащихся современные представления о естественнонаучной картине мира. Эти общие задачи успешно решаются в процессе осуществления межпредметных связей, в согласованной работе учителей.
Изучение всех предметов естественнонаучного цикла взаимосвязано с математикой (рис. 2). Математика дает учащимся систему знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности человека, а также важных для изучения смежных дисциплин (физики, химии, черчения, трудового обучения и др.).[2]
Основные взаимосвязи предметов естественно-математического цикла
Размещено на webkursovik.ru/
Размещено на webkursovik.ru/
Рис. 2.
Для начала рассмотрим связь математики и химии. Начиная с 5-х классов ребята в математике сталкиваются с такими задачами, где присутствуют элементы химии. А когда ребята начинают изучать химию, то здесь наблюдается тесная взаимосвязь этих двух предметов. Особенно яркие примеры учащимся представлены в неорганической химии.
Пример. Сплав двух металлов олова и цинка 25кг. Пусть вес олова и цинка в составе соответственно 10 и 15 кг. Каков процент содержание олова и цинка в сплаве?
Под процентным содержание олова и цинка понимается часть, которую составляет вес олова и цинка от веса сплава. Так как вес сплава равен 25кг, то олова составляет 10/25 = 0,4веса сплава, соответственно вес цинка составляет 15/25 = 0,6веса сплава. Следует обратить внимание на то, что 0,4+0,6=1,0. Если найденные части выразить теперь в сотых долях частей, то получим значение этих частей выраженное в процентах 40% и 60%. Здесь необходимо опять подчеркнуть, что 40%+60% = 100%.[12]
На основе знаний по математике у учащихся формируются общепредметные расчетно-измерительные умения. Изучение математики опирается на преемственные связи с курсами познания мира, физической географии, трудового обучения. При этом раскрывает практическое применение получаемых учащимися математических знаний и умений, что способствует формированию у учащихся научного мировоззрения, представлений и математическом моделировании как обобщенном методе познания мира.
Большой интерес учащихся вызывают задачи, связанные с литературой и историей. Особенно задачи в стихотворной форме, задачи-сказки, шарады, метаграммы. Они легко запоминаются и способствуют развитию интереса даже слабого, невнимательного ученика. Применение таких задач дает возможность привлечь внимание всех ребят.
Пример 1. Шли два отца и два сына,
Нашли три апельсина стали делить
Всем по одному досталось
Как это могло быть?
(ответ: дед, сын, внук)
Пример 2. Что имеет 2 руки, 2 крыла, 2 хвоста, 3 головы, 3 туловища и 8 ног?
(ответ: всадник на коне с соколом в руке) [1]
Более всего связь математики видна с физикой. Хотя учащиеся 5-6 классов не изучают ещё физику, но в математике мы уже решаем физические задачи на движение.
Пример 1. Собственная скорость теплохода 23 км/ч. Скорость течения реки 3 км/ч. Найдите:
а) скорость теплохода по течению;
б) скорость теплохода против течения
Решение:
1 = 23 км/ч (скорость теплохода)
2 = 3 км/ч (скорость течения реки)
а) = 23+3=26км/ч (по течению)
б) = 23-3=20км/ч (против течения) [1]
Начиная с 7 класса, связь математики и физики проявляется чаще. Практически, усвоение физики без знания математики не возможно. Поэтому в курсе математики необходима система задач, которые готовят учащихся к применению математических знаний на уроках физики.
Пример 2. Чему равна сила тяжести, движущаяся на тело массой 2кг?
Решение:
Р = mg
g = 10
P = 2кг 10 = 20Н [12]
Пример 3. Определить давление нефти на дно цистерны, если высота столба нефти 10м, а плотность ее 800кг/м3
Дано: Решение
h = 10м =
[12]
-?
Важное место в этой системе занимают задачи, в которых от учащихся требуется применить свои знания о различных функциях.
Первая группа таких задач связана с необходимостью, уметь получить информацию о физическом процессе, исходя из его математической модели (формулы, графики). Для этого учащиеся должны уметь распознавать вид зависимости по её аналитическому выражению, сопоставить формулу и физическую ситуацию, в которой она рассматривается и, наконец, исследовать функцию по её формуле или графику.
Вторая группа задач связана с тем, что в курсе физики находят применение два основных вида функциональных математических моделей - формулы и графики. Поэтому учащиеся должны уметь находить параметры зависимости по её графику и сравнивать параметры функций по соответствующим графикам, определять неизвестный элемент одной из моделей, исходя из рассмотрения другой.
Процесс интеграции требует выполнения определенных условий:
- объекты исследования совпадают либо достаточно близки;
- в интегрируемых предметах используются одинаковые или близкие методы исследования;
- они строятся на общих закономерностях и теоретических концепциях.
Часто учитель проводит не один интегрированный урок, а 2-3 урока подряд, объединяя три и более предмета. Здесь можно говорить уже о новой форме организации учебного процесса - интегрированном блоке.[10]
Интегрированный блок может реализовываться и в течение целого дня, тогда возникает новая форма обучения - учебный день. Анализировать же интегрированный блок (дидактические цели, содержание, методические приемы) можно на том же уровне, что и урок (учитывая лишь разное количество времени), поэтому далее будем оговаривать только форму урока.
Проводятся практические, лабораторные, исследовательские и творческие работы, требующие комплексного применения знаний. Использование ЭВМ на уроках математики, жизненные явления, факты и их анализ при объяснении теоретического материала, исторический и занимательный материал (факты, биографии, сообщения, доклады).
При выборе методов и форм использования межпредметной связи учитываются возрастные особенности учащихся, уровень их знаний, изученный материал по другим дисциплинам данного класса. Так, например, использование компьютера и формирование умений и навыков работы с наиболее распространенными программами является важной задачей образования.
Компьютерные технологии помогают улучшить и разнообразить преподавание математики, формируют основы компьютерной инженерной графики, которая заменяет традиционные методы построения чертежей и графиков.
В средних классах используются задачи, которые помогают углубить знания учащихся по биологии, географии, физики. При решении задач осуществляются дифференцированный и индивидуальный подход. Таким образом, для реализации межпредметных связей учитель математики с учетом общешкольного плана учебно-методической работы должен разработать индивидуальный план реализации межпредметных связей в математических курсах. Методика творческой работы учителя включает ряд этапов:
1) изучение раздела "Межпредметные связи" по каждому математическому курсу и опорных тем из программ и учебников других предметов, чтение дополнительной научной, научно-популярной и методической литературы;
2) поурочное планирование межпредметных связей с использованием курсовых и тематических планов;
3) разработка средств и методических приемов реализации межпредметных связей на конкретных уроках;
4) разработка методики подготовки и проведения комплексных форм организации обучения;
5) разработка приемов контроля и оценки результатов осуществления межпредметных связей в обучении.[3]
Межпредметные связи в обучении рассматриваются как дидактический принцип и как условие, захватывая цели и задачи, содержание, методы, средства и формы обучения различным учебным предметам.
Решая задачи, учащиеся совершают сложные познавательные и расчетные действия:
1) осознание сущности межпредметной задачи, понимание необходимости применения знаний из других предметов;
2) отбор и актуализация (приведение в рабочее состояние) нужных знаний из других предметов;
3) их перенос в новую ситуацию, сопоставление знаний из смежных предметов;
4) синтез знаний, установление совместимости понятий, единиц измерения, расчетных действий, их выполнение;
5) получение результата, обобщение в выводах, закрепление понятий.[3]
Таким образом, систематическое использование межпредметных познавательных задач в форме проблемных вопросов, количественных задач, практических заданий обеспечивает формирование умений учащихся устанавливать и усваивать связи между знаниями из различных предметов. В этом заключена важнейшая развивающая функция обучения математики.
Межпредметные связи влияют на состав и структуру учебных предметов. Каждый учебный предмет является источником тех или иных видов межпредметных связей. Поэтому возможно выделить те связи, которые учитываются в содержании математики, и, наоборот, - идущие от математики в другие учебные предметы.

