На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Курсовик Мера ограниченного открытого множества. Мера ограниченного замкнутого множества. Внешняя и внутренняя меры ограниченного множества. Измеримые множества. Измеримость и мера как инварианты движения. Класс измеримых множеств.

Информация:

Тип работы: Курсовик. Предмет: Математика. Добавлен: 28.05.2007. Сдан: 2007. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


Мера ограниченного открытого множества

В теории функций вещественной переменной большую роль играет понятие меры точечного множества, обобщающее понятие длины промежутка, площади прямоугольника, объема параллелепипеда и т.д. В этой главе мы изложим теорию измерения линейных ограниченных точечных множеств, принадлежащую А.Лебегу.
Так как наиболее простой структурой обладают открытые множества, то естественно начать именно с них.
Определение 1. Мерой интервала (a, b) называется его длина, т.е. b - a. Это число обозначается так:
m (a, b) = b - a
Очевидно, что всегда m (a, b) >--_.
Лемма 1. Если в интервале D содержится конечное число взаимно не налегающих интервалов d1,--d2,--...,--dn, то

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть D = (A, B), dk = (ak, bk) (k = 1, 2, …, n).
Не нарушая общности, можно считать, что интервалы dk перенумерованы в порядке возрастания левых концов, т.е. что
a1 < a2 < … < an.
Но тогда, очевидно, bk Ј--ak+1 (k = 1, 2, …, n - 1), ибо иначе интервалы dk и dk+1 налегали бы друг на друга. Поэтому сумма
Q = (B - bn) + (an - bn-1) + … + (a2 - b1) + (a1 - A)
не отрицательна. Но очевидно, что , откуда и следует лемма.
Следствие. Если на интервале D лежит счетное множество взаимно не налегающих интервалов dk (k = 1, 2, 3, …), то
.
[Имея дело с положительным расходящимся рядом, мы приписываем ему сумму, равную + Ґ; поэтому всякий положительный ряд имеет некоторую сумму. Неравенства k< C (положительного ряда) гарантирует его сходимость.]
Определение 2. Мерой mG непустого открытого ограниченного множества G называется сумма длин всех его составляющих интервалов --dk:
(Не зная, конечно или счетно множество {dk}, мы будем употреблять обозначение dk, подразумевая, смотря по обстоятельствам, под этим символом k или k.)
В силу вышеотмеченного следствия,
mG< + Ґ
Если множество G пусто, то мы , по определению, полагаем
mG=0,
так что всегда mGі0.
Если D есть интервал, содержащий в себе открытое множество G, то
mG Ј mD,
что вытекает из того же следствия.
Пример (Канторово множество G0). Построение Канторова множества G0 состояло из ряда последовательных шагов.
На первом шагу брался интервал (1/3, 2/3) длины 1/3. На втором шагу к нему присоединялись два интервала: (1/9, 2/9) и (7/9, 8/9), длины 1/9 каждый.
На третьем шагу присоединялись еще четыре интервала, длины 1/27 каждый и т.д.
Таким образом
mG0 =…

Суммируя по известной формуле эту прогрессию, получаем

mG0 = 1.

Теорема 1. Пусть G1 и G2 два ограниченных открытых множества. Если G1 М G2, то

mG1 Ј mG2.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть di (i = 1, 2, …) и Dk (k = 1, 2, …) суть, соответственно, составляющие интервалы множеств G1 и G2.

В силу теоремы 4, § 5, гл.II, каждый из интервалов di содержится в одном (и только одном) из интервалов Dk.

Поэтому множество {di} можно разбить на ряд взаимно не пересекающихся подмножеств А1, А2, А3,…, относя di в Аk в том случае, когда di М--Dk.

Тогда, пользуясь известными свойствами двойных рядов, мы можем написать

.

Но, в силу следствия леммы 1,

, откуда ,

что и требовалось доказать.

Следствие. Мера открытого ограниченного множества G есть точная нижняя граница мер всевозможных открытых ограниченных множеств, содержащих G.

Теорема 2. Если открытое ограниченное множество G является суммой конечного числа или счетного множества взаимно не налегающих открытых множеств

,

то

.

Это свойство меры называется полной аддитивностью.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть (i = 1, 2, …) суть составляющие интервалы множества Gk. Покажем, что каждый из них является составляющим интервалом суммы G.

