Здесь можно найти образцы любых учебных материалов, т.е. получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ и рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


учебное пособие Изложение основных методов математической статистики, теории вероятности для студентов физических факультетов. Задачи, использующие формулы: сложения и умножения вероятностей; полной вероятности и формулу Бейеса. Случайные величины. Статистика.

Информация:

Тип работы: учебное пособие. Предмет: Педагогика. Добавлен: 28.05.2008. Сдан: 2008. Страниц: 2. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


46
Содержание
    Введение
    I. Вероятность
      Основные понятия
      1. Задачи, использующие формулу сложения и умножения вероятностей
        1.1 Операции над событиями.
        1.2 Вероятность событий
        1.3 Основные формулы комбинаторики
        Теорема: выбор без учета порядка
        1.4 Основные правила вычисления вероятностей
        Решение задач
        Задачи для самостоятельного решения:
      2. Задачи, использующие формулу полной вероятности и формулу Бейеса
        2.1 Условная вероятность
        2.2 Формула полной вероятности
        2.3 Формула Бейеса
        Решение задач.
        Задачи для самостоятельного решения
    3. Случайные величины
      3.1 Дискретные и непрерывные случайные величины
        3.2 Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины
        3.3 Биноминальное распределение
        3.4Распределение Пуассона
        3.5 Математическое ожидание и дисперсия
        3.6 Вероятность попадания в заданный интервал
        Решение задач
        Задачи для самостоятельного решения
    II Статистика.
      1.Проверка гипотезы о разности двух средних значений
      2 Посторенние линии регрессии для корреляции
    III Математические методы
      1 Дерево решений
      2 Игры
      3 Линейное программирование
    Литература

Введение

В настоящее время невозможно представить спорт и физическую культуру без науки. Правильно организованное физическое воспитание школьника, способствующее укреплению его здоровья, эффективная тренировка спортсмена, результатом которой является рост спортивных рекордов, - это все строится на научных основах.

Цель данной работы - изложение основных методов математической статистики, теории вероятности в доступной для студентов физических факультетов. То есть студентов знающих математику в объеме средней школы.

Наука - это точное знание, собирающее факты, и во всех них присутствуют цифры. При оценке успеваемости учеников учителем, при подсчитывании результатов на соревнованиях и т.д. при всем этом оперируют цифрами и в этом уже есть зачатки науки. Еще более научным является сбор материала, для того чтобы выявить какую-нибудь закономерность, систему, например, при систематизации спортивных рекордов в беге, плавании, конькобежном спорте, привело к установлению общего математического закона. Подсчет количества килограммов, поднимаемых тяжелоатлетами на тренировках, и сопоставление его со спортивными достижениями позволили определить тренировочную нагрузку, которая дает наилучший результат. При анализе индивидуальной тренировочной нагрузки элементами исследуемой совокупности могут быть отдельные значения интенсивности или объема нагрузки, зарегистрированные у конкретного спортсмена в различные периоды времени. Каждый элемент совокупности может обладать рядом признаков, при этом одни признаки могут быть однородными, а другие могут изменяться. Например, элементами совокупности могут быть спортсмены - представители одного вида спорта, одинаковой квалификации, одинакового возраста, но различными могут быть показатели роста, веса, скорости движения и т.д.

Предметом изучения как раз и являются изменяющиеся признаки. Значение, принимаемое данной величиной, в каждом случае зависит от ряда факторов, которые обычно заранее не известны. Закономерности присущие подобным величинам, получили название случайных, изучаются теорией вероятности и математической статистики.

Математическая статистика устанавливает перспективность спортсменов, условия более благоприятные для тренировок и их эффективность. Также статистика помогает сделать объективные и научно обоснованные выводы при анализе спортивной деятельности.

I. Вероятность

Основные понятия

В нашей жизни часто приходится иметь дело со случайными явлениями, то есть ситуациями, исход которых нельзя точно предвидеть, например мы не можем точно сказать при подбрасывании монеты упадет она вверх гербом или цифрой. Аналогично не можем точно сказать, сколько очков выбьет стрелок на соревнованиях. Говоря о случайных событиях в нашем сознании возникает представление о вероятности явления.

