На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Диплом Методика преподавания математики в начальных классах. Множественное истолкование натурального числа, анализ программ дошкольного учреждения и начальной школы по его преемственности. Методика формирования математических умений в младшем школьном возрасте.

Информация:

Тип работы: Диплом. Предмет: Педагогика. Добавлен: 14.03.2011. Сдан: 2011. Страниц: 2. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):



Содержание
Введение
1. Требования к совершенствованию преподавания математики в начальных классах
1.1 Теоретико-множественное истолкование натурального числа
1.1.1 История возникновения натурального числа
1.1.2 Аксиоматика натурального числа
1.1.3 Теоретико-множественное истолкование натурального числа
1.2 Преемственность
1.2.1 Понятие преемственности
1.2.2 Анализ программ дошкольного учреждения и начальной школы по преемственности натурального числа
2. Опытно - экспериментальная работа по формированию математических умений в дошкольном и младшем школьном возрасте
2.1 Цель, задачи и методика опытно - экспериментальной работы
2.2 Экспериментальное изучение по формированию математических умений в дошкольном и младшем школьном возрасте
2.3 Анализ и интерпретация результатов опытно - экспериментальной работы
Заключение
Список использованной литературы
Приложения
Введение

Центральным понятием всего курса математики в дошкольной и начальной школе является натуральное число. Счет имеет сложную историю возникновения и развития. Ф. Энгельс считал, что понятие числа заимствовано исключительно из внешнего мира, оно не возникло из чистого мышления. Изучение истории развития понятия числа и операций с числами позволяет выявить, как происходил процесс «опредмечивания» числа, как развивалось понятие числа, какую роль играет овладение исторически выработанным средством отражения числа (овладение системой нумерации) в формировании понятия числа.
О целесообразности ранней пропедевтики материала средней школы говорят многие методисты. В частности Б.П. Эрдниев отмечает, что это «благотворно в смысле достижения целостности знаний, преемственности», считает, что не должно быть никакого ограничения ни в каком классе в «опережении» той или иной программы, в свободном пользовании математическими терминами, названиями, формулами, если это увязывается информационно с изучаемым и оставляет какие-то полезные следы в сознании. Нет необходимости доказывать, насколько ускоряется тем самым усвоение в последствии.
Преемственность в обучении, кроме того, является необходимым условием реализации его развивающей функции, которая в настоящий момент выдвигается на передний план. В.В. Давыдов, в частности, отмечает, что практическое воплощение идеи развития в реальных педагогических технологиях предполагает выработку особого взгляда на традиционную проблему преемственности различных ступеней образования. Преемственность, по мнению В.В. Давыдова, не должна задаваться как формальная связь само замкнутых образовательных концентров. «Подобная система представляет собой «педагогическую машину», которая в своих рабочих режимах воспроизводит лишь самоё себя. Это вполне закономерно. Ведь именно в узлах связи образовательных ступеней закладывается зона отдалённого развития детей. Поэтому вне целостного видения контуров и характера такой связи попытки конструировать содержание образования, проектировать нормы усвоения учебного материала, заранее обречены на неуспех». В работах В.В. Давыдова и других исследователей отмечается неудовлетворительное состояние этой проблемы в сложившейся практике массового образования. Всё сказанное свидетельствует о неблагополучной ситуации, сложившейся в начальной школе с точки зрения её подготовки к дальнейшему обучению, о недостаточном обеспечении преемственности в обучении между дошкольной и начальной школой. Это говорит об актуальности темы исследования.
Возникает противоречие между потребностями общества в высокообразованных людях и невозможностью удовлетворить эту потребность при организации непрерывного образования, в частности из-за того, что не обеспечивается преемственность преподавания в дошкольной и начальной школе. Преодоление этого противоречия является проблемой данного исследования.
Для решения обозначенной проблемы необходимо решить ряд частных задач.
1. рассмотреть теоретико-множественное истолкование натурального числа и понятие преемственности;
2. проанализировать программы дошкольного учреждения и начальной школы по преемственности натурального числа;
3. экспериментально проверить формирование математических умений и навыков в дошкольном и младшем школьном возрасте.
Вместе с тем, необходимо убедиться, что разработанные материалы доступны детям и позволяют строить обучение с учётом пропедевтики материала начальных классов.
Объект исследования, математическая подготовка учащихся дошкольной и начальной школы.
Предмет исследования: преемственность преподавания математики в дошкольной и начальной школе.
Цель исследования: разработка методических подходов к преподаванию математики в дошкольной школе, обеспечивающих пропедевтику дальнейшего обучения на материале темы «Натуральное число» в начальной школе.
Гипотеза исследования: если, не изменяя содержания курса математики дошкольной школы, правильно организовать усвоение основных понятий и алгоритмов курса математики дошкольной школы, то это поможет существенно лучше подготовить учеников к обучению в следующих классах в начальной школе.
Методологические и теоретические основы исследования составляют:
- работы по философии и методологии математического познания и математического образования (работы Виленкина Н.Я., Воловича М.Б., Глейзера Г.Д., Гнеденко Б.В., Гусева В.А., Дорофеева Г.В., Колмогорова А.Н., Колягина Ю.М., Кудрявцева Л.Д., Хинчина А.Я., Адамар Ж., Вейль Г., Гильберт Д., Клайн М., Пуанкаре А., Рассел Б., Фройденталь Г.)
- современные теории повышения эффективности обучения математики (работы В.А. Гусева, В.И. Крупича, Н.Ф. Талызиной, М.Б. Воловича и др);
- теории деятельностного подхода и развивающего обучения (работы Л.С. Выготского, В.В. Давыдова, Д.Б. Эльконина, Л.В. Занкова, Н.Ф. Талызиной, П.Я. Гальперина и др.);
- современные подходы к повышению эффективности усвоения определений и вычислительных правил (работы Н.Б. Истоминой, П.М. Эрдниева, Б.П. Эрдниева, В.Я. Ляудис и др.);
- теоретические исследования по проблемам логико-дидактических аспектов обучения школьников математике (работы Болтянского В.Г., Гладкого A.B., Грудёнова Я.И, Далингера В.А., Калужнина Л.А., Монахова В.М., Саранцева Г.И., Семушина А.Д., Столяра A.A., Менчинской H.A.,);
Решение поставленных задач потребовало следующих методов исследования: изучение и анализ философской, психолого-педагогической и методической литературы, научной литературы монографического характера и научных статей по методике математики, работ по истории математики; анализ действующих учебников по математике и методической литературы; анализ педагогического опыта отечественных и зарубежных преподавателей начальной школы.
Новизна исследования заключается в том, что в нём выявлены причины сбоев при реализации преподавания математики в дошкольной школе по наиболее распространённым учебникам; разработаны новые подходы к организации усвоения основных понятий и алгоритмов темы «Натуральное число».
Теоретическая значимость исследования состоит в том, что его результаты позволяют по-новому взглянуть на обучение математики в дошкольной и начальной школе, тем самым создаются предпосылки для более эффективного решения задач школьного предмета математики как инструмента для развития детей и воспитания мыслящих граждан нашего общества.
Практическая значимость исследования состоит в разработке конкретных материалов, обеспечивающих организацию усвоения основных понятий и алгоритмов темы «Натуральное число» с учетом потребностей дальнейшего обучения.
1. Требования к совершенствованию преподавания математики в начальных классах с точки зрения подготовки учеников к дальнейшему обучению

1.1 Теоретико-множественное истолкование натурального числа

1.1.1 История возникновения натурального числа
Число, важнейшее математическое понятие. Возникнув в простейшем виде ещё в первобытном обществе, понятие число изменялось на протяжении веков, постепенно обогащаясь содержанием по мере расширения сферы человеческой деятельности и связанного с ним расширения круга вопросов, требовавшего количественного описания и исследования. На первых ступенях развития понятие число определялось потребностями счёта и измерения, возникавшими в непосредственной практической деятельности человека. Затем число становится основным понятием математики, и дальнейшее развитие понятия число определяется потребностями этой науки.
Понятие натурального числа, вызванное потребностью счёта предметов, возникло ещё в доисторические времена. Процесс формирования понятия натурального число протекал в общих чертах следующим образом. На низшей ступени первобытного общества понятие отвлечённого числа отсутствовало. Это не значит, что первобытный человек не мог отдавать себе отчёта о количестве предметов конкретно данной совокупности, например о количестве людей, участвующих в охоте, о количестве озёр, в которых можно ловить рыбу, и т.д. Но в сознании первобытного человека ещё не сформировалось то общее, что есть в объектах такого рода, как, например, «три человека», «три озера» и т.д. Анализ языков первобытных народностей показывает, что для счёта предметов различного рода употреблялись различные словесные обороты. Слово «три» в контекстах «три человека», «три лодки» передавалось различно. Конечно, такие именованные числовые ряды были очень короткими и завершались неиндивидуализированным понятием («много») о большом количестве тех или других предметов, которое тоже являлось именованным, т. е. выражалось разными словами для предметов разного рода, такими, как «толпа», «стадо», «куча» и т.д.
Источником возникновения понятия отвлечённого число является примитивный счёт предметов, заключающийся в сопоставлении предметов данной конкретной совокупности с предметами некоторой определённой совокупности, играющей как бы роль эталона. У большинства народов первым таким эталоном являются пальцы («счёт на пальцах»), что с несомненностью подтверждается языковедческим анализом названий первых чисел. На этой ступени число становится отвлечённым, не зависящим от качества считаемых объектов, но вместе с тем выступающим во вполне конкретном осуществлении, связанном с природой эталонной совокупности. Расширяющиеся потребности счёта заставили людей употреблять другие счётные эталоны, такие, как, например, зарубки на палочке. Для фиксации сравнительно больших число стала использоваться новая идея -- обозначение некоторого определённого число (у большинства народов -- десяти) новым знаком, например зарубкой на другой палочке.
С развитием письменности возможности воспроизведения число значительно расширились. Сначала числа стали обозначаться чёрточками на материале, служащем для записи (папирус, глиняные таблички и т.д.). Затем были введены другие знаки для больших число Вавилонские клинописные обозначения числа так же, как и сохранившиеся до наших дней «римские цифры», ясно свидетельствуют именно об этом пути формирования обозначений для числа. Шагом вперёд была индийская позиционная система счисления, позволяющая записать любое натуральное число при помощи десяти знаков -- цифр. Таким образом, параллельно с развитием письменности понятие натурального числа принимает всё более отвлечённую форму, всё более закрепляется отвлечённое от всякой конкретности понятие число, воспроизводимого в форме слов в устной речи и в форме обозначения специальными знаками в письменной.
Важным шагом в развитии понятия натурального числа является осознание бесконечности натурального ряда чисел, т. е. потенциальной возможности его безграничного продолжения. Отчётливое представление о бесконечности натурального ряда отражено в памятниках античной математики (3 в. до н. э.), в трудах Евклида и Архимеда. В «Началах» Евклида устанавливается даже безграничная продолжаемость ряда простых чисел, в книге Архимеда «Псаммит» -- принципы для построения названий и обозначений для сколь угодно больших чисел, в частности больших, чем «число песчинок в мире».
С развитием понятия натурального числа как результата счёта предметов в обиход включаются действия над числами. Действия сложения и вычитания возникают сначала как действия над самими совокупностями в форме объединения двух совокупностей в одну и отделения части совокупности. Умножение, по-видимому, возникло в результате счёта равными частями (по два, по три и т.д.), деление -- как деление совокупности на равные части. Лишь в многовековом опыте сложилось представление об отвлечённом характере этих действий, о независимости количественного результата действия от природы предметов, составляющих совокупности, о том, что, например, два предмета и три предмета составят пять предметов независимо от природы этих предметов. Тогда стали разрабатывать правила действий, изучать их свойства, создавать методы для решения задач, т. е. начинается развитие науки о числе -- арифметики. В первую очередь арифметика развивается как система знаний, имеющая непосредственно прикладную направленность. Но в самом процессе развития арифметики проявляется потребность в изучении свойств чисел как таковых, в уяснении всё более сложных закономерностей в их взаимосвязях, обусловленных наличием действий. Начинается детализация понятия натурального числа, выделяются классы чётных и нечётных чисел, простых и составных и т.д. Изучение глубоких закономерностей в натуральном ряду числу продолжается и составляет раздел математики, носящий название чисел теория.
Натуральные числа, кроме основной функции -- характеристики количества предметов, несут ещё другую функцию -- характеристику порядка предметов, расположенных в ряд. Возникающее в связи с этой функцией понятие порядкового числа (первый, второй и т.д.) тесно переплетается с понятием количественного числа (один, два и т.д.). В частности, расположение в ряд считаемых предметов и последующий их пересчёт с применением порядковых чисел является наиболее употребительным с незапамятных времён способом счёта предметов (так, если последний из пересчитываемых предметов окажется седьмым, то это и означает, что имеется семь предметов).
