На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Диплом Содержание учебной темы Логика высказываний. Виды повторения в учебном процессе, требования к организации повторения (цель, содержание, методы и формы, составление плана). Формирование умений и навыков применения приемов мыслительной деятельности.

Информация:

Тип работы: Диплом. Предмет: Педагогика. Добавлен: 26.09.2014. Сдан: 2010. Страниц: 2. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


Дипломная работа

Технологии повторения учебной темы «Логика высказываний»

ВВЕДЕНИЕ

Математика является наукой, в которой все утверждения доказываются с помощью умозаключений, то есть путем использования законов человеческого мышления. В связи с этим математика являлась основным потребителем логики.

Для решения любого даже самого простого математического примера, ученик прежде всего должен выстроить с помощью логических рассуждений алгоритм решения этого примера. В большинстве случаев опыт построения логических цепочек у ученика накапливается в процессе обучения, тем самым он развивает свое логическое мышление. Одним из эффективных способов развития мышления является решение логических задач с использованием логики высказываний, так как логика высказываний является разделом математической логики, предметом которой служат в основном рассуждения, играющие особую роль в развитии мышления.

Тема «Логика высказываний» не входит в школьный курс обучения, однако ее изучение возможно на факультативных занятиях. Тем самым ученик должен получить знания, которые помогут ему решать логические задачи, а также будут являться хорошим подспорьем для решения большинства математических задач. Достоинством данной темы является не только ее познавательный характер, но и содержание большого количества теоретического материала. Для более глубокого усвоения темы возникает необходимость повторять изученный ранее материал. В свою очередь повторение помогает ученику: установить логические связи, обогатить память, расширить кругозор, привести знания в систему, повысить уровень самоорганизации ученика.

Поэтому целью дипломной работы является разработка технологий повторения темы «Логика высказываний».

Задачами данной дипломной работы являются анализ содержания учебной темы «Логика высказываний» и исследование технологии повторения при изучении темы «Логика высказываний».

В первой главе дипломной работы раскрывается содержание учебной темы «Логика высказываний». Описываются основные понятия и операции логики высказываний, а также способы решения логических задач (алгоритмические и эвристические).

Необходимость повторения этой темы определяется задачами прочного усвоения учащимися изучаемого материала, особенностями развития памяти обучающихся, обладающей свойством не только запоминания, но и забывания, закономерностями образования умений и навыков, требующих многократного повторения.

Во второй главе описаны технологии повторения. Она включает в себя виды повторения такие как: повторение пройденного в начале года, текущее повторение, тематическое повторение, заключительное повторение. Также освещены требования к организации повторения, цель, содержание, методы и формы.

В третьей главе производится анализ негативных факторов в кабинете математики и возможных чрезвычайных ситуаций. А также рассматриваются микроклиматические условия и их влияние на организм человека, от которых на прямую зависит успешность процесса обучения.

1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПЕРАЦИИ ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ. СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

1.1 Виды логических операций

1.1.1 Исторический аспект

Логика, как самостоятельная наука оформилась в трудах греческого философа Аристотеля (384 - 322 г. до н.э.). Он систематизировал известные до него сведения, и эта система стала впоследствии называться формальной или Аристотелевой логикой. Формальная логика просуществовала без серьезных изменений более двадцати столетий.

Математика является наукой, в которой все утверждения доказываются с помощью умозаключений, то есть путем использования законов человеческого мышления. В связи с этим математика являлась основным потребителем логики. Очевидно, поэтому развитие математики выявило недостаточность Аристотелевой логики и поставило задачу о ее дальнейшем построении на математической основе /1/.

Впервые в истории идеи о таком построении логики были высказаны немецким математиком Г.Лейбницем в конце XVII века. Он считал, что основные понятия логики должны быть обозначены символами, которые соединяются по определенным правилам, и это позволяет всякие рассуждения заменить вычислением.

«Мы употребляем знаки не только для того, чтобы передать наши мысли другим людям, но и для того, чтобы облегчить сам процесс нашего мышления» (Лейбниц).

Первая реализация идеи Лейбница принадлежит английскому математику Дж.Булю (1815 - 1864 г.).

Буль создал алгебру, в которой буквами обозначены высказывания, и это привело к алгебре высказываний. Сочинение Дж.Буля, в котором подробно исследовалась эта алгебра, было опубликовано в 1854 г., то есть почти 150 лет тому назад. Оно называлось «Исследование законов мысли» («Investigation of the Laws of Thought»). Отсюда ясно, что Буль рассматривал свою алгебру как инструмент изучения законов человеческого мышления, то есть законов логики.

Видимо, по этой причине работа Дж.Буля первоначально была мало замечена математиками и стала вызывать огромный интерес позже. В последующие годы работа Буля переводилась на разные языки и много раз переиздавалась, а само понятие алгебры Буля во многих странах пошло в школьный курс математики /2/.

Введение символических обозначений в логику имело для этой науки такое же решающее значение, как и введение буквенных обозначений для математики. Именно благодаря введению символов в логику была получена основа для создания новой науки - математической логики.

Предметом математической логики служат, в основном, рассуждения. При изучении она пользуется математическими методами.

При этом на первых порах развитие математической логики позволило представить логические теории в новой удобной форме и применить вычислительный аппарат к решению задач, малодоступных человеческому мышлению, что, конечно, расширило область логических исследований.

Однако главное назначение математической логики определилось в конце XIX века, когда стала ясна необходимость обоснования понятий и идей самой математики. Эти задачи имели логическую природу и, естественно, привели к дальнейшему развитию математической логики.

В этом отношении показательны работы немецкого математика Г.Фрёге (1846-1925 г.) и итальянского математика Д.Пеано (1858-1932 г.), которые применили математическую логику для обоснования арифметики и теории множеств.

Уже начиная с этих работ, стало ясно, что математическая логика изучает основания математики, принципы построения математических теорий. В этом ее главная роль. Коротко говоря - математическая логика - это наука о средствах и методах математических доказательств /3/.

Математическая логика сама стала областью математики, поначалу казавшейся в высшей степени абстрактной и бесконечно далекой от практических приложений. Однако эта область недолго оставалась уделом «чистых» математиков. В начале нынешнего века П. С. Эренфест указал на возможность применения аппарата логики высказываний (раздела математической логики) в технике. В середине столетия была обнаружена теснейшая связь математической логики с новой наукой -- кибернетикой. Эта связь открыла возможности многочисленных и разнообразных приложений математической логики. Достаточно сказать, что сегодня математическая логика используется в биологии, медицине, лингвистике, педагогике, психологии, экономике, технике. Чрезвычайно важна роль математической логики в развитии вычислительной техники: она используется в конструировании электронно-вычислительных машин (ЭВМ) и при разработке искусственных языков для общения с машинами.

Математическая логика уточнила и по-новому осветила понятия и методы традиционной формальной логики, существенно расширила ее возможности и сферу применимости /4/.

1.1.2 Определение понятий логики высказываний

Логика высказываний (пропозициональная логика) является разделом математической логики, изучающим сложные высказывания, образованные из простых, и их взаимоотношения. Простые высказывания при этом выступают как целостные образования, внутренняя структура которых не рассматривается, а учитывается лишь то, с помощью каких союзов и в каком порядке простые высказывания сочленяются в сложные.

Среди осмысленных предложений в русском языке выделяют повествовательные предложения, как выражения, которые утверждают некоторый факт. Аналогом повествовательных предложений в логике высказываний является высказывание (формула) /2/.

Высказыванием называется повествовательное предложение, о котором можно сказать в данный момент, что оно истинно или ложно, но не то и другое одновременно. Истинность или ложность предложения есть истинное значение высказывания /5/.

Каждое высказывание можно однозначно классифицировать - истинно оно или ложно. Если мы введем в рассмотрение множество, состоящее из двух элементов - русских слов "истина" и "ложь" (или английских "true" и false), которые записывают сокращенно И, Л (или соответственно Т, F), - то элементы этого множества {И, Л} часто называют истинностными значениями. Вместо И и Л мы будем использовать обозначения 1 и 0 соответственно, не придавая этим символам никакого арифметического смысла.

Приведем примеры высказываний.

1) Москва - столица России.

2) Волга впадает в Черное море.

3) Новгород стоит на Волхове.

4) Курица не птица.

5) Число 8 делится на 2 и на 4.

Высказывания 1), 3) и 5) истинны, а высказывания 2) и 4) ложны.

Не всякое предложение является высказыванием. Так, к высказываниям не относятся вопросительные и восклицательные предложения, поскольку говорить об их истинности или ложности нет смысла.

Не являются высказываниями и такие предложения: «Каша -- вкусное блюдо», «Математика - интересный предмет»; нет и не может быть единого мнения о том, истинны эти предложения или ложны.

Предложение «Существуют инопланетные цивилизации» следует считать высказыванием, так как объективно оно либо истинное, либо ложное, хотя никто пока не знает, какое именно.

Предложения «Шел снег», «Площадь комнаты равна 20 м2», а2=4 не являются высказываниями; для того чтобы имело смысл говорить об их истинности или ложности, нужны дополнительные сведения: когда и где шел снег, о какой конкретной комнате идет речь, какое число обозначено буквой а. В последнем примере а может не обозначать конкретного числа, а быть переменной, т.е. буквой, вместо которой можно подставлять элементы некоторого множества, называемые значениями переменной. Пусть например, {-2; 0; 2, 3, 4} -- множество значений переменной а. Каждому значению переменной соответствует либо истинное, либо ложное высказывание; например, высказывания (-2)2=4, 22=4 истинны, а высказывания 02=4, 32=4, 42=4 ложны.

Предложение, которое содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием при подстановке вместо всех переменных их значений, называют высказывательной формой.

Высказывание, представляющее собой одно утверждение принято называть простым или элементарным. Примерами элементарных высказывании могут служить высказывания 1) и 3). Элементарные высказывания обозначаются буквами латинского алфавита: A,B,C… X,Y,Z или a,b,c…x,y,z. Если высказывание А истинно, то будем писать А=1; если ложно А=0.

Высказывания, которые получаются из элементарных с помощью логических связок «не», «и», «или», «если ..., то...», «тогда и только тогда, когда…», «не…и не…», «не…или не…» принято называть сложными или составными. Так, высказывание 4) получается из простого высказывания «Курица - птица» с помощью отрицания «не». Высказывание 5) образовано из элементарных «число 8 делится на 2», «число 8 делится на 4», соединенных союзом «и». Аналогично сложные высказывания «Я пойду в школу или в кино» получается из простых высказываний «Я пойду в кино», «Я пойду в школу» с помощью грамматической связки «или» /2, 4, 6/.

1.1.3 Логические операции над высказываниями

Для написания этого раздела использовалась литература /2, 5, 7,8/.

Роль союзов в русском языке, с помощью которых из простых предложений формируются сложные, в логике высказываний играют логические связки, называемые также логическими операциями. Рассмотрим основные из них в применении к высказываниям.

1) Отрицание

Простейшей операцией логики высказываний является операция отрицания, соответствующая в русском языке частице "не".

Эту операцию обозначают символом " " (или "")

Определение: Если А - некоторое высказывание, то (читается "не А" или "неверно, что А") - новое, сложное высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда А ложно.

Пример: А - “идет дождь”, - “не идет дождь”.

Действие этой операции можно представить в виде следующей символической таблицы, которую будем называть таблицей истинности данной логической операции (или связки):

Именно эту таблицу (ее надо читать по строкам: "если А=1, то =0", т.е. одновременно А истинно и ложно) мы и приняли в качестве определения операции отрицания. Подобными таблицами истинности мы будем пользоваться и при определении других логических операций.

2) Конъюнкция

Следующая логическая операция - конъюнкция (логическое умножение), соответствующая союзу "и" русского языка.

Обозначается конъюнкция символом "" ("" или "&"), который ставится между высказываниями.

Определение: Если А и В - высказывания, то АВ - сложное высказывание (читается "А и В"), которое истинно в том и только том случае, когда истинны оба высказывания А и В. Высказывания А и В при этом называются конъюнктивными членами или членами данной конъюнкции.

