На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Диплом Возрастные особенности младших подростков. Психологические основы усвоения дробей. Становление методики обучения дробным числам. Анализ тем Обыкновенные дроби и Десятичные дроби в учебниках по математике 56 классов. Разработка уроков по данным темам.

Информация:

Тип работы: Диплом. Предмет: Педагогика. Добавлен: 26.09.2014. Сдан: 2011. Страниц: 2. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):



/
Дипломная работа
По теме:
«Реализация принципов психологической теории деятельности при изучении обыкновенных и десятичных дробей в 5-6 классах»

Введение

В настоящее время действуют стандарты образования, утвержденные в марте 2004 года. Согласно которому, изучение математики должно быть направлено на интеллектуальное развитие, формирование качеств личности, необходимых человеку для полноценной жизни в современном обществе: ясность и точность мысли, критичность мышления, интуиция, логическое мышление, элементы алгоритмической культуры, пространственных представлений, способность к преодолению трудностей. Стандарт основного общего образования по математике Однако вместо этого в детях зачастую развивается подражательность, что способствует к воспитанию исполнителей, испытывающих затруднения в случае необходимости принимать ответственные решения.
Одна из проблем существующей системы образования состоит, как нам кажется, в том, что в ее основе лежит, заложенный в советское время, императив подготовки человека знающего. Нам же кажется, что школа должна не только и не столько давать знания в готовом виде, сколько направлять деятельность детей на самостоятельную добычу знаний.
Идея деятельностного подхода в обучении математике не нова. Еще в конце прошлого века известный русский методист С.И. Шохор-Троцкий выступил как изобретатель нового метода - метода целесообразных задач - курс арифметики из систематически подобранных задач. Позже В.В. Давыдов и Д.Б. Эльконин разработали теорию обучения в зоне ближайшего развития ребенка. Согласно которой учебный материал должен быть выстроен в соответствии с принципами систематичности и последовательности с позиции психологической теории деятельности.
Несмотря на то, что суть проблемного обучения известна в настоящее время очень многим, организация процесса обучения по-прежнему сводиться к предоставлению ученикам готовых знаний.
Особенно важна осознанная самостоятельная деятельность ученика при работе с трудным материалом, требующим от него достаточных усилий. Многие методисты и психологи отмечают, что наиболее сложным материалом курса арифметики является изучение дробей. Дробь представляет собой некоторое количество долей определенной величины. «Одновременное осмысливание количества и величины долей, осознание их отношения представляет для ребенка новую и сложную задачу», - утверждает Н.А. Менчинская. Действительно, дроби - это первый наиболее абстрактный материал, с которым сталкивается школьник в процессе обучения. И чаще всего, происходит механическое запоминание правил выполнения операций с дробями, без понимания природы этих операций.
Вместе с тем, прочное и качественное усвоение дробей имеет существенное значение не только для школьного курса математики в целом, поскольку весь последующий курс опирается на знание учащимися дробей, но и для последующей практической деятельности человека. Именно дроби и простейшие действия над ними - один из немногих разделов школьного курса математики, который непременно используется в деятельности человека не зависимо от приобретенной им специальности. Отметим также, что раздел «Дробные числа (положительные рациональные числа)» вносит существенный вклад в реализацию идеи развития понятия о числе - основном понятии школьного курса математики.
Из вышесказанного можно сделать вывод, что актуальность нашего исследования обусловлена необходимостью организации учебного процесса по изучению систематического курса дробей с основой на принципы психологической теории деятельности.
Объектом исследования является процесс обучения арифметике в 5-6 классах средней школы.
Предметом исследования являются методические аспекты изучения дробей.
Целью исследования является анализ учебников федерального перечня в области построения систематического курса дробей. Критерием анализа является возможность реализации учебного процесса с позиции теории деятельности. Выявление проблемных мест в преподавании дробных чисел и разработка системы упражнений, уроков по соответствующим разделам.
В связи с этим перед нами были поставлены следующие задачи:
° изучение правовой, психологической и методической литературы по теме исследования,
° изучение возрастных особенностей младших подростков,
° анализ психологических причин возникновения трудностей при обучении дробям,
° выявление принципов теории деятельности в обучении математике;
° изучение генезиса методики преподавания дробей в русской школе,
° анализ учебников федерального перечня на соответствие принципам последовательности и систематичности и на возможность реализации поисково-эвристической деятельности учащихся,
° выявление «слабых» мест курса дробей;
° разработка систем упражнений и уроков по теме исследования.
Дипломная работа состоит из введения, трех глав и заключения.
Глава I посвящена возрастным и психологическим аспектам обучения дробям в 5-6 классах. Возрастные особенности младших подростков рассмотрены нами на основе исследований Л.М. Фридмана и Д.Б. Эльконина. Исследованием психологических истоков возникновения затруднений и ошибок при изучении дробей занималась Н.А. Менчинская и вслед за ней З.М. Мехтизаде. Формулирование принципов психологической теории деятельности нам ближе с позиции, выраженной З.А. Решетовой.
В главе II раскрыто историческое становление методики преподавания дробей. Основными источниками являются исследования Н.В. Богомолова, В.П. Ведениной, А.В. Ланкова, а также непосредственно авторские методики преподавания арифметики Е.С. Березанской, В.М. Брадиса, В.А. Евтушевского, С.И. Шохор-Троцкого и других. Особое внимание уделяем тому, какие изменения претерпевает последовательность изучения обыкновенных и десятичных дробей в целом, и какие методические приемы использовались при изучении операций умножения и деления дробей, а также при введении десятичных дробей.
В пункте 2.2. приводится анализ изучения дробей по учебникам математики 5-6 классов, рекомендованных Министерством образования к использованию в образовательном процессе. Критерием анализа является реализация принципов психологической теории деятельности, выделенных в третьей части первой главы, а также соответствие возрастным и психологическим особенностям.
Глава III - посвящена разработке уроков по некоторым разделам курса дробных чисел.
В приложении приведен фрагмент Образовательного стандарта начального общего образования по математике.
1. Психолого-физиологические аспекты изучения дробей

1.1 Возрастные особенности младших подростков

Систематический курс дробей, согласно стандарту общего математического образования, входит в курс арифметики и изучается в 5-ом и 6-ом классах средней школы. В связи с переходом на четырехлетнее обучение в начальной школе и с тем, что в настоящее время еще до конца не урегулирован вопрос о возрасте ребенка, поступающего в школу, возраст учащихся 5-6 классов колеблется от 10 до 13 лет. Чаще этот период относят к подростковому возрасту, который несколько шире изучаемого нами периода, реже авторы психологической литературы выделяют рассматриваемый нами период отдельно, как младший подростковый [36, 37, 44]. Выделим особенности, присущие именно этому возрасту.
Младший подростковый возраст - это весьма сложный, таящий в себе опасность кризисных явлений, период в жизни ученика. В этот период организм ребенка претерпевает кардинальные изменения, развертывается процесс полового созревания - основная физиологическая особенность возраста. С этим процессом связано возникновение у подростка физического ощущения собственной взрослости.
Половое развитие неотделимо от общего, происходит непрерывно, начиная с рождения. Однако в подростковом возрасте оно резко ускоряется и в течение сравнительно короткого периода наступает полноценная половая зрелость [37, с. 76].
Начинается половое созревание с повышения активности центральной нервной системы, вслед за которым интенсифицируется деятельность эндокринных желез. Возрастающее количество гормонов, вырабатываемых и выделяемых в кровь этими железами, и ведет к развитию всех признаков и проявлений полового созревания.
На первом этапе (пятые - шестые классы) активность половых желез отстает от развития эндокринных центров. Этим объясняется неуравновешенное состояние центральной нервной системы, которое проявляется в нарушениях поведения. С одной стороны, подростки уже достаточно способны к самоконтролю, критически относятся к себе и окружающим, а с другой - у них преобладают процессы возбуждения над торможением. Поэтому они зачастую неадекватно резко реагируют на внешние воздействия: на замечания взрослых, учителей, сверстников, на происходящие события.
В тоже время они часто внешне безразличны к важным событиям, хотя иногда взрываются по пустякам. Подростки как бы погружены в свой внутренний мир, где происходит что-то непонятное для них, они не могут осмыслить изменения, которые ощущают. Девочки эмоциональнее реагируют на внешние воздействия, более обидчивы, плаксивы, у них часто меняется настроение. И мальчики и девочки становятся шумными, не могут усидеть на месте, постоянно вертят что-то в руках.
В этот период у подростков отмечается повышенная утомляемость, усиленный рост, что приводит к нарушениям осанки, искривлению позвоночника [37, с. 76-77].
Одним из центральных новообразований в личности младшего подростка является возникновение у него чувства взрослости. Стать взрослым в понимании подростка означает, в первую очередь, быть самостоятельным.
Подробно развитие у подростков-пятиклассников чувства взрослости исследовал Д.Б. Эльконин в своем труде «Возрастные и индивидуальные особенности младших подростков». Автор проанализировал поведение группы одноклассников в период их обучения в 4-м и 5-м классах, составил индивидуальные характеристики каждого школьника. На основе анализа индивидуальных особенностей был сделан вывод о наиболее общих закономерностях в изменении отношения испытуемых к окружающему их миру (школе, учебе, внешкольным интересам, друзьям, учителям, родителям) и об изменении характера учебной деятельности в переходный период.