В самом деле, то обстоятельство, что G, очевидно. Остается убедиться, что концы интервала не принадлежат G. Допустим, что, например, правый конец интервала принадлежит G. Тогда этот правый конец (обозначим его через m)--должен принадлежать какому-нибудь из слагаемых множеств. Пусть m--О--Gk'. (Очевидно kў--№--k, ибо множеству Gk точка m--заведомо не принадлежит.) Но множество Gkў открыто и, стало быть, точка m--принадлежит одному из составляющих интервалов этого множества m--О--diў(kў).--Однако это влечет за собой то, что интервалы di(k) и diў(kў)----пересекаются, последнее же противоречит условию Gk Gkў= 0.

Итак, действительно, каждый из di(k) есть составляющий интервал множества G. С другой стороны, каждая точка G принадлежит хоть одному di(k) . Наконец, все эти интервалы различны. Таким образом, множество

(i = 1, 2, …; k = 1, 2, …)

есть множество всех составляющих интервалов суммы G.

Установив это, уже легко закончить доказательство:

=

что и требовалось доказать.

Для того чтобы перенести теорему (соответственно изменить ее) на случай суммы п е р е с е к а ю щ и х с я слагаемых, нам понадобятся две простые леммы.

Лемма 2. Пусть сегмент [P, Q] покрыт конечной системой Н интервалов (l,--m--).--Тогда

Д о к а з а т е л ь с т в о. Выделим из системы Н некоторую ее часть Н*, которая строится следующим образом: обозначим через (l1,) какой-нибудь из интервалов системы H,--содержащих точку P

l1 < P < m1

(хоть один такой интервал существует). Если окажется, что m1>Q, то интервал (l1, m1) , и составляет требуемую систему H*--.--Если же m1Q, то m1О[P, Q], и можно в системе H найти интервал (--l2, m2), содержащий точку m1--,

l2 < m1 < m2

Если окажется, что m2>Q, то процесс окончен, и интервалы (l1, m1) и (--l2, m2) и составляют систему Н*.

Если же m2Q, то m2О[P, Q], и можно в системе H найти интервал (--l3, m3), содержащий m2.

l3 < m2 < m3

Если m3>Q, то процесс закончен, а если m3Q, то продолжаем наш процесс.

Но ведь множество H--по условию конечно, а наш процесс состоит в выделении из H--все новых и новых интервалов, ибо

m1 < m2 < m3 < …

Поэтому процесс обязательно должен закончится, а конец его состоит в том, что какая-то из точек mk окажется лежащей правее точки Q.

Пусть mn>Q, но mn-1ЈQ, т.е. процесс заканчивается после n-го шага.

Тогда интервалы (l1, m1), (--l2, m2), … , (ln, mn) и составляют систему H. При этом lk+1<mk (k = 1, 2, … , n-1).

Значит

а так как mn - l1-->--Q - P, то Q - P < , откуда и подавно

Q - P < .

Лемма 3. Пусть интервал D--есть сумма конечного или счетного множества открытых множеств

D--=--.

Тогда

mD.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть D--=--(A, B) и пусть составляющие интервалы множества Gk суть di(k) (i = 1, 2, …).

Возьмем положительное число e--(_--<--e--<--) и рассмотрим сегмент , содержащийся в интервале D.

Этот сегмент покрыт системой интервалов di(k) (i = 1, 2, …; k = 1, 2, …). Применяя к этой системе теорему Бореля о конечном покрытии из § 2, гл. II, мы получим некоторую конечную систему

(s = 1, 2, … n),

покрывающую сегмент . В силу предыдущей леммы, , откуда и подавно

B - A - 2e--< .

Так как число e--произвольно мало, то

B - A ,

и лемма доказана.

Теорема 3. Если открытое ограниченное множество G является суммой конечного числа или счетного множества открытых множеств Gk, G = , то

mG.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Di (i = 1, 2, …) суть составляющие интервалы суммы G. Тогда mG = .

Но --откуда, в силу леммы 3, и, стало быть,

(*)

С другой стороны

При этом (что является здесь основным) отдельные слагаемые правой части взаимно не пересекаются (потому что при i№i`). Значит, мы находимся в условиях применимости теоремы 2, а потому

(**)

Сопоставляя (*)--и (**),--мы и получаем теорему.