Пример. А - ''лиса - хищное животное", В - "медведь меньше лисы", С - «Лондон - столица Англии»; АВ - «лиса - хищное животное, и медведь меньше лисы» - ложное высказывание; АС - «лиса - хищное животное, и Лондон - столица Англии» - истинное высказывание.

Таблица истинности для операции конъюнкции выглядит следующим образом:

А

В
АВ
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0

В этой таблице каждая строка показывает, истинна или ложна конъюнкция при данном наборе истинных или ложных конъюнктивных членов.

3) Дизъюнкция

Аналог в русском языке для следующей логической операции - союз «или». Но в русском языке этот союз имеет несколько довольно далеких друг от друга значений.

Примеры: "Здесь близко река или озеро" - союз "или" в соединительном (неисключающем) смысле; "Или он останется, или я" - "или" в разделительном (исключающем) смысле; "Самолет, или аэроплан, есть летательный аппарат тяжелее воздуха" - "или" в пояснительном смысле и т.д.

В математике, как правило, используется неисключающее "или", что приводит к логической операции дизъюнкции (логическое сложение), обозначаемой символом "".

Определение: Если А и В - высказывания, то АВ - сложное высказывание (читается "А или В"), которое ложно тогда и только тогда, когда ложны оба высказывания А и В. Высказывания А и В называют при этом дизъюнктивными членами.

Пример: А - "3<6", В - "5>1", АВ - "3<6 или 5>1" - истинное высказывание.

Таблица истинности для операции дизъюнкции выглядит следующим образом:

А
В
АВ
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0

4) Импликация

Из всех логических операций наиболее сложной для восприятия является, пожалуй, импликация. Ее ближайший аналог в русском языке - оборот "если..., то...". Обозначать эту операцию будем так: "АВ".

Одна из проблем, связанных с восприятием импликации - использование этого оборота в нескольких разных значениях.

Пример: а) "Если меня не обманывает зрение, то это Иван Иванович"; "Если треугольник - прямоугольный, то для него справедлива теорема Пифагора" - условное значение оборота " если ... , то ...";

б) "Если на севере промышляли больше охотой, то на юге основу хозяйства составляло земледелие" - противопоставительное значение;

в) "Если сэр Вальтер Скотт не написал ни одного романа, то не было гражданской войны в США" - контрфактическое условное значение и т.д.

Мы будем ориентироваться только на первое значение этого оборота - условное.

Но и в этом случае полной аналогии нет, поскольку в русском языке оборот "если..., то..." подразумевает наличие причинной связи.

В математической же логике речь может идти только об истинности или ложности всего сложного высказывания в целом. Поэтому единственным "логичным" требованием к высказыванию "если А, то В" является недопустимость ситуации, когда А истинно, а В ложно.

В результате истинными могут оказаться сложные высказывания "Если в доме пять этажей, то в квартире номер три проживает Иванов" или "Если 1+12, то Рим есть столица Франции", а то и еще более "удивительные" высказывания.

Перейдем к точному определению и его обсуждению.

Определение: Если А и В - высказывания, то АВ (читается "если А, то В", "из А следует В", "А влечет В", "А имплицирует В") - сложное высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно.

Пример: Пусть Р означает "22=4", Q - " снег бел", -"22=5", - "снег черен". Тогда высказывания PQ, и истинны, a - ложно.

Таблица истинности для операции импликации такова:

А
В
АВ
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1

Замечания:

Иногда вместо "" используют знак "".

Два главных момента в свойствах импликации: истина не может имплицировать ложь, но из лжи следует что угодно. Такое уточнение истинностного смысла связки "если А, то В" не противоречит обычной практике, скорее даже ее расширяет.

5) Эквивалентность

Еще одна логическая операция - эквивалентность (или эквиваленция) - соответствует оборотам русского языка типа "тогда и только тогда, когда...", "для того, чтобы..., необходимо и достаточно..." и др. и обозначается знаками "", "~".

К эквивалентности в той же мере, что и к импликации, относится замечание о том, что ее использование в логике высказываний не учитывает смысловое содержание высказываний. И здесь наши интуитивные представления об эквивалентности относятся лишь к случаю, когда высказывание АВ является абсолютно истинным (т.е. истинным во всех возможных ситуациях). В логике же эквивалентность принимается истинной, когда А и В получают одинаковые истинностные значения.

Определение: Если А и В - высказывания, то АВ (читается: "А эквивалентно В") есть сложное высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда одновременно А и В истинны либо оба ложны.

Приведем таблицу истинности для эквивалентности:

А
В
АВ
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1

Пример: Пусть А - "Хлеба уцелеют", В - "вырыты оросительные канавы" Тогда высказывание или "Хлеба уцелеют тогда и только тогда, когда будут вырыты оросительные канавы".

6) Штрих Шеффера

Следующая логическая операция называется штрих Шеффера и обозначается символом». «Аналогом в русском языке служит оборот «не …или не …»

Определение: Если А и В - высказывания, то А (читается: "А штрих Шеффера В") - сложное высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда А и В истинны одновременно.

Таблица истинности для этой операции

А
В
А
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1

Пример: Пусть А - "Противоположные стороны трапеции не конгруэнтны", В - " Противоположные стороны трапеции не параллельны" Тогда высказывание или "Противоположные стороны трапеции не конгруэнтны или не параллельны" - истинное.

7) Стрелка Пирса

В качестве последнего примера логической операции рассмотрим связку, называемую стрелка Пирса, аналогом в русском языке служит оборот «не …и не …». Обозначается эта операция символом "".

Определение: Если А и В - высказывания, то АВ (читается: "А стрелка Пирса В") - сложное высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда А и В ложны одновременно.

Таблица истинности для этой операции:

А
В
1
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1

Пример: Пусть А - "Петр не едет на Урал", В - "Николай не едет в Сибирь" Тогда высказывание или " Петр не едет на Урал и Николай не едет в Сибирь " - истинное.

1.2 Формы записи высказываний. Алгоритмические способы решения логических задач

1.2.1 Формулы логики высказывания и их свойства

Элементарные высказывания в логике высказывания рассматриваются как не расчленяемые "атомы", а составные высказывания - как "молекулы'', образованные из "атомов" применением к ним логических операций. Логика высказываний интересуется единственным свойством элементарных высказываний их значением истинности, составные же высказывания изучаются ею со стороны их структуры, отражающей способ, которым они образованы. Структура составных высказываний определяет зависимость их значений истинности от значений истинности составляющих элементарных высказываний.

Пусть А, В, С и т.д. - переменные, вместо которых можно подставлять любые элементарные высказывания с помощью этих переменных и символов логики любое высказывание можно формализовать, то есть заменить формулой выражающей ее логическую структуру.

Например, высказывание: "Если 20 делится на 2 и на 5, то 20 делится на 10", формализуется в виде . Такая же формула соответствует предложению: "если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм "

Уточним понятие формулы логики высказываний. Для этого сначала зададим алфавит, то есть набор символов, которые можно употреблять в логике высказываний.

1) А,В,С и т.д. - символы для обозначения высказываний;

2) 1 и 0 - символы, обозначающие логические константы "истина", «ложь»;

3) - символы, логические операции;

4) ( , ) - скобки, вспомогательные символы, служащие для указания порядка выполнения операций.

Дадим строгое определение формулы логики высказываний.

1) Всякое высказывание - это формула;

2) Символы 1, 0 - формулы;

3) Если А - формула, то - тоже формула;

4) Если А1 и А2 - формулы, то

5) - формулы;

6) Никаких других формул в логике высказываний нет.

Алгоритм формализации высказывания

1) Простые высказывания заменяем переменными;

2) Логические связки заменяем соответствующими символами;

3) Расставляем вспомогательные символы, скобки: ( , ) в соответствии со смыслом данного высказывания.

Формула алгебры высказываний принимает одно из двух значений (0 или 1) в зависимости от простых высказываний и от связи между ними.

Истинность или ложность высказывания мы будем задавать таблицей истинности.

Составление истинностных таблиц происходит по следующему правилу:

Сначала необходимо записать всевозможные наборы высказываний, при этом каждое из высказываний может войти в одном из двух состояний (0 или 1). Далее, последовательно, в соответствии с порядком выполнения логических операций, под каждой логической операцией следует записывать истинные значения. Обратите внимание, если формула содержит п высказываний, то таблица истинности будет содержать строк.

При составлении таблиц необходимо следить за тем, чтобы не перепутать порядок действий. Заполняя таблицу, следует двигаться "изнутри наружу", то есть от элементарных формул к более и более сложным. Столбец, заполняемый последним, содержит значения исходной формулы /4/.

Порядок выполнения операций определяется с помощью скобок. В отсутствии скобок первой выполняется операция отрицание, затем конъюнкция, после этого дизъюнкция, далее в порядке следования импликация, эквиваленция и т.д.

Пример 1:

А
В
0
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
0
0

Пример 2: Вычислить значение функции:

при

1)

2)

3)

4)

5)

Подобно алгебраическим выражениям большие составные логические формулы во многих случаях могут быть упрощены, то есть приведены к равносильным.

Две формулы А и В будем называть равносильными (А=В или ), если они имеют одинаковые таблицы истинности. Будем считать две таблицы истинности одинаковыми, если у них одинаковые последние (результирующие) столбцы.

Пример:

x
y
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1

В логике высказываний будем считать, что равносильные формулы задают одно и то же высказывание. Может оказаться, что в последнем столбце таблицы истинности стоят одни единицы или нули. Будем называть такое высказывание тождественно-истинным (тавтологией) соответственно тождественно-ложным (противоречием) и обозначать 1 и 0. Из определения следует, что для проверки равносильности формул нужно построить их таблицы истинности и сравнить

Пример:

Формулы и являются тождественно-истинными

х
у
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1

Для упрощения логических высказываний могут быть использованы следующие равносильности (свойства):

Свойства конъюнкции и дизъюнкции

1. Коммутативные (переместительные) законы

2. Ассоциативные (сочетательные) законы

3. Дистрибутивные (распределительные) законы

4. Законы поглощения

5. Законы склеивания

Свойства с отрицанием

1. Законы Де Моргана

2. Закон двойного отрицания ;

3. Закон противоречия ;

4. Закон исключения третьего .

Свойства с логическими константами

1. , ;

2.

3.

4.

Связь между логическими операциями

1. ;

2. , ;

3. , ;

4. ;

5.

1.2.2 Нормальные формы. Совершенные нормальные формы

Элементарной конъюнкцией называется конъюнкция переменных или их отрицаний, в которой каждая переменная встречается не более одного раза.

Примеры элементарных конъюнкций

.

Всякая дизъюнкция элементарных конъюнкций называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) и выглядит следующим образом:

где и - различные элементарные конъюнкций.

Примеры ДНФ:

Алгоритм приведения к ДНФ может быть описан с привлечением приведенных выше равносильностей:

1. Используя закон двойного отрицания и законы Де Моргана все отрицания "спускаются" до переменных;

2. Раскрываются скобки по распределительному закону;

3. С помощью законов поглощения, противоречия и исключенного третьего удаляются лишние конъюнкции и повторение переменных;

4. С помощью соотношений с участием логическими константами, удаляются оставшиеся константы.

Элементарной дизъюнкцией называется дизъюнкция переменных или их отрицаний, в которой каждая переменная встречается не более одного раза.

Примеры элементарных дизъюнкций:

Всякая конъюнкция элементарных дизъюнкций называется конъюнктивной нормальной формой (КНФ) и выглядит следующим образом:

где и - различные элементарные дизъюнкции.

Примеры КНФ:

Алгоритм приведения к КНФ может быть описан с помощью тех же соотношений и законов, которые использовались и в алгоритме для ДНФ.

1. Используя закон двойного отрицания и законы Де Моргана все отрицания "спускаются" до переменных;

2. Раскрываются скобки по распределительному закону;

3. С помощью законов поглощения, противоречия и исключенного третьего удаляются лишние дизъюнкции и повторения переменных;

4. С помощью соотношений с участием логическими константами, удаляются оставшиеся константы.

Совершенной дизъюнктивной нормальной формой формулы алгебры высказываний (СДНФ) называется ДНФ, в которой: 1) все слагаемые содержат сомножителем все переменные - без отрицания либо с отрицанием, но не вместе. 2) отсутствуют повторения слагаемых и сомножителей.