Прежде всего, психолог выделил разнородность уровня развития учебной деятельности испытуемых: от наиболее высокого до наиболее низкого. Уровень сформированности учебной деятельности автор оценивал по наличию у учащихся умений самостоятельно работать над учебными заданиями, самостоятельно совершенствовать свои знания и добывать новые. Соответственно высокий уровень характеризуется не только совершенно самостоятельным выполнением домашнего задания, но и освоением новых областей знаний, низкий уровень предполагает отсутствие элементарных умений самостоятельной работы даже при подготовке домашнего задания. При этом Д.Б. Эльконин подчеркивает зависимость между уровнями сформированности учебной деятельности и интересов: «Учащиеся, у которых до 5-го и в 5-ом классе возникли активные познавательные интересы, обнаруживают в усвоении школьных знаний и, особенно, в сфере интересующих их знаний более высокий уровень учебной деятельности по сравнению с одноклассниками, у которых эти интересы не сложились» Эльконин, Д.Б. Возрастные и индивидуальные особенности младших подростков [Текст] / Д.Б. Эльконин; Под ред. Д.Б. Эльконина, Т.В. Драгуновой.- М.: Просвещение, 1967.- С. 301..
Вместе с тем, психологи утверждают, что дети, вступающие в подростковый возраст очень восприимчивы к возникновению у них познавательных интересов. В поисках самого себя, своего Я, пятиклассник стремится быть не как все, в то же время, подражает всем.
Подражание делает подростка взрослым и в собственных глазах и в глазах, как ему кажется, окружающих. При этом мнение сверстников для подростка более значимо, чем мнение учителей и родных. Именно подражание и оглядка на мнение сверстников устанавливают «моду» в классном коллективе. Нередко получать хорошие отметки и добросовестно учится становиться «не модно»: некоторые пятиклассники начинают стесняться прилежно выполненного домашнего задания, начинают бравировать показано равнодушным отношением к отметкам. Д.Б. Эльконин объясняет: «Имеющееся пренебрежительное отношение к отметкам и отличникам является лишь выражением взрослости, усвоенной из самых разнообразных источников и иногда подкрепляемой неправильно складывающимися отношениями с учителями» Эльконин, Д.Б.- С. 304.. При этом автор подчеркивает, что «безразличное отношение подростков-пятиклассников к школьному учению может сосуществовать с существенным сдвигом в отношении к знаниям - стремлением к приобретению настоящих, глубоких знаний» Эльконин, Д.Б.- С.303.. «Важны не отметки, а знания», - заявляют учащиеся.
Появляющееся новое отношение к учению, к знаниям является одной из важных сторон чувства взрослости. Более того, новое отношение к знаниям, возможно, составляет то ядро взрослости, культивируя которое можно преодолеть возникающие в этот период развития трудности в поведении и воспитании детей.
Еще одной важной составляющей младшего подросткового возраста является изменение отношений со сверстниками, теперь общение с товарищами - «это особая сфера жизни ребенка, сфера личных взаимоотношений с ним и коллективом класса, а также с формированием особой практики взаимоотношений с коллективом и товарищами. Эта сфера жизни общения становится для подростка-пятиклассника чрезвычайно важной и лично очень значимой» [44, с. 311]. Внешние проявления коммуникативного поведения младших подростков весьма противоречивы. Страстное желание иметь верного близкого друга сосуществует с лихорадочной сменой приятелей, способностью моментально очаровываться и столь же быстро разочаровываться в «друзьях на всю жизнь». Тем не менее, желание всё всем делать вместе является определяющим у младших подростков. Именно поэтому многие педагоги отмечают крайнюю заинтересованность и собранность даже самых «трудных в поведении» детей во время коллективной работы.
Важнейшей особенностью подростков, оканчивающих 5-й класс, является постепенный отход от прямого копирования оценок взрослых к самооценке, все большая опора на внутренние критерии. Представления, на основании которых у подростков формируются критерии самооценки, приобретаются в ходе особой деятельности - самопознания [37, с. 79]. Нередки случаи возникновения в этот период кризиса самооценки - ситуации, когда равновесие между негативными и позитивными самооценками нарушается в пользу первых. Недовольство собой проявляется во всех сферах деятельности: и в общении со сверстниками, и в учебной деятельности. Обострение критического отношения к себе актуализирует у младших подростков потребность в общей положительной оценке своей личности другими людьми, прежде всего значимыми, авторитетными для него.
И именно в этот период происходит интенсивное развитие внутренней жизни: наряду с приятельством возникает дружба, питаемая взаимной конфиденциальностью. Меняется содержание писем, которые теряют свой стереотипный характер, в них появляются описания переживаний; делаются попытки вести личные дневники и начинаются первые влюбленности.
Подводя итоги, выделим основные черты младшего подросткового возраста:
° Основное новообразование - чувство взрослости, проявляющееся в стремлении к самостоятельности.
° Происходит переоценка ценности обучения и своего положения в этом процессе. Пятиклассник стремится добывать глубокие знания в интересующих его областях, нередко далеких от школьных предметов.
° Общение со сверстниками принимает всеобъемлющий и всепоглощающий характер.
° Через общение осваивается новая деятельность по самопознанию.
То насколько безболезненно школьник преодолеет подростковый период, во многом определяется средой, где живет подросток, атмосферой, царящей в семье и школе, особенностями взаимоотношений с окружающими. Процесс обучения младших школьников должен быть организован в соответствии с особенностями их возраста и их потребностями.
1.2 Психологические особенности усвоения дробей

О трудностях, возникающих перед учащимися при изучении дробей, нередко пишут авторы методических пособий. Однако в психологической литературе вопрос об усвоении этого раздела арифметики до сих пор не получил достаточного освещения. Несмотря на то, что проведен целый ряд исследований по психологии обучения арифметике, вопрос об усвоении дробей изучался крайне мало. Основными источниками являются «Очерки психологии изучения арифметики»Менчинская, Н.А. Очерки психологии обучения арифметике [Текст] / Н.А. Менчинская.- 2-е изд., перераб.- М.: Гос. учеб.-пед. изд-во м-ва просвещения РСФСР.- 1950.- 120 с. Н.А. Менчинской (1950 г.) и «Психологический анализ основных трудностей в усвоении учащимися V класса раздела о делимости чисел и операций с дробями» Мехтизаде, З.М. Психологический анализ основных трудностей в усвоении учащимися V класса раздела о делимости чисел и операций с дробями [Текст] / З.М. Мехтизаде // Вопросы психологии обучения арифметики. Труды института психологии/ Под ред. Н.А. Менчинской.- М.: Известия АПН РСФСР, 1955.- Выпуск 71.- С.113-148. З.М. Мехтизаде (1955 г.). Более поздних публикаций, посвященных психологической стороне усвоения дробей, к сожалению, нет.
Основными причинами низкого качества усвоения понятия дроби (а также и последующих затруднений, с которыми сталкиваются учащиеся при его изучении) заключаются в механическом заучивании, в недостаточном внимании к осознанному восприятию понятия, установлению взаимосвязи между множествами изученных и вновь введенных чисел, выявлению общих и особенных характеристик этих множеств. В свое время А.Н. Колмогоров обратил на это внимание: «На разных ступенях обучения с разной смелостью неизменно появляется одна и та же тенденция: возможно скорее разделаться с введением чисел и дальше уже говорить о числах и соотношениях между ними».
Н.А. Менчинская провела исследование с учениками 5-го класса с целью выяснения, какие ступени проходят учащиеся при усвоении понятия дроби. Психолог выделила три этапа формирования понятия дробь:
1. Дробление предметов даже без названия результата;
2. Отражение процесса дробления в представлении и речи;
3. Решение задач с помощью отвлеченных дробных чисел.
При этом автор подчеркивает, что при обучении детей операциям с дробями, необходимо переводить их через эти три последовательные ступени. Так, при введении понятия дробь еще в начальной школе нужно обеспечить совмещение двух аспектов изучения понятия дроби: умение видеть равные доли на рисунке (чертеже) и умение самостоятельно образовывать доли, расчленяя целое на части. Только после того, как у детей будет накоплен достаточный опыт в делении на равные доли реальных предметов, можно переводить их на более высокие ступени, то есть в начале устранять момент «личного» действия при образовании дроби, сохраняя зрительное восприятие равных долей, а затем исключать и этот момент восприятия, заставляя учащихся мысленно представлять процесс образования дроби. [27, с. 22-24].
Одной из причин формального усвоения операций с дробями Н.А. Менчинская называет несвоевременно ранее сообщение учащимся названий дробей (когда учащиеся еще не знают, как образуется та или иная дробь). Название дроби должно вводится в неразрывной связи с процессом ясного осознания детьми, как образовалась дробь. При таком подходе, полагает автор, удастся избежать смешения названия дроби. Обосновывается это тем, что для большинства детей младшего школьного (равно как и дошкольного) возраста любая доля, любая часть целого - это половина. Для ребенка не является существенным факт неравенства этих самых «половин», например при разламывании шоколада.