1.3 Методы осуществления межпредметной связи на уроках математики


Усиление практической направленности обучения, его связи с трудом, с практикой требует от учителей всех предметов обратить особое внимание на формирование практических умений учащихся. Учитель в своей работе ориентируется на формирование обобщенных умений практической деятельности с помощью межпредметных связей. Такие умения соответствуют видам деятельности, общим для смежных предметов. Это умения расчетно-измерительной, вычислительной, графической, экспериментальной, конструкторской, прикладной и трудовой деятельности в предметах естественно-математического цикла. В предметах общественно-исторического цикла к практическим относятся умения речевой деятельности, умения работать с первоисточниками, художественные, умения, в которых слиты практические, познавательные и творческие действия. Практические умения характеризуют умения учащихся применять знания на практике, в ситуациях разной степени новизны и сложности. Общепредметные умения формируются на межпредметной основе, когда учителя различных предметов предъявляют к учащимся единые требования, исходя из общей структуры умений, последовательности выполняемых действий и этапов формирования и развития умений (показ образца действий, его осмысление, упражнение в его применении на материале разных предметов, закрепление при выполнении комплексных межпредметных заданий, в самостоятельных работах творческого характера).
Математика проникает во все области науки, важна её практическая направленность, обусловленная тем, что её предметом изучения являются фундаментальные структуры реального мира, пространственные формы и количественные отношения от простейших до самых сложных. [10]
Один из методов, который применяется на своих уроках с целью осуществления межпредметной связи, это метод целесообразных задач. Сущность его сводится к подбору одной или двух задач межпредметного содержания и использование их на уроке.
Например.
Из меди, цинка и латуни приготовили сплав массой 3,9кг. В сплаве имеется 1,8кг меди, а масса латуни в 2 раза больше массы цинка. Сколько имеется латуни в сплаве?[3]
Ц - х кг
М - 1,8кг 3,9кг
Л - 2х кг
Решение:
х+2х+1,8=3,9
3х=3,9-1,8
х=0,7кг (цинк)
2х=20,7=1,4кг (латунь)
Ответ: 1,4кг латуни.
Следующий метод -- эвристический. С помощью этого метода дается возможность учащимся самостоятельно делать выводы, формулировать вопрос, составлять задачи, используя знания других предметов.
Например.
Задание этого типа направлены на развитие у учеников способности к систематизации и упорядочению тех сведений, которые даются в условии. «Какой квадратик на рисунке 3 надо закрасить, чтобы изображенная фигура оказалась состоящей из двух одинаковых частей?
Размещено на webkursovik.ru/
Размещено на webkursovik.ru/
В результате обсуждения и уточнения ответов учеников можно прийти к выявлению тех представлений, которые лежат в основе понятия осевой симметрии.
Точки А1 и А2 называются симметричными относительно прямой а (ось симметрии), если прямая а проходит через середину отрезка А1А2 и перпендикулярна к этому отрезку.
Проблемно-поисковый. В данном случае ставится перед классом определенная проблема, которую можно разрешить, лишь используя межпредметную связь.
Так, задача может быть предложена не только для создания проблемной ситуации, но и для закрепления нового материала.
Шоссе проходит через речку. Мост имеет форму параболы у = рх2. Каким нужно сделать уклон насыпи к мосту, чтобы переход с моста на насыпь был плавный? Длина моста l = 20 м, стрела провеса f = 0,5 м (рис. 4).
Указание. Направление подхода к мосту должно совпадать с направлением касательной к профилю моста на конце его. Задача сводится к нахождению углового коэффициента касательной к графику функции у = рх2 в точке х = 10. Значение р определяют из условия, что парабола проходит через точку с координатами (10; 0,5). Обозначим величину угла наклона касательной через . Тогда tg = у(10) = 0,1. [4]
Размещено на webkursovik.ru/
Размещено на webkursovik.ru/
Межпредметные проблемные вопросы служат различным целям в обучении. Это могут быть отдельные ситуативные вопросы, которые обобщают определенные понятия, изучаемые в разных предметах.
С помощью проблемных вопросов учитель может создать межпредметную проблемную ситуацию. Задания межпредметного характера побуждают учащихся к творческому подходу выбора решения.
Таким образом, межпредметные связи осуществляются не только в содержании, но и в методах обучения и закрепляются в умениях учащихся.[10]

Глава 2. Методика реализации внутрипредметных связей

2.1 Роль понятийного аппарата во внутрипредметных связях

Одной из основных задач обучения является развитие целенаправленного мышления. Развитие же мышления предполагает формирование различных понятий, в том числе и математических, так как они выступают в качестве основной формы мышления. Понятия не могут существовать в отдельности друг от друга, они взаимообусловлены, взаимосвязаны. Существование каждого понятия было бы невозможно без определенных отношений к другим. Некоторые понятия вообще не могут существовать вне этих отношений. Так, например, понятия радиус, хорда, диаметр, вписанный угол и т. д. не мыслимы без соотнесения их с понятием окружности.

В учебном курсе понятия могут играть разную роль: одни из них являются общими, с широким спектром приложений, другие же играют функцию подчиненную. Учитель должен уметь выделять общие, ведущие понятия курса. Ведущими понятиями будем считать те, которые удовлетворяют следующим критериям: они должны формировать научное мировоззрение; значительно чаще других понятий служить средством изучения различных вопросов математики; активно работать на протяжении большого промежутка времени; способствовать наиболее полной реализации внутрипредметных связей, а, в конечном счете, и межпредметных; иметь прикладную и практическую направленность. Примерами таких ведущих понятий могут служить: число, величина, фигура, функция, график, уравнение, неравенство, равносильность, алгоритм и т. д.

Выделив ведущие понятия, учитель должен затем проследить их развитие во всем курсе школьной математики, тем самым определить его содержательно-методические линии, которые обеспечивают курсу необходимую систематичность и последовательность, отражают идейную сторону математики и являются важнейшим средством обеспечения преемственности всего изучаемого материала.

Перечислим основные содержательно-методические линии школьного курса алгебры: числовая, алгоритмическая, функциональная, линия уравнений и неравенств.

Реализация внутрипредметных связей вовсе не должна означать установление искусственных связей; наряду со связями, играющими положительную роль в процессе обучения, имеют место и связи отрицательного действия. Задача учителя -- суметь в каждом конкретном случае отчленить одни связи от других и исключить связи отрицательного воздействия. Приведем примеры связей отрицательного действия.