Вопрос об обосновании понятия натурального числа долгое время в науке не ставился. Понятие натурального числа столь привычно и просто, что не возникало потребности в его определении в терминах каких-либо более простых понятий. Лишь в середине 19 в. под влиянием развития аксиоматического метода в математике, с одной стороны, и критического пересмотра основ математического анализа -- с другой, назрела необходимость обоснования понятия количественного натурального числа. Отчётливое определение понятия натурального числа на основе понятия множества (совокупности предметов) было дано в 70-х гг. 19 в. в работах Г. Кантора. Сначала он определяет понятие равномощности совокупностей. Именно, две совокупности называются равномощными, если составляющие их предметы могут быть сопоставлены по одному. Затем число предметов, составляющих данную совокупность, определяется как то общее, что имеет данная совокупность и всякая другая, равномощная ей совокупность предметов, независимо от всяких качественных особенностей этих предметов. Такое определение отражает сущность натурального числа как результата счёта предметов, составляющих данную совокупность. Действительно, на всех исторических уровнях счёт заключается в сопоставлении по одному считаемых предметов и предметов, составляющих «эталонную» совокупность (на ранних ступенях -- пальцы рук и зарубки на палочке и т.д., на современном этапе -- слова и знаки, обозначающие числа), Определение, данное Кантором, было отправным пунктом для обобщения понятия количеств. Число в направлении количественной характеристики бесконечных множеств.
Другое обоснование понятия натурального числа базируется на анализе отношения порядка следования, которое, как оказывается, может быть аксиоматизировано. Построенная на этом принципе система аксиом была сформулирована Дж. Пеано.
Следует отметить, что перенесение понятия порядкового числа на бесконечные совокупности (порядковые трансфинитные числа и более общо -- порядковые типы) резко расходится с обобщённым понятием количественного числа; это обусловлено тем, что количественно одинаковые (равномощные) множества могут быть упорядочены различными способами.
Исторически первым расширением понятия числа является присоединение к натуральным числам дробных чисел. Введение в употребление дробных чисел связано с потребностью производить измерения. Измерение какой-либо величины заключается в сравнении её с другой, качественно однородной с ней и принятой за единицу измерения. Это сравнение осуществляется посредством специфической для способа измерения операции «откладывания» единицы измерения на измеряемой величине и счёта числа таких откладываний. Так измеряется длина посредством откладывания отрезка, принятого за единицу измерения, количество жидкости -- при помощи мерного сосуда и т.д. Однако не всегда единица измерения укладывается на измеряемой величине целое число раз, и этим обстоятельством, даже в самой примитивной практической деятельности, не всегда можно пренебречь. Здесь и содержится источник происхождения наиболее простых и «удобных» дробей, таких, как половина, треть, четверть и т.д. Но лишь с развитием арифметики как науки о числе созревает идея рассмотрения дробей с любым натуральным знаменателем и представление о дробном числе как о частном при делении двух натуральных чисел, из которых делимое не делится нацело на делитель.
Дальнейшие расширения понятия число обусловлены уже не непосредственными потребностями счёта и измерения, но явились следствием развития математики.
Введение отрицательных чисел было с необходимостью вызвано развитием алгебры как науки, дающей общие способы решения арифметических задач, независимо от их конкретного содержания и исходных числовых данных. Необходимость введения в алгебру отрицательного числа возникает уже при решении задач, сводящихся к линейным уравнениям с одним неизвестным. Возможный отрицательный ответ в задачах такого рода может быть истолкован на примерах простейших направленных величин (таких, как противоположно направленные отрезки, передвижение в направлении, противоположном выбранному, имущество -- долг, и т.д.). В задачах же, приводящихся к многократному применению действий сложения и вычитания, для решения без помощи отрицательного числа необходимо рассмотрение очень многих случаев; это может быть настолько обременительным, что теряется преимущество алгебраического решения задачи перед арифметическим. Таким образом, широкое использование алгебраических методов для решения задач весьма затруднительно без пользования отрицательного числа. В Индии ещё в 6--11 вв. отрицательные числа систематически применялись при решении задач и истолковывались в основном так же, как это делается в настоящее время.
В европейской науке отрицательные числа окончательно вошли в употребление лишь со времени Р. Декарта, давшего геометрическое истолкование отрицательного числа как направленных отрезков. Создание Декартом аналитической геометрии, позволившее рассматривать корни уравнения как координаты точек пересечения некоторой кривой с осью абсцисс, окончательно стёрло принципиальное различие между положительными и отрицательными корнями уравнения, их истолкование оказалось по существу одинаковым.
Числа целые, дробные (положительные и отрицательные) и нуль получили общее название рациональных чисел. Совокупность рациональных чисел обладает свойством замкнутости по отношению к четырём арифметическим действиям. Это значит, что сумма, разность, произведение и частное (кроме частного при делении на нуль, которое не имеет смысла) любых двух рациональных чисел является снова рациональным числом. Совокупность рациональных чисел упорядочена в отношении понятий «больше» и «меньше». Далее, совокупность рациональных чисел обладает свойством плотности: между любыми двумя различными рациональными числами находится бесконечно много рациональных чисел. Это даёт возможность при помощи рациональных чисел осуществлять измерение (например, длины отрезка в выбранной единице масштаба) с любой степенью точности. Таким образом, совокупность рациональных чисел оказывается достаточной для удовлетворения многих практических потребностей. Формальное обоснование понятий дробного и отрицательного числа было осуществлено в 19 в. и не представило, в отличие от обоснования натурального числа, принципиальных затруднений.
Совокупность рациональных чисел оказалась недостаточной для изучения непрерывно изменяющихся переменных величин. Здесь оказалось необходимым новое расширение понятия числа, заключающееся в переходе от множества рациональных чисел к множеству действительных (вещественных) чисел. Этот переход состоит в присоединении к рациональным числам т. н. иррациональных чисел. Ещё в Древней Греции было сделано в геометрии открытие огромной принципиальной важности: не всякие точно заданные (что само по себе является присущей геометрии идеализацией) отрезки соизмеримы, т. е. не всегда длина отрезка может быть выражена рациональным Ч., если за единицу принят другой отрезок. Классическим примером несоизмеримых отрезков является сторона квадрата и его диагональ. Факт существования несоизмеримых отрезков не явился тормозом для развития геометрии. Греками была разработана (изложенная в «Началах» Евклида) теория отношений отрезков, учитывающая возможность их несоизмеримости. Они умели сравнивать такие отношения по величине, производить над ними арифметические действия (в чисто геометрической форме), т. е. греки обращались с такими отношениями, как с число. Однако идея о том, что отношение длин несоизмеримых отрезков может рассматриваться как число, у них не была осознана до конца. Это может быть объяснено культивировавшимся в школе, к которой принадлежал Евклид, идеалистическим отрывом теоретической математики от прикладных вопросов. В работах Архимеда мы находим значительно большую близость к прикладным вопросам, в частности приближённые вычисления отношений несоизмеримых отрезков, однако и у него не появляется понятие иррационального числа как число, выражающего отношение длин несоизмеримых отрезков.
В 17 в. в период зарождения современной науки и, в частности, современной математики разрабатывается ряд методов изучения непрерывных процессов и методов приближённых вычислений. Отчётливое определение понятия действительного числа даётся одним из основоположников математического анализа И. Ньютоном во «Всеобщей арифметике»: «Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлечённое отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой нами за единицу». Эта формулировка даёт единое определение действительного Ч., рационального или иррационального. В дальнейшем, в 70-х гг. 19 в., понятие действительного числа было уточнено на основе глубокого анализа понятия непрерывности в работах Р. Дедекинда, Г. Кантора и К. Вейерштрасса.
По Дедекинду, свойство непрерывности прямой линии заключается в том, что если все точки, составляющие прямую, разбить на два класса так, что каждая точка первого класса лежит левее каждой точки второго класса («разорвать» прямую на две части), то либо в первом классе найдётся самая правая точка, либо во втором -- самая левая точка, т. е. точка, в которой произошёл «разрыв» прямой.
Совокупность всех рациональных чисел свойством непрерывности не обладает. Если совокупность всех рациональных чисел разбить на два класса так, что каждое число первого класса будет меньше каждого числа второго класса, то при таком разбиении («сечении» Дедекинда) может оказаться, что в первом классе не будет существовать наибольшего числа, а во втором -- наименьшего. Так будет, например, если к первому классу отнести все отрицательные рациональные числа, нуль и все положительные числа, квадрат которых меньше двух, а ко второму -- все положительные числа, квадрат которых больше двух. Такое сечение называется иррациональным. Затем даётся следующее определение иррационального числа: каждому иррациональному сечению в совокупности рациональных чисел сопоставляется иррациональное число, которое считается большим, чем любое число первого класса, и меньшим, чем любое число верхнего класса. Совокупность всех действительных чисел, рациональных и иррациональных, уже обладает свойством непрерывности.
Обоснование Кантора понятия действительного числа отличается от обоснования Дедекинда, но также основывается на анализе понятия непрерывности. Как в определении Дедекинда, так и в определении Кантора используется абстракция актуальной бесконечности. Так, в теории Дедекинда иррациональное число определяется посредством сечения в совокупности всех рациональных чисел, которая мыслится как данная вся целиком.
В последние годы разрабатывается концепция «вычислимых»чисел, т. е. таких, приближения к которым могут быть заданы посредством какого-либо алгоритма. Понятие вычислимого числа определяется без пользования абстракцией актуальной бесконечности, на базе уточнённого понятия алгоритма.
Заключительный этап в развитии понятия число -- введение комплексных чисел. Источником возникновения понятия комплексного числа явилось развитие алгебры. По-видимому, впервые идея комплексного числа возникла у итальянских математиков 16 в. (Дж. Кардано, Р. Бомбелли) в связи с открытием алгебраического решения уравнений третьей и четвёртой степеней. Известно, что уже решение квадратного уравнения иногда приводит к действию извлечения квадратного корня из отрицательного числа, невыполнимому в области действительного числа. Но это происходит только в том случае, если уравнение не имеет действительных корней. Практическая задача, приводящаяся к решению такого квадратного уравнения, оказывается не имеющей решения. С открытием алгебраического решения уравнений третьей степени обнаружилось следующее обстоятельство. Как раз в том случае, когда все три корня уравнения являются действительными числами, по ходу вычисления оказывается необходимо выполнить действие извлечения квадратного корня из отрицательных числа. Возникающая при этом «мнимость» исчезает только по выполнении всех последующих действий. Это обстоятельство явилось первым стимулом к рассмотрению комплексных чисел. Однако комплексные числа и действия над ними с трудом прививались в деятельности математиков. Остатки недоверия к закономерности пользования ими отражаются в сохранившемся до наших дней термине «мнимое» число. Это недоверие рассеялось лишь после установления в конце 18 в. геометрического истолкования комплексных чисел в виде точек на плоскости и установления несомненной пользы от введения комплексных чисел в теории алгебраических уравнений, особенно после знаменитых работ К. Гаусса. Ещё до Гаусса, в работах Л. Эйлера, комплексные числа начинают играть существенную роль не только в алгебре, но и в математическом анализе. Эта роль стала исключительно большой в 19 в. в связи с развитием теории функций комплексного переменного.
Совокупность всех комплексных чисел обладает так же, как совокупность действительных чисел и совокупность рациональных чисел, свойством замкнутости по отношению к действиям сложения, вычитания, умножения и деления. Более того, совокупность всех комплексных чисел обладает свойством алгебраической замкнутости, заключающейся в том, что каждое алгебраическое уравнение с комплексными коэффициентами имеет корни снова в области всех комплексных чисел. Совокупность всех действительных чисел (и тем более рациональных) свойством алгебраической замкнутости не обладает. Так, например, уравнение с действительными коэффициентами х2+1=0 не имеет действительных корней. Как установлено Вейерштрассом, совокупность всех комплексных чисел не может быть далее расширена за счёт присоединения новых чисел так, чтобы в расширенной совокупности сохранились все законы действий, имеющие место в совокупности комплексных чисел.
Наряду с основной линией развития понятия число (натуральные числа; рациональные числа; действительные числа; комплексные числа), специфические потребности некоторых областей математики вызвали различные обобщения понятия число в существенно других направлениях. Так, в разделах математики, связанных с теорией множеств, важную роль играют упоминавшиеся выше понятия количественных и порядковых трансфинитных чисел. В современной теории числа получили большое значение. В алгебре изучаются различные системы объектов, обладающие свойствами, в большей или меньшей степени близкими к свойствам совокупности целых или рациональных чисел -- группы, кольца, поля, алгебры.
1.1.2 Аксиоматика натурального числа
Как уже было сказано, натуральные числа получаются при счете предметов и при измерении величин. Но если при измерении появляется числа, отличные от натуральных, то счет приводит только к числам натуральным. Чтобы вести счет, нужна последовательность числительных, которая начинается с единицы и которая позволяет осуществлять переход от одного числительного к другому и столько раз, сколько это необходимо. Иначе говоря, нужен отрезок натурального ряда. Поэтому, решая задачу обоснования системы натуральных чисел, в первую очередь надо было ответить на вопрос о том, что же представляет собой число как элемент натурального ряда. Ответ на это был дан в работах двух математиков - немца Грассмана и итальянца Пеано. Они предложили аксиоматику, в которой натуральное число обосновывалось как элемент неограниченно продолжающейся последовательности.