Трудности при освоении учащимися операций с дробями объясняются также тем, что целый ряд понятий, правил и способов действий, с которыми знакомятся учащиеся при изучении дробей, вступают в известное противоречие с теми понятиями, правилами и способами действия, которые ими были прочно усвоены при изучении целых чисел. Об этом писали Н.А. Менчинская, З.М. Мехтизаде. Большое внимание этому моменту уделено в методическом руководстве А.С. Пчелко.
«Значительную трудность для понимания дроби, - говорит А.С. Пчелко, - представляет неодинаковый характер изменения дробного числа при изменении числителя и знаменателя. При увеличении числителя дробь увеличивается - это аналогично целым числам и это сравнительно легко воспринимается учащимися. Но при увеличении знаменателя дробное число уменьшается - это непривычно для ребят. Это находится даже в некотором противоречии с опытом детей в области целых чисел» Пчелко, А.С. Методика преподавания арифметики в начальной школе [Текст] / А.С. Пчелко.- 2-е изд.- М., 1947.- С.328.
Н.А. Менчинская также выделяет понятие «знаменатель» как понятие, представляющее особую трудность для усвоения учащимися. «Фактически в знаменателе раскрывается своеобразие дробного числа в отличие от целого» - справедливо указывает автор Менчинская, Н.А. - С. 26..
Так, учащиеся с легкостью сравнивают дроби с равными знаменателями, перенося навыки сравнения из области целых чисел, они с легкостью поясняют свои действия, нередко, указывая, во сколько раз одна дробь превосходит другую. В то же время, те же дети испытывают трудности при сравнении дробей с разными знаменателями, путаются в пояснении своих действий. Случается, что при сложении и вычитании дробей, школьники складывают и вычитают знаменатели. Ошибки подобного рода не возникают, если школьники с самого начала осмыслили своеобразие понятия «знаменатель». Разумно предлагается при изучении дробей опираться на знание именованных чисел, их раздробления и превращения. При этом знаменатель - это наименование частей.
Камнем преткновения в изучении дробей являются операции умножения и деления. «Ученику приходится делать весьма значительные усилия мысли, чтобы постигнуть, что умножение называется иногда делением; что не всегда от умножения число увеличивается; что умножить число - это не всегда значит «взять его слагаемым несколько раз»», - писал методист С.И. Шохор-Троцкий (1935 г.) Шохор-Троцкий, С.И. Методика арифметики.- С. 112.. Позже Н.А. Менчинская высказывает мнение о том, что никак нельзя считать правильным то положение, когда у детей при изучении целых чисел формируются представления об умножении как об увеличении, а о делении как об уменьшении. В дальнейшем это приводит к неверному переносу ассоциаций в область дробей. При этом Н.А. Менчинская указывает, что при изучении целых чисел учитель должен придавать особое значение случаям умножения и деления на 0 и 1, которые не приводят к привычному увеличению и уменьшению [27, с. 27].
При обучении учащихся арифметическим действиям, в том числе и действиям с дробями, важно последовательно формировать процесс получения результата, или, говоря языком психологии, устанавливать ассоциации по смежности (термин И.П. Павлова).
Например, получив задание разделить 3 полоски на 4 равные части, ученик сначала рассуждает так: «В одной полоске , в трех полосках их всего , 12 разделить на 4 будет 3, значит ». Затем прибегает к более короткому пути рассуждения: «Делил на 4 - это был знаменатель, и было 3 полоски, всего будет ». И, наконец, рассуждение сокращается до одного звена: «3 на 4 нацело не делится, будет ».
Так постепенно происходит сокращение промежуточных звеньев процесса, между условием примера и ответом образуется прямая связь. Но даже, когда рассуждение выключено полностью, оно продолжает лежать в основе выполнения операции [27, с. 35]. К сожалению, в школьной практике нередко имеют место такие случаи, когда арифметическая операция с самого начала строится по типу простейшей ассоциативной связи, промежуточное звено - рассуждение - вообще отсутствует. В этом случае учащийся выполняет действия механически, не понимая того, что он делает и зачем. Классическим примером является неумение школьников решать задачи на нахождение части целого и неизвестного целого по его части.
Эти ошибки свидетельствуют о том, что учащиеся не осознают нахождение части от числа и умножение как одну и ту же операцию, они в равной мере не осознают как одну и ту же операцию нахождение числа по его дроби и деление. Различные термины скрывают от них тождественность содержания понятий, обозначаемых этими терминами [28, с. 134]. Это обусловлено тем, что и умножение дробей и решение задач на нахождение части целого вводится, как правило, с помощью алгоритма. Учащиеся не проходят все ступени по формированию ассоциаций, знают четкий алгоритм, следовательно, не могут обобщить эти две операции.
Заслуживает внимания проблема отождествления операций нахождения наибольшего общего делителя и сокращения дробей, а также наименьшего общего кратного и приведения дробей к общему знаменателю. Исследованием причин, по которым учащиеся не различают операции нахождения НОД и НОК, занималась З.М. Мехтизаде. Психолог обратила внимание на то, что «при овладении этими двумя схожими операциями, учащиеся раньше всего овладевают ими в тех звеньях, которые являются общими для этих двух операций, и с большим трудом в той части, где требуется применение различных дифференцированных друг от друга способов действия. Если в одном случае, в общих звеньях этих операций, актуализируются или воспроизводятся одни и те же системы ассоциаций, то в другом случае, т.е. в различных звеньях, требуется перестройка ранее образованной системы ассоциаций. Именно эта перестройка системы ассоциаций и затрудняет учащихся» Мехтизаде З.М. - с.123. Ошибки, которые порождаются наличием двух сходных правил, основаны на «правилосообразных» связях. В данном случае путаница происходит еще и по причине схожести названия операций, редко когда внимание учащихся верным образом акцентируется на последнем слове, чаще эти аббревиатуры воспринимаются абракадаброй. Важным моментом является своевременное сравнение таких правил, построение системы упражнений, постепенно отражающей сходство и различие операций. Н.А. Менчинская предлагает использовать принцип варьирования существенных признаков для составления систем упражнений при изучении материала [26]. То есть задания должны изменяться не столько по уровню сложности, сколько по их положению во всем учебном материале. Наличие контрпримеров при построении системы упражнений обязательно.
Н.А. Менчинская занималась исследованием ошибок, которые допускают учащиеся при обучении. Причины возникновения некоторых ошибок психологом так и не были объяснены, тем не менее, автор сумела типизировать ошибки. В ее трудах много практических советов, направленных не только на преодоления уже полученных ошибок, но и для их предотвращения. Оказывается, числа, подобранные в примерах нередко провоцируют возникновение, так называемых описок. Некоторые комбинации чисел провоцируют на выполнение определенной операции, в этом случае происходит ослабление остроты сознания и «настоящий» знак действия остается не замеченным. На наш взгляд, психологические основы возникновения ошибок и разумного построения системы упражнений должны быть изучены каждым педагогом.
Таким образом, при изучении дробей необходимо учитывать психологические особенности восприятия материала. Уверенное представление о дроби возникает только тогда, когда учащийся самостоятельно проходит все ступени по формированию этого понятия. Сознательное оперирование осуществляется при верно построенной системе ассоциаций и полной связи между условием задачи и ее ответом. Система упражнений должна отвечать как методическим задачам, так и учитывать психологические основы слухового восприятия формулировок и зрительного восприятия комбинаций чисел. Важно сформировать у учащихся умение выделять существенные и несущественные признаки объектов и действий над ними.
психологический обучение дробь урок
1.3 Принципы психологической теории деятельности
Психологи утверждают, что прочное усвоение знаний происходит только через собственную деятельность по познанию предмета. Исследованием взаимосвязи действия и сознания российская психология активно начала заниматься в 20-е гг. XX века. В итоге сформировалась новая психологическая теория, которая базировалась на идеях социально-исторического и деятельностного подходов к пониманию психики - ее происхождения, функций и развития. Было предложено две трактовки деятельностного подхода в психологии - С.Л. Рубинштейна (1889-1960), который сформулировал принцип единства сознания и деятельности, и А.Н. Леонтьева (1903-1979), который совместно с другими представителями Харьковской психологической школы, разработал проблему общности строения внешней и внутренней деятельности.
В теории деятельности С.Л. Рубинштейна предметом анализа рассматривается психика через раскрытие ее существенных объективных связей и опосредствованной, в частности через деятельность. При решении вопроса о соотношении внешней практической деятельности и сознания, принимается положение, что нельзя считать «внутреннюю» психическую деятельность формирующейся в результате свертывания «внешней» практической. При такой трактовке деятельность и сознание рассматриваются не как две формы проявления чего-то единого, различающиеся по средствам эмпирического анализа, а как две инстанции, образующие нерасторжимое единство [29].
В теории деятельности А.Н. Леонтьева предметом анализа выступает деятельность. Поскольку сама психика не может быть отделена от порождающих и опосредующих ее моментов деятельности, и сама психика является формой предметной деятельности. При решении вопроса о соотношении внешней практической деятельности и сознания, принимается положение, что внутренний план сознания формируется в процессе свертывания изначально практических действий. При такой трактовке сознание и деятельность различаются как образ и процесс его формирования, образ при этом является «накопленным движением», свернутыми действиями. Этот постулат был реализован во многих исследованиях [29].