1. Учащиеся, используя основное свойство дроби, ошибочно преобразуют дробь к следующему виду: или .

Ошибки получены в результате сокращения дроби не на множитель, как того требует основное свойство дроби, а на слагаемое.

2. При введении понятия иррационального числа многие учителя иллюстрируют это понятие лишь такими примерами: ; - и т. д. Это приводит к тому, что затем на вопрос: «Приведите примеры иррациональных чисел» -- учащиеся отвечают лишь подобными примерами, тем самым происходит сужение объема понятия иррационального числа. Этого не произошло, если бы народу с приведенными выше примерами учитель показал и иррациональное число 0,001 00001... (используется связь с бесконечными непериодическими десятичными дробями).[7]

Значительная часть приведенных ошибок возникла в результате следующих причин. Это большая прочность ранее образованных связей по сравнению с позже возникающими; стремление учащихся к автоматическому применению теории без достаточного анализа возможности ее применения; доминирование ассоциативных связей над смысловыми, склонность действовать по стереотипу.

Отрицательные связи, устанавливаемые учениками, можно предвидеть и вести работу, которая могла бы их предотвратить. Так, например, большое число решенных задач по разложению на множители трехчленов вида x2+px + q не облегчает, а скорее затрудняет формирование навыка разложения на множители трехчленов вида ах2+bх+с (учащиеся записывают ошибочный ответ в виде (х -- х1)(х -- х2), опуская множитель а). Поэтому выполнение упражнений по разложению на множители трехчленов первого вида не должно быть длительным. Преподавание должно вестись по способу чередования разнотипных задач.

Одни и те же понятия могут быть определены на основе разных исходных посылок, различными способами. Все эти определения могут оказаться равноценными, но они будут иметь существенную разницу в достигнутых результатах обучения, в частности будет различной полнота внутрипредметных связей. Задача состоит в том, чтобы отыскать такой вариант, при котором эти результаты обучения будут наилучшими. Важно разъяснять учащимся реальный смысл понятий, показывать, отражением каких сторон действительности они являются.

Остановимся в связи с этим на теме «Действительные числа». Хотя данная тема служит основой изучения вопросов математического анализа, она, слабо усваивается учащимися. В первую очередь отметим, что школьники не видят связей между понятием действительного числа и понятиями математического анализа, изучаемыми в школьном курсе. Одна из причин -- выведение понятия действительного числа из задачи об извлечении корня.
Это задача курса алгебры, а не математического анализа. Вопрос об извлечении корня не является главным в данном случае. Его целесообразно использовать лишь для мотивировки введения новых чисел -- иррациональных.
Размещено на webkursovik.ru/
Размещено на webkursovik.ru/
Действительно, после того как будет доказано, что нет рационального числа, квадрат которого равен 2, учащимся можно предложить задачу: «Постройте квадрат ABCD со стороной 1 и на диагонали АС этого квадрата постройте другой квадрат (рис.5). Чему равна площадь получившегося квадрата АСКМ?»
Так как SABCD = 1 ед.2, то SACD= ед.2.
Так как ACD = CDK= KDM= ADM, то Sackm = Sacd + ScDk + SKdm + + Sadm= =2 ед.2. Если сторону квадрата АСКМ (диагональ АС) обозначить через х, то получим х2=2. Но раз мы реально имеем квадрат площадью 2 ед.2, то должно существовать и число, квадрат которого равен 2.
Для математического анализа ведущим является расширение множества рациональных чисел до множества действительных чисел, которое является непрерывным (вместе с этим решается вопрос и об извлечении корня из положительного числа). Главенствующее значение действительных чисел в курсе математического анализа как раз и состоит в том, что они способны выразить непрерывное изменение величины. (В случае доминанты задачи об извлечении корня этот вопрос остается скрытым.)
Таким образом, отработка понятия действительного числа и понятия непрерывной величины -- это две стороны одного и того же процесса. Так как наглядной иллюстрацией непрерывного процесса служит движение точки по прямой, то в основе формирования понятия действительного числа должно быть, в первую очередь, понятие прямой, совокупность точек которой такова же по своей структуре, как и множество действительных чисел. Рассматривая так действительные числа, можно осуществить преемственность данной темы с такими вопросами анализа, как предел, непрерывность, производная, интеграл и т. д. [7]
Важным требованием к определению понятия является его согласование с естественно-интуитивным представлением о нем. Не может, например, считаться целесообразным определение целого числа через класс пар натуральных чисел, ибо оно не сформирует у учащихся тех умений и навыков, которыми они должны владеть для проведения числовых и алгебраических преобразований. Это же следует сказать и о таких определениях: определение натурального числа как класса эквивалентных множеств; определение рационального, числа как класса пар целых чисел; определение вектора как параллельного переноса; определение функции как множества пар с различными первыми компонентами. Несоответствие между интуитивным представлением о понятии вектора и его формальным определением можно преодолеть за счет введения понятия вектора через направленный отрезок, а функции через физический прототип -- переменную величину.[3]
Введение понятий в школьный курс должно строиться на основе разумного сочетания двух аспектов: исторического и логического.

2.2 Методика реализации внутри- и межпонятийных связей

Реализация внутрипонятийных связей преследует цель научить учащихся выделять существенные признаки понятия, сформировать у них умение переформулировать определения понятий через другую совокупность существенных признаков. Учащиеся должны из набора существенных признаков объекта уметь устанавливать его принадлежность понятию и наоборот. Основная функция внутрипонятийных связей -- образование понятия. (По времени это один-два урока, на которых понятие вводится.)

Любое понятие можно расчленить на составляющие его компоненты, между которыми устанавливаются определенные связи. Например, понятие геометрическая прогрессия определяется как числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля и каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число, не равное нулю. Исходя из этого определения можно выделить следующие составляющие: последовательность, первый член последовательности, знаменатель прогрессии. Они подчинены определенным зависимостям. Так, члены последовательности должны быть отличны от нуля, знаменатель прогрессии есть любое число, не равное нулю, каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на знаменатель прогрессии. Для усвоения понятия геометрической прогрессии, на уровне требований программы девятилетней школы, необходимо, чтобы были усвоены перечисленные элементы и связи между ними.

В понятии треугольник можно вычленить такие элементы, как стороны и углы. Между этими основными элементами треугольника существует целый ряд различных отношений: A+ B+C = 2d; если аb, то А В; если AB, то и аb; а -- b<с; а+b>с и т. д. Учитывая, что этот список отношений большой, речь вовсе не идет о том, чтобы учащиеся усваивали все эти отношения, их количество прежде всего ограничено учебной программой. Для любого понятия может быть выделен минимальный список наиболее важных отношений, играющих доминирующую роль не только в усвоении этого понятия, но и необходимый в дальнейшем для изучения других вопросов. Приведем несколько примеров.[7]

При изучении понятия координатная прямая учащиеся должны выделять существенные свойства этого понятия: а) координатная прямая -- это прямая линия; б) координатная прямая -- это прямая с выбранным на ней началом отсчета; в) координатная прямая -- это прямая с выбранной на ней единицей измерения; г) координатная прямая -- это прямая с выбранным на ней направлением.

