На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Курсовик Обзор учебников и методов изучения темы. Главные принципы при решении уравнений с переменной в знаменателе. Методические рекомендации для проведения пропедевтики темы, ее изучения и последующего закрепления. Подходы к обоснованию алгоритмов решения.

Информация:

Тип работы: Курсовик. Предмет: Педагогика. Добавлен: 12.06.2010. Сдан: 2010. Страниц: 2. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


6
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ВЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Физико-математический факультет
Кафедра дидактики физики и математики
КУРСОВАЯ РАБОТА
Профилактика затруднений школьников при обучении математике на примере темы «Уравнения с переменной в знаменателе»

Студента 4 курса
Маркова Романа Владимировича
Научный руководитель:
к.п.н., доцент кафедры дидактики
физики и математики
Шилова Зоя Вениаминовна
Киров 2009
Оглавление
Введение
Глава 1. Обзор учебников и методов изучения темы
1. Обзор учебников
2. Обзор методов изучения темы
Глава 2. Методические рекомендации по изучению темы
Заключение
Список литературы
Введение

С проблемой деления на ноль учащиеся знакомятся ещё в начальной школе, изучая операцию деления. Это связано с тем, что при делении на некоторое число используется умножение на число, обратное делителю, а число ноль, как известно из теории чисел, обратного элемента на множестве рациональных чисел не имеет. Но введение строгой аксиоматической теории в школьном курсе математики невозможно, поэтому проблема требует других, более понятных для школьника подходов.
Главным принципом при решении уравнений с переменной в знаменателе является учет именно этого факта, поэтому данная тема нуждается в пропедевтике. Анализ учебников математики (см далее.) показал, что во всех учебниках проблеме деления на 0 не отдается должного внимания. Как следствие - тема «уравнения с переменной в знаменателе» становится сложной и не доступной пониманию учащимся. Для уменьшения формализма при решении таких уравнений и затруднений при их решении в данной работе приводятся методические рекомендации для проведения пропедевтики темы, её изучения и последующего закрепления.
Объектом работы является преподавание математики и алгебры в 5 - 9 классах основной школы.
Предметом - затруднения школьников при обучении математике, а именно: проблемы, связанные с изучением темы «Уравнения с переменной в знаменателе».
Цель: разработать методические рекомендации, направленные на повышение качества знаний учащихся по теме «Уравнения с переменной в знаменателе», проведение пропедевтической работы с учащимися по теме, повторение изученного материала темы в ходе изучения других разделов алгебры.
Структура работы:
1. Обзор и анализ материала, предлагаемого к изучению по этой теме в основных школьных учебниках, методы изучения темы.
2. Методические рекомендации по изучению, пропедевтике и повторению материала темы.
Глава 1. Обзор учебников и методов изучения темы
1. Обзор учебников
Для анализа были выбраны следующие учебники:
1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Шарыгин И.Ф. и др. «Математика 5»
2. Истомина Н.Б. «Математика 5 класс»
3. Волович М. Б. «Математика 5»
4. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. «Математика 6»
5. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Шарыгин И.Ф. и др. «Математика 6»
6. Истомина Н.Б. «Математика 6 класс»
7. Нурк Э.Р., Тельгмаа А.Э. «Математика 6»
8. Теляковский С.А. «Алгебра 7»
9. Алимов Ш.А., Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. «Алгебра: Учеб. Для 7 кл.»
10. Макарычев Ю.Н. «Алгебра 7 класс»
11. Теляковский С.А. «Алгебра 8»
12. Мордкович А.Г. и др. «Алгебра 8 класс»
13. Алимов Ш.А., Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. «Алгебра: Учеб. Для 9 кл.»
14. Мордкович А.Г. и др. «Алгебра 9 класс»
В каждом из учебников выбраны темы, каким-либо образом затрагивающие изучаемый раздел.
Дорофеев Г.В. и др. «Математика 5»
1. Введение операции деления:
2. Изучение операций с дробями. Случай деления на 0 не рассматривается.
Истомина Н.Б. «Математика 5 класс»
1. Операция деления. Случай деления на 0 не рассматривается, дана только краткая памятка:
2. Изучение операций с дробями. Случай деления на 0 не рассматривается.
Волович М. Б. «Математика 5»