Под испытанием в теории вероятностей принято принимать наблюдение какого-либо явления при соблюдении определенного набора условий, который каждый раз должен выполняться при повторении данного испытания. Если то же самое испытание производиться при другом наборе условии, то считается, что это уже другое испытание.

Результаты испытаний можно охарактеризовать качественно и количественно.

Качественная характеристика заключается в регистрации какого-либо явления, которое может наблюдаться или нет при данном испытании. Любое из явлений называется событием.

Событие бывает:

· Достоверное (всегда происходит в результате испытания);

· Невозможное (никогда не происходит);

· Случайное (может произойти или не произойти в результате испытания).

Например: При подбрасывании кубика невозможное событие - кубик станет на ребро, случайное событие - выпадение какой либо грани.

Когда мы говорим о соблюдении набора условий данного испытания, мы имеем в виду постоянство значений всех факторов, контролируемых в данном испытании. Но при этом может быть большое количество неконтролируемых факторов (например, погода, ветер и т.д.), которые трудно или невозможно учесть. Следовательно, значение неконтролируемых факторов могут быть различными при каждом повторении испытания, поэтому результаты испытания оказываются случайными. Событие может произойти или не произойти.

Теория вероятностей рассматривает именно такие события, при этом предполагается, что испытание может быть повторено любое количество раз.

Например, выполнение штрафного броска в баскетболе есть испытание, а попадание в кольцо - событие. Другой пример события - это выпадение определенного числа очков при бросании игральной кости.

В теории вероятности события обозначаются прописными (заглавными) латинскими буквами: A, B, C, D…

Количественная характеристика испытания выражает значения некоторых величин, которыми интересуются при данном испытании (например, число подтягиваний, время на беговой дистанции). До испытания нельзя сказать чему будет равна данная величина, поэтому она называется случайной.

1. Задачи, использующие формулу сложения и умножения

вероятностей

В этом разделе мы рассмотрим основные правила операций над различными событиями. Дадим определение вероятности и узнаем, как можно применять полученные знания в спортивной области.

1.1 Операции над событиями.

1.Сумма

Событие С называется суммой А+В, которое представляет собой событие, состоящее из появлении хотя бы одного из событий А и В. Сумму также иногда называют объединением событий А и В и обозначают АВ.

46

2. Произведение

Событие C называется произведением A и B, если оно состоит из всех событий, входящих и в A, и в B. Произведение также называют пересечением и обозначается как АВ.

46

3.Разность

Разностью событий A-B называется событие C, состоящее из всех э событий, входящих в A, но не входящих в B.

46

4.Противоположное

Событие называется противоположным событию A, называется событие, состоящее в непоявлении события А. Обозначается противоположное событие символом .

46

Пример: Противоположными событиями являются промах и попадание при выстреле, или выпадении герба или цифры при одном подбрасывании монеты.

5.События A и B называются несовместными, если они никогда не могут произойти в результате одного испытания.

Пример: При одном подбрасывании монеты никогда не выпадет одновременно и орел и цифра.

46

6.События называется невозможным, если оно не может произойти в результате данного испытания. Принято обозначение: Ш.

7.Достоверное событие

Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в результате данного испытания. Оно обозначается как Е.

46

1.2 Вероятность событий

Рассмотрим некоторое количество испытаний, в результате которых появилось событие А. Пусть было произведено N испытаний, в результате которых событие А появилось ровно n раз. Тогда отношение - называют относительной частотой (частость).

Также при большом количестве повторений испытания частость событий мало изменяется и стабилизируется около определенного значения, а при не большом количестве повторений она может принимать различные значения. Поэтому интуитивно ясно, что при большом количестве повторений испытания частость события будет стремиться к определенному числовому значению. Такое значение принято называть вероятностью события А и обозначают Р(А).

В математике неограниченное число поворений принято записывать в виде предела при N стремящегося к бесконечности:

Так как n всегда больше либо равно N, то вероятность заключена в интервале: .