После выделения существенных признаков учащимся предлагается работа по комбинированию этих признаков и определению на основе этих комбинаций соответствующих им объектов. Здесь, как и в предыдущем примере, идет работа над внутрипонятийными связями.

Важное значение для успешной реализации внутрипонятийных связей имеет работа школьников по осознанию тех связей, которые существуют между свойствами понятия. При этом учебный материал должен быть организован на основе варьирования несущественных признаков понятий при сохранении постоянными существенных признаков, которые и будут положены в основу обобщения.

Например, для ознакомления учащихся с фактом влияния коэффициента k на свойства функции y = kx достаточной является группа упражнений, состоящая из следующих задач: «Постройте графики функций у=3х, у=х, у=х, у= --3х,у= --х, у=-x. Как влияет на их расположение значение k?»

В данной группе задач исключено беспорядочное варьирование коэффициента, при котором ученик может упустить необходимые для обобщения связи между коэффициентом k и свойствами функции y = kx. Все задачи направлены на осознанное понимание учащимися двух различных факторов, определяющих свойства функции: абсолютная величина k, знак коэффициента k.

Организуя работу над внутрипонятийными связями, учителю следует иметь в виду, что при этом важно варьировать несущественные признаки понятия. Особое значение эта работа имеет при формировании геометрических понятий. Если учитель ограничивается, например, стандартными чертежами, то школьники достаточно быстро связывают формируемое понятие с фигурами определенного вида и расположения.[7]

Ведь использование стандартного чертежа вызывает у учащегося неверные ассоциации, в результате чего он в содержание понятия вносит и частные признаки демонстрируемой фигуры. В такой ситуации наблюдается разобщенность между словесным объяснением учителя и наглядной интерпретацией. Это приводит к тому, что знания, формируемые на базе одного и другого, не соответствуют друг другу.

Приведем несколько примеров, подтверждающих сказанное.

Размещено на webkursovik.ru/
Размещено на webkursovik.ru/

1. Учащиеся при выполнении задания на распознавание фигур, например, к углу относили лишь фигуру, изображенную на рисунке 6б. Причиной послужило то, что учитель, формируя понятие угла, использовал лишь рисунки, подобные рисунку 6б, и школьники с бедными геометрическими представлениями попали «в плен» к наглядности.

2.Некоторые учащиеся к смежным углам отнесли лишь углы, изображенные на рисунке 7б.

Размещено на webkursovik.ru/
Размещено на webkursovik.ru/
Размещено на webkursovik.ru/
Размещено на webkursovik.ru/

3. Многие ученики к прямоугольным треугольникам относят лишь те, у которых прямой угол находится «внизу» (рис. 8 б, в). Причиной ошибочного представления о понятии явилось то, что учащиеся при его введении пользовались лишь одним признаком, а не совокупностью существенных признаков, при этом доминирующим стал наиболее ярко выраженный несущественный признак.[2]