В частности, из теории деятельности в понимании А.Н. Леонтьева в дальнейшем получила развитие теория развивающего обучения Д.Б. Эльконина (1904-1984) и В.В. Давыдова (1930-1998) и теория организации управляемого формирования деятельности в процессе усвоения П.Я. Гальперина (1902-1988), продолженная З.А. Решетовой (1918 г.р.).
Согласно психологическому словарю В.К. Мульдарова и И.М. Кондакова, деятельность - это активное взаимодействие живого существа с окружающим миром, в ходе которого оно целенаправленно воздействует на объект и за счет этого удовлетворяет свои потребности [29]. П.Я. Гальперин утверждал, что деятельность должна быть искусственно сформирована, а следовательно и организована. В связи с этим, психолог разработал систему планомерного поэтапного формирования умственных действий.
Так, на первом этапе формируется мотивационная основа действия, закладывается отношение субъекта к целям и задачам предстоящего действия, к содержанию материала, намеченного для усвоения.
На втором этапе происходит становление первичной схемы ориентировочной основы действия (ООД), то есть системы ориентиров и указаний. В ходе освоения действия эта схема постоянно проверяется и уточняется. П.Я. Гальперин выделял три типа построения схемы ООД и, соответственно, три типа учения. При первом типе субъект имеет дело с принципиально неполной системой условий и вынужден действовать на основе метода проб и ошибок. Окончательная структура действия устанавливается при этом медленно, осмысляется и осознается далеко не всегда и не полностью, сформированное действие крайне чувствительно к сбивающим воздействиям. При втором типе субъект ориентируется на полную систему условий правильного выполнения действия, что гарантирует безошибочность действия, заданный диапазон обобщенности, высокий уровень осознанности, критичности. При этом схема ориентировочной основы действия либо задается в готовом виде, либо составляется учащимся в процессе обучения. Третий тип задания схемы ООД основывается уже не на условия выполнения действия, а на принципы строения изучаемого материала, на предметные единицы, из которых он состоит, законы их сочетания. Ориентировочная основа такого рода обеспечивает глубокий анализ изучаемого материала, формирование познавательной мотивации. Собственно развивающим, П.Я. Гальперин считал именно третий тип обучения.
Третий этап - формирования действия в материализованной форме, при которой субъект осуществляет ориентировку и исполнение усваиваемого действия с опорой на внешне представленные компоненты схемы ориентировочной основы действия.
На четвертом, пятом и шестом этапах происходит переход действия «извне», подкрепляемого внешней речью, в умственное действие, поддерживаемое «скрытой речью». Благодаря процессам автоматизации действие, прошедшее вышеперечисленные этапы преобразования, приобретает вид непосредственного одномоментного усмотрения решения проблемной задачи [32].
Как видим, этапы формирования умственных действий, выделенные П.Я. Гальпериным, по своей сути совпадают с этапами формирования ассоциаций по смежности Н.А. Менчинской, рассмотренными нами в пункте 1.2.
Таким образом, проведенный анализ положений теории деятельности, представленной как теория планомерного поэтапного формирования умственных действий, позволяет выявить следующие принципы построения учебного процесса: мотивированность, последовательность, полнота и, главное, системность изучаемого предмета.
2. Методика преподавания дробей
2.1 Становление методики обучения дробным числам

Методика преподавания дробей развивалась параллельно с методикой преподавания целых чисел. Подходы к изучению целых чисел использовались и при изучении дробей.
В начале XIX века немецкий педагог А.В. Грубе (последователь И.Г. Песталоцци) предложил методическую систему, известную как «метод изучения чисел». Основная идея метода заключалась в том, что «всякое число должно изучаться, так сказать, в его наготе и в его одежде приложения». Евтушевский, В.А. Методика арифметики [Текст]: Пособие для родителей, учителей и учительских семинарий / В.А. Евтушевский.- 7-е изд., испр. и доп.- СПб.: Типография В. Безобразов и комп., 1875.- C. 46. Курс арифметики А.В. Грубе состоял из изучения целых чисел отвлеченных и именованных и простых дробей. Так как курс свой он предназначал для изучения в 4-х летних начальных школах, то изучение десятичных дробей А.В. Грубе не рассматривал. Примечательно, что впервые ученики сталкиваются с понятием доли уже на первом году обучения. Так, в разложении 3=1+1+1, единица - часть целого числа вообще. Поэтому А.В. Грубее полагал, что «последующее изучение дроби, как части единицы, представит им мало затруднений, тем более что процесс этого изучения тот же самый, как и для целых чисел» Там же - С. 62.. Комплексному изучению обыкновенных дробей уделяется весь четвертый год обучения, причем курс распадается на два полугодия: наглядное всестороннее изучение дроби и действие с дробями по правилам. А.В. Грубее отмечает, что «для полного выяснения понятия о дроби можно ограничиться подробным изучением только первых пяти дробей» Там же - С. 63..
Этот метод получил широкую распространенность в России благодаря трудам В.А. Евтушевского (1875 г.). Подробно изучив и проанализировав метод А.В. Грубе, В.А. Евтушевский соглашается с основными положениями построения системы и ее применения в обучении. Тем не менее, В.А. Евтушевский отмечает некоторые недостатки метода, в частности выступает за сокращение курса дробей по времени, а так же за применение наглядных пособий - различных арифметических счет: Шведских счет, счет Наманского, дробных счет, обыкновенных торговых русских счет и т.д.
Курс обучения по В.А. Евтушескому рассчитан на 5 лет: трехлетний элементарный курс и двухлетний систематический курс. «Элементарный курс простых дробей» изучается в конце третьего года обучения, на четвертом году обучения дается «систематический курс простых дробей» после изучения «главных теорем о числах. Нахождения общего наибольшего делителя и наименьшего кратного числа». В начале пятого года обучения учащиеся подходили к изучению десятичных дробей.
В методике арифметики В.А. Евтушевского операции с обыкновенными дробями предлагалось выполнять не по алгоритму, а на основе представления о дроби. Например, чтобы преобразовать неправильную дробь в целое или смешанное число, необходимо было рассмотреть, сколько данная неправильная дробь содержит дробей равных единице. А приведение дробей к общему знаменателю или же сокращение осуществлялось посредством составления табличек. Так, в процессе нахождения общего знаменателя чисел появлялась запись:

Для выполнения любой операции с дробями А.В. Евтушевский рекомендовал использовать различные виды дробных счет. Например, для оперирования с долями единицы удобны «дробные счеты Наманского - рамка с горизонтальными проволоками, на которых тонкий цилиндр разделен на одно и то же число равных долей». Евтушевский, В.А. Методика арифметики. - С. 101. Таких рамочек 10 штук: рамка для единицы, для вторых долей, третьих и т.д. до десятых долей. Как следствие, без опоры на счеты учащиеся не могли выполнить ни преобразований, ни действий с дробными числами. Чтобы сложить и , нужно было на дробных счетах отложить сначала три пятых доли. А потом еще одну долю и посчитать, сколько пятых долей получилось.
По замыслу автора метода изучения чисел основу формирования понятия и операций с дробями должны были составлять практические действия, поэтому теоретические знания школьникам не давались. Это привело к тому, что представления учащихся о дроби не были обобщены и систематизированы, школьники не понимали закономерность выполнения преобразований, не знали законы арифметических действий. Тем не менее, автор стремился к тому, чтобы учащиеся самостоятельно делали выводы при ответе на вопрос учителя: «Что надо сделать с данными дробями ( и) для их сложения и вычитания и как складывать и вычитать дроби, когда они приведены к общему знаменателю?» Евтушевский, В.А.- С. 251. Отмечу также, что в методике арифметики В.А. Евтушевского выводы правила умножения и деления на дробь проходят с основой на задачи нахождения части целого и целого по его известной части. Приведем в пример систему задач для установления правила деления дроби на дробь:
Задача 1. 10 аршин материи стоят 5 руб. 20 коп. Сколько приходится за один аршин?
В пояснении В.А. Евтушевский пишет: «Обобщая эту задачу посредством перемены данных чисел, ученики делают вывод, что по данной цене определенного числа аршин материи здесь ищется цена одного аршина, и что задача такого рода решается делением данной цены на число аршин». Под тоже обобщение подводят они и следующую задачу.
Задача 2. 5/8 аршина материи стоят 3 рубля. Сколько стоит один аршин материи?
Задача 3. 7/15 четверика пшеницы весят 4/9 пуда. Сколько весит целый четверик?
После решения задачи 2, при сравнении результата с обозначением действия делается вывод, что «следовательно, при делении числа на правильную дробь ищется неизвестное число по данной его части». А после задачи 3 выводится правило деления дроби на дробь: «…нужно дробь делимого умножить на обращенную дробь делителя». Там же - С. 265.
Десятичные дроби В.А. Евтушевский изучает на основе больших целых чисел, мотивируя это тем, что «ученики при вычислениях дробь простую предпочитают дроби десятичной, стараясь первою заменить вторую». Там же- С. 266.