1. Изучение операций с дробями. Случай деления на 0 не упоминается.
Виленкин Н.Я и др. «Математика 6»
1. Деление дробей. Случай деления на 0 не рассматривается.
2. Дробные выражения:
Деление на 0 не упоминается.
Дорофеев Г.В. и др. «Математика 6»
1. Основные сведения о дробях - основное свойство дроби:
2. Деление целых чисел. «На нуль, как обычно делить нельзя».
Истомина Н.Б. «Математика 6 класс»
1. Дроби и дробные выражения.
Деление на 0 не упоминается.
Нурк Э.Р., Тельгмаа А.Э. «Математика 6»
1. Деление обыкновенных дробей: «На нуль делить нельзя».
2. Деление рациональных чисел: «Обоснуй, что делить на 0 нельзя».
Теляковский С.А. «Алгебра 7»
1. Уравнения с 1 переменной и его корни: «Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от 0 число, то получится уравнение, равносильное данному».
2. Нахождение корней линейного уравнения с 1 переменной: используется деление на не нулевой коэффициент.
3. Функция, график функции: нахождение области определения функции.
Пример:
Алимов Ш.А. «Алгебра 7»
1. Алгебраические равенства, формулы. Использование буквенных выражений:
2. Решение уравнений с одним неизвестным, сводящихся к линейным.
3. Алгебраическая дробь. Основное свойство дроби.
4. Функция, график функции. Тема не упоминается, понятие области определения не вводится.
5. Определение функции обратной пропорциональности для положительных Х. Неявное указание области определения.
Макарычев Ю. Н. «Аалгебра 7»
1. Выражения с переменными.
Далее приводятся задания для определения области допустимых значений переменной и нахождения значений переменных, при которых выражение не имеет смысла.
2. Уравнение с одной переменной: задания вида «укажите область определения уравнения»:
3. Функции и их графики. Область определения функции:
Пример задания:
Теляковский С. А. «Алгебра 8»
1. Рациональные дроби и их свойства.
Пример задания:
2. Сокращение дробей, основное свойство дроби:
3. Деление дробей.
4. Функция .
5. Решение дробных рациональных уравнений
Пример задания:
Мордкович А. Г. «Алгебра 8»
1. Алгебраические дроби. Основное свойство алгебраических дробей.
Случай деления на 0 не рассматривается.
2. Решение рациональных уравнений.
3. Гипербола, график гиперболы.
Случай 0 в знаменателе не рассматривается.
Алимов Ш. А. «Алгебра 9»
1. Функция, область определения функции.
2. Элементы тригонометрии. Пример применения темы:
3. Повторение - решение уравнений. Примеры:
Мордкович А. Г. «Алгебра 9»
1. Рациональные неравенства
2. Системы уравнений
3. Функция, область определения
4. Функция и её график.
5. Тригонометрические функции.
Анализ приведенного материала
Проанализировав основные учебники, можно сделать вывод, что во всех учебниках 8 класса тема «рациональные уравнения» излагается довольно полно, однако, пропедевтика этой темы не приводится на достаточном уровне ни в одном учебнике. Отсюда у учащихся непонимание логики решения уравнений данного вида, формальный подход к их решению. Кроме того, в связи с частым использованием подобных уравнений в последующих темах, также необходимо повторение темы в 9 классе, которое в учебниках также мало представлено.
Темы, в которых затрагивается изучаемый раздел:
· Введение операции деления
· Изучение операций с дробями, основное свойство дроби.
· Деление целых чисел
· Деление рациональных чисел
· Уравнения с 1 переменной и его корни
· Функция, график функции: нахождение области определения функции
· Выражения с переменными
· Рациональные дроби и их свойства, деление дробей
· Функция «обратная пропорциональность»
· Решение дробных рациональных уравнений
· Элементы тригонометрии
· Рациональные неравенства
· Системы уравнений
2. Обзор методов изучения темы
Метод - умножения дробей на их общий знаменатель.
Для примера решим дробное рациональное уравнение
(1)
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель дробей, т е на выражение . Получим целое уравнение
.(2)
Понятно, что каждый корень уравнения (1) является корнем уравнения (2). Но уравнение (2) может быть не равносильно исходному, так как мы умножили обе его части не на число, отличное от нуля, а на выражение, содержащее переменную, которое может обращаться в 0. Поэтому каждый корень уравнения (2) обязательно окажется корнем уравнения (1).
Упростив уравнение (2), получим квадратное уравнение
Его корни - числа -2 и 5.