В некоторых случая вероятности событий могут быть легко определены исходя из условий испытаний. Пусть испытание имеет n возможных исходов, то есть событий, которые могут появиться в результате данного испытания. При каждом повторении возможно появление только одного из данных исходов (то есть все n исходов несовместны). Кроме того по условиям испытания нельзя сказать какие исходы появляются чаще других, то есть все исходы являются равновозможными. Допустим теперь что при n равновозможных исходах интерес представляет событие А, которое появляется только при m исходах и не появляется при остальных n-m исходах. И принято говорить, что в данном испытании имеется n случае, из которых m благоприятствуют появлению события А.

В таком случае вероятность можно вычислить, как отношение числа случаев благоприятствующих появлению события А (т.е. m), к общему числу всех исходов n:

.

Данная формула представляет собой определение вероятности по Лапласу, которое пришло из области азартных игр, где теория вероятности применялась для определения перспективы выигрыша.

1.3 Основные формулы комбинаторики

Для того чтобы определить вероятность нужно знать количество исходов, а также количество благоприятных исходов. Если количество испытаний мало, то можно вручную перебрать все исходы и выявить среди них благоприятные. Что делать в том случае, если количество испытаний велико?

В таком случае приходят на помощь следующие формулы.

Теорема о перемножении шансов:

Пусть имеется, k групп элементов, причем каждая группа элементов содержит определенное количество элементов, например 1-ая содержит n1 элемент, 2-ая группа n2 элементов, тогда i-я группа содержит ni элементов. Тогда общее число N способов, которыми можно произвести такой выбор, равняется

Данную формулу можно применить к решению следующей задачи: Сколько существует пятизначных натуральных чисел.

Решение: Как известно всего 10 цифр. Представим пятизначное число, как *****, где вместо первой звездочки можно подставить все цифры кроме 0, так как если подставим 0, то получим четырехзначное число (нам надо пятизначное). Вместо второй звездочки можно подставить 10 цифр, аналогично вместо оставшихся можно подставлять любую из 10 цифр. Таким образом, у нас имеется 5 групп элементов, первая группа содержит 9 элементов, а оставшиеся 4 группы содержать по 10 элементов. Тогда используя формулу найдем количество пятизначных чисел:

Теорема: о выборе, с учетом порядка

Общее количество выбора k элементов из n элементов с учетом порядка определяется формулой:

и называется числом размещений из n элементов по k элементов.

Решим задачу: В областных соревнованиях по футболу участвует 8 команд. Требуется определить сколькими способами можно составить группу, состоящую их 4 команд.

Другими словами нам нужно выбрать 4 футбольных команды из 8 команд, т.е:

Теорема: выбор без учета порядка

Общее количество выборок в схеме выбора k элементов из n без возвращения и без учета порядка определяется формулой

и называется числом сочетаний из n элементов по k элементов.

1.4 Основные правила вычисления вероятностей

Приведем основные правила, позволяющие определить вероятность появления сложного события, состоящего из более простых событий, вероятность которых нам известна.

1.Вероятность достоверного события равна единице:

P(E)=1.

2. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей.

Р(А1+ А2+…+ Аn)=Р(А1)+ Р(А2)+…+ Р(Аn).

Эти два равенства являются аксиомами, то есть не требуют доказательства. На основе этих равенств строится вся теория вероятностей. Приведенные ниже формулы можно вывести при помощи этих аксиом.

3. Вероятность невозможного события равна 0:

P(Ш)=0.

4.Вероятность противоположного события равна:

Р(В)=1-Р(А)

5.Вероятность объединения произвольных событий равна сумме их вероятностей без вероятности произведения событий

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

В общем случае данная формулы выглядит так:

.

Определение. Событие А В называются независимыми, если Р(АВ)=Р(А)Р(В).

На практике часто путают независимые и несовместные события, это разные понятия. Другими словами можно сказать, если события связаны независимыми экспериментами, то и сами события будут независимыми.

Решение задач

Пример 1. Применим теперь полученные знания для решения задач

Монету бросают два раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится герб.