Такой подход к преподаванию дробных чисел задерживал развитие отвлеченного мышления детей, так как «логика математики отодвигалась на задний план по сравнению с формированием наглядных представлений». Менчинская, Н.А. Вопросы методики и психологии обучения арифметике в начальных классах [Текст] / Н.А. Менчинская, М.И. Моро.- М.: Просвещение, 1965.- С. 66.
В противовес методу изучения чисел В.А. Латышевым был предложен «метод изучения действий». Введение этого метода отразилось и на преподавании дробей. Обучение, основанное на этом методе, способствовало значительному повышению уровня теоретической подготовки учащихся. Однако отвлеченные математические закономерности, которыми они должны были руководствоваться при выполнении тех или иных операций, иногда не имели для них реального смысла, были лишены прочной базы чувственного восприятия.
В дальнейшем, при изучении дробей стали использовать и «метод изучения чисел», и «метод изучения действий» в их сочетании.
С.И. Шохор-Троцкий (1935 г.) разделил учение о дробях на две ступени. На первой ступени (начальная школа) предлагалось дать учащимся наглядные представления о дроби и ее главных свойствах. В начальной школе автор методики предлагал познакомить учащихся со вторыми, четвертыми и восьмыми долями. Поскольку учащиеся такого возраста могут освоить признаки делимости на 2, 5 и на 10, то и оперировать с дробями, знаменатели которых кратны этим числам, ученики так же могут: приводить к общему знаменателю, сокращать, складывать и вычитать. Что касается десятичных дробей, то о них в третий год обучения в начальной школе следовало дать представление, причем следовало стремиться к тому, чтобы «учащиеся вынесли умение прочесть десятичную дробь и понимали состав десятичной дроби из десятичных долей единицы» Шохор-Троцкий, С.И. Методика арифметики [Текст]: В 2 ч. Ч. I для уч. начальных шк. / С.И. Шохор-Троцкий.- 6-е изд., пересм. и доп.- М.; СПб.: Наследие Бр. Салаевых, 1900. - С. 59..
Вторая ступень (пятый класс средней школы), которую С.И. Шохор-Троцкий охарактеризовал как систематический курс дробей, содержала «полное учение об изменении дробей, о преобразовании их и о четырех над ними действиях в полном их объеме» хор-Троцкий, С.И. Методика арифметики [Текст]: Пособие для учителей средней школы / С.И. Шохор-Троцкий; Под ред. Синакевича.- 5-е изд., перераб.- М.; Л.: Гос. учеб. пед. изд-во, 1935.- С. 112.. Примечательно то, что автор методики уделяет большое внимание повторению материала, пройденного в начальной школе и подводящего учащихся к построению систематического курса дробей. Так, в начале пятого класса еще раз повторяют основные действия над целыми числами, подробно останавливаются на делении (его происхождении, связи обоих видов деления, особенности как действия), изменении суммы, разности, произведения и частного, начальные сведения о дробях. «Основной отдел», который следует за повторением, открывается темой «изменение дробей»; одновременное изменение в одно и то же число раз, сокращение, приведение к общему знаменателю. Затем, по замыслу автора методики, изучаются признаки делимости и наименьшее кратное двух и нескольких чисел. И только после этого начинается систематическое изучение действий над дробями.
Особое методическое значение, на наш взгляд, имеет подход С.И. Шохор-Троцкого к изучению десятичных дробей. Автор методики научает: «Мера, могущая значительно поднять успешность занятий учеников десятичными дробями, состоит в том, чтобы курс обыкновенных дробей не суждался дробей десятичных, обозначенных без помощи запятой, и чтобы изучению десятичных дробей, обозначенных с помощью запятой, предшествовали четыре действия над десятичными обыкновенными дробями». Шохор-Троцкий, С.И. Методика арифметики. Пособие для учителей средней школы. - С. 198. Более того, в противовес В.А. Евтушевскому, С.И. Шохор-Троцкий настаивает интерпретировать десятичные дроби, прежде всего, как на дроби, а не как развитие и применение идеи обозначения целых чисел к дробям [41].
Автор методики придает большое значение «истинно методическому переходу» от обыкновенных дробей к десятичным, подчеркивает равноправие обеих форм записи десятичной дроби, обращению обыкновенной дроби в десятичную и обратно, совокупному действию над обыкновенными и десятичными дробями.
Несмотря на то, что пособие С.И. Шохор-Троцкого носило характер практического руководства, где давались рецепты для учителя по конкретным вопросам содержания предмета, оно определило дальнейшие тенденции развития методики математики, и методики дробей в частности.
Начиная с С.И. Шохор-троцкого, методика изучения дробей стала развиваться по двум направлениям. В начальной школе формировалось представление о дроби и ее свойствах на наглядной основе. В средней школе изучались правила и алгоритмы выполнения операций с дробями, опираясь на теоретические рассуждения.
Д.Л. Волковский (1934 г.) полагал, что изучение долей, особенно половины, должно начинаться на первом году обучения. Вначале изучаются простейшие доли, затем десятичные доли и операции над ними, десятичные дроби и операции над ними, завершает начальную школу систематический курс обыкновенных дробей. По мнению автора, «обучение дробям как обыкновенным, так и десятичным - должно быть наглядным, практическим, жизненным, чуждым излишних правил и определений, непосильных детям». Волковский, Д.Л. Как обучать дробям в начальной школе [Текст] / Д.Л. Волковский. - М.; Л.: 1-я типография Трансжелдориздата, 1934.- С. 4. Знакомство с дробями производится поэтапно на основе чувственного восприятия: на предметах, на схемах и письменное обозначение дробей. При этом схематичное изображение дробей использовалось не только при изучении образования дробей, но и при выполнении операций с дробями.
Например, чтобы учащиеся смогли вычесть из половины дробь 1/8, предлагалось начертить цветовую схему:
Которая комментировалась следующим образом: «На сколько частей и на какие разделен этот прямоугольник? (На 8 равных частей). Не обращайте внимания на 4 его части (на 4 восьмых), обведенные справа маленькими черточками: какая часть останется тогда? (Половина или 4 восьмых). Какая часть всего прямоугольника зачерчена? (одна восьмая). Сколько восьмых из оставшейся левой половины не зачерчены? (три восьмых). Сколько же останется восьмых - от половины прямоугольника отнять одну восьмую его? (Три восьмых). Записать это надо так: , а прочитать так: от половины (или одной второй) отнять одну восьмую - останется три восьмых». Волковский, Д.Л.- С. 15.
Схематичное изображение дроби помогало школьникам выделать целую часть из неправильной дроби, сокращать дроби, выражать целое и смешанное число неправильной дробью. Выполнение умножения и деления дроби на целое число так же выполнялось с опорой на иллюстрацию.
Большое внимание Д.Л. Волковский уделяет сопоставлению обыкновенных и десятичных дробей, мотивируя это более углубленным усвоением темы. Автор пишет, что «надо сопоставлять следующие моменты в изучении дробей: главное свойство десятичных и обыкновенных дробей, сокращение дробей, приведение дробей к общему знаменателю, сложение и вычитание дробей, умножение и деление дробей на натуральное число.
Методика Д.Л. Волковского проста и доступна, но ограничивает развитие логического мышления школьников, оставляя знания на уровне зрительных представлений. Большое значение наглядности в обучении обыкновенным дробям младших школьников придавали многие авторы методик. Предлагалось использовать разнообразные схемы, таблица, иллюстрации для изучения образования дробей, преобразований и действий с ними.
В старших классах учащиеся на основе накопленного конкретного материала должны были сделать теоретические заключения, изучить общие правила.