При аксиоматическом построении какой-либо математической теории соблюдаются определенные правила:
-некоторые понятия теории выбираются в качестве основных и принимаются без определения;
каждому понятию теории, которое не содержится в списке основных, дается определение, в нем разъясняется его смысл с помощью основных и предшествующих данному понятий;
формулируются аксиомы - предложения, которые в данной теории принимаются без доказательства; в них раскрываются свойства основных понятий;
каждое предложение теории, которое не содержится в списке аксиом, должно быть доказано; такие предложения называют теоремами и доказывают их на основе аксиом и теорем, предшествующих рассматриваемой.
Если построение теории осуществляется аксиоматическим методом, т.е. по названным выше правилам, то говорят, что теория построена дедуктивно.
При аксиоматическом построении теории по существу все утверждения выводятся путем доказательства из аксиом. Поэтому к системе аксиом предъявляются особые требования. Прежде всего, она должна быть непротиворечивой и независимой.
Система аксиом называется непротиворечивой, если из нее нельзя логически вывести два взаимно исключающих друг друга предложения.
Если система аксиом не обладает этим свойством, она не может быть пригодной для обоснования научной теории.
Непротиворечивая система аксиом называется независимой, если никакая из аксиом этой системы не является следствием других аксиом этой системы. *
При аксиоматическом построении одной и той же теории можно использовать разные системы аксиом. Но они должны быть равносильными. Кроме того, при выборе той или иной системы аксиом математики учитывают, насколько просто и наглядно могут быть получены доказательства теорем в дальнейшем. Но если выбор аксиом условен, то сама наука или отдельная теория не зависят от каких-либо условий, - они являются отражением реального мира.
Аксиоматическое построение системы натуральных чисел осуществляется по сформулированным правилам.
N - натуральные числа, если определена операция следования «+1»:N->N. При этом:
P1 Если n+1=m+1 => n=m
P2 Нет такого n, что n+1=1
P3 Всякое подмножество Q М P, которое содержит 1, и вместе с n из Q содержит и n+1 равно P.
Веками формировалась школьная традиция обучения сложению и умножения на «палочках»:
- Чтобы сложить 2 кучки из 2-х и 3-х палочек надо просто свалить все палочки в одну кучу.
- Чтобы перемножить 2 на 3 надо 3-жды тиражировать 2 палочки или 2-жды тиражировать 3 палочки.
Всем это было предельно ясно, пока не появился господин Кантор. Он обнаружил, что рассмотрение очень больших кучек приводит к другим законам - логически парадоксальным. Математики долго ломали головы, чтобы разобраться с канторовыми парадоксами. Но тщетно, построить универсальную «Канторову линейку», которая измеряет всё вообще, не удалось и вряд ли удастся.
Первыми «канторов рай» покинули алгебраисты. Они обнаружили, что главное не в размерах кучек. А главное в том, что складывая две кучки A,B в одну A+B, мы строим два вложения A->A+B<-B. Соответственно, перемножая две кучки AxB, мы строим две проекции A<-AxB->B.
Оказывается, что для того, чтобы складывать и умножать меньше всего нужна «канторова теория множеств» с дремучей аксиоматикой. - Вполне достаточно выполнения простых универсальных свойств - любая пара отображений A->X<-B вполне характеризуется единственным A+B->X, или проходит через A+B, а любая пара отображений A<-X->B вполне характеризуется единственным AxB<-X, или проходит через AxB, так что коммутативны диаграммы:
Таким образом, складывать и умножать можно объекты самой невероятной природы.
Более того, для деления - вместо «канторовой теории» вполне достаточно другого универсального свойства.
Умножение натуральных чисел устроено так, что для любых элементов 1->A - их A<-AxB прообразы одинаковы, так что коммутативна диаграмма:
Натуральные числа являются «коллекциями единиц», и единичные представления вполне исчерпывают описание каждого натурального числа - A = (1,A). Именно поэтому, для них деление C->A всегда приводит к единственому делителю C=AxB.
1.1.3 Теоретико-множественное истолкование натурального числа
Методика преподавания математики (МПМ) наука, предметом которой является обучение математике, причём в широком смысле: обучение математике на всех уровнях, начиная с дошкольных учреждений и кончая высшей школой.
МПМ развивается на базе определённой психологической теории обучения, т.е. МПМ представляет собой «технологию» применения психолого-педагогических теорий к начальному обучению математике. Кроме того, в МПМ должна отражаться специфика предмета обучения математики.
Цели начального обучения математике: общеобразовательные (овладение учащимися определённого объёма математических ЗУНов в соответствии с программой), воспитательные (формирование мировоззрения, важнейших моральных качеств, готовности к труду), развивающие (развитие логических структур и математического стиля мышления), практические (формирование умения применять математические знания в конкретных ситуациях, при решении практических задач).
Взаимосвязь учителя и ученика происходит в виде передачи информации в двух противоположных направлениях: от учителя к ученику (прямая), от учения к учителю (обратная).
Принципы построения математики в начальной школе (Л.В. Занков): 1) обучение на высоком уровне трудности; 2) обучение быстрым темпом; 3) ведущая роль теории; 4) осознание процесса учения; 5) целенаправленная и систематическая работа.
Учебная задача ключевой момент. С одной стороны она отражает общие цели обучения, конкретизирует познавательные мотивы. С другой стороны позволяет сделать осмысленным сам процесс выполнения учебных действий.
Этапы теории поэтапного формирования умственных действий (П.Я. Гальперин): 1) предварительное ознакомление с целью действия; 2) составление ориентировочной основы действия; 3) выполнение действия в материальном виде; 4) проговаривание действия; 5) автоматизация действия; 6) выполнение действия в умственном плане.
Приёмы укрупнения дидактических единиц (П.М. Эрдниев): 1) одновременное изучение сходных понятий; 2) одновременное изучение взаимообратных действий; 3) преобразование математических упражнений; 4) составление задач учащимися; 5) деформированные примеры.
Количественные натуральные числа. Счёт. Взаимосвязь количественных и порядковых чисел.
Огромная роль числа в жизни людей обусловливает довольно раннее формирование числовых представлений у ребёнка. Натуральное число выступает для ребёнка на этом этапе как целостный наглядный образ, в котором он не выделяет единичных предметов. Первые представления детей о числе связаны с его количественной характеристикой, и ребёнок может отвечать на вопрос: «Сколько?», не владея операцией счёта.
Количественная характеристика предметных групп осознаётся ребёнком и в процессе установления взаимно-однозначного соответствия между предметными множествами (выражение в понятиях «столько же», «больше», «меньше»). Для этого можно использовать: 1) наложение предметов одного множества на предметы другого; 2) расположение предметов одного множества под предметами другого; 3) соединение каждого предмета одного множества с каждым предметом другого. Данная операция связана с выделением отдельных элементов и подготавливает к сознательному владению счётом.
На первом этапе счёт выступает для ребёнка как установление взаимно-однозначного соответствия между предметной совокупностью и совокупностью слов-числительных. Для овладения операцией счёта необходимо запомнить порядок слов-числительных, что закрепляется в результате выполнения упражнений типа «Сколько…?» и других упражнений: 1) что изменилось/не изменилось? 2) чем похожи/отличаются рисунки? 3) Хватит ли мишкам орехов, если каждому дать по 1/2/3 ореха? 4) По какому признаку подобраны пары картинок? 5) Покажи «лишнюю» картинку?
Усвоение детьми последовательности слов-числительных позволяет перейти к формированию операции счёта и знакомству учащихся с цифрами. Чтобы учащиеся отличали числа от цифр, полезно познакомить их с другими цифрами (римскими).
Трудно довести до сознания тот факт, что каждое число, названное при счёте, является одновременно и порядковым, т.к. указывает на порядок предмета при счёте. Для осознания взаимосвязи между порядковым и количественным числом можно использовать задания с полоской (это пятый кружок, сколько кружков на полоске и т.д.).
Важно, чтобы дети понимали, что, как бы мы ни нумеровали предметы данной совокупности, ответ на вопрос «Сколько?» будет всегда одинаковым, при этом нумерацию надо начинать с 1, не пропускать ни одного предмета и не указывать на один предмет дважды. Для этого можно использовать разноцветные круги и считать их, начиная с разных, или же переставляя номера кругов при счёте.
Отрезок натурального ряда. Присчитывание и отсчитывание по 1.
Замена слов-числительных, названных в определённой последовательности, цифрами, позволяет познакомить учащихся с отрезком натурального ряда.
В начальных классах, изучение этого понятия сводится к усвоению той закономерности, которая положена в основу построения натурального ряда чисел: каждое число в натуральном ряду больше предшествующего и меньше предыдущего на 1.
В М1М последовательно рассматриваются отрезки натурального ряда чисел: 1,2; 1,2,3; и т.д. до 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10. При этом на каждом отрезке выполняется однотипная работа по добавлению/убавлению совокупности предметов на 1.
В М1М учащиеся переходят от счёта предметов к записи цифр. При этом натуральный порядок чисел не соблюдается. После того, как они научились писать все цифры от 1 до 9, им предлагается записать весть отрезок натурального ряда чисел от 1 до 9 (посчитай слоников, запиши цифрами все числа, которые ты называешь; проверь, получился ли у тебя такой ряд чисел: 1,2,3,…,9; подумай, как ты получил каждое следующее число). Таким образом, дети получают отрезок натурального ряда чисел.
Математическую основу действий учащихся при изучении отрезка от 1 до 9 составляет связь чисел с конечными множествами. Для усвоения натурального рядя чисел и принципами его образования, они постоянно обращаются к действиям с предметами, рассматривая различные ситуации (тучка закрыла звёзды, пирамидка и т.д.).
Осознание принципа построения натурального ряда чисел позволяет выполнить присчитывание и отсчитывание по 1. В отличие от счёта, особенность этих операций заключается в том, что одно из предметных множеств представлено натуральным числом.
Операция присчитывания осваивается легче, в этом немаловажную роль играет усвоение порядка чисел при счёте. Иначе обстоит дело с усвоением обратной последовательности чисел, в основе которой лежит отсчитывание по 1. Здесь учащиеся упражняются только в воспроизведении последовательности числительных, что никак не связано с решением практических задач. Для того, чтобы они осознали практическую значимость этого умения, полезно использовать ситуации, особенности которых связаны с движением числа от большего к меньшему: 1) ученик должен двигаться от большего числа к меньшему, однако при этом все предметы находятся перед ним и он может воспользоваться счётом (почтальон); 2) часть предметов скрыта от глаз, поэтому счёт осуществить невозможно (кинотеатр).
Сравнение чисел. Пространственные и временные представления.
Для установления отношений «больше», «меньше», «равно» между числами младшие школьники могут использовать предметные, графические и символические модели.
В качестве математической основы действий на предметном уровне выступает установление взаимно-однозначного соответствия между элементами двух множеств.
Для записи отношений между числами учитель знакомит учащихся со знаками >, <, = и с математическими записями, которые называются равенствами и неравенствами.
В качестве символической модели используется отрезок натурального ряда.
В качестве графической модели используем числовой луч, на котором дети отмечают точки, соответствующие натуральным числам.
Смысл действий сложения и вычитания.
В курсе математики начальной школы находит отражение теоретико-множественный подход к истолкованию сложения и вычитания целых неотрицательных чисел, в соответствии с которым сложение связано с операцией объединения, вычитание с операцией дополнения. Этот подход легко интерпретируется на уровне предметных действий, позволяя тем самым учитывать психологические особенности младших школьников.
В М1М в качестве основного средства формирования представлений о смысле действий сложения и вычитания выступают простые текстовые задачи.
В основе другого подхода (М1М) лежит выполнение учащимися предметных действий и их интерпретация в виде графических и символических моделей. В качестве основной цели здесь выступает осознание предметного смысла числовых выражений и равенств. Деятельность учащихся сначала сводится к переводу предметных действий на язык математики, а затем к установлению соответствия между различными моделями (под картинкой, где дети выпускают рыбок в один аквариум на писано символическое выражение действия 2+3).
Можно условно выделить три вида ситуаций, связанных с операцией объединения: 1) увеличение данного предметного множества на несколько предметов; 2) увеличение на несколько предметов множества, равночисленного данному; 3) составление одного предметного множества из двух данных.
При формировании у детей представлений о вычитании можно условно ориентироваться на следующие предметные ситуации: 1) уменьшение данного предметного множества на несколько предметов; 2) уменьшение множества, равночисленного данному, на несколько предметов; 3) сравнение двух предметных множеств.