Совершенной конъюнктивной нормальной формой формулы алгебры высказываний (СКНФ) называется КНФ, в которой: 1) каждый сомножитель содержит слагаемым каждую переменную, без отрицания либо с отрицанием, но не вместе; 2) отсутствуют повторения сомножителей и слагаемых.

Замечание: Обратим внимание, что одно определение получается из другого заменой друг другом слов «слагаемое» и «сомножитель».

Примеры

-- СДНФ некоторой формулы двух переменных

- СКНФ функции трех переменных

Допустимыми для СДНФ (СКНФ) являются только некоторые полные конъюнкции (дизъюнкции): содержащие -- без повторений -- все переменные этой функции -- с отрицаниями или без них.

Опишем два способа приведения к совершенным нормальным формам.

1-Й СПОСОБ -- АНАЛИТИЧЕСКИЙ

Алгоритм приведение к СДНФ:

1.Приводят к ДНФ с помощью равносильных преобразований;

2. Умножают на единицы, представленные в виде дизъюнкций каждой недостающей переменной, с ее отрицанием;

3.Раскрывают скобки -- по первому распределительному закону;

4.Исключают повторения слагаемых.

Пример:

Алгоритм приведение к СКНФ:

1. Формулу приводят к КНФ;

2. Прибавляют нули, представленные в виде конъюнкций каждой недостающей переменной с ее отрицанием;

3. С помощью второго распределительного закона приводят эти сомножители к суммам первой степени, т. е. не содержащим произведений;

4. Исключают повторения сомножителей.

Пример:

2-Й СПОСОБ -- ТАБЛИЧНЫЙ

Составим таблицу истинности для функции :

x
y
z
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1

Алгоритм приведение к СДНФ:

1. Строим таблицу истинности;

2. Рассматриваем только те строки таблицы, в которых формула принимает значение 1;

3. Каждой такой строке соответствует конъюнкция всех аргументов (без повторений). Аргумент, принимающий значение 0, входит в нее с отрицанием, значение 1 -- без отрицания;

4. Образуем дизъюнкцию всех полученных конъюнкций.

Пример: В нашей таблице первую строку опускаем: функция принимает значение 0. Второй строке соответствует конъюнкция третью строку опускаем и т. д.

СДНФ:

Приведение к СКНФ:

1.Строим таблицу истинности;

2.Рассматриваем только те строки таблицы, где функция принимает значение 0;

3.Каждой такой строке соответствует дизъюнкция всех переменных (без повторений). Аргумент, принимающий значение 0, берется без отрицания, значение 1 -- с отрицанием;

4.Образуют конъюнкцию полученных дизъюнкций.

В нашем примере первой строке таблицы соответствует дизъюнкция

вторую строку опускаем и т. д.

СКНФ:

Замечания:

Если условиться из двух совершенных форм, СДНФ и СКНФ, отдавать предпочтение той, которая содержит меньше букв, то СДНФ предпочтительнее, если в столбце значений функции таблицы истинности меньше единиц; СКНФ -- если в этом столбце меньше нулей.

В обычной, школьной алгебре мы знаем, что нет общего метода перехода от табличного задания функции к аналитическому. В алгебре высказываний, как видим, такой метод существует /5,7/.

1.2.3 Решение логических задач с помощью логики высказываний

Алгоритм решения:

1) Кодирование: обозначение искомых с помощью булевых переменных (принимающих значения 0, 1) и описание содержания этих переменных.

2) Запись условия в виде системы логических уравнений, в правых частях которых -- единицы.

Замечание. Если правая часть уравнения -- нуль, то отрицанием левой части она приводится к единице.

3) Образование конъюнкции левых частей системы и приравнивание ее единице. Полученное уравнение называется характеристическим. Оно равносильно исходной системе уравнений: каждое решение системы является решением характеристического уравнения, и наоборот.

Обоснование. Пусть некоторый порядок значений переменных является решением системы уравнений. При подстановке в характеристическое уравнение он обращает каждый сомножитель конъюнкции в единицу, следовательно, и конъюнкция равна единице.

Верно и обратное -- каждое решение характеристического уравнения (обращающее конъюнкцию в единицу) обращает в единицу все сомножители конъюнкции, следовательно, удовлетворяет системе уравнений.

4) Приведение левой части характеристического уравнения к ДНФ (в частности, к СДНФ).

Замечание. При раскрытии скобок в левой части характеристического уравнения по второму распределительному закону значительные упрощения получаются за счет использования законов противоречия, исключенного третьего, исключения повторений (сомножителей, слагаемых), а также поглощения.

5) Приравнивание каждого слагаемого СДНФ, независимо от других, единице и извлечение из уравнений (левые части которых -- конъюнкции переменных или их отрицаний) значений переменных. Каждый их набор является решением задачи.

Обоснование. Каждый набор найденных значений переменных обращает в единицу хотя бы одно слагаемое дизъюнкции, т. е. является решением характеристического уравнения.

Замечание. Если после упрощений в ДНФ осталось одно слагаемое, задача имеет единственное решение, если более одного -- несколько решений. В случае, когда в левой части характеристического уравнения все слагаемые уничтожаются, задача не имеет решения (данные не совместны).

Применим этот алгоритм к решению задачи.

Задача. (Кто смотрит телевизор?)

Семья состоит из пяти человек: Алексей (А), Вера (В), Глеб (Г), Даша (Д), Евгений (Е).

Если телевизор смотрит А, то смотрит и В;

смотрят либо Д, либо Е, либо оба вместе;

смотрят либо В, либо Г, но не вместе;

Д и Г либо смотрят вместе, либо вовсе не смотрят;

если смотрит Е, то смотрят А и Д.

Кто смотрит телевизор?

Решение:

1)

2) Записываем в виде системы логических уравнений:

3) Преобразуем в характеристическое уравнение:

4) Приведем левую часть характеристического уравнения к СДНФ:

5) Получили одно слагаемое, следовательно, задача имеет единственное решение. Приравнивание каждого слагаемого СДНФ единице и извлечение из уравнения значение переменных.

6)

Таким образом, получили ответ: телевизор смотрят Глеб и Даша.

1.3 Эвристические методы решения логических задач

Логические задачи являются оптимальным средством развития творческого мышления и эвристической деятельности школьников. Процесс решения логических задач схож с процессом решения настоящих творческих задач в науке и технике и повторяет все этапы творческого мышления. Остановимся подробнее на этих приемах /9/.

1.3.1 Прием конкретизации задачи

Прием конкретизации состоит в нахождении частных случаев обшей задачи путем введения дополнительных видовых свойств явлений. Рассмотрим этот прием на задаче, содержащей ложные высказывания.

Задача 1. Три ученицы -- Галя, Лида и Наташа -- в соревнованиях по гимнастике заняли три первых места. Когда же девочек спросили, кто из них занял первое место, они дали три разных ответа.

Галя: «Я заняла первое место»;

Лида: «Я заняла не первое место»;

Наташа: «Я заняла не третье место, однако, вы учтите, что один из ответов моих подруг правильный, а другой -- неправильный».

Кто занял в соревнованиях первое место, если Наташин ответ во всем правдив?

Решение: Итак, Наташа заняла не третье место, а первое или второе. Проанализируем ответы других девочек. Галя сказала, что заняла первое место. Правдив ли ее ответ? Это неизвестно. Конкретизируем задачу. Пусть Галя сказала правду. Тогда она заняла первое место. В этом случае Лида сказала неправду, т.е. неверно, что она заняла не первое место. Но тогда получилось, что и Галя, и Лида заняли первое место, а это противоречит условию.

Выполним конкретизацию по-другому. Пусть Галя сказала неправду, тогда, значит, ответ Лиды правдив. Следовательно, Галя заняла второе или третье место, а Лида также заняла не первое место, а второе или третье. Тогда получим, что первое место заняла Наташа.

Используем прием конкретизации в более сложных задачах.

Задача 2. Четыре ученицы - Мария, Нина, Ольга и Поля - участвовали в лыжных соревнованиях и заняли четыре первых места. На вопрос, кто какое место занял, они дали три разных ответа:

«Ольга заняла первое место, Нина -- второе»;

«Ольга -- второе, Поля -- третье»;

«Мария - второе, Поля четвертое».

Отвечавшие при этом признали, что одна часть каждого ответа верна, а другая - неверна. Какое место заняла каждая из учениц?

Решение: Проанализируем ответы девочек.

1) «Ольга заняла первое место, Нина -- второе».

Что здесь истина? Неизвестно. Конкретизируем условие: пусть первая часть ответа - истина, а вторая часть - ложь. Исходя из этого, запишем предполагаемые истинные и ложные высказывания в таблице 1. Теперь легко видеть, что в правом столбце таблицы оказалось два противоречивых утверждения: Ольга и Нина не могут одновременно занимать второе место. Значит, хотя бы одно из этих высказываний действительно ложное.

Таблица 1

истина
ложь

Ольга - I место

Поля - III место

Мария - II место

Нина - II место

Ольга - II место

Поля - IV место

Но никаких противоречий мы не видим в левой колонке. Это помогает нам быстро получить решение. Итак, в левой колонке отражены истинные места, завоеванные девочками, а Нине осталось четвертое место.

Строго говоря, это решение неполное, так как мы не доказали, что других ответов быть не может. Для этого надо продолжить конкретизацию. Предположим, что первая часть ответа 1) неверна. Это означает, что верно следующее предположение:

«Ольга заняла не первое место, а Нина -- второе». Но тогда ложна первая часть ответа 2), а значит, то, что Поля на третьем месте - истина. Но тогда из ответа 3) получится, что Мария -- на втором месте, как и Нина. А это противоречит условию задачи.

Других конкретизации рассматривать нет смысла, так как любая конкретизация предложения 2) или 3) диктует истинность или ложность первой или второй части в предложении 1), которые уже обеспечили получение ответа. Значит, найденный ранее ответ единственный.

1.3.2 Прием переструктурирования задачи

Переструктурирование заключается в изменении расположения уже имеющихся элементов задачи путем их перестановки или перегруппировки.

Задача 3

Акробат и собачонка

Весят два пустых бочонка.

Шустрый пес без акробата

Весит два мотка шпагата.

А с одним мотком ягненок

Весит, видите, бочонок.

Сколько весит акробат

В пересчете на ягнят?

Решение: Изобразим условие задачи наглядно (рис. 1), обозначив акробата буквой А, собачонка буквой С, ягненка буквой Я, бочонки буквой Б и мотки буквой М.

А+С=Б+Б

С=М+М

Я+М=Б (1)

А+С=Я+М+Я+М

Элементы из третьего равенства переставим в первое условие, заменив каждый бочонок ягненком с мотком шпагата (2).

В равенство (2) подставим элементы второго условия, т.е. заменим два мотка шпагата собачонкой (3).

А+С = Я + М + Я+М (2) А+С = 2Я + С (3)

Итак, А =2Я, акробат весит столько же, сколько и два ягненка.

1.3.3 Прием разбиения задачи на части

Если в задаче можно выделить самостоятельные части, то целесообразно сформулировать их отдельно и решить по очереди.

Задача 4. Заспорили три мудреца о том, кто из них самый мудрый. Наконец, они обратились к судье, славившемуся своей мудростью. «Скажи нам, справедливейший из судей, кто из нас самый мудрый?»

Задумался судья, а потом и говорит: «Вот перед вами лежат 5 тюбетеек: 3 из красного бархата, а 2 - из черного. Сейчас вам завяжут глаза и наденут тюбетейки на головы. Когда повязки с ваших глаз снимут, самый мудрый из вас скажет, какая тюбетейка у него на голове»,

Так и сделали. Сняли повязки с глаз: видит каждый перед собой красные тюбетейки на головах товарищей, а какая на своей голове -- не знает. Наконец, один мудрец сказан: «О справедливейший из судей! Ты велел надеть на меня красную тюбетейку».

«Вот ты и есть самый мудрый из вас троих» - решил судья.

Как мудрец догадался, что на нем красная тюбетейка?

Решение: Так как всего было 5 тюбетеек:

3 красные и 2 черные, то возможны три различных варианта:

а) на трех мудрецов надели 2 черные и 1 красную тюбетейку;

б) на трех мудрецов надели 1 черную и 2 красные тюбетейки;

в) на трех мудрецов надели 3 красные тюбетейки.