Мера ограниченного замкнутого множества

Пусть F непустое ограниченное замкнутое множество и S наименьший сегмент, содержащий множество F. Как известно, множество CSF открыто и поэтому имеет определенную меру m[CSF]. Это дает возможность установить следующее определение.

Определение 1. Мерой непустого ограниченного замкнутого множества F называется число

где S=[A, B] есть наименьший сегмент, содержащий множество F.

Для пустого замкнутого множества меру определять не нужно, ибо такое множество открыто и мерой его мы уже условились считать число 0. Кроме того, непустое замкнутое ограниченное множество не может оказаться открытым множеством, так что нет надобности ставить вопрос о связи определений меры открытого и замкнутого множества.
Рассмотрим некоторые примеры.
1. F=[a, b]. В этом случае, очевидно, S=[a, b] и CsF=0, так, что m [a, b] = b - a, т. е. мера сегмента равна его длине.
2. F есть сумма конечного числа попарно не пересекающихся сегментов
Можно считать, что сегменты перенумерованы в порядке возрастания левых концов;--тогда, очевидно,
(k=1, 2, … n-1),
откуда следует, что
Стало быть,
т.е. мера суммы конечного числа попарно не пересекающихся сегментов равна сумме длин этих сегментов.
3. Пусть (Канторово совершенное множество). В этом случае
и откуда
т.е. Канторово совершенное множество имеет меру нуль. Этот факт интересно сопоставить с тем, что мощность множества есть с.
Теорема 1. Мера ограниченного замкнутого множества F не отрицательна.--
Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, если пользоваться обозначениями определения 1, то очевидно М--(А, В), и по теореме 1, откуда и следует, что
Лемма. Пусть F ограниченное замкнутое множество, содержащееся в интервале D,--тогда
D- [ CDF]
Д о к а з а т е л ь с т в о. Множество CDF - открыто, так что лемма имеет смысл. Пусть D=(A, B), а наименьший сегмент, содержащий множество F, есть S=[a, b] (рис.1.).
Тогда легко видеть, что СDF=CDS+CsF.--
Рис. 1
Оба слагаемые правой части открыты и взаимно не налегают. Значит, по свойству аддитивности меры (теорема 2) будет m[CDF]=m[CDS]+m[CsF].
Но, очевидно,CDS = (A, a) + (b, B), откуда
m[CD] = (a-A) + (B-b),
и следовательно,
m[CDF]=(B-A)-(b-a)+m[CsF],
что и доказывает лемму.
Теорема 2. Пусть F1 и F2 два ограниченных замкнутых множества. Если F1М F2, то mF1Ј--mF2.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть D--есть интервал, содержащий множество F2. Тогда легко проверить, что СDF1 --Й--CDF2, и, стало быть, m[CDF1 ]-- [ CDF2 ], так что дело сводиться к предыдущей лемме.
Следствие. Мера ограниченного замкнутого множества F есть точная верхняя граница мер всевозможных замкнутых множеств, содержащихся в F.
Теорема 3. Пусть F замкнутое множество, а G открытое ограниченное множество. Если FМ G, то mFmG.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть D--есть интервал, содержащий множество G. Легко видеть, что D=--G+CDF, откуда, в силу теоремы 3, получаем, что mDmG + m[CDF], и дело сводится к лемме.
Теорема 4. Мера открытого ограниченного множества G есть точная верхняя граница мер всевозможных замкнутых множеств, содержащихся в G.
Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу предыдущей теоремы, mG есть точная граница мер замкнутых множеств FМG, и надо доказать, что меры этих замкнутых множеств могут быть сколь угодно близки к mG.
Пусть составляющие интервалы множеств G суть(lk, mk )--(k=1, 2, …),--так что mG = (mk-----lk).

Возьмем произвольное e >--_--и найдем столь большое натуральное n, чтобы оказалось mk - lk)>--mG - .

Затем для каждого k (k=1, 2, …, n) найдем такой сегмент[ak, bk], чтобы было

[ak--bk,] М (lk, mk), m[ak, bk] > m(lk, mk) -,

(для чего достаточно взять такое hk, что

0 < hk < min[, ]

и положить ak = lk+hk, bk =mk - hk). Положим, наконец,

F0= k, bk].

Тогда, очевидно, F0 М G, F0 замкнуто и

mF0=(bk-ak) > (mk-lk) - > mG - e.

Так как e--произвольно мало, то теорема доказана.

