На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Диплом Понятие интеграла Стилтьеса. Общие условия существования интеграла Стилтьеса, классы случаев его существования и предельный переход под его знаком. Приведение интеграла Стилтьеса к интегралу Римана. Применение в теории вероятностей и квантовой механике.

Информация:

Тип работы: Диплом. Предмет: Математика. Добавлен: 20.07.2009. Сдан: 2009. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


2
Содержание
    Введение
      Глава I. Развитие понятия интеграла
      1.1 Проблема моментов
      Глава II. Интеграл Стилтьеса
      2.1 Определение интеграла Стилтьеса
      2.2 Общие условия существования интеграла Стилтьеса
      2.3 Классы случаев существования интеграла Стилтьеса
      2.4 Свойства интеграла Стилтьеса
      2.5 Интегрирование по частям
      2.6 Приведение интеграла Стилтьеса к интегралу Римана
      2.7 Вычисление интегралов Стилтьеса
      2.8 Примеры
      2.10 Теорема о среднем, оценки
      2.11 Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса
      2.12. Примеры и дополнения
      Глава III. Применение интеграла Стилтьеса
      3.1 Применение в теории вероятностей
      3.2 Применение в квантовой механике
      Заключение
      Список литературы
      Приложение

Введение

Понятие интеграла Римана, известное из элементарного курса анализа, применимо лишь к таким функциям, которые или непрерывны или имеют "не слишком много" точек разрыва. Для измеримых функций, которые могут быть разрывны всюду, где они определены (или же вообще могут быть заданы на абстрактном множестве, так что для них понятие непрерывности просто не имеет смысла), римановская конструкция интеграла становится непригодной. Вместе с тем для таких функций имеются аналоги в теории измерений: это интегралы Лебега и Стилтьеса. Так как интеграл Стилтьеса охватывает более широкий класс функций, мы остановимся на рассмотрении этого интеграла.

Выбор темы обусловлен тем, что изучению интеграла Стилтьеса уделяется меньше внимания, чем интегралам Римана и Лебега, хотя именно идея стилтьесовского интегрирования богаче и плодотворней предыдущих, определение интеграла Стилтьеса шире классического и в некотором отношении удобнее его.

Цель работы - рассмотреть необходимость введения понятия интеграла Стилтьеса, дать точное, компактное, сравнительно полное изложение теории интеграла Стилтьеса.

Задачи, которые нужно выполнить для достижения цели:

изучить множество литературы по этой теме;

отобрать из изученного материла необходимый;

привести примеры использования интеграла.

Работа состоит из трёх глав. Первая посвящена развитию данного понятия, проблеме моментов, которая и привела к необходимости введения нового понятия интеграла.

Во второй главе рассмотрены основные понятия, определение самого интеграла, свойства, способы вычисления, рассмотрено множество примеров.

Третья глава посвящена применению интеграла Стилтьеса в других разделах математики и в других науках.

Глава I. Развитие понятия интеграла

1.1 Проблема моментов

Введение понятия интеграла Стилтьеса и последующая его разработка связаны с проблемой моментов, состоящей в следующем. Пусть задана последовательность чисел ; требуется найти такую функцию распределения , чтобы члены заданной последовательности были моментами, т.е. . Если a и b конечны, то поставленная задача называется проблемой моментов в конечном интервале; если , то получаем проблему моментов Стилтьеса.

Проблема моментов первоначально ставилась в менее общей форме. А именно по заданной последовательности чисел ищется такая функция , чтобы имели место равенства . Целесообразность привлечения интеграла Стилтьеса для постановки и решения проблемы моментов напрашивается довольно естественно. С таким положением вещей и столкнулся Стилтьес при изучении непрерывных дробей, и именно в результате этих исследований он предложил своё обобщение интеграла.

Ранние исследования Стилтьеса изложены в его статье о механических квадратурах, в которой выясняется, позволяют ли формулы квадратур получать неограниченное приближение интеграла в смысле Римана. Во вводной части статьи Стилтьес решает задачу об определении многочлена

Условиями

(1)

при неотрицательной на .