Характерным методическим пособием середины XX века является «Методика преподавания математики в средней школе» В.М. Брадиса (1951 г.). В своей методике автор приводит не только программу и методические рекомендации преподавания математики в средней школе, но также приводит особенности учебного предмета математики в отличие от науки математики; анализ ошибок учителей и учащихся, приводящих к формализму в изучении математики; анализ существующего учебника «Арифметика» А.П. Киселева, переработанного профессором А.Я. Хинчиным (1948 г.), и «Сборника задач и упражнении по арифметике» Е.С. Березанской (1948 г.). Автор критически отзывается о слабых сторонах учебника: «Вся предшествующая работа школьника по изучению арифметики в начальной школе полностью игнорируется: все излагается так, как будто пятиклассники абсолютно ничего по арифметике до сих пор не делали. Рассматриваются только общие приемы письменного производства действий над натуральными и дробными числами, почти не затрагиваются вопросы их рационализации. <…> Изложение имеет довольно отвлеченный характер, не всегда вскрывает в достаточной мере практические корни каждого теоретического предложения, содержит очень мало исторических сведений. Для самостоятельной работы учеников V и VI классов книга трудна». Брадис, В.М. Методика преподавания математики в средней школе [Текст] / В.М. Брадис; Под ред. А.И. Маркушевича. - 2-е изд. - М.: Гос. учеб.-пед. изд-во м-ва просвещения РСФСР, 1951.- С. 116. В своей «Методике преподавания математики» В.М. Брадис стремится оказать поддержку молодому учителю математики, разработав для этого систему изучения школьного предмета. Относительно дробей В.М. Брадис придерживается логики изложения С.И. Шохор-Троцкого. Нововведением в методике арифметики является стремление В.М. Брадиса к внедрению математического языка формул и буквенных выражений. Так, например, основное свойство дроби он представлял так: и . На основе этой записи делал соответствующие выводы. Для того, чтобы школьники лучше усвоили этот материал, он предлагал рассмотреть, как влияет на величину дроби увеличение (уменьшение) в несколько раз числителя и знаменателя дроби. Тем не менее, автор отдавал себе отчет в том, что буквенное восприятие тяжело для учащихся: «Их усвоение крайне желательно, но требовать его от всех не всегда возможно». Парадоксально, что автор методики предлагает вводить деление дробей аналогичному тому, как оно вводится в начальной школе при изучении деления натуральных чисел: «Разделить дробь на - это значит найти число (дробь) , которое будучи умножено на , дает . Поэтому, , ». Там же- С. 148. Так же рассматривали этот материал и другие авторы методик: Е.С. Березанская, Н.Я. Виленкин, Л.Ф. Пичурин, Я.Ф. Чекмарев, В.Г. Чичигин и другие. Таким образом, знания о дробях, получаемые школьниками в начальной и средней школе, были не связаны между собой, не было преемственности между начальной и старшей школой В середине XX века ученые стали исследовать психологию усвоения обыкновенных дробей, и отмечали, что этот учебный материал очень сложен для школьников. Было замечено, что овладение понятием обыкновенной дроби, представляющей собой некоторое количество долей определенной величины, является для учащихся делом довольно трудным, так как «одновременное осмысливание количества и величины долей, осознание их отношения представляет для ребенка новую и сложную задачу» Менчинская, Н.А.- С. 22 .
Н.А. Менчинская указывала на то, что операции с дробями требуют от учащихся наибольшей гибкости мыслительных процессов, поскольку при изучении дробей вступают в силу новые правила, существенно отличные от тех, которые действуют в области целых чисел.
З.М. Мехтизаде (1955) отмечала, что при изучении обыкновенных дробей необходимо «включение изученной ранее операции в систему новых операций» Мехтизаде, З.М.- С. 114. Это, по мнению автора, вызывает дополнительные трудности, так как требует образования системы новых ассоциаций. Подробно об исследованиях Н.А. Менчинской и З.М. Мехтизаде рассказано в первой главе.
Чтобы добиться прочного усвоения учебного материала, И.Н. Шевченко (1958) предлагал использовать знания школьников в области целых чисел, как опору, фундамент для изучения дробей. Он писал: «Частые экскурсии в область целых чисел будут поднимать интерес у учащихся к дробям и дадут им возможность подмечать новое в старом и видеть старое с новой точки зрения» Шевченко, Н.И. Методика преподавания обыкновенных дробей. Педагогическая библиотека учителя [Текст] / Н.И. Шевченко.- М.: Изд-во академии пед. наук РСФСР, 1958.- С. 3.
Методика Шевченко создает преемственность между представлениями о дроби, полученными в начальной школе, и теоретическими знаниями, изучаемыми в старших классах.
Отметим, что Шевченко не имеет ничего против введения формул, но буквенные выражения автор вводит позже, чем это делал В.М. Брадис - при изучении операции сложения дробей с равными знаменателями.
И.Н. Шевченко придавал большое значение применению наглядности (чертежей, моделей) при изучении образования и операций с дробными числами. Он рекомендовал последовательно рассмотреть переход от образа (отрезка, принятого за единицу) к слову (названию дроби) и к написанию (изображению дроби). Изображение дроби он использовал, как опору для формирования выводов. «Конкретность в обучении» он считал важным фактором сознательного выполнения алгоритмов преобразований и действий с обыкновенными дробями. Например, И.Н. Шевченко предлагал, как только школьники рассмотрят виды дробей, продемонстрировать замену неправильной дроби смешанным числом, а потом вводить правило преобразования.
Центральное место в методике преподавания обыкновенных дробей И.Н. Шевченко отводил изучению «изменения дроби при изменении ее членов». Он предлагал показать школьникам, что при увеличении числителя в несколько раз дробь увеличивается, а при увеличении знаменателя дробь уменьшается, еще до изучения основного свойства дроби. На этом этапе автор методики не связывал эти операции с умножением и делением дроби на целое число. Однако он сопоставлял изменение дроби в зависимости от изменения ее членов, с изменением частного в зависимости от изменения делимого и делителя.
И.Н. Шевченко был убежден, что рассмотрение этих вопросов на первых этапах ознакомления с дробными числами поможет учащимся усвоить основное свойство дроби, и будет способствовать осознанному выполнению умножения и деления дробей на целое число.
Такой поход в изучении дробей вызывает много споров. С.А. Гастаева (1953) считала, что рассматривать изменение дроби при увеличении (уменьшении) числителя или знаменателя в несколько раз до изучения действия с дробями не эффективно. По ее мнению, умножение и деление дробей на целое число необходимо рассматривать как частный случай умножения и деления дроби на дробь, где целое число заменяется дробью со знаменателем 1, что позволяет обобщить действия с дробями.
Однако качество вычислительных умений непосредственно связано с имеющимися у ученика представлениями об образовании и свойствах числа. Чтобы учащиеся могли успешнее выполнять действия с дробями, избежать уподобления действиям с целыми числами, они должны знать свойства, присущие дробным числам, и уметь сопоставлять целые и дробные числа не только по величине, но и по свойствам. Именно изучение изменения дроби при изменении ее членов дает возможность наглядно показать школьникам особенности дробных чисел по сравнению с целыми числами.
Большое значение осмысленным практическим действиям с долями как пропедевтики изучения обыкновенных дробей, придают многие математики.
В конце 60-х годов ХХ века в курсе математики начальной школы становится приоритетным изучение основного свойства дроби. Из программ было исключено сложение и вычитание обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями (111). Младшие школьники знакомились только с образованием дроби и учились заменять дробь, равной ей дробью с другим знаменателем (с иллюстрацией на симметричных геометрических фигурах). Такой подход не вовлекал школьников в вычислительную деятельность с изученными числами, что способствовало возврату к методике изучения чисел в данной теме.
Это привело к тому, что программа начальной школы в 1973 году была еще больше сокращена. Изучая обыкновенные дроби, учащиеся знакомились только с образованием и сравнением дробей. Таким образом, младшие школьники получали лишь некоторое представление о дроби, что значительно затруднило изучение обыкновенных дробей в старших классах.
Многие школьники оказались не в состоянии выполнить арифметические действия с дробями, поэтому в 1993 году было издано пособие для детей с недостаточной математической подготовкой (Л.В. Кузнецов, И.А. Лурье, С.С. Минаев, Л.О. Рослова, С.Б. Суворова, А.В. Шевкин). Особенность методики, предлагаемой авторами пособи, состоит в том, что изучение дробей предваряется достаточно длительным периодом материализованных действий с различными объектами, направленных на раскрытие содержания понятия дроби, на выполнение арифметических действий с дробями в материализованной форме. Именно эти знания учащиеся раньше получали в младших классах.
Многие методисты и учителя математики предлагали различные пути преодоления трудностей, возникающих у школьников при оперировании обыкновенными дробями.
Эффективный подход к решению проблемы предлагает И.К. Азиев (1993). Автор статьи пишет о том, что школьники допускают многочисленные ошибки при сложении и вычитании обыкновенных дробей, которые можно избежать, если анализировать компоненты действия, сопоставлять компоненты действия с полученным результатом, выполнять проверку обратным действием.
Л.И. Дранова (1994) указывает на то, что школьники не смогут правильно проанализировать предложенные арифметические примеры на сложение и вычитание дробей, если в «сознании учеников не утвердить главное: дробь - это не то число, которое обозначает количество предметов, это число отношение». Для того, чтобы школьники могли избежать ошибки при выполнении действий с обыкновенными дробями, она рекомендует активно использовать речевую регуляцию деятельности, т.е. «начинать сложение дробей без математической записи, устно проговаривая названия дробей, участвующих в сложении».
Несмотря на правильность рекомендаций, Л.И. Дранова недооценивает роль речевой регуляции при выполнении других операций с обыкновенными дробями.
А.Я. Цукарь (1994), совершенно справедливо, видит причину трудностей в недостаточной практической деятельности учащихся с материальными и материализованными объектами и предлагает ряд заданий, где школьники моделируют получение дробей, сложение и вычитание дробей с одинаковыми и разными знаменателями, умножение и деление дробей на целое число и дробь, преобразование смешанного числа в неправильную дробь [38].

2.2 Анализ тем «Обыкновенные дроби» и «Десятичные дроби» в учебниках по математике 5-6 классов федерального перечня с позиции теории деятельности

В данной главе представлен анализ структуры содержания и методики изложения учебного материала, реализованных в учебниках федерального перечня, с точки зрения соблюдения принципов теории деятельности, сформулированных нами в первой главе исследования. В соответствии с ними, материал должен быть мотивационно обоснован, последователен, полон и систематичен.