Теорема 5. Мера замкнутого ограниченного множества F есть точная нижняя граница мер всевозможных открытых ограниченных множеств, содержащих F.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Как и выше, достаточно показать, что можно построить открытое ограниченное множество, содержащее множество F и имеющее меру, сколь угодно близкую к mF.

С этой целью возьмем интервал D,--содержащий множество F, и рассмотрим открытое множество CDF. Каково бы ни было e>_, мы можем (в силу теоремы 4) найти замкнутое множество Ф такое, что Ф М СDF, mФ>m[CDF]-----e.

Положим G0 = СDФ. Легко видеть, что G0 есть открытое множество, содержащее F. Вместе с тем

mG0 = mD - mФ < mD - m[CDF] + e = mF + e

Теорема доказана.

Теорема 6 . Пусть ограниченное замкнутое множество F есть сумма конечного числа взаимно не пересекающихся замкнутых множеств

F = (FkFk' = 0, k № k').

Тогда

mF =

Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, достаточно рассмотреть случай двух слагаемых F = F1+F2 (F1F2=0).

Возьмем произвольное e--> 0 и подберем два ограниченных открытых множества G1 и G2 так, чтобы оказалось

Gi Й Fi (i = 1, 2),

что возможно в силу предыдущей теоремы.

Положим G = G1 + G2.

Тогда G есть открытое ограниченное множество, содержащее множество F. Значит,

mF Ј mG Ј mG1 + mG2 < mF1 + mF2 + e.

В силу произвольности e,--отсюда следует что

mF Ј mF1 + mF2 (*)

С другой стороны, в силу теоремы отделимости, существуют такие открытые множества B1 и B2, что
Bi Й Fi (i = 1, 2), B1B2 = 0.
Отметив это возьмем произвольное e--> 0 и найдем такое открытое ограниченное множество G, что G Й F, mG < mF + e.
Тогда множества B1G и B2G суть открытые ограниченные взаимно не пересекающиеся множества, содержащие, соответственно, множества F1 и F2.
Значит,
MF1 + mF2 Ј m(B1G) + m(B2G) = m [B1G + B2G]
(здесь мы воспользовались аддитивностью меры для открытых множеств). Но B1G + B2G М--G, откуда
mF1+mF2 Ј--mG <--mF+e------
и в силу произвольности e,
mF1 + mF2 Ј--mF. (**)
Сопоставляя (*)--и (**),--получим
mF = mF1 + mF2,
что и требовалось доказать.

Внешняя и внутренняя меры ограниченного множества

Определение 1. Внешней мерой m*E ограниченного множества E называется точная нижняя граница мер всевозможных открытых ограниченных множеств, содержащих множество E:

Очевидно, для всякого ограниченного множества E cуществует внешняя мера, причем 0 Ј m*E < +Ґ.

Определение 2. Внутренней мерой m*E ограниченного множества E называется точная верхняя граница мер всевозможных замкнутых множеств, содержащихся в множестве E:

m*E=.

Очевидно, что всякое ограниченное множество E имеет внутреннюю меру, причем 0 Ј m*E < +Ґ.

Теорема 1. Если G есть открытое ограниченное множество, то

m*G = m*G = mG.

Теорема вытекает из следствия теоремы 1 и теоремы 4.

Теорема 2. Если F есть замкнутое ограниченное множество, то

m*F = m*F = mF.

Теорема вытекает из следствия теоремы 2 и теоремы 5.

Теорема 3. Для всякого ограниченного множества Е

m*E Ј m*E.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть G ограниченное открытое множество, содержащее множество Е. Какое бы замкнутое подмножество F множества Е ни взять, будет F М--G и, в силу теоремы 3, mF Ј--mG. Отсюда m*E Ј--mG. Но так как это верно для всякого открытого ограниченного множества G, содержащего Е, то m*E Ј--m*E, что и требовалось доказать.

Теорема 4. Пусть A и B суть ограниченные множества. Если A М--В, то

m*A Ј--m*В, m*A Ј--m*B.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Оба неравенства доказываются аналогично. Остановимся для примера на первом из них.

Пусть S есть множество, состоящее из мер всевозможных замкнутых подмножеств множества А, а Т такое же множество для множества В. Тогда m*A = sup S, m*B = sup T.

Пусть F есть замкнутое подмножество А, тогда и подавно F является подмножеством множества В. Отсюда следует, что S М--T, и теорема вытекает из того известного факта, что точная верхняя граница подмножества какого-либо множества не превосходит точной верхней границы самого этого множества.