Мы коснемся двух моментов из содержания его статьи.

Первый относится к задаче о степени приближения, даваемого квадратурной формулой Гаусса:

Здесь Стилтьес пользуется доказанными им формулами П.Л. Чебышева в виде

где . (2)

Он показывает, что если в квадратурной формуле Гаусса в качестве брать числа , получаемые по формуле (2) из цепной дроби, соответствующей интегралу , а будут корнями знаменателей подходящих дробей, то формула Гаусса даст сколь угодно точное приближение при возрастании . Для этой цепной дроби числа , очевидно, удовлетворяют неравенствам

(3)

так как в этом случае .

Вторым моментом является следующий. Отметив, что его результаты полезны при изучении вопроса о квадратуре интеграла , Стилтьес ставит вопрос о квадратурных формулах для интеграла вида

. (4)

Он ограничивается тем частным случаем, когда - произвольная интегрируемая по Риману функция, а такова, что внутри не существует интервала , в котором , и показывает, что в этом случае аппроксимация возможна со сколь угодно большой степенью точности. Доказательство этого факта опирается на то, что функция

(5)

является непрерывной и строго монотонной, а потому существует обратная функция , и в интеграле (4) возможна замена переменных

сводящих интеграл (4) к уже изученному Стилтьесом случаю.

По поводу же общего случая Стилтьес указал, что "условия, налагаемые на функции , делаются источником трудностей, которых удастся избежать лишь с помощью новых исследований о самих принципах интегрального исчисления". Действительно, если не удовлетворяет условию отсутствия в интервала , в котором , то она может оказаться не монотонной, поэтому обращение в том виде, в каком такую замену тогда производили, становится невозможным, и квадратуру интеграла (4) уже нельзя свести к квадратуре интеграла .

Приведенные слова Стилтьеса показывают, что уже в 1884 г. он был в некоторой степени подготовлен к пересмотру понятия интеграла. К мысли о таком пересмотре его приводил прием замены переменных, который играл заметную роль в последующей истории интеграла Стилтьеса.

Стилтьес рассматривал непрерывные дроби вида

(6)

где - в общем случае комплексное число.

Пусть - подходящая дробь порядка для непрерывной дроби (6). Тогда существуют пределы

причем, если ряд расходится, то

если же ряд сходится, то

и функции и различны.

К этому времени математикам, занимавшимся непрерывными дробями, была известна связь между интегралом

(7)

и непрерывной дробью

, (8)

где - суть линейные функции , а числа связаны с коэффициентами разложения (7) в ряд по убывающим степеням :

Формулами

Этой-то связью и руководствовался Стилтьес в своих исследованиях. Ход его мысли был следующим. Для подходящих дробей дроби (6) справедливы следующие свойства: корни и действительны и различны, степень меньше степени . Для -й подходящей дроби справедливо равенство

или, в другой форме,

В частности,

Как уже говорилось при , а потому, если обозначить через нули , то и при . Аналогично, если - нули функции , то и для случая нечетных . В случае расходимости ряда очевидно, что .

Пусть дробь вида (6) задана разложением в ряд по убывающим степеням :

(9)

Тогда оказывается, что ряды

сходятся и

(10)

Эти формулы позволяют по цепной дроби (6) найти её разложение в ряд (9). Обратная же задача - по разложению (9) найти дробь (6) - неизбежно приводит к решению более или менее общей проблемы моментов.

В самом деле, Стилтьесу была известна чебышевско-марковская интерпретация , как массы, сосредоточенной в точке , являющейся корнем . Естественно было распространить эту интерпретацию и на предельный случай, рассматривая как массы, расположенные в нулях функции (или ). После введения формул (10) Стилтьес пишет: "Рассмотрим на бесконечной прямой распределение массы (положительной), при котором на расстоянии от начала сосредоточена масса .

Сумма

может быть названа моментом порядка масс относительно начала. В таком случае из предшествующих формул следует, что момент порядка системы масс

имеет значение .