Размещено на webkursovik.ru/
Размещено на webkursovik.ru/
Следует иметь в виду, что формирование понятия в сознании учащихся в значительной степени зависит от того, в каком виде произошло первое знакомство с этим понятием.
Не менее важным в работе над внутрипонятийными связями является формирование у школьников умения переосмысливать фигуру в плане другого понятия, вычленять и комбинировать из элементов изображения новые фигуры, не указанные в условии задачи. Проиллюстрируем сказанное на примерах.
1. Назовите все четырехугольники, изображенные на рисунке 9.
Размещено на webkursovik.ru/
Размещено на webkursovik.ru/
Размещено на webkursovik.ru/
Размещено на webkursovik.ru/
2. В какие фигуры входит отрезок АВ на рисунке 10?
3 Чем является отрезок КЕ на рисунке 11?
Радиус окружности равен 5 см (рис. 10).
Найдите длину отрезка АВ. Для решения задачи учащиеся должны увидеть радиус окружности в качестве диагонали ОК прямоугольника АКВО. Тогда на основе равенства диагоналей прямоугольника они получат, что АВ = 5 см.
Для того чтобы учащиеся понимали роль и назначение чертежа, умели читать и строить его по словесному заданию условия, целесообразно довести школьников до полного понимания роли чертежа в геометрии;
показать образцы чтения чертежей; добиваться того, чтобы учащиеся умели видеть в чертеже не только то, что бросается в глаза, но и все то, что содержится в нем; формировать у учащихся навыки в технике черчения; применять вариацию положения чертежа.
На уровне внутрипонятийных связей важна работа по формированию у школьников представления о свойствах, являющихся следствием других свойств, о понятии противоречивости свойств.
С этой целью учащимся младших классов можно предложить задачи такого содержания.
Могут ли одновременно а и b удовлетворять условиям:
а) а больше b; а меньше b;
б) с больше b; произведение чисел а и b равно нулю;
в) а делитель b; а меньше b;
г) а расположено на числовом луче правее b; а равно b;
д) а расположено на числовом луче левее b, а меньше b- а = 2;
е) прямая а параллельна прямой b; прямая b перпендикулярна прямой а?
Приведенные примеры показывают, что для усвоения понятия необходимо отыскать такой вид деятельности, который позволял бы усваивать основные элементы понятия и отношения между ними. При этом вид деятельности будет зависеть от характера понятий.
В курсе школьной математики все понятия можно условно подразделить на группы, положив в основу классификации тот или иной признак. Приведем классификацию:
-- понятия, аналогами которых являются житейские представления учащихся (например, число, прямая, точка);
-- понятия, вводимые в курс без определений (например, величина, множество);
-- понятия, вводимые в курс через определения (например, функция, уравнение, неравенство, логарифм числа);
-- понятия, введенные ранее в «расплывчатом» виде, в дальнейшем получающие свое четкое определение (например, график, степень, равенство фигур).
При формировании понятий первой группы следует связывать математические понятия с их житейскими прототипами, приобретенными учащимися вне целенаправленного обучения. Житейские прототипы, или, как их еще называют, аналоги, могут либо верно, либо неверно отражать основную суть научного понятия. Например, рассмотрим термин функция. Но смысл, который вкладывается ими в данный термин, не соответствует его научной трактовке. Этот термин учащиеся до изучения понятия функции на уроках алгебры используют в смысле назначения: роль одного объекта по отношению к другому (функция органов дыхания, функция воды по отношению к растениям и т. д.). Ясно, что при формировании математического понятия функция в смысле зависимости опора на житейский прототип невозможна. В данном случае привычка учащихся к обыденным оборотам речи лишь тормозит понимание математического понятия.[3]
При формировании понятия смежные углы опора на житейские прототипы (например, смежные комнаты, смежные приусадебные участки) позволяет исключить такую ошибку ученика, когда вместо выражения «смежные углы» используется следующий оборот: «смежным углом называется такой угол, у которого одна сторона общая, а две другие стороны являются дополнительными лучами».
Особое значение соотношение житейских прообразов и их научных образов приобретает в случае изучения основных неопределяемых понятий курса. Формирование этих понятий невозможно без опоры на жизненный опыт учащихся. Первостепенное значение при этом имеет мотивация введения этих понятий.
Например, в курсе геометрии при введении различных геометрических фигур учащимся полезно предлагать задания по составлению «родословной» каждого понятия.
Размещено на webkursovik.ru/
Размещено на webkursovik.ru/
При изучении понятий окружность, отрезок схемы «родословной» могут быть изображены так, как на рисунках 13,14.
Размещено на webkursovik.ru/
Размещено на webkursovik.ru/
Сравнивая эти схемы «родословной», учащиеся замечают, что каждое из этих понятий сводится к таким, как точка, прямая, плоскость, расстояние. Тем самым школьники подводятся к мысли, что не все понятия могут быть определены, а следовательно, некоторые из них должны быть взяты в качестве основных, неопределяемых. В действующем школьном курсе геометрии к ним относятся точка, прямая, плоскость, лежать между, принадлежит.
При работе над этими понятиями опора на житейские прототипы не только не исключает (как это было в примере с понятием функции), а, наоборот, предполагает как можно более частое обращение к ним.
Если понятие определяется в школьном курсе математики, то чаще всего определение, дается сразу в завершенной, свернутой форме. Однако такой подход не требует от школьников самостоятельного выделения существенных признаков понятий, а это в итоге приводит к тому, что ученики не могут их сознательно использовать при решении практических задач. В подобных определениях для учащихся остаются скрытыми не только те действия, которые позволяют распознавать понятие в изменяющихся условиях, но и сам процедурный характер его получения.
Исключения составляют те случаи, когда для распознавания объекта в определении соответствующего понятия дан эталон, с которым этот объект может быть сравнен. Например, в такой форме дается определение линейной функции: «Функция, которую можно задать формулой вида y = kx+b, где k и b -- некоторые числа, называется линейной».
Раскрытие внутрипонятийных связей должно идти через действия учащихся, при этом учитель должен организовать целесообразную деятельность школьников. [3]
Недостаточная работа над внутрипонятийными связями приводит, как правило, к типичным ошибкам. Обратим внимание на некоторые из них:
1. Ошибки, связанные с неправильным указанием родового понятия.
Примеры:
а) Средней линией треугольника называется прямая, соединяющая середины его двух сторон. (Указано понятие, которое для определяемого не является родовым.)
б) Квадратом называется многоугольник, все стороны и все углы которого равны между собой. (Указано не ближайшее родовое понятие.)
2. Ошибки, связанные с неправильным указанием видового отличия.
Примеры:
а) Прямоугольником называется четырехугольник, диагонали которого равны. (Указано видовое отличие, которое не определяет понятие прямоугольник однозначно.)
б) Угол, образованный двумя хордами, называется вписанным. (Не указан еще один существенный признак -- вершина угла должна лежать на окружности.)
3. Ошибки, связанные с тавтологией.
Пример. Равными треугольниками называются такие треугольники, которые равны между собой.
4. Ошибки, связанные с пропуском слов.
Примеры:
а) Простое число -- это натуральное число, которое делится само на себя и на единицу. (Пропущено слово «только».) б) Прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. (Пропущено слово «две».)[2]
Задача учителя -- вести исчерпывающий разбор типичных ошибок, выявлять их природу и происхождение, ибо без этого нельзя обеспечить эффективные средства исправления и предупреждения ошибок в будущем.
Каждая ошибка характеризуется содержанием и причинами возникновения. Содержание ошибки лежит на поверхности явления, а причина скрыта в глубине его.
Математические ошибки подразделяются на случайные и систематические (устойчивые). К случайным ошибкам относятся те, которые появляются однократно, несистематически у одного-двух учащихся класса. К устойчивым ошибкам относят либо те, которые появляются у одного и того же ученика (или нескольких) неоднократно, либо наблюдаются, хотя и однократно, но у многих учащихся Причины устойчивых ошибок учащихся являются следствием:
а) психологических факторов (ослабление внимания, памяти, мышления);
б) несовершенства организации процесса обучения;
в) недостатков программ, учебников по математике.
В педагогической литературе правомерно ставятся вопросы:
«Нужно ли предупреждать ошибки в действиях учащихся?»;
«Нужно ли допущенную ошибку обсуждать фронтально или же целесообразнее это сделать индивидуально?»;
«Есть ли ошибки такого рода, обсуждение которых вообще нецелесообразно?».[5]
Но продуманная работа над систематическими (устойчивыми) ошибками может оказаться эффективным средством формирования сознательных и прочных знаний учащихся. В каждом конкретном случае учитель должен сам определить, какая форма работы будет целесообразнее: фронтальная или индивидуальная.
Большое значение в работе с внутрипонятийными связями играют контрпримеры, которые вначале, приводятся учителем, а затем к их конструированию подключаются и учащиеся.
Так, для определения а) и б) данных при описании типичных ошибок четвертого вида можно соответственно привести контр.пример, иллюстрирующий их ошибочность:
Размещено на webkursovik.ru/
Размещено на webkursovik.ru/
а) Число 12 делится на себя и на единицу, но оно не является простым числом.
б) Прямые а, b, с (рис. 15) лежат в одной плоскости, не имеют ни одной общей точки, но не являются параллельными.
Подобного рода работа повысит математическую культуру учащихся, научит их сознательно относиться к каждому слову в определении.
Контр. примеры чаще всего применяются тогда, когда надо убедить ученика в том, что он ошибается. Полезно уже на уровне 5-6 классов предлагать задания следующего содержания: «Приведите контр.примеры, доказывающие ложность следующих высказываний:
а) любые три отрезка могут быть сторонами треугольника;
б) сумма любого четного и любого нечетного числа есть число простое
в) любая фигура, имеющая три угла, является треугольником;
Успешному усвоению внутрипонятийных связей будет способствовать организация активной познавательной деятельности школьников на всех этапах формирования понятия. Покажем, как можно это сделать на примерах.
1. Для формирования понятия медианы треугольника учащимся предлагается:
а) построить произвольный треугольник;
б) соединить отрезком его вершину с серединой противоположной стороны.
После этой работы учитель говорит: «Такой отрезок называется медианой треугольника» -- и предлагает учащимся самим сформулировать определение медианы треугольника.
2. Работая над понятием квадратное уравнение, полезно предложить учащимся заполнить таблицу 1.
Таблица 1
Уравнение
а
b
с
b2 -4ac
x1
х2
x1+x2
x1хx2
х2--6х--9=0
2
7
3
4х2= - 7х
25x2 + 3=0
3
0
-27
При такой работе закрепляются знания о параметрах квадратного уравнения, идет активное усвоение общей формулы корней и теоремы Виета.
Учителю при работе над внутрипонятийными связями следует иметь в виду, что не всегда структура текста учебника математики соответствует оптимальной последовательности этапов формирования понятий, которая может быть такой:
1. Рассмотрение примеров объектов, входящих в объем понятия.
2. Введение термина, обозначающего понятие.
3. Рассмотрение примеров объектов, не входящих в объем понятия.
4. Формулирование определения понятия.
5. Сообщение дополнительных сведений, в частности указание несущественных признаков понятия.
6. Систематизация знаний.
Большую роль в работе с внутрипонятийными связями играют упражнения по практическому применению понятий и теорем. На уроках мы часто сталкиваемся с ситуацией, когда учащиеся верно формулируют определение понятия, теорему, но оказываются бессильными в случае решения конкретной задачи. Например:
1. Учащиеся 7 класса верно формулировали определения соответствующих понятий и теорем, но не смогли ответить на вопросы:
а) хватит ли 20 см проволоки, чтобы согнуть из нее треугольник, одна сторона которого была бы равна: 12 см; 8 см; 10 см;
б) почему углы при основании равнобедренного треугольника всегда острые;
в) почему каждый острый угол прямоугольного равнобедренного треугольника равен 45°?
Проверить, сознательно ли школьники усвоили внутрипонятийные связи, поможет педагогически целесообразная постановка вопросов. Вопрос считается педагогически целесообразным, если ответ на него не копирует учебник, а будит активную, сознательную мысль ученика; такой вопрос должен выявлять степень понимания, а не степень запоминания материала. Пример.
В 5 классе при изучении натурального ряда чисел учащимся сообщают его свойства: натуральный ряд чисел начинается с 1; каждое следующее натуральное число на единицу больше предыдущего; натуральный ряд чисел неограничен (не имеет конца).
Вопросы: «С какого числа начинается натуральный ряд чисел?», «На сколько следующее натуральное число больше предыдущего?», «Конечен ли натуральный ряд чисел?» -- педагогически нецелесообразны.
Выявить сознательное усвоение школьниками свойств натурального ряда чисел помогут такие вопросы: «Каково наименьшее натуральное число?», «Какое натуральное число предшествует 1?», «Назовите наибольшее натуральное число», «Почему а+1 обозначает следующее за натуральным числом а число?»
Для успешной реализации внутрипонятийных связей необходимо у школьников формировать логические приемы мышления, такие, как подведение под понятие, сравнение, выведение следствий, построение объектов по определению понятия.
К сожалению, значительная часть учащихся не владеет этими приемами. Так, при подведении объекта под понятие они опираются не на систему признаков, указанную в определении, а на отдельные признаки. Например, школьники ошибочно дают утвердительные ответы на вопросы: «Будут ли углы смежными, если они имеют общую вершину и в сумме составляют 180°?», «Будут ли углы вертикальными, если они равны и имеют общую вершину?»
Ошибки, допущенные при распознавании объектов в указанных выше вопросах, обусловлены тем, что во всех случаях нет сведений о некоторых необходимых признаках, а школьники испытывают большие трудности при распознавании объектов в задачах с неопределенным составом условий. [2]
Для того чтобы учащиеся могли верно подводить объект под понятие в случаях конъюнктивной и дизъюнктивной структур определений, можно вместе с ними составить следующую схему распознавания.
1. Исходя из условий выбрать удобное определение понятия, под которое подводится объект.
2. Выделить в выбранном определении все признаки понятия.
3. Установить, какими логическими союзами связаны между собой эти признаки.
4. Если все признаки понятия связаны союзом «и», то для подведения объекта под понятие надо проверить последовательно выполнение для данного объекта всех признаков, если не выполнен хотя бы один признак, то объект не принадлежит к указанному понятию, если же все признаки выполнены, то объект принадлежит объему этого понятия.
5. Если все признаки понятия связаны союзом «или», то для установления принадлежности объекта объему понятия достаточно проверить выполнение хотя бы одного из этих признаков.
Систематическое, целенаправленное использование такой схемы распознавания объекта позволит избежать ошибок, допускаемых учащимися при осуществлении логического приема мышления -- подведения объекта под понятие.
Рассмотрим еще один вопрос, связанный с определением понятий.
Радикальное изменение содержания школьной математики привело в свое время к усилению строгости изложения курса. Отражением этого явилось усиленное внимание к строгости определений понятий, изучаемых в курсе математики. В большей степени дефиниционный формализм коснулся содержания основ математического анализа, изучаемых в школе.
Наличие большого числа строгих определений понятий в прежнем курсе алгебры и начал анализа привело к смещению в преподавании акцента от интуитивного к логическому. В таком случае в процессе обучения отрабатывались и закреплялись формальные определения понятий вместо выработки у учащихся адекватных представлений о понятиях, необходимых для правильного их использования в практической работе.
Такое изменение методической ситуации в изучении понятий привело к формализму в знаниях учащихся. Приведем примеры.
Учащимся предлагается задание: «Вычислить (x)dx, если функция f(x) задана графиком (рис. 16)». Немногие учащиеся решат ее рационально, не вычисляя интеграла, а находя сумму площадей прямоугольника и трапеции.
Предупредить формализм в знаниях учащихся возможно за счет усиления связей интуитивно-опытных представлений с логической формализацией, а также за счет усиления наглядно-смысловой стороны изучаемых вопросов.
Размещено на webkursovik.ru/
Размещено на webkursovik.ru/
Использование и оперирование графическими моделями понятий математического анализа есть эффективное средство преодоления и предупреждения формализма в знаниях, повышения прочности и осознанности знаний, развития должной интуиции у учащихся в понимании фундаментальных понятий и внутрипонятийных связей. Геометрический язык позволяет проводить пропедевтику основных понятий математического анализа, способствует формированию политехнических знаний и прикладных умений, содействует развитию у учащихся навыков моделирования явлений действительности. Результаты могут быть достигнуты без дополнительных затрат учебного времени. С этой целью задачи графического содержания достаточно использовать в качестве устных вопросов к традиционным вопросам курса.
Покажем, каким образом геометрическое истолкование понятия производной может способствовать правильному построению графиков функции с помощью дифференциального исчисления. (Мы проиллюстрируем тем самым реализацию внутрипредметных связей на уровне умений и навыков.)
1. График функции f (х) = х3 -2х2 + х должен быть таким, каким он изображен на рисунке 17. Учащиеся же представляют его в виде, изображенном на рисунке 18.
Размещено на webkursovik.ru/
Размещено на webkursovik.ru/
2. Функция f(х)=х2--х4 должна иметь график, изображенный на рисунке 23, а школьники строят ошибочно другие эскизы графика (рис. 19,20)
Эти ошибки происходят из-за того, что школьники при построении графика функции берут во внимание лишь характер монотонности функции и то, какой экстремум имеет функция в той или иной экстремальной точке, забывая при этом учесть, существует ли производная функции в этих точках, и если да, то каково ее значение.
Действительно, график функции f(x)=x2--x4 (см. рис. 20) построен так, что в точках с абсциссами х=-- и х= к кривой нельзя провести касательных, в то время как производная функции в этих точках существует (она равна нулю), а значит, проведение касательных возможно.