В процессе выполнения предметных действий у младших школьников формируется представление о вычитании как о действии, которое связано с уменьшением количества предметов.
Число и цифра 0.
Число нуль является характеристикой пустого множества, т.е. множества, не содержащего ни одного элемента. Для того,
чтобы учащиеся представили себе такое множество, можно использовать различные методические приёмы.
Один приём связан с установлением соответствия между числовой фигурой и цифрой, обозначающей количество предметов. Этим подходом можно воспользоваться до изучения сложения и вычитания, на этапе формирования у учащихся представлений о количественном числе.
Другой методический приём знакомит учащихся с нулём как результатом вычитания. Для этой цели им предлагаются предметные ситуации, которые они сначала описывают, а затем записывают свой рассказ числовыми равенствами.
В М1М число 0 вводится, как результат операции 11, при таком введении у детей может сложиться неправильное представление о числе 0. Поэтому следует рассмотреть как можно больше таких случаев (22, 33 и др.).
Можно предложить задания с формулировкой «Что изменилось?» и изображением количественной и пустой совокупностей предметов.
Возможно познакомить детей с числом нуль как с компонентом арифметического действия, предложив задание с формулировкой «Что изменилось» и с двумя одинаковыми совокупностями предметов. 4=4, 4+0=4 и 40=4.
Переместительное свойство сложения.
В начальном курсе учащиеся знакомятся с коммутативностью сложения, называя его «переместительным свойством сложения». Для его разъяснения могут быть использованы действия с предметными множествами, сравнение числовых равенств, в которых переставлены слагаемые, сравнение суммы длин одинаковых отрезков.
При формировании у детей представлений о смысле сложения полезно предлагать им такие ситуации для предметных действий, при выполнении которых они сами подмечают закономерность, связанные с переместительным свойством сложения. Например: «на одной тарелке 4 апельсина, на другой 3»; «сколько апельсинов на обеих тарелках?»; «на одной тарелке 3 апельсина, на другой 4»; «сколько апельсинов на обеих тарелках?».
Возможен и другой вариант моделирования переместительного свойства сложения:
Т=^^^ Т+К=^^^¦¦
К=¦¦ К+Т=¦¦^^^
Взаимосвязь компонентов действий сложения и вычитания.
В основе усвоения взаимосвязи между компонентами и результатами сложения и вычитания лежит осознание учащимися предметного смысла этих действий. При этом следует учитывать, что особую трудность для некоторых детей представляет вычленение и удаление части множества, т.е. осознание тех предметных действий, которые связаны со смыслом вычитания.
В исследовании Г.Г. Микулиной было выявлено, что значительная часть учащихся при выполнении предметных действий, связанных с вычитанием, фиксирует скорее пространственное отделение, разъединение двух множеств, чем вычленение и удаление части из целого.
Рассмотрим некоторые методические приёмы, в которых учитываются описанные выше психологические особенности младших школьников:
Работая у доски с рисунками и дидактическими пособиями, полезно сначала предложить ученику показать предметные совокупности, с которыми он действует, а затем уже назвать число предметов в них.
Выполняя задания с рисунками, к которым дана запись вида =, рекомендуется заполнять «окошки» не только в прямом порядке, но и начиная с любого.
Можно использовать задания такого же рода, но со срытыми количествами. При их выполнении внимание учащихся сосредотачивается на соотнесении элементов схемы и предметных совокупностей.
Можно предложить трём ученикам взять со стола карточки (например, всего 5), соответствующие выражению (например, 52=3). После этого ученики убеждаются, что сразу всем карточки не взять.
Можно предлагать комплексные задания с карточками и со схемами.
Разрешение таких «противоречий» в игровой форме помогает детям усвоить взаимосвязь между компонентами и результатами действий сложения и вычитания. Однако, осознавая «предметную» взаимосвязь компонентов и результатов действий, не все дети могут описать её, пользуясь математической терминологией: слагаемые, значение суммы, уменьшаемое, вычитаемое, значение разности. В этом случае целесообразно использовать понятия целого и части и соотношение между ними (часть всегда меньше целого; если убрать одну часть, то останется другая).
Понятие целого и части позволяет как бы «материализовать» такие термины, как слагаемые, уменьшаемое, вычитаемое (например, устанавливая соответствие между рисунком и математической записью).
Таблица сложения (вычитания) в пределах 10
Формирование вычислительных умений и навыков одна из основных задач начального курса математики. Вычислительное умение это развёрнутое осуществление действия, в котором каждая операция осознаётся и контролируется. В отличие от умения навыки характеризуются свёрнутым, в значительной мере автоматизированным выполнением действия, с пропуском промежуточных операций, когда контроль переносится на конечный результат.
В начальном курсе математики учащиеся должны усвоить на уровне навыка: таблицу сложения (вычитания) в пределах 10; таблицу сложения однозначных чисел с переходом через разряд и соответствующие случаи вычитания; таблицу умножения и соответствующие случаи деления.
Подход учебнике М1М к формированию навыков сложения и вычитания в пределах 10 предполагает осознанное составление таблиц и их непроизвольное или произвольное запоминания в процессе специально организованной деятельности. Осознанное составление таблиц может обеспечиваться теоретической линией курса, предметными действиями, методическими приёмами и наглядными средствами. Для произвольного и непроизвольного запоминания таблиц используется специальная система упражнений.
Таблицы сложения и вычитания в пределах 10 можно условно разделить на четыре группы, каждая из которых связана с теоретическим обоснованием и соответствующим способом действия: 1) принцип построения натурального ряда чисел присчитывание и отсчитывание по 1; 2) смысл сложения и вычитания присчитывание и отсчитывание по частям; 3) переместительное свойство сложения перестановка слагаемых; 4) взаимосвязь сложения и вычитания правило: если из значения суммы вычесть одно слагаемое, то получим другое слагаемое.
Составление таблиц 1) группы не вызывает затруднения. При формировании вычислительных навыков для случаев сложения и вычитания, представленных во 2), 3), 4) группах, работа организуется в соответствии с определенными этапами: 1 подготовка к знакомству с вычислительным приёмом; 2 ознакомление с вычислительным приёмом; 3 составление таблиц с помощью вычислительных приёмов; 4 установка на запоминание таблиц; 5 закрепление таблиц в процессе тренировочных упражнений.
В формировании вычислительных навыков в школьной практике используются различные подходы: а) выучивание таблиц; б) знакомство с различными вычислительными приёмами составление таблиц непроизвольное запоминание в процессе выполнения упражнений; в) после использования предметных действий и вычислительных приёмов, ученику даётся установка на запоминание.
Данный подход не всегда оказывается эффективным для формирования автоматизированных навыков сложения и вычитания в пределах 10. В связи с этим многие учителя дают детям установку на запоминание состава каждого числа в пределах 10, ориентируясь при этом на формирование сознательных навыков Десятичная система счисления. Нумерация чисел.
Умение, а затем навыки читать и записывать числа в десятичной системе счисления формируются у младших школьников поэтапно и тесно связаны с такими понятиями, как число, цифра, разряд, класс, разрядные единицы, разрядные десятки, разрядные сотни и т.д., разрядные слагаемые.
В М1М, М2М и М3М работа, целью которой является формирование представления о десятичной системе счисления, начинается в концентре «Сотня», который разбивается на две ступени 1120 и 21100. На каждой ступени сначала изучается устная нумерация, а затем письменная. Одновременно ведётся работа, связанная с усвоением натурального ряда чисел.
Дальнейшее изучение нумерации продолжается в концентре «Тысяча». Особенности десятичной системы счисления позволяют младшим школьникам осуществлять перенос умения читать и записывать двузначные числа на область трёхзначных. Появление нового разряда сотен связывается с введением новой счётной единицы (сотни). В концентре «Многозначные числа» дети учатся читать и записывать четырёхзначные, пятизначные и шестизначные числа. В этом концентре вводится понятие «класс». Для усвоение структуры многозначного числа и терминологии, связанной с названием разрядов и классов, учащиеся упражняются в чтении чисел, записанных в таблицу, которая называется таблицей разрядов и классов, или записывают в неё числа, которые называет учитель.
В учебникам М1М и М2М выделяются не концентры, а темы: «Однозначные числа», …, «Пятизначные и шестизначные числа», что способствует пониманию детьми различий между числом и цифрой. На первом этапе у учащихся формируются представления о количественном и порядковом числе. Запись числа 10 вводится в теме «Двузначные числа», когда детям предлагается считать десятками и сообразить о целесообразности данного счёта. Затем предлагается считать десятками и единицами сразу, что наводит на осознание того, что двузначные числа состоят их десятков и единиц (в качестве модели десятка предлагается треугольник, на котором 10 кружков). Последующая работа связана с установлением соответствия между предметной моделью двузначного числа и его символической записи. Для этой цели предлагаются задания: «Запиши цифрами числа, которые соответствуют каждому рисунку», «Увеличь число 30 на 2 десятка, 3 десятка. Наблюдай! Какая цифра изменяется в числе 30?»
Для формирования умения читать и записывать трёхзначные числа детям предлагаются задания: 1) на выявление признаков сходства и различия двузначных и трёхзначных чисел; 2) на запись трехзначных чисел определёнными цифрами; 3) на сравнение чисел; на классификацию; на выявления правила построения ряда чисел.
Умение называть количество единиц, десятков, сотен, тысяч в числе требует как усвоения разрядного
состава числа, так и осознания того, что каждая разрядная единица в числе (за исключением разряда единиц) содержит десять единиц низшего разряда. Например, для определения количества десятков, нужно закрыть цифры в разряде единиц и т.д. в любом числе.
Урок математики в начальных классах. Различные подходы к построению урока математики.
В курсе дидактики есть свои требования к современному уроку, с типами уроков и их структурой. В методике начального обучения математике всё обстоит значительно сложнее, особенно со структурой урока. Это обусловлено тем, что при построении конкретного урока необходимо учитывать не только определённые этапы обучения (актуализация знаний, объяснение нового, закрепление, контроль, повторение) и специфику математического содержания, но и основную цель урока, его логику и те методические приёмы, которые способствуют её достижению.
В связи с этим, характеризуя урок с методической точки зрения, необходимо иметь в виду не только его внешнюю, но и внутреннюю структуру. Внешняя структура этапы урока, на которых решаются те или иные дидактические задачи. С точки зрения внутренней структуры каждый урок это определённая система заданий, в процессе выполнения которых ученик овладевает ЗУНами.
Учебные задания выстраиваются на уроке обычно в такой последовательности: 1) задания на подражание; 2) тренировочные задания, требующие самостоятельного применения знаний; 3) тренировочные задания, требующие применения ранее приобретённых ЗУНов; 4) частично-поисковые и творческие задания.
Наиболее распространённым типом урока математики являются комбинированные уроки. Внешняя структура уроков комбинированного типа может быть различной. Например: 1 закрепление и проверка ранее изученного материала; 2 изучение нового материала; 3 закрепление этого материала; 4 задание на дом. Внутренняя структура уроков находит отражение в учебниках.
Направленность курса математики на развитие ребёнка вносит существенные изменения во внутреннюю структуру урока. Например, на уроке изучения нового, детям предлагают частично-поисковые или творческие задания, которые выполняют мотивационную функцию.
Этап закрепления не ограничивается рамками одного урока. Усвоение нового материала происходит на протяжении изучения всей темы.
Повторение ранее изученного материала тесно связано с усвоением нового содержания и носит обучающий, а не контролирующий характер.
Процесс усвоения математического содержания носит сугубо индивидуальный характер.
Каждое задание, предназначенное для закрепления, активизирует мыслительную деятельность школьников, реализуя тем самым развивающие функции урока.
В развивающем курсе математики урок сориентирован на внутреннюю структуру. Её основные компоненты: учебные задачи и те учебные задания, которые способствуют их решению. Они носят частично-поисковый характер и выполняют обучающую и развивающую функции.
1.2 Преемственность
1.2.1 Понятие преемственности
В психолого-педагогической и методической литературе существуют различные подходы к пониманию преемственности. В исследованиях преемственность трактуется как связь между отдельными предметами в процессе обучения (физика и математика, математика и черчение, и так далее).
Разумеется, чрезвычайно важно в процессе обучения математике в начальной школе обращать внимание на правильность чтения и написания числительных, на использование в текстовых задачах сведений, которые ученики получили на уроках природоведения и трудового обучения. На наш взгляд установление взаимосвязей между различными предметами, которые изучаются в начальной школе, должно стать проблемой самостоятельного исследования. Установление таких взаимосвязей оказалось вне рамок нашей работы.
В различных исследованиях преемственность трактуется ещё более широко. Например, «более широкое понимание преемственности обучения требует рассмотрения: динамики изменения всех основных компонентов методической системы (целей, содержания, форм, методов, средств); логической связи теоретического и практического материала; упорядоченности в изучении различных учебных предметов; оправданности межпредметных связей». К сожалению, во всех работах этого направления не показано, как можно реализовать такое понимание преемственности.