Равным образом система масс , где , будем иметь те же моменты .

Мы назовем проблемой моментов следующую задачу:

Найти распределение положительной массы на прямой , если даны моменты порядка ".

Действительно, формулы (10) приводят к постановке проблемы моментов, если принято истолкование и как масс, а как соответствующих расстояний этих масс от начала координат.

Цепные дроби рассматривающегося П.Л. Чебышевым и А.А. Марковым типа получились из разложения интеграла (7) и все корни знаменателей их подходящих дробей были заключены в промежутке . Стилтьес же не связывал рассматриваемые им дроби с заранее данным аналитическим выражением в виде интеграла, и корни , оказывались в общем случае распределенными по всей положительной части числовой оси. Поэтому закономерным был выход в проблеме моментов за пределы конечного интервала и рассмотрение её на интервале . Далее, поскольку рассматриваются как моменты массы относительно начала координат, то прежнее определение момента через интеграл Римана становилось недостаточным, существенно ограничивая класс последовательностей чисел ; даже для таких распределений массы, как концентрация её в отдельных точках, приходилось принимать довольно неожиданные предположения относительно функции плотности , как это было у русских ученых. Между тем, как показал Стилтьес, на последовательность чисел достаточно было наложить довольно слабые ограничения, чтобы ряд (9) можно было обратить в цепную дробь (6), а тем самым найти функции . Зная же эти функции, мы тем самым знаем решение системы уравнений (10), т.е. решение проблемы моментов. Если при этом и , и попарно совпадут, то получится определенное решение: если же они попарно различны, то решений по крайней мере два: системы и . Следовательно, общность цепных дробей вида (6) достаточно широка, чтобы сделать вывод о разрешимости проблемы моментов для интервала , но для этого требовалось дать иное определение моментов.

Физическое определение момента материальной точки в соединении с обычным для физиков и математиков переходом от момента точки к моменту отрезка приводило к новому определению интеграла, тесно связанному с функциями распределения.

Таким образом, именно для того, чтобы описать в форме некоторого аналитического выражения физическое понятие момента, Стилтьес ввел новое понятие интеграла, причем последнее, как это обычно и случается в математике, оказалось имеющим более общий характер, чем исходное физическое понятие.

Он рассмотрел интеграл для случая произвольной непрерывной и произвольной возрастающей . В этих предположениях он высказал без доказательства теорему существования интеграла, отметив лишь, что оно может быть осуществлено так же, как и для определенного интеграла Римана. Затем в этих же общих приложениях он доказал одну из важнейших формул теории нового интеграла, а именно формулу интегрирования по частям. И теорему существования, и формулу интегрирования по частям мы рассмотрим в последующих главах.

Глава II. Интеграл Стилтьеса

2.1 Определение интеграла Стилтьеса

Пусть в промежутке заданы две ограниченные функции и . Разложим точками

(1)

промежуток на части и положим . Выбрав в каждой из частей по точке, вычислим значение функции и умножим его на соответствующее промежутку приращение функции

.

Наконец, составим сумму всех таких произведений:

. (2)

Эта сумма носит название интегральной суммы Стилтьеса.

Конечный предел суммы Стилтьеса при стремлении к нулю называется интегралом Стилтьеса функции по функции и обозначается символом

. (3)

Иной раз, желая особенно отчетливо подчеркнуть, что интеграл рассматривается в смысле Стилтьеса, употребляют обозначение

Предел здесь понимается в том же смысле, что и в случае обыкновенного определенного интеграла. Точнее говоря, число называется интегралом Стилтьеса, если для любого числа существует такое число , что лишь только промежуток раздроблен на части так, что , тотчас же выполняется неравенство

,

как бы не выбирать точки в соответствующих промежутках.

При существовании интеграла (3) говорят также, что функция в промежутке интегрируема по функции .

Читатель видит, что единственное (но существенное) отличие данного выше определения от обычного определения интеграла Римана состоит в том, что умножается не на приращение независимой переменной, а на приращение второй функции. Таким образом, интеграл Римана есть частный случай интеграла Стилтьеса, а когда в качестве функции взята сама независимая переменная :

.