Теорема 5. Если ограниченное множество Е есть сумма конечного числа или счетного множества множеств Еk

E=, то m*EЈ.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Теорема тривиальна в случае расходимости ряда . Предположим, что этот ряд сходится. Взяв произвольное e--> 0, мы можем найти такие открытые ограниченные множества Gk, что

GkЙEk, mGk<m*Ek+ (R=1, 2, 3, …).

Назовем через D--какой-нибудь интервал, содержащий множество Е. Тогда ЕМD, откуда, в силу теоремы 3.

m*E Ј m = m Ј ,

и теорема вытекает из произвольности числа e.

Теорема 6. Если ограниченное множество Е есть сумма конечного числа или счетного множества взаимно не налегающих множеств Еk

Е= (EkEk'=0, k№k'),

то

m*Eі*Ek.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим первые n множеств Е1, Е2,... …, Еn. Для любого e > 0 существуют такие замкнутые множества Fk, что

FkМEk, mFk>m*Ek- (k=1, 2, …, n).

Множества Fk попарно не пересекаются и сумма их замкнута. Отсюда, применяя теорему 6, получим

m*E і m= mFk > m*Ek - e.

Так как e--> _--произвольно, то m*Ek Ј--m*E.

Этим теорема доказана для случая конечного числа слагаемых множеств. Если же этих множеств имеется счетное множество, то, опираясь на произвольность числа n, мы установим сходимость ряда m*Ek и неравенство m*Ek Ј--m*E.

Легко видеть, что теорема перестает быть справедливой, если отбросить условие отсутствия общих точек у множеств Ek. Например, если Е1=[0, 1], Е2=[0, 1] Е=Е12, то m*E=1, m*E1+m*E2=2.

Теорема 7. Пусть Е ограниченное множество. Если D--интервал, содержаций это множество, то

m* E+m*[CDE]=mD.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем произвольное e>_--и найдем такое замкнутое множество F, что FМCDЕ, mF>m*[CDE]- e.

Если мы положим G=CDF, то множество G будет открытым ограниченным множеством, содержащим множество Е, откуда, с помощью леммы находим

m*E Ј mG = mD--- mF <--mD--- m*[CDE] + e.

Отсюда, в силу произвольности e,--следует, что

m*E + m*[CDE] Ј--mD.

Для того чтобы получить обратное неравенство

m*E + m*[CDE] і--mD, (*)

приходится рассуждать тоньше.

Возьмем e>_--и найдем такое открытое ограниченное множество G0, что G0--Й Е, mG0 < m*E + .

Назовем концы интервала D--через--A и B и построим такой содержащийся в D--интервал (a, b), что

A < a < A+, В - < b < B.

Сделав это, положим G = DG0 + (A, a) + (b, B).

Множество G открыто, ограничено, содержит E и таково, что

mG < m*E + e.

Но кроме того (и это здесь основное) множество F = CDG оказывается замкнутым, что вытекает из легко проверяемого тождества F = [а, b]--Ч--CG.

Так как F М СDЕ, то m*DЕ]--і--mF = mD - mG > mD - m*E -e.

Отсюда, в силу произвольности e,--следует неравенство (*), а с ним и теорема.

Следствие. В обозначениях теоремы будет

m*[CDЕ] - m*[CDЕ]--=--m*E - m*E.

В самом деле, если мы переменим роли множеств Е и СDЕ, то получим, что m*[CDЕ]--+--m*Е = mD,--откуда

m*[CDЕ]--+--m*E = m*E + m*[CDE],

а это равносильно доказываемому утверждению.

Измеримые множества

Определение. Ограниченные множество Е называется измеримым, если его внешняя и внутренняя меры равны друг другу :

m*E=m*E.

Их общее значение называется мерой множества E и обозначается через mE:

mE=m*E=m*E .

Этот способ определения понятия меры принадлежит Лебегу, в связи с чем иногда измеримое множество называют множеством “измеримым в смысле Лебега”, или, короче, “измеримым (L)”.

Если множество E неизмеримо, то о его мере нельзя говорить, и символ mE для нас лишен смысла. В частности, неизмеримыми мы считаем все неограниченные множества.

Теорема 1. Открытое ограниченное множество измеримо и его вновь определенная мера совпадает с мерой.

Этот результат есть непосредст и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.