Во многих исследованиях преемственность трактуется как дидактический принцип, обеспечивающий такую систему учебно-воспитательной работы, когда в каждом последующем звене продолжается закрепление, расширение и углубление тех знаний, умений и навыков, которые составляли содержание учебной деятельности на предшествующем этапе.
Иными словами, преемственность рассматривается как принцип, лежащий в основе целой системы учебно-воспитательной работы. Но при этом рассматривается лишь один из компонентов этой системы - содержание учебной деятельности. При таком подходе к проблеме, преемственность отождествляется с использованием полученных ранее знаний при дальнейшем изучении того же самого предмета. Именно этот аспект мы посчитали целесообразным реализовать в нашем исследовании.
К сожалению, фиксированные в учебниках и в методических пособиях подходы к проблеме преемственности, скорее уводят от решения, нежели позволяют её решить. В подтверждение этого утверждения сошлёмся на мнение учёного, автора многочисленных учебников и методических пособий К.И. Нешкова: «Во многих педагогических и методических исследованиях преемственность понимается как некая связь. Однако представляется эта связь довольно поверхностной, не выражающей основных характеристик преемственности. Более того, часто эта связь отражается во второстепенных деталях, не затрагивающей существа процесса обучения».
Во многих исследованиях преемственность отождествляется с систематическим повторением. Такое понимание преемственности характерно, например, для многих ныне действующих учебников математики для начальной школы, где запоминание рассматривается как функция большого числа повторений, а повторение осуществляется в результате решения большого количества однотипных упражнений на протяжении всего курса. Навыки, сформированные в результате такого повторения, стремительно теряются, как только перестают быть предметом целенаправленной отработки (например, вычислительные навыки при переходе в пятый класс). В работах К.Н. Нешкова убедительно показано, что повторение только в том случае будет способствовать преемственности, если на каждом новом этапе это не будет повторение тех же самых упражнений, выполняемых теми же самыми способами. В упражнениях на повторение непременно должно появляться новое, отмирать старое, несущественное в соответствии с логикой развития изучаемого понятия и с повышением уровня образования учащихся. Таким образом, преемственность в соответствии с позицией К.И. Нешкова, которую мы разделяем, хотя и требует повторения, но лишь такого, которое обеспечивает непрерывное развитие системы понятий. Для того, чтобы преемственность реально осуществлялась, повторение должно быть органически включено в новую тему и по мере развития темы должно соответственным образом меняться, не сводясь лишь к механическому повторению одних и тех же упражнений.
В некоторых работах преемственность отождествляется с таким принципом дидактики как принцип систематичности. Именно этот принцип, по мнению этих авторов, обязывает учителя устанавливать между изучаемым учебным материалом определённые дидактические связи - связи преемственности. Под связями преемственности понимаются такие связи, когда всякий новый материал с одной стороны, логически связывается с ранее изученным, опирается на него, а с другой стороны - подготавливает почву, составляет логическую основу для изучения и усвоения последующего материала.
Этот аспект понятия преемственности мы также стремились реализовать в нашем исследовании. Так, например, усвоение вычислительных алгоритмов с натуральными числами должно подготавливать почву для изучения действий с десятичными дробями. Во втором параграфе исследования показано, что существующие в настоящее время учебники математики для начальной школы справляются с этой задачей не всегда успешно.
Обеспечение преемственности связано не с усвоением содержания учебного материала, но и со способами обучения, с теми действиями, которые выполняются учащимися в ходе овладения ими учебным материалом. В методической литературе отмечается, что данная задача ещё не нашла должного решения.
Такое понимание преемственных связей позволяет решить вопрос о соотношении преемственности и пропедевтики. Вопрос о пропедевтики возникает тогда, когда обнаруживаются серьёзные трудности при формировании некоторого понятия или системы понятий. Правильно решить вопрос о пропедевтики можно лишь при полном учёте всех требований преемственности. Понимание преемственности поможет выделить существенные части темы и расположить их так, чтобы её прохождение представляло собой логическое развитие с надлежащим образом установленными связями между отдельными частями и этапами изучения.
С этой точки зрения преемственность в ныне действующих учебниках математики для начальной школы также реализуется недостаточно. Например, обучение решению арифметических задач, может в гораздо большей мере, чем в большинстве ныне действующих курсов готовить школьников к решению алгебраических задач. Как это можно сделать показано во второй главе.
Обобщая всё выше сказанное, можно дать следующее определение преемственности.
Преемственность в обучении -- это установление необходимой связи и правильного соотношения между частями отдельного учебного предмета на разных ступенях его изучения.
Обучение математике в начальной школе реализует принцип преемственности, если оно подготавливает детей к изучению дальнейших тем внутри начальной школы и обеспечивает пропедевтику обучения в следующих классах.
Понятие преемственности характеризуется также требованиями к знаниям и умениям учащихся на каждом этапе обучения, формам, методам и приёмам объяснения нового учебного материала и ко всей последующей работе по его усвоению. Например, если организовать работу с определением умножения с учётом требований преемственности, то это позволит подготовить детей к конструированию и усвоению таблицы умножения, к усвоению определения деления, обеспечит формирование умения работать с любым определением как с эквиваленцией, обеспечит пропедевтику работы с многочленами, будет способствовать формированию умения аргументировано и доказательно излагать свои мысли. О том, как возможно организовать такую работу будет говориться во второй главе.
В методической литературе отмечается, что значительные трудности представляет осуществление преемственности между начальной и средней школой. Это чрезвычайно важный аспект понятия преемственности. Не учитывая его, нельзя придать обучению перспективный характер, при котором отдельные темы рассматриваются не изолированно друг от друга, а в той взаимосвязи, которая позволяет изучение каждой текущей темы строить не только с опорой на предыдущую, но и с ориентировкой на последующие темы. Обучение с соблюдением преемственности воспитывает действенность, активность знаний и умений, способность использовать их при решении новых практических и теоретических задач. Это является важным условием преодоления формализма знаний, который, по мнению многих исследователей, является одним из основных недостатков современного школьного обучения. Кроме того, обучение с соблюдением преемственности во многом способствует успешности обучения, развитию интереса как к конкретному учебному предмету, так и к процессу учения вообще.
Общий способ деятельности учителя при планировании урока математики в начальной школе.
Общий способ планирования урока можно представить в виде следующей последовательности вопросов:
Какие понятия, свойства, правила, вычислительные приёмы рассматриваются на данном уроке?
Что я сам знаю о них?
С какими из них дети знакомятся впервые? С какими уже знакомы? Когда они познакомились с ними?
Какова функция учебных заданий данного урока (обучающая, развивающая, контролирующая)? Какие ЗУНы и приёмы умственных действий формируются в процессе их выполнения?
Какова дидактическая цель данного урока?
Какие задания, предложенные в учебнике можно исключить из урока? какими заданиями можно его дополнить? Какие задания преобразовать?
Как можно организовать продуктивную, развивающую деятельность школьников, направленную на актуализацию ЗУНов, на восприятие нового материала, на его осознание и усвоение? Какие методические приёмы и формы организации деятельности учащихся можно для этого использовать?
Какие трудности могут возникнуть у детей при выполнении каждого задания, какие ошибки они могут допустить в процессе их выполнения; как организовать их деятельность по предупреждению и исправлению ошибок?
Ориентируясь на данные вопросы, можно научиться планировать содержательные, выстроенные в определённой логике уроки.
Исходя из содержания урока, можно не отвечать развёрнуто на некоторые вопросы. Можно также изменить их последовательность или объединить некоторые вопросы.
Методический анализ урока математики.
Методический анализ урока, включая в себя компоненты педагогического анализа, имеет свою специфику, которая обуславливается содержанием предмета. Особенность методического анализа заключается в том, что он должен проводиться в два этапа.
На первом этапе учитель сам оценивает, удалось ли ему реализовать намеченный план на практике. Для этого он формирует цель урока и обосновывает логику своих действий, которые спланировал для достижения этой цели. Затем сравнивает логику запланированных действий.
Основным содержанием программы в начальных классах являются понятия натурального числа и действий с этими числами.
Изучение натуральных чисел происходит по следующим концентрам: однозначные числа, двузначные числа, трехзначные числа, числа в пределах класса тысяч, числа в пределах класса миллионов. Выделение таких концентров связано с тем, что одной из главных задач изучения этой темы является осознание принципа построения той системы счисления, которой в настоящее время пользуются в большинстве стран мира - позиционной десятичной. В этой системе числа десять, сто, тысяча и т.д. являются основными системообразующими и, следовательно, должны занимать особое место в процессе изучения, а не возникать как рядоположенные по отношению к остальным натуральным числам.
Первоначальной основой знакомства с натуральными числами является теоретико-множественный подход, который позволяет максимально использовать дошкольный опыт учеников, сложившиеся у них представления о механизме возникновения чисел как результата пересчета предметов.
Таким образом, натуральное число возникает как инвариантная характеристика класса равномощных конечных множеств, а основным инструментом познания отношений между ними становится установление взаимно однозначного соответствия между элементами множеств, имеющих соответствующие числовые характеристики. На этой основе формируются понятия об отношениях «больше», «меньше», «равно», «не равно» как между множествами, так и между соответствующими им числами.
Изучение концентра однозначных натуральных чисел завершается их упорядочиванием и знакомством с началом натурального ряда и свойствами этого ряда.
В дальнейшем происходит постепенное расширение множества натуральных чисел по концентрам: двузначные числа, трехзначные числа и т.д., которое завершается классом миллионов. При изучении каждого из последующих концентров в центре внимания находится образование новой единицы счета - десятка, сотни, тысячи и т.д., что неразрывно связано с принципами построения десятичной позиционной системы счисления, с овладением устной и письменной нумерацией на множестве натуральных чисел.
Необходимо иметь в виду, что хотя первоначально натуральное число возникает перед учениками в близком их дошкольному опыту теоретико-множественном подходе, уже в первом классе дети знакомятся и с интерпретацией числа как результата отношения величины к выбранной мерке. Это происходит при изучении такой величины как длина в первом классе, масса, вместимость, площадь и разнообразных других величин в последующие годы обучения в начальной школе.
Эти два подхода к натуральному числу сосуществуют на протяжении всего начального обучения, завершаясь обобщением, в результате которого появляются понятия точного и приближенного числа.
Расширение понятия числа происходит за счет знакомства с дробными, а также положительными и отрицательными числами. Основными направлениями работы с ними являются: осознание тех жизненных ситуаций, которые привели к необходимости введения новых чисел, выделение детьми таких ситуаций в окружающем их мире, относительность их использования, как в жизни, так и в математике.
Основой первоначального знакомства с действиями сложения и вычитания является работа с группами предметов (множествами) как в виде их изображений на рисунках, так и составленных из раздаточного материала. Сложение рассматривается как объединение двух (или нескольких) таких групп в одну, вычитание - как разбиение группы на две. Такой подход позволяет, с одной стороны, построить учебную деятельность детей на наиболее близких для данной возрастной группы наглядно-действенном и наглядно-образном уровнях мышления, связать изучаемые действия с образной моделью, а с другой стороны, с первых шагов знакомства установить связь между сложением и вычитанием.
В дальнейшем понятие о сложении и вычитании становится более разносторонним и глубоким за счет рассмотрения их с других точек зрения: сложение рассматривается как действие, позволяющее увеличить число на несколько единиц; вычитание - как действие, позволяющее уменьшить число на несколько единиц, а также как действие, позволяющее установить количественную разницу между двумя числами, т.е. ответить на вопрос, на сколько одно число больше (меньше) другого.
Одним из центральных вопросов при изучении этих действий является составление таблицы сложения, которая возникает на основе состава чисел первых двух десятков из двух однозначных чисел.
В отличие от традиционной системы внетабличное сложение и вычитание строится не на последовательном рассмотрении частных случаев этих действий, а на выделении и осознании основных положений, лежащих в фундаменте алгоритма их выполнения: поразрядности выполнения каждой из этих операций и использования таблицы сложения для вычислений в каждом разряде. Такой подход позволяет уже на этапе выполнения действий с двузначными числами сформировать общее понятие об алгоритме выполнения сложения и вычитания и в дальнейшем использовать его на любом множестве натуральных чисел, не занимая значительного учебного времени на рассмотрение и изучение этих частных случаев.
Необходимо иметь в виду, что мы принципиально стоим на позиции формирования общего понятия о выполнении операций на базе небольших чисел, с которыми детям сравнительно легко работать, операции с которыми без значительной затраты сил и времени они могут выполнить практически, проверив правильность выдвинутых предположений на легко обозримом материале. В этом случае у формируемого понятия есть прочная база личного практического опыта, что не мешает достижению высокого уровня обобщения, а, наоборот, способствует его достижению.
Во втором классе начинается изучение действий умножения и деления. Первое из них рассматривается как действие, заменяющее сложение в случаях равенства слагаемых, второе - как действие, обратное умножению, при помощи которого по значению произведения и одному множителю можно узнать другой множитель.