2.2 Общие условия существования интеграла Стилтьеса

Установим общие условия существования интеграла Стилтьеса, ограничиваясь, впрочем, предположением, что функция монотонно возрастает.

Отсюда следует, что при теперь все .

Аналогично суммам Дарбу, и здесь целесообразно внести суммы

где и означают, соответственно, нижнюю и верхнюю точные границы функции в -м промежутке . Эти суммы мы будем называть нижней и верхней суммами Дарбу-Стилтьеса.

Прежде всего, ясно, что (при одном и том же разбиении)

причем и служат точными границами для стилтьесовских сумм .

Сами суммы Дарбу-Стилтьеса обладают следующими двумя свойствами:

1-е свойство. Если к имеющимся точкам деления добавить новые точки, то нижняя сумма Дарбу-Стилтьеса может от этого разве лишь возрасти, а верхняя сумма - разве лишь уменьшиться.

2-е свойство. Каждая нижняя сумма Дарбу-Стилтьеса не превосходит каждой верхней суммы, хотя бы и отвечающей другому разбиению промежутка.

Если ввести нижний и верхний интегралы Дарбу-Стилтьеса:

и

то, оказывается, что

.

Наконец, с помощью сумм Дарбу-Стилтьеса легко устанавливается для рассматриваемого случая основной признак существования интеграла Стилтьеса:

Теорема: Для существования интеграла Стилтьеса необходимо и достаточно, чтобы было

Или

,

если под , как обычно, разуметь колебание функции в -м промежутке .

В следующем пункте мы применим этот критерий к установлению важных парных классов функций и , для которых интеграл Стилтьеса существует.

2.3 Классы случаев существования интеграла Стилтьеса

I. Если функция непрерывна, а функция имеет ограниченное изменение, то интеграл Стилтьеса

(5)

существует.

Сначала предположим, что монотонно возрастает: тогда примени критерий предыдущего пункта. По произвольно заданному ввиду равномерной непрерывности функции найдется такое , что в любом промежутке с длиной, меньшей , колебание будет меньше . Пусть теперь промежуток произвольно разбит на части так, что . Тогда все

и

,

откуда и следует выполнение условия (4), а стало быть и существование интеграла.

В общем случае, если функция имеет ограниченное изменение, она представима в виде разности двух ограниченных возрастающих функций: . В соответствии с этим преобразуется и сумма Стилтьеса, отвечающая функции :

.

Так как по уже доказанному каждая из сумм и при стремится к конечному пределу, то это справедливо и относительно суммы , что и требовалось доказать.

Можно ослабить условия, налагаемые на функцию , если одновременно усилить требования к функции :

Если функция интегрируема в в смысле Римана, а удовлетворяет условию Липшица:

(6)

то интеграл (5) существует.

Для того чтобы опять иметь возможность применить установленный выше критерий, предположим сначала функцию не только удовлетворяющей условию (6), но и монотонно возрастающей.

Ввиду (6), очевидно, , так что

.

Но последняя сумма при и сама стремится к 0 вследствие интегрируемости (в смысле Римана) функции , а тогда стремится к нулю и первая сумма, что доказывает существование интеграла (5).

В общем случае функции , удовлетворяющей условию Липшица (6), представим в виде разности

Функция , очевидно, удовлетворяет условию Липшица и в то же время монотонно возрастает. То же справедливо и для функции , так как, в силу (6), при

и

В таком случае рассуждение завершается, как и выше.

III. Если функция интегрируема в смысле Римана, а функция представима в виде интеграла с переменным верхним пределом:

(7)

где абсолютно интегрируема, в промежутке , то интеграл (5) существует.

Пусть , так что монотонно возрастает. Если интегрируема в собственном смысле и, следовательно, ограничена: то для

Имеем

Таким образом, в этом случае удовлетворяет условию Липшица, и интеграл существует в силу 2.