Каждый случай можно рассмотреть отдельно.

Причем любая предыдущая подзадача помогает разобраться в последующей подзадаче.

В случае а) кто-то из мудрецов увидел бы или 2 черные тюбетейки (если на нем самом была красная), или 1 черную (если на нем была черная). А это противоречит условию, где сказано, что каждый увидел только красные тюбетейки.

В случае б) любой из собратьев обладателя черной тюбетейки увидел бы ее. А это тоже противоречит условию.

Остается случай в). К нему можно прийти без всяких дополнительных рассуждений.

Но тот, кто догадался о цвете своей тюбетейки, не знал, что каждый из спорщиков увидел только красные тюбетейки. Он мог предполагать, что на нем -- черная. Но ему подсказало верный ответ молчание товарищей. Если бы кто-то из них увидел два черных головных убора, то сразу бы дал верный ответ относительно себя. Но молчание обоих свидетельствовало о том, что любой из них сомневался относительно того, какая тюбетейка у него на голове. А это могло быть только тогда, когда каждый увидел две красные тюбетейки.

1.3.4 Приемы моделирования

Моделью некоторого объекта А называется объект В, в каком-то отношении подобный оригиналу А, но не совпадающий с ним. Все обучение математике связано с изучением различных математических моделей: число, функция, уравнение, геометрические фигуры и т.д. Однако, работая с моделями, изучая их, учащиеся не осознают свою деятельность в этом аспекте. А школьники должны научиться изучать какие-то явления с помощью моделирования. Это существенно изменит отношение школьников к учебным занятиям.

Можно обучать приемам моделирования на таких доступных школьникам примерах, как таблицы, схемы, графы и т.п. Эти примеры имеют, быть может, не столько математическое, сколько общеинтеллектуальное значение. Рассмотрим различные приемы моделирования на конкретных задачах.

1 Прием моделирования на полупрямой

Если в задаче имеется множество объектов и требуется установить взаимоотношение между элементами этого множества, то задачу можно решать на полупрямой.

Задача 5. На вечеринку собрались четверо друзей: Аня. Вика. Миша и Коля. Коля пришел раньше Ани, но не был первым. Определите, в какой последовательности друзья приходили к месту встречи, если Вика пришла последней.

Решение: Построим модель описанной ситуации, считая обычный луч «линией времени». Друзья, пришедшие на вечеринку, обозначатся точками с соответствующими буквами. Условимся пришедшего на вечеринку раньше обозначать на полупрямой (первой буквой его имени) левее, пришедшего позже -- правее. По порядку каждое условие отмечаем на полупрямой.

На рисунке 1, а) показано, что Коля пришел раньше Ани. По рисунку 1, б) мы видим, что кто-то из друзей опередил Колю, а следовательно, и Аню. Появление еще одной правой точки на рисунке 1, в) передает условие «Вика была последней». Тогда придется сделать вывод, что Миша пришел раньше всех. Последовательность явки друзей к месту встречи видна на рисунке 1, г).

2 Прием моделирования с помощью таблицы

Если в процессе решения необходимо установить соответствие между элементами двух или нескольких различных множеств, то целесообразно использовать таблицу. Поле таблицы представляет собой декартово произведение этих множеств. Количество входов в таблицу определяется количеством выделенных в задаче множеств.

Задача 6. В одном из московских вузов на разных курсах учатся четыре студента. Определить фамилию, имя, курс, на котором учится каждый студент, если известно следующее.

Борис прошлую летнюю сессию сдал на отлично;

Виктор должен был летом ехать на практику в Омск;

Иванов собирался поехать домой в Челябинск;

Антон был курсом старше Петра:

Борис и Орлов коренные москвичи:

Крылов в прошлом учебном году окончил школу и поступил на тот же факультет, на котором учился Зуев;

Борис иногда пользовался прошлогодними конспектами Виктора.

Решение: Построение модели начнем с выделения трех множеств: множество имен студентов, множество их фамилий и множество курсов. Таблица 2 с четырьмя входами охватывает все возможные соотношения между именем и фамилией, между именем и курсом и между курсом и фамилией.

Если теперь, в соответствии с условием, в таблицы 2 ставить знаки «минус» на заведомо невозможных парах элементов, то можно прийти к решению задачи.

Отметим в таблице данные из условия задачи.

Борис прошлую сессию сдал на отлично, следовательно, Борис не на I курсе -- в клеточке (Борис; I) ставим знак «минус».

Виктор летом едет в Омск, а Иванов в Челябинск, значит, фамилия Виктора не Иванов -- в клеточке (Виктор; Иванов) прочерк.

Антон курсом старше Петра, значит, Антон учится не на I курсе -- в клеточке (Антон; I) появляется знак «минус».

Так как Борис и Орлов коренные москвичи, то фамилия Бориса не Орлов -- в клеточке (Борис; Орлов) ставим прочерк.

Таблица 2

Имя, курс
Фамилия
Курс
Зуев
Крылов
Иванов
Орлов
I
II
III
IV
Борис
+
-
-
-
-
-
+
+
Виктор
-
-
-
+
-
-
-
+
Антон
-
-
+
-
-
+
-
-
Петр
-
+
-
-
+
-
-
-
I
-
+
-
-
II
-
-
+
-
III
+
-
-
-
IV
-
-
-
+

Крылов в прошлом году окончил школу, т.е. сейчас он учится на I курсе -- знак «+» в клеточке (Крылов; I). Ясно, что тогда ни Зуев, ни Иванов, ни Орлов не учатся на I курсе -- в этих клеточках ставим прочерки.

Борис пользуется прошлогодними конспектами Виктора, значит, Виктор на один курс старше Бориса. Но мы знаем, что Борис уже не на I курсе, следовательно, Виктор учится не на I и не на II курсе - в клеточках (Виктор; I) и (Виктор; II) ставим прочерки.

По условию Иванов из Челябинска, а Борис коренной москвич, следовательно, Борис не Иванов - в клеточке (Борис; Иванов) прочерк.

Из таблицы видно, что на I курсе учится не Борис, не Виктор, не Антон. Следовательно, на I курсе учится Петр - в клеточке (Петр; I) появляется знак «+». В клеточках (Петр; II), (Петр; III) и (Петр; IV) прочерки.

Но на I курсе учится Крылов. Значит, Петр носит фамилию Крылов -- в клеточке (Петр; Крылов) ставим знак «+». Ясно, что Петр не может быть ни Ивановым, ни Зуевым, ни Орловым, а также Крыловым не могут быть ни Борис, ни Виктор, ни Антон - во всех этих клеточках прочерки.

Обратим внимание на столбец «Иванов». Из него видно, что ни Борис, ни Виктор, ни Петр не носят фамилию Иванов. Следовательно, Ивановым может быть только Антон - в соответствующей клеточке ставим знак « + ». Тогда ясно, что ни Орлов, ни Зуев не носят имя Антон - в этих клеточках появляются знаки «минус».

Обратим внимание на столбец «Орлов»: ни Борис, ни Антон, ни Петр не носят фамилию Орлов. Значит, только Виктор может быть Орловым -- клеточку (Виктор; Орлов) помечаем знаком «+». Но тогда Виктор не может быть Зуевым -- ставим минус в клетке (Виктор; Зуев). Тогда из таблицы видно, что только Борис может быть Зуевым.

Итак, Петр Крылов учится на I курсе, но Антон Иванов курсом старше Петра, значит, Антон Иванов на II курсе -- отметим соответствующие клеточки.

Мы знаем, что Виктор Орлов курсом старше Бориса Зуева, значит, Борис Зуев учится на III, a Виктор Орлов - на IV курсе.

Задача решена. Ответ наглядно представлен в таблице.

3 Прием моделирования с помощью графов

Ситуации, в которых требуется найти соответствие между элементами различных множеств, можно моделировать с помощью графов. В этом случае элементы различных множеств будем обозначать точками, а соответствия между ними - отрезками. Пунктирные линии будут обозначать указанное в задаче отсутствие соотношения.

Задача 7. Три товарища -- Иван, Дмитрий и Степан преподают различные предметы (химию, биологию и физику) в школах Москвы, Тулы и Новгорода. О них известно следующее:

Иван работает не в Москве, а Дмитрий - не в Новгороде;

москвич преподает физику;

тот, кто работает в Новгороде, преподает химию;

4) Дмитрий и Степан преподают не биологию;

Какой предмет, и в каком городе преподает каждый?

Решение: В задаче можно выделить три множества: учебных предметов, городов, учителей. Каждое множество содержит по три элемента. Обозначим их точками -- вершинами графа (рисунок 2)

В зависимости от условий задачи будем соединять точки отрезками, если имеет место соответствие между данными элементами, или пунктирной линией, если соответствия нет.

Задача сводится к нахождению на графе трех сплошных треугольников с вершинами в разных множествах (на доске и в тетради их можно выделить разными цветами).

Так, используя условие 1), проведем пунктирную линию, соединяющую объекты Иван и Москва, Дмитрий и Новгород.

В соответствии с условием 2) соединим сплошной линией вершины Москва и физика, а условие 3) выразим сплошной линией от точки Новгород до точки химия.

Дмитрий и Степан преподают не биологию, соединим соответствующие вершины пунктирными линиями. Кто же преподает биологию? Если это не Дмитрий и не Степан, то получается, что биологию преподает Иван. Эти объекты соединяет сплошная линия.

Где же живет преподаватель биологии? Известно, что химик живет в Новгороде, а физик в Москве, следовательно, биолог живет в Туле. Обратим внимание на треугольник, образованный вершинами Иван, Тула, биология: в нем есть две сплошные стороны, значит, третью сторону также можно выделить сплошной линией. В самом деле, если Иван преподает биологию, а биолог живет в Туле, то Иван живет в Туле.

Что известно про Дмитрия? Дмитрий не живет в Новгороде (по условию) и не живет в Туле (там живет Иван), значит, Дмитрий живет в Москве - проведем соответствующую сплошную линию. Но москвич преподает физику -- эта линия тоже сплошная. В треугольнике с вершинами в точках Дмитрий, Москва и физика две стороны сплошные, следовательно, третью сторону тоже можно выделить сплошной линией.

Что же известно про Степана? Степан не живет в Туле (там живет Иван) и не живет в Москве (там живет Дмитрий), следовательно, Степан живет в Новгороде - проведем сплошную линию. Но тот, кто живет в Новгороде, преподает химию -- эта линия тоже сплошная. Так появляется третий треугольник из сплошных линий.

Ответ указан на графе треугольниками.

4 Приемы моделирования с помощью блок-схемы

Анализируемые ситуации полезно делать максимально наглядными. Мы уже показали различные способы наглядности (таблица, граф). Займемся теперь еще одним способом -- составлением блок-схемы, где каждый шаг в рассуждении выделен отдельным изображением (прямоугольником).

Задача 8. На некотором острове отдельными селениями живут правдолюбы и шутники. Правдолюбы всегда говорят только правду, а шутники постоянно шутят, а поэтому всегда лгут. Жители одного племени бывают в селении другого, и наоборот. В одно из селений попал путешественник, но не знает, в какое именно. Доказать, что путешественнику достаточно первому встречному задать вопрос: «Вы местный?», чтобы по ответу определить, в селении какого племени он находится.

Решение: Путешественник может попасть или в селение «правдолюбов», или в селение «шутников» - появляются два различных варианта. В селении «правдолюбов» путешественник может встретить как «правдолюба», так и «шутника». Аналогично, в селении «шутников» путешественник может встретить как «шутника», так и «правдолюба». Возможных вариантов стало уже четыре (рисунок 3).

Блок-схема позволяет их представить наглядно и заметить, что положительный ответ в любом случае возможен только в селении «правдолюбов», а ответ «нет» -- только в селении «шутников».