В дальнейшем умножение и деление рассматриваются и с других точек зрения: как действия, позволяющие увеличить или уменьшить число в несколько раз. Деление также рассматривается как действие, при помощи которого можно узнать, во сколько раз одно число больше (меньше) другого.
В связи с решением задач рассматриваются также случаи, приводящие к делению на равные части и делению по содержанию.
Как и при изучении сложения и вычитания одним из важнейших вопросов знакомства с новыми действиями является составление таблицы умножения. Стремясь максимально использовать связь между сложением и умножением, мы отказались от принципа ее составления, основанного на последовательном увеличении количества одинаковых слагаемых (2+2, 2+2+2, 2+2+2+2, и т.д.). В системе, в рамках которой разработана настоящая программа, первым шагом в составлении таблицы умножения является выделение из таблицы сложения сумм, в которых сложение можно заменить умножением.
Таким образом, первый столбик таблицы умножения объединяет все случаи умножения однозначных натуральных чисел на число 2. В дальнейшем величина второго множителя последовательно увеличивается от столбика к столбику, пока не достигнет 9.
Такой подход к составлению таблицы умножения является более предпочтительным и потому, что после сокращения составленной таблицы на основе переместительного закона умножения и использования особых случаев этого действия оставшаяся для заучивания часть таблицы легче запоминается детьми, так как по мере увеличения второго множителя число равенств, оставшихся в таблице, сокращается.
Табличное деление выполняется учащимися на основе использования таблицы умножения и взаимосвязи между этими действиями.
В третьем классе область применения умножения и деления расширяется за счет изучения внетабличного выполнения этих операций: умножения и деления многозначных чисел на однозначное число. В основе изучения этой темы также лежит осознание двух позиций: поразрядности выполнения этих действий и использования таблицы умножения в каждом разряде.
На этом этапе формируется общий подход к выполнению действий умножения и деления, который затем переносится с соответствующими дополнениями на любые числа натурального ряда.
Изучение умножения и деления натуральных чисел завершается в четвертом классе темой умножения и деления на многозначное число.
В целях расширения и углубления представлений детей об изученных операциях рассматриваются случаи их выполнения с геометрическими объектами: сложение и вычитание отрезков и углов, умножение их на натуральное число и деление на равные части.
Большую роль в осознании связи между обратными действиями играет знакомство с уравнениями, их решение на основе этих взаимосвязей, которые начинаются в первом классе и продолжаются до конца обучения в начальной школе.
Формированию осознанного и прочного навыка выполнения изученных действий способствуют систематические наблюдения за изменением результата изученных операций при изменении одного и (или) двух компонентов. Такие наблюдения проводятся на протяжении всего времени обучения в начальной школе и завершаются их обобщением в четвертом классе.
В четвертом классе ученики знакомятся с пятым действием - возведением в степень. Оно рассматривается как действие, заменяющее умножение равных множителей и используется только на множестве натуральных чисел. Это действие также связывается с изучением таких величин как площадь и объем.
Необходимо отметить, что при изучении всех действий используется терминология, отличающаяся от принятой в традиционной программе. Так, из употребления полностью исключается слово "примеры" для обозначения выражений и используется термин "выражение". Это влечет за собой разграничение между названием конкретного выражения и его значения (например, выражение, в котором числа связаны действием сложения - сумма, а результат выполнения сложения - значение суммы).
Изучение величин в каждом конкретном случае базируется на сравнении объектов. В связи с этим в изучении каждой величины можно выделить следующие этапы: сравнение объектов непосредственными действиями (на глаз, приложением, наложением и т.д.) и установление границ возможности использования таких приемов; поиск опосредованного способа сравнения при выходе за эти границы (т.е. при невозможности или значительной затрудненности непосредственных способов сравнения); выделение среди найденных опосредованных способов того, который связан с использованием произвольных мерок; осознание основного правила использования мерок - необходимость использования одной и той же мерки при измерении сравниваемых объектов; осознание удобства использования общепринятых мерок и знакомство с ними; знакомство с инструментами, предназначенными для измерения изучаемой величины общепринятыми мерками, и (или) со способами косвенного определения величины.
По мере продвижения в изучении величин и приобретения опыта такого изучения, а также в связи с особенностями каждой величины, отдельные из перечисленных этапов свертываются или не возникают совсем, но должны находиться в поле зрения учителя.
Изучение этой линии программного материала завершается в четвертом классе составлением таблиц мер изученных величин и соотношений между ними, а также сравнением этих таблиц между собой и с десятичной системой счисления.
Натуральное число выступает для ребёнка на этом этапе как целостный наглядный образ, в котором он не выделяет единичных предметов. Первые представления детей о числе связаны с его количественной характеристикой, и ребёнок может отвечать на вопрос: «Сколько?», не владея операцией счёта.
Количественная характеристика предметных групп осознаётся ребёнком и в процессе установления взаимно-однозначного соответствия между предметными множествами (выражение в понятиях «столько же», «больше», «меньше»). Для этого можно использовать: 1) наложение предметов одного множества на предметы другого; 2) расположение предметов одного множества под предметами другого; 3) соединение каждого предмета одного множества с каждым предметом другого. Данная операция связана с выделением отдельных элементов и подготавливает к сознательному владению счётом.
На первом этапе счёт выступает для ребёнка как установление взаимно-однозначного соответствия между предметной совокупностью и совокупностью слов-числительных. Для овладения операцией счёта необходимо запомнить порядок слов-числительных, что закрепляется в результате выполнения упражнений типа «Сколько…?» и других упражнений: 1) что изменилось/не изменилось? 2) чем похожи/отличаются рисунки? 3) Хватит ли мишкам орехов, если каждому дать по 1/2/3 ореха? 4) По какому признаку подобраны пары картинок? 5) Покажи «лишнюю» картинку?
Усвоение детьми последовательности слов-числительных позволяет перейти к формированию операции счёта и знакомству учащихся с цифрами. Чтобы учащиеся отличали числа от цифр, полезно познакомить их с другими цифрами (римскими).
Трудно довести до сознания тот факт, что каждое число, названное при счёте, является одновременно и порядковым, т.к. указывает на порядок предмета при счёте. Для осознания взаимосвязи между порядковым и количественным числом можно использовать задания с полоской (это пятый кружок, сколько кружков на полоске и т.д.).
Важно, чтобы дети понимали, что, как бы мы ни нумеровали предметы данной совокупности, ответ на вопрос «Сколько?» будет всегда одинаковым, при этом нумерацию надо начинать с 1, не пропускать ни одного предмета и не указывать на один предмет дважды. Для этого можно использовать разноцветные круги и считать их, начиная с разных, или же переставляя номера кругов при счёте.
1.2.2 Анализ программ дошкольного учреждения и начальной школы по преемственности натурального числа
В последнее время у нас и за рубежом часто обсуждается вопрос о недостатках традиционных программ преподавания математики в школе. Эти программы не содержат основных принципов и понятий современной математической науки, не обеспечивают должного развития математического мышления учащихся, не обладают преемственностью и цельностью по отношению дошкольной и начальной школе.
Во многих странах и в международных организациях ведется работа по усовершенствованию учебных программ. Выдвигаются различные предложения о путях рационального изложения современных математических понятий в школьных курсах (в основном для начальной школы). Некоторые предложения представляют, несомненно, большой теоретический и практический интерес (например, программа В.Г. Болтянского, Н.Я. Виленкина, И.Л. Яглома; обзор американских исследований в этой области и др.).
Программа в концентрированной форме выражает содержание учебного предмета и способы его развертывания в преподавании. Поэтому попытки изменения программы по сути дела связаны с тем или иным изменением содержания предмета, с поисками новых способов его построения. Построение математики как целостного учебного предмета -- весьма сложная задача, требующая приложения совместных усилий педагогов и математиков, психологов и логиков. Важным моментом решения этой общей задачи является выделение понятий, с которых должно начинаться изучение математики в школе. Эти понятия составляют фундамент для построения всего учебного предмета. От исходных понятий, усвоенных детьми, во многом зависит общая ориентировка в математической действительности, что в свою очередь существенно влияет на последующее продвижение в этой области знания. Многие трудности усвоения математики в начальной и средней школе, на наш взгляд, проистекают, во-первых, из-за несоответствия знаний, усваиваемых учащимися, тем понятиям, которые действительно конституируют математические построения, во-вторых, из-за неверной последовательности введения общематематических понятий в школьные курсы.
К сожалению, именно содержание начальных математических понятий и способ их введения при обучении не служат до сих пор предметом развернутого обсуждения и тщательного исследования, хотя только на этой основе можно последовательно и критически проанализировать ныне действующие программы, показать их достоинства и существенные недостатки, наметить новые варианты содержания математики в школе. Работа в этом направлении затрудняется еще тем, что составители программ, как правило, в должной мере не учитывают современных методов психологического и логического анализа процесса усвоения знаний, недооценивают значение этих методов для программирования математики как учебного предмета.
Построение традиционных программ также связано с тем или иным фактическим решением этих вопросов. Однако на первый план авторы программ предпочитают выдвигать не теоретико-познавательные и логико-психологические моменты, а собственно математическую сторону дела -- вопросы связи самого математического материала. Впрочем, обсуждение направлений перестройки математического образования в основном также вращается вокруг объема математических знаний, подлежащих включению (или исключению) в программу. Логико-психологические вопросы опять остаются в тени, во-первых, из-за их недостаточной выявленности, во-вторых, из-за силы мнения, будто содержание учебного предмета -- при всем его своеобразии -- является относительно прямой проекцией, лишь неразвернутым сколком с некоторых чисто «научных» сведений (оригинальная критика этого распространенного мнения дана Г.П. Щедровицким).
Вместе с тем рассмотрение собственно математической стороны программ, особенно их начальных разделов, вызывает ряд недоумении именно с точки зрения «большой» математики. Как известно, изучение математики в школе начинается с натурального числа и в течение нескольких лет оно является основой всего преподавания. Выбор такого «начала» чаще всего обосновывается соображениями математического характера, указанием места и роли этого понятия в системе математических знаний и т. п. Но последнее как раз не так уже ясно, как первоначально кажется. Поэтому потребовался анализ математических работ, чтобы выявить некоторые основные особенности числа как математического понятия. Оказалось, что при обосновании числа как «начала» учебного предмета действуют не столько чисто математические аргументы, сколько явные или неявные представления методистов о самой «первичности» некоторых понятий, о возникновении и формировании абстракции как в истории знаний, так и в онтогенетическом процессе их усвоения ребенком, т.е. представления, больше связанные с логикой и психологией, нежели с «чистой» математикой.
В последнее время при модернизации программ особое значение придают подведению теоретико-множественного фундамента под школьный курс (эта тенденция отчетливо проявляется и у нас, и за рубежом). Реализация этой тенденции в преподавании (особенно в начальных классах, как это наблюдается, например, в американской школе) неизбежно поставит ряд трудных вопросов перед детской и педагогической психологией и перед дидактикой, ибо сейчас почти нет исследований, раскрывающих особенности усвоения ребенком смысла понятия множества (в отличие от усвоения счета и числа, которое исследовалось весьма многосторонне).
Целесообразно рассмотреть содержание этого понятия в математической литературе, тем более что некоторыми авторами оно не признается за исходное и первичное. В недрах самой математики сейчас существенно переоценивается понятие о ее предмете, об исходных и всеобщих его признаках (работы Н. Бурбаки). Это обстоятельство тесно связано с определением природы самой математической абстракции, способов ее выведения, т. е. с логической стороной проблемы, которую нельзя не учитывать при создании учебного предмета.
Ниже приводятся материалы, почерпнутые из математических источников и характеризующие связь понятий числа и множества с другими математическими понятиями (в частности, с общим понятием структуры). Повторяем, это делается вовсе не для того, чтобы решать какие-либо собственно математические вопросы (большинство из затрагиваемых вопросов уже решено и стало достоянием «широкой» литературы). Задача в другом -- сопоставить имеющиеся решения со способами построения учебного предмета с целью выявления некоторых логико-психологических вопросов.
Логические и психологические исследования последних лет (в особенности работы Ж. Пиаже) вскрыли связь некоторых «механизмов» детского мышления с общематематическими понятиями. Мы специально рассматриваем особенности этой связи и их значение для построения математики как учебного предмета (при этом речь пойдет о теоретической стороне дела, а не о каком-либо частном варианте программы). В заключение этого раздела кратко перечисляются основные логико-психологические проблемы, рассмотрение которых является предпосылкой работы в области программирования учебного математического материала.
Натуральное число является фундаментальным понятием математики на всем протяжении ее истории; весьма существенную роль оно играет во всех областях производства, техники, повседневной жизни. Это позволяет математикам-теоретикам отводить ему особое место среди других понятий математики. В разной форме высказываются положения о том, что понятие натурального числа -- исходная ступень математической абстракции, что оно является основой для построения большинства математических дисциплин.