Следовательно, при построении графика функции школьники должны уметь сопоставить ход кривой в окрестностях экстремальных точек с тем, возможно ли проведение касательных или нет, причем в случае равенства нулю производной функции в этих точках касательные должны быть параллельны оси х.
3. Пусть нужно построить график функции f(x)=x4 -- 2х2 -- 3. Учащиеся оформляют проведенное исследование функции в виде таблицы.
Размещено на webkursovik.ru/
Размещено на webkursovik.ru/
Размещено на webkursovik.ru/
Размещено на webkursovik.ru/
До построения графика функции полезно сначала на координатной плоскости отметить точки (--1; --4), (0; --3), (1; --4) (рис. 22)
Учитывая, что касательные к графику функции в этих экстремальных точках параллельны оси х (это следует из равенства нулю угловых коэффициентов, так как f' (--1) = f'(0) = f'(1) = 0), проведем в этих точках прямые, параллельные оси х (рис. 22). Затем следует, согласно таблице, наметить ход кривой в точках (рис.23). Построение самого же графика функции явится завершающим этапом (рис. 24).[7]
Внутрипонятийные связи играют ведущую роль в образовании понятий а межпонятийные связи -- в его формировании.
Размещено на webkursovik.ru/
Размещено на webkursovik.ru/
Формирование понятия более длительный процесс, чем его образование. Образование понятия связано с изучением овладения его содержанием, а формирование понятия характеризуется еще и овладением его объемом.
Содержательной стороной межпонятийных связей являются логические отношения, которые устанавливаются между понятиями. Остановимся на их характеристике. Дадим каждому из видов отношений соответствующее определение.
К основным отношениям между понятиями следует отнести: отношение тождества, отношение несогласованности, отношение подчинения, отношение соподчинения, отношение частичного совпадения. Эти отношения определяют структуру понятийного аппарата курса математики.
Определение 1. Понятия А и В тождественны, если полностью совпадают их объемы (рис. 25)
Например, понятия арифметическая прогрессия и линейная функция, заданные на множестве натуральных чисел, являются тождественными.
Определение 2. Понятие А называется несогласованным с понятием В, если их объемы не имеют общих частей (рис. 26)
Примером несогласованных понятий могут служить понятия треугольник и четырехугольник
Размещено на webkursovik.ru/
Размещено на webkursovik.ru/
Определение 3. Если объем понятия А входит целиком в объем понятия В, то понятия А и В находятся в отношении подчинения. Понятия А- подчиненное, понятие В - подчиняющее (рис.27)
Этот вид отношения между понятиями имеет особое значение. Фактически здесь речь идет об отношении вида к роду. Многие же понятия в курсе школьной математики определяются через ближайший род и видовое отличие, т. е. определения строятся на отношении подчинения понятий. Примером такого вида отношений могут служить отношения между частными видами функций и самим понятием функции. Последнее выступает родовым по отношению к каждому конкретному виду функции. Другим примером может служить отношение между понятиями многоугольник и трапеция.
Определение 4. Если объем понятия А и объем понятия В входят друг в друга частично, то эти понятия находятся в отношении частичного совпадения (рис. 28).
В отношении частичного совпадения находятся понятия монотонная функция и нечетная функция. Действительно, есть функции одновременно монотонные и нечетные, есть функции монотонные, но не нечетные, есть функции нечетные, но не монотонные. В отношении частичного совпадения находятся понятия ромб и прямоугольник.
Размещено на webkursovik.ru/
Размещено на webkursovik.ru/
Определение 5. Если понятия А и В несогласованы, а их объемы целиком входят в объем Понятия С, то понятия А и В называются соподчиненными (рис. 29)
Размещено на webkursovik.ru/
Размещено на webkursovik.ru/
математика алгебра геометрия межпредметный
Так, пусть С -- это рациональные выражения; А -- целые рациональные выражения; В -- дробные рациональные выражения. Понятия А и В в данном случае несогласованы, но объемы их целиком входят в объем понятия С, следовательно, они находятся в отношении соподчинения. В таком же отношении находятся понятия четырехугольник, трапеция, параллелограмм.
Мы рассмотрели различного рода связи между понятиями в зависимости от соотношения их объемов, но существуют отношения и другого характера. Например, отношения пространственно временные, отношения порядка, отношения количества и т. д.
Организовать необходимую ориентацию учащихся в учебном материале нужно не на основе наблюдения внешних проявлений понятий, а на основе анализа важнейших отношений между ними.
В первую очередь следует выделять отношения, устанавливающие связи между элементами одного и того же класса математических объектов. Затем выделяются отношения, устанавливающие связи между элементами различных классов математических объектов. Нет необходимости явно знакомить учащихся с межпонятийными отношениями, достаточно показать содержательно ограниченную сферу их использования.
Установление межпонятийных отношений должно строиться на основе сравнения и выявления различий и сходств между понятиями. Сравнение понятий может проводиться по схеме:
а) выделение признаков понятий;
б) установление общих и существенных признаков;
в) выбор одного из существенных признаков в качестве основания для сравнения;
г) сопоставление понятий по выбранному основанию.
При изучении понятий на основе сопоставления их существенных примаков выбираются сравнимые и несравнимые понятия. Сравнимыми понятиями считаются те, в содержание которых входят общие признаки
На основе анализа этих общих признаков делается вывод о наличии или отсутствии общей части объемов этих понятий и затем строятся различные классификационные схемы.
Представленные схемы появляются как продукт анализа, синтеза, обобщения материала. Они позволяют разом охватывать множество понятий, лучше проследить за развитием узловых понятий, видеть каждое из них в центре всех тех отношений, в которые оно вступает со всеми остальными.
Размещено на webkursovik.ru/
Размещено на webkursovik.ru/
Психологами было показано, что отношения между объектами сохраняются в памяти значительно дольше, чем отдельные предметы. Если объекты расположены в строго продуманной системе, то их восприятие требует минимальных усилий, хаотическое же их расположение требует значительных волевых усилий. Схемы, отражающие отношения между понятиями, позволяют лучше сохранить в памяти ученика учебный материал.
Построение подобных иерархий отрабатывается по следующей схеме:
а) выбор основания для классификации;
б) разбиение всего множества рассматриваемых объектов по выбранному основанию на группы;
в) установление внутригрупповых связей и отношений;
г) установление межгрупповых отношений;
д) построение модели системы понятий, имеющей определенную логическую структуру.
В схемах и таблицах выделяются не только элементы системы, но и отражаются системообразующие отношения между ними. Они выступают в качестве модели структуры материала в сознании ученика, а также играют роль средства усвоения результатов обобщений.
Выражаясь образно, они играют роль «дорожных указателей», облегчающих движение в «лабиринте понятий». [7]
Конструирование схем и таблиц проводится так, чтобы в них отражались генетические связи, которые определяют основное содержание и структуру всей темы; они должны быть легко читаемы, в них особым способом должны быть выделены основные смысловые элементы.
Ценность их состоит в том, что по мере дальнейшего изучения материала они могут периодически обновляться.
Динамичность подобных схем способствует развитию динамичности умственной деятельности школьников, выражающейся в их способности включать известные понятия, факты в новые связи и отношения, причем это включение идет не спонтанно, а целенаправленно, по нужному руслу.
Методы работы с данными схемами могут быть различными: учитель проводит эвристическую беседу, выразив ее результаты в виде схемы; учитель предлагает учащимся план беседы, а затем по составленному плану проводит ее; учитель предлагает схему, по которой учащиеся самостоятельно проводят обобщение; учитель предлагаем самостоятельно обобщить материал и выразить результаты обобщения в виде схемы
К составлению систематизирующих таблиц и схем учащиеся должны подготавливаться постепенно. На первом этапе учащимся следует предлагать готовые схемы и таблицы. После уяснения их основного назначения, существенных сторон их составления школьникам можно дать заполнение таких схем и таблиц. Этап самостоятельного конструирования явится завершающим. Следовательно, вначале учитель выполняет основную роль, а затем постепенно происходит вытеснение его участия самостоятельной работой школьников.
Схемы, которые можно использовать при работе с внутрипонятийными и межпонятийными связями, различают по их назначению, степени абстрактности и широте охвата учебного материала.
Так, например, по назначению выделяют схемы, объекта (они отражают структуру объекта) и схемы ориентации в объектах (они отражают взаимосвязи между объектами). Примерами схем объектов могут служить те, которые изображены на рисунках 16,17, примерами схем ориентации в объектах -- рисунке 30,31,32. [2]
Схемы объекта используются на этапе введения понятия и по способу взаимодействия связеобразующих элементов носят локальный характер. Схемы ориентации в объектах используются для тематического повторения и предназначены для систематизации и обобщения изученного учебного материала. Их ценность состоит в том, что они отражают то общее, что характеризует в сознании учащегося системные знания по изученной теме.[7]