2 ПОВТОРЕНИЕ, ЕГО ВИДЫ И СПОСОБЫ РЕАЛИЗАЦИИ В УЧЕБНОМ ПРОЦЕССЕ

2.1 Виды повторения

В процессе обучения повторению изученного материала отводится важное место. Правильно организованное повторение -- один из факторов, способствующий интеллектуальному развитию каждого ученика, достижению им глубоких и прочных знаний. Без прочного сохранения приобретенных знаний, без умения воспроизвести пройденный материал в необходимый момент изучение нового материала всегда сопряжено с большими трудностями и не дает надлежащего эффекта. Ранее пройденный материал должен служить фундаментом, на который опирается изучение нового материала; последний, в свою очередь, должен обогащать и расширять уже изученные понятия. Таким образом, цель повторения - установить логические связи между вновь изучаемым и ранее изученным материалом; обогатить память; расширить кругозор; привести знания в систему; самоорганизовать ученика /10/.

Необходимость повторения обусловливается задачами прочного усвоения учащимися изучаемого материала, особенностями развития памяти обучающихся, обладающей свойством не только запоминания, но и забывания, закономерностями образования умений и навыков, требующих многократного повторения. “Лучшие из дидактов, -- писал К.Д. Ушинский, - только и делают, что повторяют, а между тем быстро идут вперед”. Хорошо поставленное повторение не заменяет прохождение предмета, а ускоряет его. Повторение вместе с тем способствует наиболее сознательному и активному усвоению знаний. В процессе повторения учащиеся не только воспроизводят в памяти известный им материал, но и осмысливают факты, вскрывают новые стороны изучаемых явлений, уточняют понятия, углубляют выводы; они не просто вспоминают пройденный материал, но делают сравнения нового со старым, самостоятельно придумывают примеры, решают новые задачи и т.д.

Повторение протекает в различных сочетаниях с другими частями урока. Ознакомление учащихся с новым материалом начинается с установления логической связи с ранее пройденным. В процессе изучения и закрепления нового материала учителя и учащиеся опираются на пройденное, делают на него ссылки, проводят сравнения. При выполнении различных практических работ и упражнений ранее пройденный материал органически объединяется с новым.

Материалы для повторения позволят учителю организовать повторение как при актуализации знании -- на этапе подготовки к изучению нового материала, так и при формировании новых понятий, закреплении изученного ранее, организации самостоятельных работ различных видов, при проверке.

И, что особенно важно, старые знания включаются в новые связи, одни и те же законы операций рассматриваются на разных числовых множествах.

Повторение учебного материала требует от учителя творческой работы. Он должен обеспечить четкую связь между видами повторения, осуществить глубоко продуманную систему повторения. Овладеть искусством организации повторения -- такова задача учителя, от её решения во многом зависит прочность знаний учащихся.

Без прочного сохранения приобретенных знаний, без умения воспроизвести в необходимый момент, ранее пройденный материал, изучение нового материала всегда будет сопряжено с большими трудностями и не дает надлежащего эффекта.

Обучение нельзя довести до основательности без возможно более частых и особенно искусно поставленных повторений и упражнений, -- говорил Я.А. Коменский.

Изучать предмет, не повторяя повседневно на каждом уроке ранее пройденный материал, это значит -- передать, пересказать учащимся определенную сумму различных законов, теорем, формул и т.п., совершенно не заботясь о том, насколько прочно и сознательно освоили наши питомцы; это значит не дать детям глубоких и прочных знаний. Работать так, это, по меткому выражению К.Д. Ушинского, уподобится “пьяной вознице с дурно увязанной кладью: он все гонит вперед, не оглядываясь назад, и привозит домой пустую телегу, хвастаясь только тем, что сделал большую дорогу”.

Повторение пройденного материала должно стать необходимым элементом и органической и неотъемлемой частью каждого урока /10, 12/.

В связи с этим мы различаем следующие виды повторения ранее пройденного материала:

1) Повторение пройденного в начале года

При повторении в начале учебного года на первый план должно выдвигаться повторение тем, имеющих прямую связь с новым учебным материалом. Новые знания, приобретаемые на уроке, должны опираться на прочный фундамент уже усвоенных.

При повторении в начале года необходимо наряду с повторением тем, тесно связанных с новым материалом, повторить и другие разделы, которые пока не примыкают к вновь изучаемому материалу. Здесь необходимо сочетать обе задачи: провести общее повторение в порядке обзора основных вопросов из материала прошлых лет и более глубоко повторить вопросы, непосредственно связанные с очередным материалом по программе учебного года.

Само повторение следует проводить как в классе, так и дома. При решении вопроса, какой материал должен быть повторен в классе и какой оставлен учащимся для самостоятельного повторения дома, нужно исходить из особенности материала. Наиболее трудный материал повторили в классе, а менее трудный дали на дом для самостоятельной работы.

2) Текущее повторение пройденного

Текущее повторение в процессе изучения нового материала -- весьма важный момент в системе повторения. Оно помогает устанавливать органическую связь между новым материалом и ранее пройденным.

Текущее повторение может осуществляться в связи с изучением нового материала. В этом случае повторяется материал, естественно увязывающийся с новым материалом. Повторение здесь входит составной и неотъемлемой частью во вновь изучаемый материал.

Под руководством учителя ученики на уроке воспроизводят ранее изученный ими необходимый материал. В результате этого доказательство новой теоремы воспринимается учащимися легко, а дальнейшая работа учителя -- воспроизведение доказанного и упражнения, обеспечивающие вторичное осмысление теоремы и её закрепление.

Во втором случае все связи с новым материалом, когда повторяемый материал не находит естественной увязки с новым и его приходится повторять на специальных уроках.

При текущем повторении вопросы и упражнения могут быть предложены учащимся из различных разделов программы.

Текущее повторение осуществляется в процессе разбора упражнений, включается в домашнее задание. Оно может быть проведено как в начале или в конце урока, так и во время опроса учащихся.

Текущее повторение дополняется сопутствующим повторением, которое нельзя строго планировать на большой период.

Сопутствующее повторение не вносится в календарные планы, для него не выделяется специальное время, но оно является органической частью каждого урока. Сопутствующее повторение зависит от материала, привлекаемого для изучения очередного вопроса, от возможности установить связи между новым и старым, от состояния знаний учащихся в данный момент. Успех сопутствующего повторения в значительной степени обусловливается опытом и находчивостью учителя. Сопутствующим повторением учитель по ходу работы устраняет неточности в знаниях, напоминает вкратце давно пройденное, указывает их связь с новым.

3) Тематическое повторение

В процессе работы над материалом особенно большое значение приобретает повторение каждой законченной темы или целого раздела курса.

При тематическом повторении систематизируются знания учащихся по теме на завершающем этапе его прохождения или после некоторого перерыва.

Для тематического повторения выделяются специальные уроки, на которых концентрируется и обобщается материал одной какой-нибудь темы.

В процессе работы над темой вопросы, предлагаемые учащимся по каждому разделу, следует вновь пересмотреть; оставить наиболее существенные и отбросить более мелкие. Обобщающий характер вопросов при тематическом повторении отображается и на их количестве. Учителю приходится основной материал темы охватить в меньшем числе вопросов.

Повторение на уроке проводится путём беседы с широким вовлечением учащихся в эту беседу. После этого учащиеся получают задание повторить определённую тему и предупреждаются, что будет проведена контрольная работа.

Контрольная работа по теме должна включать все ее основные вопросы. После выполнения контрольной работы проводится разбор характерных ошибок и организуется повторение для их устранения.

При тематическом повторении полезно составить вопросник, а затем логический план по теме и завершить работу составлением итоговых схем. Таблица или схема экономно и наглядно показывает общее для понятий, входящих в данную тему, их взаимосвязь в логической последовательности.

Процесс составления таблиц в одних случаях, подбор и запись примеров после анализа готовой таблицы в других случаях является одновременно и формами письменных упражнений при обобщающем и систематизирующем повторении.

Последовательное изучение различных особых случаев при повторении весьма полезно закончить их классификацией, что поможет учащимся яснее различить отдельные случаи и группировать их по определенному признаку.

4) Заключительное повторение

Повторение, проводящееся на завершающем этапе изучения основных вопросов курса математики и осуществляемое в логической связи с изучением учебного материала по данному разделу или курсу в целом, будем называть заключительным повторением.

Цели тематического повторения и заключительного повторения аналогичны, материал повторения (отбор существенного) весьма близок, а приемы повторения в ряде случаев совпадают.

Заключительное повторение учебного материала преследует цели:

1) Обозрение основных понятий, ведущих идей курса соответствующего учебного предмета; напоминания в возможно крупных чертах пройденного пути, эволюции понятий, их развития, их теоретических и практических приложений.

2) Углубления и по возможности расширения знаний учащихся по основным вопросам курса в процессе повторения.

3) Некоторой перестройки и иного подхода к ранее изученному материалу, присоединения к повторному материалу новых знаний, допускаемых программой с целью его углубления.

Заключительное повторение включает в себя и обобщающее, которое проводится в конце изучения курса или учебного года. Некоторые преподаватели сводят его исключительно к воспроизведению пройденного программного материала в памяти учащихся. Обобщающее повторение -- это не простой пересказ ранее изученного. Необходимо ставить такие вопросы, которые заставили бы учащихся мыслить, делать анализ и обобщения, работать с книгой и справочной литературой. Если учащиеся готовятся к экзаменам, не следует их ограничивать повторением по билетам, что в конечном итоге приводит к бессистемности и шаблонным ответам. Только разумно и правильно организованное повторение в период подготовки к экзаменам будет способствовать систематизации и углублению знаний учащихся, большему осмыслению теоретических и практических вопросов.

2.1.1 Обобщающее повторение

Урокам обобщения в планировании учебного материала уделяется мало внимания. Однако такие уроки очень важны, особенно в старших классах. Поэтому остановимся более подробно на этом виде повторения.

На обобщающих уроках завершается процесс выявления сущности основных понятия, закономерностей, практического их применения. На обобщающем уроке имеется возможность выявить степень усвоения материала учащимися, а сами ученики при подготовке к этому уроку имеют возможность расширить и углубить знания по научаемой теме. Эти уроки позволяют восполнить знания у тех ребят, которые по каким-либо причинам пропустили занятия.

На повторительно-обобщающих уроках выделяют наиболее общие и существенные понятия, законы, основные теории и ведущие идеи изученной темы, устанавливают причинно-следственные связи, приводят в систему усвоенные на уроках знания. Все идеи обобщения учителю необходимо свести в единую систему, чтобы она как система представляла собой действенное знание, которое учениками должно быть, признано как необходимое и значимое.

К урокам обобщающего повторения следует готовить учащихся постепенно. Вырабатывать у них умение обобщать различные факты и положения по тексту учебника, по рассказам учителя, по прочитанной дополнительной литературе; развивать умения находить главное и существенное в тексте, научить ориентироваться в содержания разделов программы, формулировках, научить применению знаний из других предметов, если учитель не уверен, что дети могут правильно разобраться в тексте учебника, надо проверять, как они поняли задание, как намерены решать задачи или примеры, и, может быть, рассказать, в какой последовательности следует работать, выделяя существенный и важный материал, который надо повторить при подготовке к уроку.

Каждое последующее обращение к изученному материалу способствует лучшему его пониманию, восполняет различные частности, отдельные детали, которые были пропущены при изучения нового.

Следует отметить, каким бы полным ни было объяснение учителя, почти всегда из поля зрения может уйти какой-нибудь факт, деталь, пример, использование которых на обобщающем уроке еще более укрепило бы в памяти учащихся весь изученный материал. Обобщающий урок -- это заключительный этап прочного усвоения темы.

Задача обобщения - не пересказывать учебник, а подвести учащихся к тому, чтобы они могли оперативно использовать изученный материал при дальнейшем изучении материала.

Необходимо, чтобы факты, законы, положения стали достоянием ученика как инструмент к дальнейшему познанию.

Обобщающий урок поможет учащимся привести в систему изученные методы и приемы решения задач, покажет прикладную направленность научаемой темы, учителю еще раз представится возможность удостовериться в степени прочности знаний, умений и навыков по данной теме.

Можно к обобщающему уроку дать конкретные задания некоторым учащимся. Например, приготовить небольшой доклад (сообщение) по истории развития данной темы, подобрать 2-3 задания, в решении которых используются приёмы, требующие особо прочного усвоения материала. Учитель должен подготовить самостоятельную работу, которую предложит учащимся на уроке, чтобы окончательно убедится в сформированности знаний, умений и навыков по данной теме /14, 15/.