Решение. Для начала переберем все возможные исходы: ГГ, ГЦ, ЦГ, ЦЦ. Здесь, например ЦГ означает, что при первом бросании появилась цифра, а при втором - герб. Других исходов не существует. Следовательно получаем, что n=4 (количество исходов) . Найдем теперь благоприятные исходы: герб появляется в следующих случаях ГГ, ГЦ, ЦГ, то есть m=4. Таким образом:

.

Пример 2.

Какова вероятность того, что из шести отмеченных чисел в карточке «Спортлото» (игра из 49) k чисел будут выигрышными.

Решение. Пусть событие А - среди отмеченных чисел к чисел выигрышные. Эксперимент состоит в том, что случайным образом отмечаются 6 чисел из 49. Поэтому равновозможными событиями будут наборы из шести отмеченных чисел. Так как для определения произойдет или не произойдет событие А порядок чисел не существенен, то в качестве равновозможных событий можно рассматривать наборы 6 чисел из 49. Следовательно общее число исходов будет определяться как . Событие А состоит из наборов 6 чисел среди которых к - выигрышные, а 6-к проигрышные. Набор из к выигрышных чисел можно выбрать способами, а набор 6-k проигрышных чисел (мы выбираем уже из 49-6=43 билетов), можно выбрать способами. Тогда набор из k выигрышных и 6-k проигрышных чисел можно выбрать способами, следовательно вероятность равна:

.

Пример 3. Три стрелка сделали по одному выстрелу по мишени. Вероятность попадания в мишень для одного из стрелков равна 0,6, для другого 0,7, для третьего 0,93. Найти вероятность того, что: а) хотя бы один из стрелков попадет в мишень; б) только один из стрелков попадет в мишень; в) ни один из стрелков не попадет в мишень.

Решение. Пусть событие А - первый стрелок попал в мишень, тогда P(A)=0,6;

Событие В - второй стрелок попал в мишень, тогда Р(В)=0,7;

Событие С - третий стрелок попал в мишень, тогда Р(С)=0,93 .

В данной задаче все события являются независимые, так как стреляют, не зависимо друг от друга.

а) Пусть событие S - хотя бы один из стрелков попадет в мишень. Вспомним определение суммы событий: Событие С называется суммой А+В, которое представляет собой событие, состоящее из появлении хотя бы одного из событий А и В.

Данное определение можно применить и к большему числу событий. Следовательно событие S=А+В+С. ТО есть нам нужно найти Р(А+В+С). А так как все события независимые, то применяя формулу суммы и произведения независимых событий получаем:

Р(А+В+С)=Р(А)+Р(В)+Р(С)-Р(АВ)-Р(АС)-Р(ВС)+Р(АВС)=0,99.

б)Пусть событие S - только один из стрелков попадет в мишень. Данное событие можно представить как сумму следующих событий: . Рассмотрим подробно событие , но для начала вспомним определение произведения событий: Событие C называется произведением A и B, если оно состоит из всех событий, входящих и в A, и в B. Итак событие значит, что первый игрок попадет а два других промажут, аналогично рассматриваются два других слагаемых. Данные слагаемые является несовместным, так как появление одного из них исключает появление двух других. Значит можно применить формулу суммы несовместных событий, а затем формулу произведения независимых событий:

P()=P()+P()+P()=

=P(А)Р()Р()+Р()Р(В)Р()+Р()Р()Р(С)

Вспомним как вычисляется вероятность противоположного события: Р(В)=1-Р(А)

Применив данную формулу, вычислим вероятность и в итоге получим, что

P()=0,1438.

в) Составим отрицание к событию рассматриваемому в пункте а). Если событие S - хотя бы один из стрелков попадет в мишень, то тогда - ни одни из стрелков не попадет в мишень. Следовательно для решении данной задачи требуется найти Р(). Вычислим при помощи формулы противоположного события:

Р()=1- Р()=1-0,99=0,01.