Заметим, что Требования к уровню подготовки оканчивающих начальную школу, предъявляемые образовательным стандартом начального общего образования по математике см. Приложение 1 не содержат упоминаний об изучении долей и дробей в начальной школе.
Министерством образования и науки РФ к использованию в образовательном процессе на 2008/2009 учебный год рекомендованы учебники по математике для 5-6 классов следующих авторских коллективов:
1. Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд,
2. И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович,
3. С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин,
4. В.Г. Дорофеев, С.Б. Суворова, И.Ф. Шарыгин,
5. Н.Б. Истомина.
Рассмотрим каждый из них по отдельности.
1). Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд,
«Математика: 5 класс», «Математика: 6 класс»
Алгоритмы действий с обыкновенными дробями в учебниках Н.Я. Виленкина и др. изучаются как в 5-м, так и в 6-м классе. При этом в 5-м классе рассматриваются только действия сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями. В 6 классе, после изучения темы «Делимость натуральных чисел», сначала следует сложение и вычитание дробей с разными знаменателями, а затем умножение и деление обыкновенных дробей.
Полный курс десятичных дробей здесь изучается в середине III четверти 5-го класса, сразу после изучения обыкновенных дробей.
Рассмотрим последовательность изложения материала в ходе изучения темы «Обыкновенные дроби» в учебниках Н.Я. Виленкина, А.С. Чеснокова, С.И. Шварцбурда, В.И. Жохова «Математика, 5 класс» Виленкин, Н.Я. Математика [Текст]: Учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд.- 5-е изд.,- М.: Мнемозина, 1997.- С. 185-320., «Математика, 6 класс» Виленкин, Н.Я. Математика [Текст]: Учеб. для 6 кл. - М.: 2001.- С. 4-112..
К изучению дробей учащиеся приступают в третьей четверти 5-го класса.
Глава II. Дробные числа
Окружность и круг.
Дается описание приборов, у которых шкала измерения расположена по окружности: циферблат часов, спидометр, прибор, показывающий количество бензина. Два задания параграфа направлены на повторение понятия доли измерения длины и веса: «Сколько сантиметров а) в четверти метра; б) в десятой доли дециметра; в) в десятой доле метра; г) в двадцать пятой доле метра» Виленкин, Н.Я. Математика: 5 кл. - № 839. - С. 189..
Доли. Обыкновенные дроби.
Понятия доли и обыкновенной дроби, как одной или нескольких равных долей целого, вводятся генетически, на наглядных примерах. Используются геометрические модели: отрезок, квадрат, треугольник, круг. Объясняется смысл числителя и знаменателя с точки зрения, какому количеству долей соответствует каждый из них: знаменатель - какое количество долей всего, числитель - какое количество долей взято.
В этом же параграфе рассматриваются задачи на отыскание части от целого и целого по его части, решение которых выполняется в два приема:
1) определяется величина, которая приходится на одну долю;
2) определяется величина, которую надо найти в задаче.
Сравнение дробей.
Сравниваются дроби только с одинаковыми знаменателями. Здесь же даются пропедевтические задания на основное свойство дроби: равенство дробей определяется наглядно на основе соответствующих геометрических моделей. Положение дроби на координатном луче.
Правильные и неправильные дроби.
Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.
Правило сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями выводится индуктивным путем, через практическую задачу:
Буханку хлеба разделили на 8 равных частей (долей). Сначала на тарелку положили 2 доли, а потом еще 5 долей. На тарелке оказалось 7 долей, то есть буханки Там же- С. 215-216.:
.
Правила сложения и вычитания дробей записываются с помощью букв.
Деление и дроби.
Здесь также рассматривается практическая задача: 2 яблока надо разделить между тремя детьми [6, с. 224-225]. Опираясь на представление о дроби, как одной или нескольких равных долях целого, авторы говорят, что результат такого деления может быть записан в виде дроби , а черту дроби можно понимать как знак деления. Предлагаются задания на представление частного в виде дроби и дроби в виде частного, представление числа в виде суммы его половин, четвертей и восьмых.
Смешанные числа.
Сложение и вычитание смешанных чисел.
Рассматривается сложение и вычитание смешанных чисел, у которых дробные части имеет одинаковые знаменатели.
На этом этапе изучение обыкновенных дробей в 5 классе завершается.
6 класс.
Глава I. Обыкновенные дроби.
Делимость чисел.
Во второй части параграфа начинаются задания на повторение тем «Обыкновенные дроби» и «Десятичные дроби». Задание №180: «Найдите наибольший общий делитель для числителя и знаменателя дроби» [7, с. 32] - единственное задание, показывающее связь изученных алгоритмов НОД и НОК и обыкновенных дробей.
Основное свойство дроби показывается на примере круга. Основной моделью выступает циферблат часов.
Сокращение дробей.
Здесь сразу говорится, что «деление числителя и знаменателя на их общий делитель, отличный от единицы, называют сокращением дроби» Виленкин, Н.Я. Математика: 6 кл.- С. 40.. Затем оговаривают, что «наибольшее число, на которое можно сократить дробь, - это наибольший общий делитель ее числителя и знаменателя». Но задания формулируются просто: «сократите дробь».
Приведение дробей к общему знаменателю.
Предлагается правило приведения дроби к новому знаменателю и алгоритм нахождения наименьшего общего знаменателя дробей. В данном пункте предлагаются задания, в которых требуется представить обыкновенную дробь в виде десятичной дроби Там же- № 269, 270, 271- С. 47, 48..
Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.
В начале пункта сформулировано правило, затем раны 5 примеров. В №297 учащимся предлагается самостоятельно сформулировать правило сравнения дробей с одинаковыми числителями и разными знаменателями [7, с. 52].
Сложение и вычитание смешанных чисел обосновывается переместительным и сочетательным свойствами сложения.
Умножение дробей.
Сначала рассматривается умножение дроби на натуральное число на примере решения задачи: «В бутылке л сока. Сколько сока в 5 таких бутылках?» При этом умножить на натуральное число 5 - значит найти сумму пяти слагаемых, каждое из которых равно . Далее следует правило умножения дроби на натуральное число.
Затем авторы переходят к умножению дроби на дробь. Для этого рассматривается графическая задача отыскания площади прямоугольника со сторонами, длины которых выражены обыкновенными дробями. Рассматривая рисунок, учащиеся замечают, что должно быть верным равенство . Из равенства видно, что числитель дроби в правой части равен произведению числителей левой части, а знаменатель в правой части равен произведению знаменателей левой части. После чего ребята должны сформулировать правило умножения дробей.
В этом месте может возникнуть недоразумение детей, поскольку умножение дробей иллюстрируется одним примером: учащиеся хоть и видят на конкретном примере это верно, но убежденности, что по-другому быть не может - нет. Более того, при такой последовательности изложения темы логического обоснования авторы привести не могут.
Нахождение дроби от числа.
Поскольку авторы один раз нарушили последовательность изложения темы, здесь им также приходится формулировать правило фактически ничего не обосновывая. Рассмотрим, как это делается в учебнике.
Задача 1. Путешественник прошел за два дня 20 км. В первый день он прошел этого расстояния. Сколько километров прошел путешественник в первый день?
Решение. Длина пути равна 20: 4 = 5, т.е. 5 км, а длина пути равна 5 3 = 15, т.е. 15 км. Тот же ответ получится, если 20 умножить на, т.е. .
Ответ: 15 км [7, с. 81].
Здесь авторы рассматривают еще одну задачу.
Задача 2. Огород занимает всего земельного участка. Картофель занимает огорода. Какую часть всего земельного участка занимает картофель?
Решение. Изобразим весь земельный участок в виде прямоугольника ABCD.

webkursovik.ru/
Из рисунка видно, что участок, занятый картофелем, занимает земельного участка. Тот же ответ можно получить, если умножить на :
.
Ответ: всего земельного участка [7, с. 81].
Таким образом, авторы пытаются подвести учащихся к выводу, что найти дробь от числа можно умножением этого числа на данную дробь.
Взаимно обратные числа. Здесь впервые правило вводится с помощью букв.
Деление дробей.
Рассматривается задача, решение которой сводится к уравнению . Чтобы решить его, надо выполнить деление дробей, но, поскольку дети делать этого не умеют, авторы предлагают умножить обе части равенства на число, обратное известному множителю - на дробь . Это приводит к тому, что в левой части остается только х, а в правой получаем произведение дробей и , откуда вытекает, что. Далее следует вывод о том, что частное равно произведению , а это уже позволяет сформулировать правило.
Здесь есть все условия для организации поисково-эвристической деятельности. Достаточно, например, задать такие вопросы:
1) Какие преобразования можно делать с обеими частями уравнения?
2) Какие преобразования с обеими частями данного уравнения можно выполнить, чтобы получить коэффициент при х, равный единице?
Даже если учащиеся поначалу предложат прибавить к обеим частям уравнения , что не приведет к решению, это не страшно. В конечном итоге они догадаются, что надо умножить обе части уравнения на число, обратное числовому множителю в правой части.
Отметим, что вывод, приводящий к формулировке правила, как и в случае с произведением дробей, делается по одному примеру.