Предположим теперь, что интегрируема в несобственном смысле. Ограничимся случаем одной особой точки, скажем . Прежде всего, по произвольно взятому выберем так, чтобы было

(8)

где - общее колебание функции в рассматриваемом промежутке.

Разобьем промежуток по произволу на части и составим сумму

Она разлагается на две суммы , из коих первая отвечает промежуткам, целиком содержащимся в промежутке , а вторая - остальным промежуткам. Последние наверное содержаться в промежутке , если только ; тогда, в силу (8),

С другой стороны, так как в промежутке функция интегрируема в собственном смысле, то по доказанному при достаточно малом и сумма станет меньше . Отсюда следует (4), что и требовалось доказать.

В общем случае, когда функция абсолютно интегрируема в промежутке , мы рассмотрим функции

очевидно, неотрицательные и интегрируемые в названном промежутке. Так как

то вопрос сводится, как и выше, к уже рассмотренному случаю.

Замечание. Пусть функция непрерывна в промежутке и имеет, исключая разве лишь конечное число точек, производную , причем эта производная интегрируема (в собственном или несобственном смысле) от до ; тогда, как известно, имеет место формула типа (7):

.

Если абсолютно интегрируема, то к функции полностью приложимо изложенное в 3.

2.4 Свойства интеграла Стилтьеса

Из определения интеграла Стилтьеса непосредственно вытекают следующие его свойства:

При этом в случаях из существования интегралов в правой части вытекает существование интеграла в левой части.

Затем имеем

в предположении, что и существуют все три интеграла.

Для доказательства этой формулы достаточно лишь озаботиться включением точки в число точек деления промежутка при составлении суммы Стилтьеса для интеграла .

По поводу этой формулы сделаем ряд замечаний. Прежде всего, из существования интеграла следует уже существование обоих интегралов

и .

Для своеобразного предельного процесса, с помощью которого из стилтьесовской суммы получается интеграл Стилтьеса, имеет место принцип сходимости Больцано-Коши. Таким образом, по заданному ввиду существования интеграла найдется такое , что любые две суммы и Стилтьеса, которым отвечают и , разнятся меньше чем на . Если при этом в состав точек деления включить точку , а точки деления, приходящиеся на промежуток , брать в обоих случаях одними и теми же, то разность сведется к разности двух сумм Стилтьеса, относящихся уже к промежутку , ибо прочие слагаемые взаимно уничтожатся. Применяя к промежутку и вычисленным для него стилтьесовским суммам тот же принцип сходимости, заключим о существовании интеграла . Аналогично устанавливается и существование интеграла .

Особенно заслуживает быть отмеченным тот не имеющий прецедентов факт, что из существования обоих интегралов и , вообще говоря, не вытекает существование интеграла .

Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть пример. Пусть в промежутке функции и заданы следующими равенствами:

;

Легко видеть, что интегралы

оба существуют и равны 0, ибо соответствующие им суммы Стилтьеса все равны 0: для первого это следует из того, что всегда , для второго - из постоянства функции , благодаря чему всегда

В то же время интеграл

не существует. Действительно, разобьем промежуток на части так, чтобы точка 0 не попала в состав точек деления, и составим сумму

Если точка 0 попадет в промежуток , так что , то в сумме останется только одно -е слагаемое; остальные будут нули, потому что

для .

Итак,

В зависимости от того, будет ли или , окажется или , так что предела не имеет.

Указанное своеобразное обстоятельство связано с наличием разрывов в точке для обеих функций и .

2.5 Интегрирование по частям

Для интегралов Стилтьеса имеет место формула

(9)

в предположении, что существует один из этих интегралов; существование другого отсюда уже вытекает. Формула эта носит название формулы интегрирования по частям. Докажем её.