Выбор начальных элементов математики как учебного предмета по существу реализует эти общие положения. При этом предполагается, что, знакомясь с числом, ребенок одновременно раскрывает для себя исходные особенности количественных отношений. Счет и число - основа всего последующего усвоения математики в школе.
Однако есть основания полагать, что эти положения, справедливо выделяя особое и фундаментальное значение числа, вместе с тем неадекватно выражают его связь с другими математическими понятиями, неточно оценивают место и роль числа в процессе усвоения математики. Из-за этого обстоятельства, в частности, проистекают некоторые существенные недостатки принятых программ, методик и учебников по математике.
Характерно следующее обстоятельство. Методисты, полагающие, что преподавание математики в школе необходимо начинать именно со знакомства с натуральным числом, вместе с тем сами отмечают возможность фиксации количественных отношений множеств, не прибегая к счету и даже не умея называть числа. «Изучая развитие числовых представлений в онто- и филогенезе, мы приходим к убеждению, что понятие числа и операция счета возникают одновременно при условии взаимодействия категории количества и категории порядка, хотя обе эти категории могут существовать независимо от числа и счета и независимо одна от другой». «Еще не умея считать, ребенок различает знакомые группы предметов в количестве двух и даже трех... Такое непосредственное восприятие множества свидетельствует о зарождении у ребенка количественных представлений, однако, в это время он еще далек от овладения понятием числа». В этих высказываниях, с одной стороны, признается производность числа и счета от категорий количества и порядка, независимость последних от первых, с другой -- возможность зарождения у ребенка количественных представлений до овладения понятием числа. Однако при построении учебного предмета вновь исходят из того, что в школе «приходится в первую очередь иметь дело с понятием числа (натурального) и с операцией счета». Такой подход к выбору начальных пунктов обучения становится возможным по крайней мере при трех допущениях.
Во-первых, при допущении, что категории количества и порядка хотя и возникают в филогенезе до и независимо от числа, однако с его появлением уже теряют свою самостоятельность, «снимаются» числом настолько, что практически не могут служить основой для формирования математических понятий. Число, как результат взаимодействия этих категорий, воплощает их настолько полно, что сами они могут быть раскрыты именно на числах, последовательность которых, кстати, ребенок быстро и успешно усваивает. Именно внутри числа и счета необходимо выделять их двойственную природу.
Во-вторых, до появления числа, и счета количественная оценка совокупностей как в фило-, так и в онтогенезе носит доарифметический характер; «доарифметические операции» связаны с элементарными количественными и порядковыми представлениями. Возникновение в филогенезе арифметики приводит к сознательному счету и полноценным числовым представлениям. В онтогенезе, который не повторяет полностью филогенеза, очевидно, следует сразу начинать с формирования «сознательного счета» и «полноценных числовых представлений».
Двойственная природа чисел и счета требует особого внимания педагога к «доарифметической» подготовке ребенка, но сама по себе, вне обучения числу и счету, она смысла не имеет.
В-третьих, указанная форма связи числа и счета (полноценных представлений -- арифметических операций) с возникшими до них категориями количества и порядка (неразвитых представлений -- доарифметических образований) позволяет положить арифметику (число) в основу овладения всей математикой.
Эти допущения упускают, на наш взгляд, некоторые важные обстоятельства как собственно математического, так и логико-психологического характера.
Прежде всего, как было показано выше, многие общематематические понятия, и в частности понятия соотношения эквивалентности и порядка, систематически рассматриваются в математике независимо от числовой формы. Эти понятия не теряют своего независимого характера: на их основе можно описывать и изучать частный предмет -- разные числовые системы, понятия о которых сами по себе не покрывают смысла и значения исходных определений. Причем в истории математической науки общие понятия развивались именно в той мере, в какой «алгебраические операции», известный пример которых доставляют четыре действия арифметики, стали применяться к элементам совершенно не «числового» характера.
В последнее время делаются попытки развернуть в преподавании этап введения ребенка в математику. Эта тенденция находит свое выражение в методических руководствах, а также в некоторых экспериментальных учебниках. Так, в одном американском учебнике, предназначенном для обучения детей 6--7 лет, на первых страницах вводятся задания и упражнения, специально тренирующие детей в установлении тождественности предметных групп. Детям показывается прием соединения множеств, -- при этом вводится соответствующая математическая символика (знаки U и +). Работа с числами опирается на элементарные сведения о множествах.
Можно по-разному оценивать содержание конкретных попыток реализации этой тенденции, но сама она, на наш взгляд, вполне правомерна и перспективна.
При выборе исходных пунктов школьного курса математики существенное значение имеет еще одно обстоятельство, касающееся природы математической абстракции и специфики ее предмета. Высоко оценивая стремление А. Лебега к выяснению материального содержания математических понятий, А.Н. Колмогоров вместе с тем упрекает его в недооценке самостоятельности математики. Следуя высказываниям Ф. Энгельса, А.Н. Колмогоров подчеркивает тот момент, что математика «изучает материальный мир с особой точки зрения, что ее непосредственным объектом являются пространственные формы и количественные отношения действительного мира. Сами эти формы и отношения в их чистом виде, а не конкретные материальные тела являются той реальностью, которая изучается математикой».
Конечно, здесь речь идет о математике как науке, однако с этим нельзя не считаться и при построении учебного предмета. Программа этого предмета должна предусматривать такую работу ребенка, благодаря которой он сможет правильно и в должный момент «отойти» от конкретных тел, выделив в них пространственные формы и количественные отношения, придав им «чистый вид». Только на этой основе у него может сформироваться правильное понимание предмета математического знания. Но формировать этот «вид» необходимо при постоянной связи с конкретными телами, действия с которыми придают понятиям их подлинный материальный смысл. В этом своеобразное противоречие начальных этапов преподавания математики (видимо, не только начальных). То, что математик-ученый уже имеет перед собой в «чистом виде», то в голове ребенка предстоит лишь только построить. Этот «вид» не дан ему с самого начала -- его надо вывести, получить в процессе определенной работы.
Вместе с тем ясно, что учебный материал, с которым ребенок начинает работать, до поры до времени не может рассматриваться им с точки зрения «чистых» форм и отношений, ибо этой точки зрения у ребенка еще нет. И наоборот, уже при выделенности «чистого вида» сами материальные тела будут выглядеть для человека иначе, нежели до этого.
Как разрешать это противоречие при обучении математике? Какое построение курса и способ введения понятий наиболее соответствуют решению этой задачи? Без ответов на эти вопросы нельзя обоснованно строить и начальные разделы курса. Именно в решении этих вопросов традиционная методика страдает наибольшими дефектами. Она не раскрывает в должной мере те характеристики количественных отношений, выделение которых необходимо для построения в голове ребенка исходных математических абстракций и для дальнейшей работы в плане этих абстракций.
Вопрос о том, с чего начинать курс математики и целесообразно ли его начинать непосредственно с числа, имеет не узко методический и частный смысл, а принципиальное значение с точки зрения формирования у ребенка общих представлений о предмете математики. Можно предполагать, что подлинное значение начальных этапов преподавания как раз и состоит в том, чтобы раскрыть детям общие особенности абстракций, конституирующих предмет дальнейшего изучения, создающих его «чистый вид». Форма и степень этой «чистоты», конечно, не будут непосредственно совпадать с теорией предмета, но нечто сходное по содержанию здесь должно быть, -- определение того, в чем именно заключается здесь расхождение и частичное сходство, является объектом логико-психологических и педагогических исследований.
Во всяком случае, здесь лежит камень, от которого начинаются два пути -- либо в сторону действительного математического знания, либо в сторону его «словесно-знаковых» фикций, которые нередко возникают в практике обучения.
Проблема преемственности между различными ступенями образовательных учреждений является в настоящее время актуальной, так как различия в требованиях к уровню знаний, умений и навыков, полученных детьми на различных ступенях образования, и требованиями последующих ступеней образования значительны. Не учитывать этот факт в работе воспитателей и учителей сейчас просто невозможно. Особо необходимо говорить о преемственности между дошкольным и начальным образованием.
Под преемственностью в обучении мы будем понимать связь между этапами в процессе обучения и развития. Связь, когда достигнутый уровень интеллектуального развития является источником формирования всякого возрастного новообразования, а становление новообразования прочно базируется на достигнутом уровне развития. Таким образом, преемственность позволяет понять особенности и возможности плавного, не травмирующего психику ребенка, перехода от одной ступени обучения к другой.
Преемственность - понятие многогранное. Это и социальная адаптация ребенка в новых условиях, и необходимый уровень развития творческого воображения, и формирование определенных коммуникативных умений. Преемственность включает в себя как элемент подготовку ребенка к обучению в школе, то есть овладение им необходимым объемом знаний и умений.
Рассматривая подготовку ребенка к школе как элемент преемственности, мы выделяем три составляющих компонента: содержательный, методический и деятельностный (поведенческий). Содержательный компонент раскрывает структуру и принципы отбора содержания в дошкольных учреждениях и первом классе начальной школы.
Проведем краткий анализ содержания образовательных программ в дошкольных учреждениях - традиционной, по которой работают еще большинство дошкольных учреждений, и альтернативных и содержанием обучения в 1 классе начальной школы (см. табл. 1).
Таблица 1 Основные аспекты содержания обучения в дошкольных образовательных учреждениях и 1 классе начальной школы
Содержание
Традиционная
Альтернативная программа № 1
Альтернативная программа № 1
Альтернативная программа № 1
1 кл. нач. шк.
Множество
+
+
+
+
+
Число как количествен-ная характерис-тика
+
+
+
+
+
Натуральный ряд чисел. Счет
+
+
+
+
+
Счет до 100
Геометрические понятия
+
+
+
+
+
Величины
+
+
+
+
+
Число как мера величины
+
+
+
+
+
Измерительная деятельность
+
на основе условной мерки
+
на основе условной мерки
+
на основе условной мерки
+
на основе условной мерки и ед. измерения
+
на основе ед. измерения
Арифметичес-кие действия: сложение, вычитание
+
+
+
+
+
в концентре 100
Простые задачи
+
+
+
+
+
Ориентировка в пространстве
+
+
+
+
+
Ориентировка во времени
+
+
+
+
+

На основе представленных данных можно сделать вывод, что с точки зрения содержательного компонента преемственность между дошкольным обучением и начальной школой формально соблюдается. Программы строятся на теоретико-множественной основе. Основным понятием, с которым дети знакомятся в детском саду и в школе, является множество, а основной метод обучения - метод одновременного изучения взаимнообратных действий. Программа 1 класса школы имеет целью систематизировать, обобщить и углубить знания детей, полученные в дошкольных учреждениях. Такой подход позволяет ребенку адаптироваться к новым условиям обучения.
Методический компонент раскрывает особенности и возможности передачи знаний детям как в дошкольных учреждениях (ДУ), так и в начальной школе. В ДУ дети осваивают те или иные знания посредством игры. Игра - это основной метод обучения, с одной стороны, и главный вид деятельности ребенка, с другой. В игре реализуются все познавательные возможности с учетом интересов, склонностей. В игре ребенок максимально раскрывается, что позволяет отслеживать траекторию его интеллектуального развития. В ДУ происходит реализация личностно-ориентированного образования, но на уроках идея личностно-ориентированного образования внедряется медленно. Чаще всего учитель реализует такие формы как дословный пересказ текста учебника или выполненное по образцу упражнение; редко задает вопрос (Почему?). На уроках в начальных классах преобладает способ передачи информации от частного к общему. Причем общий вывод учитель сообщает детям сам, сам разбирает первые задания по новой теме, а позиция учащихся чаще всего остаются пассивной, исполнительской. Успешность обучения в этом случае напрямую зависит от особенностей памяти учащихся Реализация личностно-ориентированного образования предполагает формирование у учащихся умения самостоятельно добывать знания и применять их на практике. Такой подход требует изменения методических приемов. На уроке необходимо использовать элементы частичного поиска решения вопроса, предполагающего выдвижение и обсуждение гипотез. Таким образом, преемственность в рамках методического компонента не реализуется.
В плане деятельностного (поведенческого) компонента можно сказать, что личностно-ориентированное обучение связано с удовлетворением потребностей ребенка в различных видах деятельности, интересных ему. Для учащихся начальной школы это прежде всего работа в парах сменного состава. Работая в паре, ребенок сначала выступает в роли ученика, а затем в роли учителя; другой возможностью является проведение лабораторных работ, где ученик реализует себя как наблюдатель, исследователь; третьей возможностью является дидактическая игра. Такие организационные формы работы способствуют реализации возможностей ребенка в учебной деятельности, а, значит, способствуют успешности в учении.
Для полной реализации возможностей ребенка в учебной деятельности необходимо учитывать различную скорость мыслительных операций и различный уровень развития. Это возможно при реализации уровневой дифференциации обучения. Для этого учитель должен владеть системой педагогической диагностики, которая позволит отслеживать индивидуальную траекторию интеллектуального развития ребенка, уметь устранять причины возникших затруднений, разрабатывать коррекционно-развивающие дидактические материалы.