Проверим, являются ли они корнями уравнения (1). При общий знаменатель не обращается в 0. Значит, число -2 - корень уравнения(1).
Итак, корнем уравнения (1) служит только число -2.
Вообще, при решении дробных уравнений целесообразно поступать следующим образом:
1. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
2. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
3. Решить получившееся целое уравнение;
4. Исключить из его корней те, которые обращают в 0 общий знаменатель.
Метод, использующий равенство дроби 0.
Начнем с примера. Пусть требуется решить уравнение
(1)
Перенесем выражение в левую часть уравнения с противоположным знаком, т. е. прибавим к обеим частям уравнения по и разность в правой части уравнения заменим нулем. Получим уравнение
(2)
Может ли при переходе от уравнения (1) к уравнению (2) произойти потеря или приобретение корней?
Очевидно, что так как разность тождественно равна 0 на множестве тех значений у, при которых то мы могли бы приобрести новые корни за счет значений у, обращающих в нуль выражение Но они не могут служить корнями уравнения (2), так как при этих значениях выражение , входящее в качестве слагаемого в левую часть уравнения (2), теряет смысл.
Рассуждая аналогично, мы можем показать, что вообще уравнение r(х) = р(х), где r(х) и р(х) -- рациональные выражения, причем хотя бы одно из них дробное, равносильно уравнению r(х) --p(x)=0
Вернемся к рассматриваемому примеру. Представив теперь cумму дробей в виде отношения двух многочленов, получим уравнение
(3)
Так как в результате преобразования суммы дробей в дробь мы получили выражение с той же областью определения и тождественно равное исходному выражению на этой области, то уравнение (3) равносильно уравнению (2), а следовательно, и уравнению (1).
Всякое ли преобразование дробного выражения r(х) -- p(х) в дробь, числитель и знаменатель которой многочлены, позволяем от уравнения r(х) -- р(х) = 0 перейти к равносильному уравнению вида , где f (х) и g (х) -- многочлены?
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Заменив в уравнении
(4)
выражение дробью и сократив эту дробь, мы получим уравнение х (х - 2) = 0, (5) не равносильное уравнению (4). Действительно, число 2 удовлетворяет уравнению (5), но не удовлетворяет уравнению (4).
Нарушение равносильности произошло за счет того, что мы выполнили тождественное преобразование, приводящее к выражению с более широкой областью определения: выражение определено при х2, а выражение х (х -- 2) -- при любом значении х.
Пример 2. В уравнении
(6)
заменим разность числом 0. Получим уравнение
(7)
Уравнение (7) не равносильно уравнению (6), так как существует такое значение переменной х (число 3), которое удовлетворяет уравнению (7), но не удовлетворяет уравнению (6).
Равносильность нарушена в связи с тем, что область определения выражения шире, чем область определения выражения
Если же при замене разности r (х) -- р (х) рациональных выражений, хотя бы одно из которых дробное, дробью , где f (х) и g (х) -- многочлены, были выполнены только те тождественные преобразования, которые не меняют области определения выражения, то получится уравнение равносильное уравнению r(х) -- p(х) = О, а значит, и уравнению r(х) = р(х).
Так для уравнения (4) равносильным является уравнение
.
Для уравнения (6) равносильным является уравнение
т. е. уравнение
Заметим, что в том случае, когда в ходе выполнения тождественных преобразований область определения выражения расширилась, предложением, равносильным уравнению r(х) -- р(х) = 0, будет являться система, составленная из уравнения и ограничений, накладываемых на х в связи с изменением области определения. Например, для уравнения (4) равносильным предложением является система
для уравнения (6) -- система
Для решения уравнения вида где f(х) и g(х) -- некоторые многочлены, используется условие равенства дроби нулю: дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Поэтому уравнение указанного вида равносильно системе
Необходимо подчеркнуть, что здесь для нас существенным является тот факт, что выражение g(х) имеет смысл при любом х. В общем случае уравнение вида равносильно системе
Например, уравнение
равносильно системе
т. е. cистеме
Следует заметить, что при решении системы где
f(х) и g(х) -- некоторые многочлены, вовсе не обязательно находить множество и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.