2.1.2 Методические рекомендации к проведению обобщающего повторения

Актуальность проблемы обобщающего повторения в процессе обучения вытекает из ряда причин. Прежде всего, будущий учитель должен владеть не просто определенной суммой знаний, а системой основ поучительных знаний. При этом следует иметь в виду, что в современных условиях важными компонентами содержания образования являются овладение учащимися приемов умственной деятельности и умениями самообразования.

Необходимые подходы к изысканию средств разрешения поставленной проблемы дают исследования психологов о характере умственной деятельности обучающегося, протекающим в виде обобщения ассоциаций путем включения их в связи более высокого порядка.

Так, например, Л.С. Выготский раскрыл иерархию обобщений, согласно которой каждая новая ступень в развитии опирается на суммирование предыдущих ступеней. Новая ступень развития возникает как общение общений. Положение Л.С. Выготского о постоянно-усложняющейся системе обобщений находит дальнейшее развитие в работах С.Ю.Самарина о системе ассоциаций, в которых показан системный характер разных уровней умственной деятельности обучающегося /16/.

Необходимость обобщения и систематизации заложено в самой природе мышления и обусловлена объективными законами психологии и физиологии. Поэтому будущий учитель должен усвоить то, что успешное проведение почти каждого урока математики требует творческой работы учителя и ученика по установлению связи между новым и ранее изученным учебным материалом. Полезно раскрывать перед учениками возможность эффективной реализации обобщающего повторения в обучающей деятельности учителя и учебно-познавательной деятельности ученика. Совместно с учениками «разрабатывать» возможную систему средств и методов реализации обобщающего повторения на всех этапах обучения.

Следует отметить, что, учитывая системный характер разных уровней умственной деятельности обучаемого, разнофункциональность процесса повторения в его единстве с содержанием знаний и конкретных дидактических задач учебного процесса, мы выделяем два вида повторения - фиксирующее и обобщающее, первый относим к процессу усвоения (запоминания наизусть), второй - и к обучению и к усвоению.

Обобщающим повторением в процессе обучения является ранее изученный учебный материал, воспроизводящий наиболее существенные факты, понятия - элементы знаний и умений, причём устанавливаются логические связи между ними, прослеживается их возникновение и развитие. Это переосмысливается в целом, под углом зрения более полных и новых знаний, что приводит к упрочению усвоенного, выстраиванию знаний в структурную систему, обусловленную основной идеей повторяемого материала.

Новый этап развития школы, появившийся в последние годы, позволяет рассчитывать на повышение эффективности обучения учеников и на повышение качества их подготовки в процессе обучения. Полагаем, что одним из средств разрешения такой задачи является организация обобщающего повторения на всех этапах обучения.

Уточнена модель обучающей деятельности преподавателя и учебно-познавательного труда учеников в процессе реализации всей системы повторительно-обобщающих занятий, проводимых в начале учебного года и в ходе изучения курса.

К основным компонентам первой модели относятся:

- конструирование (отбор и распределение) системы ведущих понятий (элементов) повторяемой порции ранее изученного учебного материала;

- организация эффективной, творческой самостоятельной деятельности учеников.

Основными компонентами второй модели считаются:

- самостоятельное обобщающее повторение изученного учебного материала через выделенный учителем круг вопросов, указаний и выполнение системы упражнений индивидуализированного характера;

- выполнение определенных заданий по составлению и изготовлению систематизированных опорных конспектов, таблиц-схем - структурных предметно-знаковых моделей повторяемого учебного материала на уровне его обобщения и систематизации.

Определяя, какой должна быть структура учебного материала, выносимого для обобщающего повторения, предлагаем руководствоваться некоторыми принципами, например, такими:

- содержание учебного материала должно соответствовать стабильной части программы курса;

- повторительно-обобщающие занятия в начале учебного года проводить в русле основных содержательно-методических линий курса.

Система упражнений, предлагаемая ученикам для самостоятельной работы в классе и дома как одно из средств реализации обобщающего повторения, должна раскрывать структуру его содержания, носить индивидуализированный и творческий характер. Причем задания должны быть экономными по структуре, емкими по содержанию и требующими минимума затрат учебного времени на их предъявление, организацию выполнения, контроля и самоконтроля.

Входя в учебную деятельность ученика, направленную на преобразованное усвоение ранее изученного учебного материала, такие предметно-знаковые модели становятся ориентиром умственной деятельности ученика на уровне внутрисистемных ассоциаций. Составление и изготовление таких опор подчиняем трем основным требованиям, включающим: синтактику, выражающую взаимосвязь элементов, знаний и умений, в основном через определенные знаки; семантику, раскрывающую основной смысл повторяемого и прагматику, обеспечивающую восприятие повторяемой порции учебного материала как на словесно-логическом, так и на образном уровне.

Выделенные основные содержательно-методических линий обеспечит системность, оперативность знаний у учеников, обеспечит формирование такого качества знаний и умений, как целостность.

В силу значимости задач организации: обобщающего повторения в самом начале учебного года и ограниченности на то учебного времени разработан и осуществляется такой методический прием: на первой занятии учитель сам осуществляет обзор знаний и умений.

На втором повторительно-обобщающем занятии осуществляется контроль и анализ проведенной учениками самостоятельной работы, актуализация обобщенных, систематизированных знаний и умений курса. На самостоятельную домашнюю работу предлагаются составление четырех опор и решение системы упражнений, составленной учениками.

С помощью учителя ученики работают на более широкой теоретической и практической основе, результаты работы отражаются в их “опорах”. Отмечается повышенная активизация самостоятельной работы учеников, создаются желаемые условия их профессионально - методические модели от последних, не только по форме, но и по содержанию.

Таким образом, динамичность построенной системы самостоятельной работы в период обобщающего повторения курса математики способствует динамичности умственной деятельности учеников выражающая в способности включать известные им понятия, факты - элементы знаний и умений, навыки в новые, более глубокие и широкие связи и отношения, причем эти включения происходят не спонтанно, а целенаправленно, по нужному руслу, что способствует повышению качества знаний и умений.

2.2 Требования к повторению

2.2.1 Требования к организации повторения

Большую и серьезную ошибку допускает тот учитель, который побуждает ученика повторять материал в том порядке, в котором он изучался. Повторение в этом случае сводится и механическому воспроизведению в памяти пройденного материала.

К.Д.Ушинский воспитывал против механического повторения. "Нет никакой надобности повторять выученное в том порядке, в каком оно было пройдено, а напротив, ещё полезнее повторения случайные, сводящие выученное в новые комбинации", -- говорил он.

Особо важное значение при повторении приобретают вопросы: Когда повторять? Что надо повторять? Как повторять?

При планировании повторения необходимо отобрать материал, установить последовательность и время повторения, распределить отобранный материал по урокам, установить формы и методы для осуществления повторения, разумеется, надо учитывать и свойство памяти.

Основные требования к организации повторения должны исходить из целей повторения, специфики как учебного предмета и методов.

Первое требование к организации повторения, исходящее из его целей, это определение времени: когда повторять? Оно должно осуществляться по принципу: "Учить новое, повторяя, и повторять, изучая новое" (В. П. Вахтеров).

Это не означает, однако, что нельзя специально отводить уроки для повторения, скажем, для таких вопросов программы, которые трудно увязать с текущим материалом.

План повторения и выбор тем для повторения учитель должен составлять в каждом отдельном случае на основании общих теоретических соображений с учетом того, как усвоен учащимся материал соответствующих разделов.

К сказанному добавим еще то, что специфика урока в связи с переходом учащихся из одного класса в другой значительно меняется. В старших классах существенно перестраивается закрепление и повторение учебного материала. Увеличивается объем фактического материалами, выносимого на закрепление и повторение; поурочное закрепление в ряде случаев переходит и тематическое или перерастает в обобщающее повторение, увеличивается доля самостоятельности учащихся при закреплении и повторении.

Второе требование к организации повторения должно отвечать на вопрос: что повторять? Исходя из высказываний классиков педагогики, можно выдвинуть следующие положения при отборе учебного материала:

1) Не следует повторять все ранее пройденное. Нужно выбрать для повторения наиболее важные вопросы и понятия, вокруг которых группируется учебный материал.

2) Выделять для повторения такие темы и вопросы, которые по трудности своей недостаточно прочно усваиваются.

3) Выделять для повторения надо то, что необходимо обобщить, углубить и систематизировать.

4) Не следует повторять все в одинаковой степени. Повторять основательно надо главное и трудное. При отборе материала для повторения необходимо учитывать степень его связи с вновь изучаемым материалом.

Третье требование к организации повторения должно отвечать на вопрос, как повторять? Необходимо осветить те приемы, с помощью которых должно осуществляться повторение.

При повторении необходимо применять различные приемы и методы, сделать повторение интересным путём внесения, как в повторяемый материал, так и в методы изучения некоторых элементов новизны. Только разнообразие методов повторения может устранить то противоречие, которое возникает ввиду отсутствия желания у части учащихся повторять то, что ими усвоено однажды.

Из требований вытекают следующие условия организации повторения:

1) Изучение материала не может стоять на одном уровне, а знания учащихся не будут достаточно полными и прочными, если в работе учителя отсутствует система повторительно-обобщающих уроков.

Это объясняется психологическими особенностями процесса познания и свойств памяти. Только постоянное в определенной системе осуществляемое включение новых знаний в систему прежних знаний может обеспечить достаточно высокое качество усвоения предмета. Только через повторение можно приходить к логическим выводам. Без повторения невозможно, раскрыть сущность вещей и явлений, их развитие. Не даром говорят: «Повторение -- мать учения».

2) Повторение изученного материала необходимо как для учащихся с целью углубления, упрочнения и систематизации своих знания, так и для самого учителя в четности совершенствование методов в обучения и поднятия эффективности своей работы.

3) Повторение должно систематически проводиться на уроках, органически сочетаясь с основным содержанием урока.

При сообщении нового материала одновременно надо повторять ранее изучаемый материал. Учащиеся должны чувствовать потребность к повторению. Это достигается тем, что при изучении нового материала учитель сравнивает его, сопоставляет со старым, устанавливает аналогии между ними, проводит обобщение, углубление и систематизацию.

4) Перед началом учебного года или четверти необходимо тщательно спланировать материал для повторения, указать виды повторения, через которое оно может проводиться, т.е. устанавливается, какой материал будет проводиться параллельно с изучением новой темы, а какой на специально отведенных уроках повторения.

5) Необходимо систематически практиковать уроки повторения, на которых устанавливаются более широкие логические связи между темами и разделами, подчеркиваются те основные и ведущие идеи, которые лежат в основе данной учебной дисциплины.

6) Для повышения интереса и активности, учащихся при повторении необходимо применять различные приемы и методы работы, разнообразить повторяемый материал, старый материал рассмотреть с новых точек зрения, устанавливать все новые и новые логические связи, стимулировать самостоятельную работу учащихся.

Только таким путём можно устранить то противоречие, которое возникает, с одной стороны, ввиду отсутствия желания у части учащихся повторять то, что ими усвоено однажды, а с другой в силу необходимости повторять с целью углубления, обобщения и систематизации ранее изученного материала.

7) Необходима хорошо продуманная теоретическая и практически обоснованная система повторения, которая должна обеспечить высокое качество и прочность знаний учащихся. Только в этом случае преподаватель достигает тех целей, которые он преследует повторением.

8) Необходимо тщательно проанализировать теорию и практику повторения с целью установления положительных и отрицательных сторон работы школ при повторении.

Ранее пройденный материал должен служить фундаментом, на который опирается изучение нового материала, который в свою очередь, должен обогащать и расширять ранее изученные понятия. “Старое должно подпирать новое, а новое обогащать старое” /17, 18/.

Правильно организованное повторение помогает ученику увидеть в старом нечто новое; помогает установить логические связи между вновь изучаемым материалом и ранее изученным; обогащает память ученика; расширяет его кругозор; приводит знания ученика в систему; дисциплинирует ученика; приучает в нем уменье находить необходимого для ответа на поставленный вопрос материал; воспитывает в ученике чувство ответственности.