Деление смешанных дробей и дроби на натуральное число рассматривается авторами на примерах без формулирования правила.
Нахождение числа по его дроби.
Как и в предыдущих случаях, изучение начинается с задачи.
Задача 1. Расчистили от снега катка, что составляет 800 м2. Найдите площадь всего катка [7, с. 107].
Обозначив площадь катка через х, авторы приходят к уравнению , решение которого приводит к необходимости выполнить деление . После этого сразу формулируется правило отыскания числа по его дроби.
Хотя здесь все логично, опыт показывает, что ребята уже не пытаются понять ход рассуждений учителя, они готовы применять предложенный алгоритм, не понимая его происхождения.
Все это привело к тому, что, когда в одной контрольной работе учащимся предлагались задачи и на отыскание дроби от числа и на отыскание числа по его дроби, результаты были очень низкими: успешно справлялись с этими задачами менее трети учащихся. В настоящее время в соответствии с авторским тематическим планированием Жохов, В.И. Преподавание математики в 5 и 6 классах [Текст]: По учебникам: Математика / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С, Чесноков, С.И. Шварцбурд. Методические рекомендации для учителя.- 3-е изд.- М.: Мнемозина, 2001.- С. 89. умение решать такие задачи проверяется в разных контрольных работах.
На первый взгляд может показаться, что задачи на отыскание дроби от числа и числа по его дроби не имеют отношения к алгоритмической линии, к действиям c обыкновенными дробями. Но на самом деле это не так. Если вернуться к анализу изложения этой темы в Методике С.И. Шохор-Троцкого, мы увидим, что обоснование правил умножения и деления обыкновенных дробей напрямую связано с задачами на отыскание дроби от числа и числа по его дроби.
Изучение десятичных дробей включено между двумя блоками обыкновенных дробей. Все операции с десятичными дробями изучаются в 5-м классе сразу после изучения сложения и вычитания обыкновенных дробей и смешанных чисел. Понятие десятичной записи дроби вводится как особая запись числа, знаменатель дробной части которого выражается единицей с одним или несколькими нулями [6, с. 248]. При этом названия разрядов не оговариваются и, соответственно, нет заданий для записи чисел по соответствующим разрядам.
Равенство десятичных дробей авторы иллюстрируют графически примером на измерение длины отрезка: показывают, что 6 см это одновременно и 0,6 дм и 0,60 дм. Сравниваются десятичные дроби по правилам сравнения обыкновенных дробей.
Складываются и вычитаются десятичные дроби по правилам сложения и вычитания обыкновенных дробей, но потом авторы отмечают, что «тот же ответ можно получить иначе, сложив числа «столбиком» Виленкин, Н.Я. Математика: 5 кл.- С. 262.. Здесь вводится понятие разложения числа по разрядам.
Далее рассматриваются умножение и деление десятичной дроби на натуральное число. Авторы опираются на перевод величин измерения длины, т.е. переводят десятичную дробь из одних единиц измерения в меньшие, чтобы избавиться от дробной части, умножают или делят, затем переводят обратно в первоначальную величину измерения. Для того, чтобы сформулировать правило умножения десятичных дробей авторы предлагают учащимся эвристическую задачу: «Человек идет со скоростью 4,6 км/ч. Какое расстояние он пройдет: а) за 3 ч; б) за 0,1 ч; в) за 0,3 ч?» Там же- с. 295. В процессе решения авторы приходят к заключению, что, так как путь равен произведению скорости движения и времени, то надо считать, что 4,6·0,1=0,46. тот же результат получается при делении 4,6 на 10, то есть 4,6:10=0,46 [6, с. 296]. Видим, что, несмотря на то, что учащиеся изучали раздел «Деление и дроби», в котором они узнали, что черта дроби означает деление, авторы здесь этого не используют. Поэтому учащимся может быть непонятно правило отделения количества запятых при умножении и делении десятичных дробей.
Итак, анализ учебника Н.Я. Виленкина и др. выявил следующее.
Изложение алгоритмов сложения и вычитания обыкновенных дробей в учебнике Н.Я. Виленкина и др. соответствует принципу последовательности изучения материала.
При изучении понятия обыкновенной дроби не рассматривается вопрос об изменении дроби в связи с изменением в несколько раз одного числителя или одного знаменателя, что равносильно умножению или делению дроби на натуральное число.
При изучении темы сравнение дробей в 5-м классе не рассматривается сравнение дробей с равными числителями. Нет заданий на сравнение дробей с единицей, с дополнением до единицы.
Правило умножения дробей дается с опорой на графическую иллюстрацию. При этом его вывод никак не опирается на имеющуюся у учащихся теоретическую базу, да и не может опираться, т. к. умножение дроби на натуральное число учащимся известно, а деление - не известно. Формулировка правила дается после рассмотрения одного примера, т.е. индуктивное обобщение делается на основе единственного факта, что способствует формированию у учащихся неверных представлений об основах построения математической теории. Это свидетельство того, что в этом месте курса принцип последовательности изучения материала нарушается.
Правило отыскания дроби от числа формулируется на основе сравнения результата решения задачи известным ранее способом (в два приема) с результатом умножения данного числа на дробь. Учащиеся видят, что результаты совпадают, и авторы предлагают на основе этого сформулировать соответствующий вывод. Вывод формулируется, но без понимания того, откуда он вытекает. Это опять-таки является следствием того, что нарушен принцип последовательности - к этому моменту школьникам ничего не известно о делении дроби на натуральное число.
Правило деления дается на основе свойств равенств и правила умножения дробей. Правило отыскания числа по его дроби дается с опорой на правило отыскания дроби от числа.
Десятичные дроби разбивают изучение темы «обыкновенные дроби» на две части. Поэтому сравниваются, складываются и вычитаются десятичные дроби по правилам сложения и вычитания обыкновенных дробей. Умножаются и делятся десятичные дроби как натуральные числа, при этом объяснительный материал основан на правилах перевода величин измерения длины.
Задания для представления десятичной дроби в виде обыкновенной и обратно имеются в учебнике для 6-го класса.
2) И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович
«Математика: 5 класс», «Математика: 6 класс»
Систематический курс дробей в учебниках авторского коллектива И.И. Зубаревой и А.Г. Мордковича Зубарева, И.И. Математика. 5 кл., 6 кл. [Текст]: Учеб. для общеобразоват. учреждений / И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. - 6-е изд., стер.- М.: Мнемозина, 2007.- 270 с.- 264 с. напоминает систему, изложенную в учебниках Н.Я. Виленкина и др. Виленкин, Н.Я. Математика: 5 кл., 6 кл.- 384 с.- 304 с. Здесь так же, как и у Н.Я. Виленкина и др., в 5-м классе вводится понятие обыкновенной дроби, изучаются операции сравнения, сложения и вычитания (II четверть). Затем изучается полный курс десятичных дробей (середина III четверти). И во II четверти 6-го класса заканчивается изучение обыкновенных дробей. Но при ближайшем рассмотрении внутри этих блоков имеются различия в изложении материала. Отметим также, что тема «Делимость натуральных чисел» предлагается для изучения в 6-м классе уже после того, как изучен полный курс дробей.
Последовательность изучения обыкновенных дробей в 5-м классе следующая.
Глава II обыкновенные дроби
Деление с остатком
Обыкновенные дроби
- Дробь как результат деления натуральных чисел
Эмпирическим путем учащиеся убеждаются, что метровая проволока делится пополам, получаются куски длиной по 5 дм. Но при делении той же метровой проволоки на три части не удается выразить длину полученных частей целым числом, длина части получается равна 3 дм и остаток 1 либо 33 см и остаток 1. Здесь авторы говорят, что во всех случаях получаем остатки, но ведь в условии задачи сказано, что проволоку разрезали и ничего не осталось. Как же можно записать результат такого деления? В русском языке есть известное вам слово треть, которое используется, чтобы обозначить результат деления целого на три равные части [18, с. 86]. Далее вводится запись дроби и название ее компонентов. Затем учащимся предлагается самостоятельно найти длину одной части двухметровой проволоки, разделенной на три части. После чего подводится итог в виде правила: «Частное от деления натуральных чисел и можно записать в виде дроби , где числитель - делимое, а знаменатель - делитель: » Зубарева, И.И. Математика: 5 кл. - с. 88..
Блок заданий после теоретической части содержит задания на сравнение дробей (№306).
После учащимся предлагается учебное задание пропедевтическое к основному свойству дроби, выполняя которое ребята приходят к выводу, что отрезки длиной м и м равны, а значит, равны и дроби и . Здесь авторы не называют это свойство, но уточняют, что обязательно будут использовать его в дальнейшем при выполнении арифметических действий с дробями.
- Дробь как одна или несколько равных долей
Учащимся предлагаются две модели задач (№310), при решении которых учащиеся получают в ответе одну и ту же дробь, но различными способами. После чего делается вывод:
1) Чтобы получить дробь , надо единицу разделить на равных частей и взять таких частей. 2) Чтобы получить дробь , надо число разделить на число [18, с. 91].
Система упражнений содержит много различных геометрических моделей, некоторые из которых разделены «нестандартно» на части и «нестандартно» закрашены. Задания с и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.