Пусть существует интеграл . Разложив промежуток на части , выберем в этих частях произвольно по точке , так что

Сумму Стилтьеса для интеграла

можно представить в виде

Если прибавить и опять отнять справа выражение

то перепишется так:

Выражение в фигурных скобках представляет собою стилтьесову сумму для интеграла (существование которого предположено!). Она отвечает разбиению промежутка точками деления

если в качестве выбранных из промежутков точек взять , а для промежутков и , соответственно, и . Если, как обычно, положить , то теперь длины всех частичных промежутков не превзойдут . При сумма в квадратных скобках стремится к , следовательно, существует предел и для , т.е. интеграл , и этот интеграл определяется формулой (9).

Как следствие нашего рассуждения, особо отметим тот любопытный факт, что если функция в промежутке интегрируема по функции , то и функция интегрируема по функции .

Это замечание позволяет добавить ряд новых случаев существования интеграла Стилтьеса к тем, которые были рассмотрены в п.3, переменив роли функций и .

2.6 Приведение интеграла Стилтьеса к интегралу Римана

Пусть функция непрерывна в промежутке , а монотонно возрастает в этом промежутке, и притом в строгом смысле. Тогда, как показал Лебег, интеграл Стилтьеса с помощью подстановки непосредственно приводится к интегралу Римана.

На рисунке изображен график функции . Для тех значений , при которых функция испытывает скачок (ибо мы вовсе не предполагаем обязательно непрерывной), мы дополняем график прямолинейным вертикальным отрезком, соединяющим точки и . Так создается непрерывная линия, которая каждому значению между и относит одно определенное значение между и . Эта функция , очевидно, будет непрерывной и монотонно возрастающей в широком смысле; её можно рассматривать как своего рода обратную для функции .

Именно, если ограничиться лишь теми значениями , которые функция действительно принимает при изменении от до , то является обратной для неё в обычном смысле, т.е. относит именно то значение , при котором . Но из промежутка значений

связанного со скачком функции , лишь одно значение имеет себе соответствующее значение ; другим значениям в упомянутом промежутке никакие значения , очевидно, не отвечают. Но мы условно относим и им то же значение ; геометрически это и выразилось в дополнении графика функции рядом вертикальных отрезков.

Докажем теперь, что

(10)

где последний интеграл берется в обычном смысле, его существование обеспечено, так как функция , а с нею и сложная функция , непрерывна.

С этой целью разложим промежуток на части с помощью точек деления

и составим стилтьесову сумму

.

Если положить , то будем иметь

Так как , то

.

Это выражение имеет вид римановой суммы для интеграла

Отсюда, однако, нельзя ещё непосредственно заключить, переходя к оператору, о равенстве (10), ибо даже при может оказаться, что к нулю не стремится, если, например, между безгранично сближающимися и будет заключено значение , где функция испытывает скачок. Поэтому мы будем рассуждать иначе.

Имеем

и

так что

Предположим теперь настолько малыми, чтобы колебания функции во всех промежутках были меньше произвольного наперед заданного числа . Так как

при , очевидно,

то одновременно и

В таком случае

.

Этим доказано, что

откуда и следует (10).

Несмотря на принципиальную важность полученного результата, он не дает практически удобного средства для вычисления интеграла Стилтьеса. Как осуществлять вычисление в некоторых простейших случаях, мы покажем в следующем пункте.

2.7 Вычисление интегралов Стилтьеса

Докажем следующую теорему:

Если функция интегрируема в смысле Римана в промежутке , а представлена интегралом

где функция абсолютно интегрируема в , то

(11)

Интеграл справа существует. Существование интеграла Стилтьеса при сделанных предположениях уже было доказано (п.3,3).

Остается лишь установить равенство (11).

Без умаления общности можно предположить функцию положительной.

Составим, как обычно, сумму Стилтьеса

Так как, с другой стороны, можно написать

то будем иметь

Очевидно, для будет , где означает колебание функции в промежутке . Отсюда вытекает такая оценка написанной выше разности:

Но мы уже знаем (п.3,3), что при последняя сумма стремится к 0, следовательно,

что и доказывает формулу (11).