2.2.2 Принцип непрерывного повторения

В однотипную систему упражнений по новой теме с первого момента ее изучения включаются задачи из предшествующих разделов. При этом одновременно осуществляется систематическое, непрерывное повторение изученного материала. Обозначим условно такую систему в виде

Т123,М1245367819, (1)

где Т123 ,-- задачи одного типа по новой теме;

М1, М2,..., К12...-- задачи других типов из пройденных тем

О непрерывном повторении писал еще К. Д. Ушинский, но не касаясь вопросов построения системы упражнений. В виде предлагаемой схемы (1) принцип непрерывного повторения использовался отдельными учителями до его упоминания в методической литературе. В 70-е гг. принцип непрерывного повторения стал использоваться в школьных учебниках. В настоящее время некоторые методисты выступают против данного принципа, другие понимают его различным образом: одни рекомендуют сначала давать минимум упражнений по новой теме, а остальные предлагать на последующих уроках, а вторые подчеркивают, что сначала надо давать большую часть упражнений по новой теме. При этом все авторы, высказывающие противоположные суждения, ссылаются на педагогический опыт и не оговаривают условия, при которых более удобна именно их точка зрения. Чтобы объективно разобраться в этих противоречивых суждениях, рассмотрим данный вопрос на основе системы закономерностей.

В предложенной системе (1) существенно то, что упражнения одного типа группируются подряд по два-три, изредка -- по четыре. Целесообразность именно такой группировки следует из системы закономерностей.

Ошибки анализируются, и уверенность учащихся в безошибочности своих действий уменьшается. Поэтому учащиеся в большей мере начинают вдумываться в решения следующих одной - двух задач. Если ошибка не допускается, то все равно активность мыслительной деятельности учащихся возрастает. Если способ решения задачи M1 некоторые учащиеся забыли, то для восстановления навыков учитель сразу предлагает задачу М2, в противном случае эта задача опускается, так как главная цель урока -- изучение новой темы.

Мы показали, что однотипная система упражнений ослабляет внимание некоторых учащихся. Система (1), наоборот, позволяет в большей мере концентрировать внимание всех учащихся. Покажем это на примере устных упражнений. Для объяснения решения 1-й задачи (T1) приходится обычно вызывать учащихся по желанию. Слабоуспевающие только слушают; если они по опыту знают, что следующая задача будет такого же типа, что для ее решения могут быть вызваны и те, кто руки не поднимает, то они ожидают вызова. Ожидание, вызывает у них внимание к следующей задаче. Так как она аналогична предшествующей, то эти учащиеся успевают решить ее самостоятельно. В результате у них углубляется понимание материала, возникает уверенность, укрепляются навыки. Следовательно, к 3-й задаче такого же типа у них еще более усиливается внимание.

У хорошо успевающих учащихся внимание к 3-й задаче, наоборот, ослабляется. Чтобы у них восстановился интерес к работе, учитель следующую задачу дает другого типа. В такие моменты на уроках наблюдается любопытный факт. К 4-й задаче другого типа приковывается внимание также и слабоуспевающих школьников. Это можно объяснить тем, что у них в результате самостоятельного решения 2-й и 3-й задач возникает удовлетворенность своим успехом. Положительные эмоции, вызывают, и некоторое время поддерживают их внимание к 4-й задаче. По аналогии они ожидают, что и эту задачу смогут решить, как и две предыдущие. Эта уверенность может оказаться неоправданной, но вместе с другими условиями она позволяет сохранить внимание учащихся к 4-й задаче. Можно показать, что и после обдумывания решения задачи эти учащиеся продолжают сосредоточенно участвовать в обсуждении решения.

Из приведенных рассуждений вытекают следующие условия применимости принципа непрерывного повторения:

Последовательность упражнений в системе (1) определяется не столько автором задачника, сколько учителем. Только он может, учитывая уровень знаний и развития своих учащихся, при подготовке и по ходу урока изменять число задач одного типа, следующих друг за другом.

Основная цель урока - изучение новой темы. Поэтому большинство задач в системе (1) должно быть по новой теме.

Главная цель использования принципа непрерывного повторения -- устранение отрицательного влияния закономерностей Шеварева. Отсюда вывод: из пройденных тем желательно подбирать такие упражнения, которые по отдельным внешним признакам сходны с упражнениями новой темы.

Когда решаются комбинированные задачи, насыщенные разнообразным материалом из предшествующих разделов, принцип непрерывного повторения осуществляется сам собой. Однако когда удается решать подряд много комбинированных задач, то необходимость чередования задач различных типов ощущается особенно остро.

При использовании принципа непрерывного повторения общее число упражнений того или иного типа фактически не уменьшается в сравнении с однотипной системой. Только упражнения этого типа рассредоточиваются на более длительное время /19/.

2.3 Методы, приемы и формы повторения

Примерно до 50-х гг. в психологической и педагогической литературе считали, что склонность учащихся к механическому запоминанию -- возрастная особенность. Такая точка зрения приводила к тому, что многие учителя мирились с фактами механического заучивания как с неизбежным злом. А. А. Смирнов и П. И. Зинченко экспериментально опровергли это мнение. Они показали, что тенденция к механическому заучиванию является лишь результатом недостаточного руководства развитием памяти ученика. К механическому заучиванию ученика побуждают не возрастные особенности, а трудности, которые возникают перед ним при попытке понять материал. Когда понимание сразу не достигается, а помощь со стороны отсутствует и задание выполнить все равно надо, школьник становится на путь механического заучивания. Если трудности понимания часты, школьник много раз обращается к механическому заучиванию, и у него вырабатывается привычка: не делать, попыток понять материал, а сразу учить, не вникая в смысл.

Чтобы изжить тенденцию учащихся к механическому заучиванию, необходимо научить их пользоваться приемами логического запоминания.

2.3.1 Формирование умений и навыков применения приемов мыслительной деятельности

Одна из главнейших задач учителя сводится к тому, чтобы учащиеся

1) овладели разнообразными приемами мыслительной деятельности;

2) научились в зависимости от содержания материала выбирать приемы, наиболее удобные для данного, конкретного материала.

Реализация этой концепции приводит к тому, что усилия учителя направляются на развитие учащихся, на овладение ими определенными приемами мыслительной деятельности. Применяя эти приемы, учащиеся активно мыслят, что приводит к углубленному пониманию изучаемого материала и к его запоминанию. В зависимости от содержания материала удобно использовать тот или иной прием мыслительной деятельности. Рассмотрим примеры.

Учитель постоянно напоминает, что, прочитав в книге или услышав на уроке при объяснении учителя, при ответе ученика какое-либо утверждение, полезно проверить, действительно ли оно справедливо, поставив перед собой вопросы: почему? На каком основании? (Прием соотнесения). Он широко используется многими учителями. Ссылки на определения, теоремы, аксиомы -- все это углубляет понимание изучаемого материала и, следовательно, облегчает запоминание. Однако далеко не все учителя достаточно часто используют прием соотнесения. Выслушав доказательство теоремы, учителя не всегда задают вопросы, выясняющие понимание. А это приводит к тому, что при чтении учебной литературы, при опросе и объяснении нового материала учащиеся не используют рассматриваемый прием запоминания, не ставят никаких вопросов.

Учащимся говорят, что преобразования, приведенные в книге, полезно воспроизводить, по возможности видоизменяя их (приемы воспроизведения и реконструкции). Реконструкция также широко используется при изучении материала. Например, знакомясь с теоремой, мы конкретизируем и детализируем ее доказательство, особенно те положения, которые даются как очевидные, а для нас они не вполне очевидны. Нередко мы стараемся найти другое доказательство теоремы, изложить материал по-своему, а затем сопоставляем найденный вариант с изучаемым материалом и тем самым добиваемся лучшего понимания.

Чтобы реконструировать и притом не исказить изучаемый материал, учащийся должен хорошо понять его. А для этого он должен выполнить активную мыслительную деятельность. Следовательно, пользуясь приемом реконструкции, учащийся успешно усваивает изучаемый материал, а главное, избавляется от тенденции к буквальному запоминанию, зубрежке. Чтобы совершенно изжить эту тенденцию, учителю желательно изживать такие случаи, когда учащиеся воспроизводят изученный материал в неизменном виде. Доказательство теорем, выводы формул они должны излагать, как правило, по измененному чертежу и с другими буквенными обозначениями, чем в учебнике или в конспекте. Желательно поощрять всякую попытку учащегося изложить по-своему хотя бы какую-то часть материала. Если учащиеся воспроизводят определения, теоремы, законы и т.д., то желательно, чтобы формулировки они сопровождали своими примерами и контрпримерами. Поощряя также попытки учащихся формулировать определения, аксиомы и т. д. своими словами, следует при этом тщательно анализировать случаи искажения формулировок: не просто отвергать неправильную формулировку, а добиваться с помощью контрпримеров, чтобы весь класс понял сущность допущенной ошибки.

Учащихся приучают везде, где это возможно, сопоставлять изучаемый материал с прежними знаниями, устанавливая сходство и различие (прием сравнения). Например для лучшего запоминания формул учащимся даются следующие рекомендации:

1) их лучше запоминать не по одной, а группами, отмечая сходство и различия между ними;

2) желательно запоминать их вывод и те преобразования, которые помогают восстановить связь, данной формулы с другими;

3) в процессе решения задач полезно воспроизводить словесные формулировки формул.

Учитель постоянно требует при воспроизведении изучаемого материала приводить свои примеры и контрпримеры (прием конкретизации).

Чтобы учащиеся действительно выполняли перечисленные рекомендации, чтобы целенаправленно управлять их мыслительной деятельностью, целесообразно руководствоваться дидактическим правилом: сначала учитель ставит конкретное задание, направляющее усилия учащихся на использование определенных мыслительных процессов, а затем предлагает читать тот или иной абзац учебника, слушать объяснение.

Перечисленные приемы мыслительной деятельности соотносятся с педагогическими приемами, которые используются при повторении, такие как:

Составление алгоритма

Для повторения методов решения задач, выполнения действий и операций полезно использовать прием составления алгоритма.

Алгоритм оформляется следующим образом:

- словесно;

- блок-схемой;

- иллюстрацией;

- образцом решения.