2.3 Взаимосвязь алгебры и начала анализа в процессе решения задач

Наиболее полное осуществление принципа дифференцированного подхода к каждому учащемуся реализуется в процессе решения задач. Первое и основное требование к подбору задач состоит в том, чтобы каждая из них носила творческий характер, способствовала пониманию учащимися основ теории, приобщению их к той или иной важной математической идее. Решение задач должно быть важным средством интенсификации процесса обучения математике. Именно задачи могут обеспечить органическое единство изучения всех тем курса математики.

Задачный материал внутри каждой темы должен быть подобран таким образом, чтобы его решение способствовало уяснению учащимися данной темы и новых математических идей, заложенных в ней; помогало осуществить повторение предыдущего материала на основе нового, решить старые задачи новыми методами; содержало в себе пропедевтику последующих тем курса.[3]

В настоящей статье мы хотим показать реализацию принципа тесной взаимосвязи между различными темами курса алгебры и математического анализа в классах с углубленным изучением математики. Такая связь дает учителю возможность одновременно заниматься изучением сегодняшнего материала, повторением вчерашнего и подготовкой к освоению завтрашнего: тем самым каждая тема изучается не сама по себе, а в комплексе с другими. Это способствует развитию творческого мышления, экономии времени, интенсификации учебного процесса, лучшему усвоению материала, закреплению максимального количества навыков и умений.

Возможность осуществления этого принципа мы рассмотрим на примере решения задач, так или иначе связанных с темой «Многочлены».

В теме «Действительные числа» часто рассматриваются задачи на доказательство того факта, что данное число является иррациональным.

Пример 1. Доказать, что число а = 2 + 3 иррациональное.

Решение. Предположим противное: пусть а -- число рациональное. Тогда а2 = 5 + 26 и 6= -число рациональное. Мы пришли к противоречию. Следовательно, наше предположение неверно -- число а = 2 + 3 иррациональное.

Пример 2. Доказать, что число а = 32 + 33 иррациональное.

Решение. Предположим противное: пусть aQ, тогда

а3 = 2 + 3 + З36 (32 + 33), а3 - 5 = За36

и 36 = (а3 -- 8) -- число рациональное. Мы снова пришли к противоречию, доказывающему, что 32 + 33 -- число иррациональное.

Заметим, что схема решения в обоих случаях одинакова. Предположив, что данное число рациональное после возведения в соответствующую степень, мы приходим к противоречию -- в одной части равенства получается число иррациональное, в другой рациональное.

Казалось бы, нет никаких преград для решения подобных задач с другими числовыми данными. Однако следующий пример показывает, что это не совсем так.

Пример 3. Доказать, что число х0 = 32 + 34 иррациональное.

Решение. После возведения в куб получается равенство

или , (2)

которое не дает возможности сделать заключение, подобное сделанному при решении примеров 1 и 2. Приходится искать новые пути решения. Один из таких путей появляется после изучения в теме «Многочлены» следующей теоремы и ее следствий:

Пусть несократимая дробь х0 =(pZ, qN) является корнем многочлена апхn + ап-1хn-1 + ... + а1х1 + а0 (ап 0) с целыми коэффициентами. Тогда р -- делитель а0, q -- делитель ап.

Следствие 1. Любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.

Следствие 2. Всякий рациональный корень приведенного многочлена с целыми коэффициентами является целым.

Теперь можно воспользоваться следующим алгоритмом для доказательства иррациональности числа а:

1. Составить приведенный многочлен с целыми коэффициентами, корнем которого является число а.

2. Доказать, что он либо вовсе не имеет целых корней, либо ни один из его возможных целых корней не может быть равен а.

Возвратимся к примеру 3. Переписав равенство (2) в виде -- 6x0 -- 6 = 0, видим, что число хо = 32 + 34 является корнем приведенного многочлена х3 -- 6х -- 6. Число хо = 32 + 34 рациональным быть не может, так как иначе оно должно быть целым, но 2 < 32 + 34< 4, а число 3 корнем данного многочлена не является. Следовательно, х0 = 32 + 34 -- число иррациональное.

Заметим, что описанный способ может быть применен и при решении примеров 1 и 2.

Пример 4. Составить многочлен с целыми коэффициентами, один из корней которого 2 + З.

Решение: х0 = 2 + 3. Тогда . Искомый многочлен: х4 -- 10х2 + 1.

Решение примеров 2 и 3 может служить мотивом и для доказательства интересного утверждения: если aN, bN, то число

3a + 3b может быть либо целым, либо иррациональным.

Действительно, 3a + 3b является корнем приведенного многочлена (х3 -- (a+b))3 -- 27abx3. Это приведенный многочлен с целыми коэффициентами. Он не может иметь других рациональных корней, кроме целых. Следовательно, если его корень xо = 3a + 3b не является целым, то он иррационален.

Пример 5. Доказать, что 323 + 3123 -- иррациональное число.

Доказательство. Рассмотрим неравенства

2,5 < 323 < 3,

4,5 < 3123 < 5,

7 < 323 + 3123 < 8,

т. е. число 323 + 3123 не является целым, а следовательно, оно иррационально.

При изучении темы «Многочлены» учащиеся производят деление многочлена на многочлен. Умение производить такое деление может в последующем облегчить решение многих задач: нахождение асимптот, вычисление производных, интегралов и т. д.
Пример 6. Найти наклонную асимптоту графика функции
Решение. Произведя деление многочленов, получим:
х3 - 3х + 1 = х - 1 +
Так как , то наклонной асимптотой является прямая у = х -- 1.
(Решения такого типа используют в школах с углубленным изучением математики или лицеях)
Пример 7. Найти промежутки выпуклости графика функции
Решение. Деление многочлена 2х2 -- 3х + 1 на многочлен х -- 2 качественно облегчит нахождение второй производной:
Теперь легко находим:
y' = 2-, у" =
Следовательно, на промежутке (2; + ) график функции обращен выпуклостью вниз, а на промежутке (- ; 2) -- выпуклостью вверх.
Преподавание таким образом станет интереснее, продуктивнее и будет соответствовать принципу интенсификации всего учебного процесса в школе.[7]


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.