В частности, из доказанной теоремы вытекает (если учесть замечание в п.3) такое следствие, удобное для непосредственного применения на практике:

2. При прежних предположениях относительно функции допустим, что функция непрерывна во всем промежутке и имеет в нем, исключая разве лишь конечное число точек, производную , которая в абсолютно интегрируема. Тогда

(12)

Интересно отметить, что интеграл справа в формуле (12) формально получается из интеграла слева, если, понимая символ буквально как дифференциал, заменит его выражением .

Обращаясь к случаям, когда функция оказывается разрывной (что для практики, как увидим, представляет особый интерес), начнем с рассмотрения "стандартной" разрывной функции , определяемой равенствами

Она имеет разрыв первого рода - скачок - в точке справа, причем величина скачка равна 1; в точке слева и в остальных точках функция непрерывна. Функция будет иметь такой же разрыв в точке справа; наоборот, будет иметь подобный разрыв в точке слева, причем величина скачка будет равна - 1.

Предположим, что функция непрерывна в точке , и вычислим интеграл где (при этот интеграл равен нулю).

Составим сумму Стилтьеса:

Пусть точка попадет, скажем, в -й промежуток, так что . Тогда , а при , очевидно, . Таким образом, вся сумма сводится к одному слагаемому: Пусть теперь . По непрерывности . Следовательно, существует (при )

(13)

Аналогично можно убедиться в том, что (при )

(14)

(при этот интеграл обращается в нуль).

Теперь мы в состоянии доказать теорему, в некотором смысле более общую, чем 2, а именно, отказаться от требования непрерывности функции:

Пусть функция в промежутке непрерывна, а имеет в этом промежутке, исключая разве лишь конечное число точек, производную , которая абсолютно интегрируема в . При этом пусть функция в конечном числе точек

терпит разрыв первого рода. Тогда существует интеграл Стилтьеса и выражается формулой

(15)

Характерно здесь наличие внеинтегральной суммы, где фигурируют скачки функции в точках или - односторонние.

Для упрощения записи введем обозначения для скачков функции справа и слева:

очевидно, для

Составим вспомогательную функцию:

которая как бы вбирает в себя все разрывы функции , так что разность , как мы сейчас установим, оказывается уже непрерывной.

Для значений , отличных от всех , непрерывность функции не вызывает сомнений, ибо для этих значений непрерывны обе функции и . Докажем теперь непрерывность в точке справа. Все слагаемые суммы , кроме члена , непрерывны при справа; поэтому достаточно изучить поведение выражения . При оно имеет значение ; но таков же и его предел при :

Аналогично проверяется и непрерывность функции в точке слева.

Далее, если взять точку (отличную от всех ), в которой функция имеет производную, то вблизи этой точки сохраняет постоянное значение, следовательно, в ней и функция имеет производную, причем

.

Для непрерывной функции , по предыдущей теореме, существует интеграл Стилтьеса

Точно так же легко вычислить и интеграл

Складывая почленно эти два равенства, мы и придем к равенству (15); существование интеграла Стилтьеса от по функции устанавливается попутно (п.4,3).

2.8 Примеры

Вычислить по формуле (11) интегралы:

а)

б)

в)

Решение:

а)

б)

в)

Вычислить по формуле (15) интегралы:

а) где

б) где

Решение:

а) Функция имеет скачок 1 при и скачок - 2 при ; в остальных точках . Поэтому

б) Скачок 1 при и - 2 при (значение функции при не влияет на результат); в прочих точках .

Имеем:

Вычислить по формуле (15) интегралы:

а) б) в)

где

Решение:

Функция имеет скачки, равные 1, при и . Производная

Поэтому

а)

Аналогично,

б)

в)

Предположим, что вдоль отрезка оси расположены массы, как сосредоточенные в отдельных точках, так интеграл распределенные непрерывно. Не делая различия между ними, обозначим для через сумму всех масс, расположенных в промежутке ; сверх того, положим, . Очевидно, - монотонно возрастающая функция. Поставим себе задачей найти статический момент этих масс относительно начала координат.

Разобьем промежуток на части точками

На отрезке при содержится, очевидно, масса . Точно так же на отрезке содержится масса . Считая массу во всех случаях соср и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.