Таким образом, максимально реализовать преемственность между дошкольным и начальным образованием возможно, если изменить отношения между учителем и учеником на уроке (отказаться «от авторитарного, инструктивно-репродуктивного обучения в пользу демократического, поисково-творческого»); откорректировать методические приемы обучения с целью изменения деятельности ребенка на уроке. Это осуществимо при соответствующей подготовке современного учителя начальных классов.
2. Опытно-экспериментальная работа по формированию математических умений и навыков в дошкольном и младшем школьном возрасте
2.1 Цель, задачи и методика опытно - экспериментальной работы

Исследование проводилось в три этапа в период с сентября 2007г. по май 2000г. на базе старшей группы детского сада № 30 и 1 класса младшей школы №2 г. Караганды. В исследовании принимали участие две группы детей, каждая из которых насчитывала по десять детей.
На первом этапе (сентябрь - октябрь) изучалась и анализировалась литература, подбиралась система упражнений. При анализе литературы были изучены 44 источника, куда вошли работы учёных, монографии, статьи, освещающие передовой педагогический опыт. Проанализировано 8 источников зарубежной литературы.
На втором этапе (ноябрь-декабрь) проводилось обследование двух групп детей (экспериментальной и контрольной) с целью выявления их уровня математического развития перед началом эксперимента, а также после его окончания.
Основной педагогический эксперимент проходил с января 2007г. по апрель 2008г. с целью проверки эффективности разработанной системы упражнений. На третьем этапе проводились обобщения, математическая обработка полученных результатов.
Методы:
1.Анализ специальных литературных источников.
2. Педагогический эксперимент:
-констатирующий (диагностика математических умений),
- формирующий эксперимент,
- контрольный эксперимент.
3. Методы математической обработки данных.
2.2 Экспериментальное изучение по формированию математических умений и навыков в дошкольном и младшем школьном возрасте

Были взяты две группы детей (по десять человек) старшего дошкольного возраста и младшего школьного возраста: контрольную группу и экспериментальную группу, работающую по предложенной методике.
Констатирующий эксперимент проводился с целью выявления уровня развития каждого ребёнка. В качестве основного метода исследования использовалась диагностика математического развития. Детям были предложены четыре теста, в состав которых входили дидактические игры.
I. Методы исследования количественных представлений
Сосчитай себя.
1. Назвать части своего тела, которых по одной (голова, нос, рот, язык, грудь, живот, спина).
1. Назвать парные органы тела (2 уха, 2 виска, 2 брови, 2 глаза, 2 щеки, 2 губы: верхняя и нижняя, 2 руки, 2 ноги). 3.
2. Показать те органы тела, которые можно считать до пяти (пальцы рук и ног).
Зажги звёзды.
Игровой материал: лист бумаги тёмно-синего цвета - модель ночного неба; кисть, жёлтая краска, числовые карточки( до пяти).
1. «Зажечь» (концом кисти) столько «звёзд на небе», сколько изображено фигур на числовой карточке.
2. Тоже самое. Выполнять, ориентируясь по слуху на количество ударов в бубен или под крышкой стола, сделанных взрослым.
Помоги Буратино.
Игровой материал: игрушка Буратино, монеты (в пределах 7-10 штук ). Задание: помочь Буратино отобрать такое количество монет, которое ему подарил Карабас Барабас.
II Величина
Ленточки.
Игровой материал: полоски бумаги разной длины- модели лент. Набор карандашей.
1.Самую длинную «ленточку» закрась синим карандашом, «ленточку» покороче закрась красным карандашом и т.д.
2. Уравнять все «ленточки» по длине.
Разложи карандаши.
На ощупь разложить карандаши разной длины в порядке возрастания или убывания.
Разложи коврики.
Разложить «коврики» в возрастающем и убывающем порядке по ширине.
III. Методы исследования временных представлений.
Игра «куда пойдем»
Материал: плоскостные куклы - мальчики и девочки, комплекты одежды, головных уборов, обуви для разных сезонов. Различные предметы обихода, например: зонтик, плетеная корзинка, грабли, лопата, школьный портфель, книга и т.д. Листы - фоны и отдельные элементы ( желтые листья, снежинки, школьный звонок ), символизирующие сезон или место, куда отправилась кукла.
На каждом столе одежда для разных сезонов на одном подносе, предметы для разных дел - на другом. У каждого ребенка две куклы - мальчик и девочка. Учитель советует детям выбрать сезон и вид занятия.
Потом дети начинают одевать кукол или одну из них соответственно выбранному сезону и выбирают нужный для занятия предмет. Например, для сбора ягод - сарафан, панамку, сандалии, корзинку.
Для того чтобы осенью пойти в библиотеку - плащ или пальто, зонт, книгу. Если задание выполнено правильно, куклу выставляют на демонстрационной доске.
Когда все куклы выставлены, дети рассказывают, каждый о своей.
Желающие могут дополнить рассказ.
Можно использовать стихи, загадки.
Загадки «угадай, что это»
Учитель загадывает загадки. Учащиеся отгадывают их и называют признаки, по которым они догадались, что это такое. За каждую отгадку и правильное ее объяснение (доказывать могут разные ученики) полагаются фишки. Выигрывает тот, кто наберет больше фишек.
Дел у меня немало:
Я белым покрывалом
Всю землю укрываю,
Белю поля, дома,
Зовут меня… (зима).
Я соткано из зноя
Несу с тепло с собою.
Я реки согреваю,
Купайтесь - приглашаю.
И любите за это
Вы все меня. Я…( лето).
Я раскрываю почки, Несу я урожаи,
В зеленые листочки Поля вновь засеваю,
Деревья одеваю, Птиц к югу отправляю,
Посевы поливаю, Деревья раздеваю,
Движения полна. Но не касаюсь сосен
Зовут меня…(весна). И елочек. Я …( осень).
Беседа о весне
Учитель уточняет, какой месяц наступил (май), что это за месяц (май - последний месяц весны).
- Наступила весна и принесла с собой большие изменения. Изменилось все: поле, лес, люди. Давайте поговорим об этих изменениях. ( На доске выставляются иллюстрации)
- Каким стало поле? Сошел снег, появились важные грачи. А теперь на поля вышла техника. Люди готовятся к севу.
- Что происходит в лесу в марте и в апреле. Появляются первые цветы - первоцветы. (дети дают описание подснежника)
- Подойдите к окну и расскажите, как выглядит наша улица (на деревьях и кустах набухли (вскрылись) почки, появились первые весенние цветы и т. д.
- Почему весной так быстро растут растения? (много солнца, света, стал заметно длиннее день).
Динамическая пауза.
- Как весной одеты люди?
- Во что дети играют дети?
Чтение главы «Апрель» из книги В.Бианки «Синичкин календарь».
- Что нового вы узнали об апрельских изменениях в природе.
IV. Методы исследования пространственных представлений.
Исправь ошибки.
Игровой материал: 4 больших квадрата белого, жёлтого, серого и черного цветов- модели частей суток. Сюжетные картинки, изображающие деятельность детей в течении суток. Они положены сверху квадратов без учёта соответствия сюжета модели. Исправить ошибки, допущенные Незнайкой, объяснить свои действия.
Узор.
Определить направления движения от себя (направо, налево, вперёд, назад, вверх, вниз).
Игровой материал: карточка с узором, составленным из геометрических форм.
Описать узор от себя.
Найди различия.
Игровой материал: набор иллюстраций с противоположным изображением предметов.
Найти различия.
В качестве критериев оценки уровня математического развития использовалась десятибалльная система.
8-10 баллов - ребёнок оперирует свойствами объектов, обнаруживает зависимости и изменения в группах объектов в процессе группировки, сравнения; сосчитывает предметы в пределе 10. Устанавливает связи увеличения (уменьшения) количества, чисел, размеров предметов по длине, толщине, высоте, и т.д. Проявляет творческую самостоятельность в практической, игровой деятельности, применяет известные ему способы действия в иной обстановке.
4-7 баллов - ребёнок различает, называет, обобщает предметы по выделенным свойствам. Выполняет действия по группировке, воссозданию фигур. Обобщает группы предметов по количеству (числу), размеру. Считает в пределе 4-7. Самостоятельно осуществляет действия, веющие к изменению количества, числа, величины. Затрудняется в высказываниях, пояснениях.
1-3 балла - ребёнок различает предметы по отдельным свойствам, называет их, группирует в совместной со взрослым деятельности. Пользуется числами в пределах 3-5, допускает ошибки. Выполняет игровые практические действия в определенной последовательности; связи между действиями (что сначала, что потом) не устанавливает.
Критерии констатирующего эксперимента.
1. Ориентировка в групповой комнате по плану, умение двигаться в заданном направлении, определение расположения предмета по отношению к себе. Ориентировка на плоскости стола и листе бумаги.
2. Классификация предметов по одному, двум признакам. Число как показатель количества, итог счёта; порядок следования и место в общей последовательности чисел.
3. Активное участие в воссоздании силуэтов, построек, изображений в играх моделирующего характера как по образцу, так и по собственному замыслу.
Формирующий эксперимент предполагал разработку системы математического развития детей в контексте разных видов деятельности. При проведении формирующего эксперимента решались следующие задачи:
- создать развивающую среду; определить наиболее оптимальный подход для детей;
- составить систему упражнений;
- экспериментально апробировать воздействие разработанной системы заданий на формирование математических умений и навыков.
Для решения поставленных целей и задач мы решили провести задания по развитию математических представлений у детей. Для этого мы разделили все задания по принципу от простого к сложному. Формирующий эксперимент проходил в три этапа с экспериментальной группой. (Приложение 1).
Эксперимент проводился в естественных условиях.
После формирующего эксперимента с экспериментальной группой детей был проведён контрольный эксперимент по этой же методике, целью которого было выявление успешности обучения математическим умениям и навыкам по разработанной системе.
Математическая обработка и анализ результатов
Определение среднего арифметического величины показателей вычислялось по формуле:
- знак суммирования
- варианты или значения признака (данные одного ребенка)
n - количество детей
Средняя арифметическая величина позволяет сравнивать и оценивать группы изучаемых явлений в целом.
Затем определялось среднеквадратичное отклонение:
Хмакс - наибольшее значение варианта
Хмин - наименьшее значение варианта
R - табличный коэффициент
Ошибка среднеарифметической величины определялась по формуле:
n- число вариантов
- среднеквадратичное отклонение
Уровень достоверности различий вычисляется по формуле:
t =
Х1 - среднеарифметическое значение экспериментальной группы
Х2 - среднеарифметическое значение контрольной группы
Процент прироста получился, когда мы отняли среднее арифметическое до эксперимента от среднего арифметического после эксперимента.
2.3 Анализ и интерпретация результатов опытно - экспериментальной работы

В результате педагогического эксперимента было выявлено, что изначально показатели умственного развития детей экспериментальной и контрольной групп имели примерно равный потенциал, равные возможности.
Средние значения показателей констатирующего эксперимента приведены в таблице 2.
Таблица 2
Показатель
Контрольная группа Х± m
Экспериментальная группа Х ± m
t
Р
Количество и счёт
3,6 ± 0,2
3,5 ± 0,2
0,3
>0,05
Величина
3,1±0,2
3,5 ± 0,3
1
>0,05
Ориентировка во времени
3,6±0,3
3,5 ± 0,2
0,7
>0,05
Ориентировка в пространстве
3,1 ±0,3
3,0 ± 0,2
0,25
>0,05
Разработанная система заданий и апробация этой системы предусматривала отбор упражнений в соответствии со следующими критериями:
- соответствие материала задачам исследования;
-включенность тех психических процессов, которые несут преимущественную нагрузку в процессе обучения;
-доступность и эмоциональная привлекательность материала.
Развивающие упражнения использовались во всех формах работы по формированию элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста; утренней гимнастике; физкультурных занятиях; в повседневной жизни; активном отдыхе и непосредственно, в самостоятельной поисковой деятельности.
Игровая форма обучения повышала настроение детей, способствовала проведению игр в эмоциональном ритме, а самое главное - развитию элементарных математических способностей.
Важным условием самостоятельной игровой деятельности являлось создание предметной среды, имеющей развивающий характер, т.е. создание предметного оснащения для самостоятельных игр.
После проведения формирующего эксперимента был проведён контрольный эксперимент.
Средние значения показателей контрольного эксперимента показаны в таблице 3.
Таблица 3
Показатель
Экспериментальная группа Х± m
Контрольная группа Х± m
t
Р
Количество и счёт
6,42 ± 0,2
3,9 ± 0,2
8,4
<0,05
Величина
5,82 ± 0,2
4,3 ± 0,2
5,0
<0,05
Ориентировка во времени
6,29 ± 0,2
4,4 ± 0,2
6,3
<0,05
Ориентировка в пространстве
6,13±0,2
4,0 ± 0,2
и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.