Многие учителя обучение решению задач понимают как выработку навыков операционного этапа, которую строят по алгоритмам, по образцам.
Сначала этот образец или алгоритм дается учителем как нечто готовое, затем таким образцом служит ранее решенная задача, алгоритм или решение подобной задачи, представленные на дидактической карточке и т.п. Не отметая полезности таких приемов в принципе, следует, однако, признать, что они сводят ученика до положения биоробота. Мыслительные операции ученика сводятся к тому, чтобы проанализировать условие задачи, выбрать один из знакомых алгоритмов и выполнить предписанный набор действий. Практически выпадает то, что собственно и отличает человека от компьютера: умение самостоятельно составить план, алгоритм, программу своей деятельности.
Составление плана
Использование приема составление плана включает в себя следующие этапы:
- анализ ситуации;
- планирование;
- выполнение намеченного плана;
- осмысление результата, коррекция или переход к следующему витку деятельности, постановка новых целей.
Из этих этапов в обычной практике наиболее отчетливо проявляются два: анализ ситуации и операционный этап, этап выполнения некоторой последовательности вычислительных действий. Наиболее творческий этап - этап планирования. Следовательно, именно этому этапу и надо уделить основное внимание при обучении: объяснять, обсуждать, контролировать. А для этого необходимо, чтобы план как-то фиксировался и на доске, и в тетрадях учеников, и в разработках учителя. Описание словами неудобно из-за длительности, неоднозначности, малой наглядности. План можно изображать в виде схемы, используя при этом понятные всем условные обозначения.
Суть методики структурного планирования:
- разработать систему условных обозначений для элементарных вычислительных операций, используемых при решении большинства задач;
- научить ученика разбивать задачу на отдельные структурные элементы, элементарные вычислительные операции;
- научить изображать план в виде наглядной схемы построенной из этих условных обозначений.
Условные обозначения должны даваться ученикам параллельно с изучением тех или иных величин. Желательно, чтобы они, так же как и основные формулы, были среди постоянных наглядных пособий. При решении простейших задач зарисовываем на доске соответствующее условное обозначение. При переходе к более сложным задачам эти условные обозначения объединяются, образуя структурные схемы.
Ученики, слушая объяснение учителя, зарисовывают схемы в своих рабочих тетрадях. Учитель обращает внимание на то, что прогнозировать решение задачи нужно и при самостоятельной работе в классе и дома. Проверка решения задачи может заключаться в обсуждении структурной схемы, представленной учеником, и правдоподобности полученного ответа. Подобное обсуждение может проводиться и в ходе групповой или парной работы учеников.
Можно существенно изменить содержание работы ученика над задачей, дав задание не решить ее, а проанализировать и составить план решения. Поскольку при этом снимается этап вычислений, за то же время ученик может проработать большее число задач, различных по своему строению. Конечно, полностью отказаться от этапа вычислений тоже нельзя, поэтому задание может формулироваться так: «Проанализировать и составить план решения трех задач, одну из них прорешать».
Особенно оправданным становится этот прием при задании домашней работы массивом. Для сильных учеников, интересующихся предметом, здесь открываются дополнительные возможности по классификации и сравнению задач на основе их структурных схем, составлению задач определенного типа.
Написание конспекта
Написание конспекта является одним из приемов повторения. Наиболее эффектно сочетать его с приемом стимулирующих звеньев. Учащимся советуют при конспектировании располагать записи в наиболее удобной форме. Им рекомендуют различным образом оформлять свои записи, используя всевозможные символы: стрелки, подчеркивания, цветовые выделения.
В качестве стимулирующих звеньев могут выступать:
1) применение, вспоминание походу ознакомления с материалом или решения задачи определений, теорем, аксиом, законов, различных правил;
2) представление наглядных образцов (моделей, чертежей, графиков, рисунков), любая деятельность с ними;
3) оперирование знаками и символами (введение стрелок и других условных обозначений, подчеркивание записей и т. д.);
4) любые рассуждения, действия, помогающие устанавливать причинно-следственные связи между данными процессами или связывающие их по внешним, косвенным признакам.
Работа с учебником
Наиболее распространенным способом самостоятельной работы учащихся является работа с учебником или книгой:
1. Самостоятельное изучение по учебнику отдельных вопросов программы. Учитель не может и не должен излагать и объяснять учащимся весь материал, предусмотренный учебной программой. Самостоятельное изучение учащимися некоторых вопросов по учебнику дает более высокие результаты, чем при устном изложении их учителем. Все будет зависеть от характера материала и подготовленности, учащихся к самостоятельной работе.
2. Выполнение различных заданий учителя: составление простых и развернутых планов, отбор и выписывание примеров, иллюстраций, цитат, составление сравнительных характеристик изучаемых явлений и событий и т. п.
3. Чтение художественной и научно-популярной литературы, хрестоматий, документов и т. п.
4. Подготовка сообщений, рефератов и докладов по отдельным вопросам изучаемой темы в классе и дома.
Перечисленные виды работ с учебником не исчерпывают всей методики работы с ними. Они лишь подчеркивают, в каком направлении должна проводиться эта работа.
Как быть, чтобы ни ученикам, ни педагогу не погрязнуть в однообразии одинаковых операций? Ну, во-первых, подойдут многие приемы из уже названных. Да плюс еще и неназванные, потому только, что они больше известны и чаще, хотя, на наш взгляд, все равно недостаточно, применяются в образовании: кроссворды и ребусы по учебному материалу, различные познавательные игры (они широко представлены в различиях пособиях).
Во-вторых, приведем некоторые специальные (для нарушения «сознательно однообразной» деятельности) рекомендации:
1) Варьирование несущественных признаков материала.
2) Полезно иногда предложить ученикам опровергнуть правила, теории, выводы, которые педагог давал при объяснении нового материала.
3) Соревнование, конкурс. Всегда вспоминаем Л. Толстого, который предлагал своим ученикам соревнования "Кто лучше напишет? И я с вами".
Соревнование не должно ущемлять, обижать. Оценки могут ставиться только лучшим (могут и всем, и никому), можно разбивать трупу на микрогруппы (или с однородным по силам составом, или - наоборот: ребята подобраны и "сильные", и "слабые").
Собственно, наработанных в педагогической практике разновидностей соревнования (особенно в игровой форме) предостаточно - от смотров знаний до конкурсов: КВН, "Поля чудес", "Счастливого случая", "Звездного часа" и т. п. /21/
4) Индивидуализация заданий. Повторение будет интереснее, разнообразнее, если не всегда все будут заниматься одним и тем же. Если даются разные задания, которые могут затем с интересом восприниматься другими ребятами. От обычных разносложных карточек-заданий до игровых равносложных (но индивидуальных).
5) Выбор. Выбор заключается в том, что все ученики на уроке решают ни одну задачу, а каждый ученик решает задачу по собственному выбору, в зависимости от сложности или интересов ученика. Выбор позволяет учителю глубже узнать ученика: и личностно и в отношении усвоения темы.
Опыты Эббингауса показали, что через полчаса после механического (недостаточно осмысленного) заучивания забывается до 40% материала. На следующий день остается 34% информации, через 3 дня -- 25%, через 30 дней -- 21%. При логической обработке запоминаемого материала информация сохраняется значительно лучше.
Психологами было установлено, что разные виды памяти развиваются у детей с разной быстротой. Так, у мальчиков следующая последовательность: вначале лучше развита память на предметы, затем на слова со зрительным содержанием, со слуховым содержанием, потом на звуки, на числа и отвлеченные понятия и, наконец, последнее -- память на пережитые эмоции. У девочек несколько иначе: сначала сильней проявляется память на слова со зрительным содержанием, потом на предметы, далее на звуки, на числа и отвлеченные понятия и на последнем месте, как у мальчиков, память на эмоции.

2.3.2 Формы повторения

В учебной работе нельзя двигаться вперед, пока учащиеся не усвоили пройденного материала. Отчетливое воспроизведение изученного материала учащимися П.Ф. Каптерев считал одним из важнейших требований к обучению /22, 23/. В этом смысле работа над пройденным материалом на уроке, проверка и оценка знаний учащихся выступает как весьма важный этап смешанного (комбинированного) урока.

Нужно, однако, хорошо уяснить обучающее значение данного этапа урока. Отметим в этом отношении два положения:

Первое. Когда ученик предполагает, что его знания по пройденному материалу могут быть проверены, это, как правило, побуждает его лучше подготовиться к уроку.

Второе. Повторение и проверка знаний по пройденному материалу обычно связаны с его активным воспроизведением. Воспроизведение же, является лучшим средством усвоения (запоминания) изучаемого материала. Но для улучшения запоминания, пользуются речевым (словесным) воспроизведением пройденного материала, что, естественно, способствует развитию их речи. Но поскольку речь органически связана понятно, то одновременно с речью развиваются мыслительные способности учащихся.

Значит, те учащиеся, которые на этом этапе урока подвергаются проверке знаний и, таким образом, повторяют пройденный материал, лучше его усваивают.

Все эти положения относятся только к тем учащимся, которые подвергаются проверке знаний и воспроизводят изученный материал. Отсюда следует: в идеале учителю необходимо стремиться к тому, чтобы на каждом уроке проверялись знания всех учащихся класса. Об этом было известно еще в старой школе. А. Анастасиев писал «Во время урока должен быть спрошен, по возможности, каждый ученик или, по крайней мере, каждый привлечен к участию в уроке. Большая ошибка -- предложить десяти ученикам по пяти вопросов, а тридцати ни одного. Никогда не обучай и не спрашивай подолгу только одного ученика, оставляя других без дела или не обращая на них внимания» /22/. К сожалению, в массовой школьной практике на большинстве уроков проверяются знания 3 - 4 учеников, остальные находятся в бездействии. Все это отрицательно сказывается на их развитии.

Чем же объясняется этот серьезный недостаток? Специальное изучение данного вопроса показывает, что большинство учителей в работе над пройденным материалом применяют главным образом индивидуальный устный опрос и не используют всего разнообразия методов проверки и оценки знаний. Устный опрос как метод проверки и оценки знаний, конечно, хорош: он позволяет выявлять осмысленность и глубину усвоения изучаемого материала, но с его помощью -- и это уже отмечалось -- на уроке можно проверить качество знаний не более 4 - 5 учащихся. Поэтому передовые учителя, не отказываясь от индивидуального устного опроса, широко применяют фронтальный и уплотненный опрос, а также выставление учащимся так называемого поурочного балла.

Устный опрос можно проводить с использование вопросно-ответной системы. Учащимся предлагается блок вопросов, в которых анализируется истинность высказываний. Исследуется правильность рассуждений относительно основных признаков понятий, связей между ними. Систематизирующий аспект повторения выступает на первый план.

При хорошем понимании и усвоении материала ученики не всегда могут адекватно выразить этот материал языковыми средствами. Находя нужные слова для пояснения своих ответов, учащийся закрепляет в своей памяти внутрипредметные связи, развивает способность обобщать и приучается к логичному изложению. Чтобы знания могли быть использованы, они должны достичь определенного уровня обобщения и систематизации -- в этом задача обогащающего повторения.

Ряд вопросов не прямо, а косвенно выявляют уровень понимания связей между понятиями, законами операций. Особенно четко проявляется связь речи с мышлением в тех случаях, когда учащемуся приходится отвечать на вопросы, содержащие логические связки: «Если..., то...», «Для того, чтобы..., необходимо...». Умение логически мыслить, правильно рассуждать, оперируя признаками понятий, законами -- это показатель усвоения старого знания и готовности учащегося к усвоению нового. Вопросы могут быть включены в домашние задания, наиболее сложные -- обсуждены в классе.

Опытные учителя сочетают проверку знаний с проведение тренировочных упражнений в устном решении задач и примеров, спрашивают слабых учеников по более сложным вопросам, на которые только что отвечал более сильный ученик.

Вопросы можно свести в три группы:

1) центральные вопросы, ответы на которые требуют рассуждений;

2) те, что касаются, наиболее существенных этапов формирования ответов на вопросы первой группы;

3) вопросы, «мелкие», незначительные, связанные с деталями и техникой поиска ответов предыдущих групп.

Примерные вопросы для повторения материала учебной темы «Логика высказываний» находятся в приложении В.

Наряду с различными методами устного опроса, в школах получила распространение методика письменного опроса учащихся, по пройденному материалу. В этом случае учитель заранее готовит 2 - 3 варианта вопросов, на которые учащиеся дают письменные ответы и которые позволяют оценивать знания всех учащихся класса. Подобный письменный опрос может применяться для проверки знаний по всем предметам, но особенно он важен на уроках по тем предметам, на изучение которых отводится 1 - 2 часа в неделю и у учителя, как правило, не хватает времени на проверку и оценку знаний. Применение подобной методики позволяет проверять и оценивать знания всех учащихся, побуждает их лучше усваивать изучаемый материал (ибо при письменных ответах на вопросы нужно знать его более основательно) и способствует развитию логического мышления.

Письменный опрос можно реализовать при использовании тестовых заданий и творческих задач.

Существуют различные точки зрения на актуальность проведения тестов. Конечно, нельзя абсолютизировать тесты, так как это всегда отклонение от естественного текста, не исключено случайное угадывание правильного ответа, но сочетание тестирования с другими формами и приемами проверки знаний дает реальную систему оценки.

Тест - это часть повторения, которая является экономной, целенаправленной и индивидуализированной формой контроля. При такой форме контроля выявляются конкретные пробелы в знаниях, проверяется, насколько осознанно учащиеся владеют теоретическим материалом, как они умеют применять знания на практике. Тест акцентирует внимание на тех законах операций и типичных ситуациях их применения, которые будут актуализированы теме урока; учитывает внутрипредметные связи и возможные ошибки учащихся.

В приложении Г разработано два варианта тестовых заданий для проведения письменных опросов по теме «Логика высказываний».

Важным инструментом является и творческая задача, способствующая высокому уровню мотивации и интересу ученика. Здесь представлены нестандартные и логические задачи, задачи «на соображение», на догадку, головоломки. Психолого-педагогические исследования показали, что решение задачи интеллектуального развития учащихся, привития им культуры мышления возможно, если учебный материал дается не в готовом виде, а как объект поиска. Задания составляются на основе знаний законов мышления. Некоторые задачи могут иметь явно выраженную направленность на развитие логической составляющей интеллекта и вооружают учеников и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.