Задачи для самостоятельного решения:

1.1

Из всех участников всероссийского турнира по легкой атлетике наудачу выбирают одного. Пусть событие А состоит в том, что выбранный участник соревнуется в беге на 100м, B - победитель чемпионата России, С - является мастером спорта. Описать события: ВB, АВС, А\( АВ). Справедливы ли следующие отношения: АСВ,

АВС=А.

1.2

Игральный кубик бросается дважды, найти вероятность того, что сумма выпавших очков не превосходит 4.

1.3

Известно, что среди 40 участников имеются 10 мастеров спорта. Среди всех участников случайным образом выбрали первую пятерку, найдите вероятность, что в этой пятерке присутствуют ровно 2 мастера спорта.

1.4

На карточках написаны буквы: А, З, И, К, Л, Т, У, У, Ф, Ь. Вынимают наугад одну карточку за другой и раскладывают в том порядке в каком они были вынуты. Найти вероятность того, что на карточках будет написано слово ФИЗКУЛЬТУРА.

1.5

Во всероссийском дне бега каждому участнику присваивался определенный четырехзначный номер. И была проведена акция всем тем у кого на номере встречаются два раза цифра 7 получают в подарок кружку. Определите сколько кружек должен приготовить спорткомитет.

1.6

Хоккейная команда состоит из 30 человек, среди которых имеется 14 больных игроков. Все больничные карточки кто-то украл и кабинета доктора и ни один больной хоккеист не сознается в том, что он болен, так как все хотят играть. Найти вероятность, что в стартовой пятерке игроков два окажутся больными.

1.7

Из 30 экзаменационных вопросов студент знает 20. Какова вероятность того, что он правильно ответит на два вопроса из двух?

1.8

Из колоды карт (52 карты) наугад вынимают 3 карты. Найти вероятность того, что это будет тройка, четверка и туз.

1.9

В лотерее 100 билетов, среди них один выигрыш во 100 р, 3 выигрыша по 50 р, 6 выигрышей по 20 р и 15 по 3 р. Найти вероятность какого-нибудь выигрыша при покупке трех билетов. Что вероятнее: выиграть не менее 50 р или не более 50 р при покупке одного лотерейного билета?

1.10

Даны вероятности p=P(f), q=P(B), r=P(AB). Найдите вероятность следующих событий: P(AB), P(ВB).

1.11

Брошены 6 игральных костей. Найдите вероятности следующих событий: а) на всех выпавших гранях появится одинаковое число очков; б) ровно на трех гранях появится 6 очков; в) хотябы на трех гранях появится не менее трех очков.

1.12

Какое наименьшее число костей надо бросить, чтобы наивероятнейшее число выпадений шестерки было равно 5?

1.13

Вероятность безотказной работы прибора равна 0.7. Для повышения надежности этот прибор дублируется несколькими такими же приборами (если один откажет, то начинает работать другой). Сколько дополнительно приборов надо взять, чтобы повысить надежность работы до 0.99?

1.14

Два равносильных игрока играют в шахматы. Ничьи во внимание не принимаются. Что вероятнее: а) выиграть три партии из четырех или четыре партии из шести; б) выиграть не менее трех партий из четырех или не менее четырех партий из шести?

1.15

В связи с распадом футбольной команды из 30 человек, руководством было принято решение 15 человек отправить играть в московскую команду, 8 человек в Пермскую команду и 7 человек в Киров. Места распределялись случайным образом. Какова вероятность того, что два друг попадут в один город.

1.16

Для победы игроку необходимо забросить один мяч в кольцо. Найти вероятность того, что команда выиграет, если можно кинуть мяч всего четыре раза, вероятности попадания которых равны 0,3; 0,4; 0,6; 0,7. 2. Задачи, использующие формулу полной вероятности и формулу

Бейеса

2.1 Условная вероятность

Определение. Условной вероятностью события А, при условии, что произошло событие В, называется отношение вероятностей P(АВ) к Р(В) и обозначается Р(А/В):

.

Условная вероятность обладает следующими свойствами:

1. если то Р(А/В)=1

2. если Ш, то Р((А+В)/С)=Р(А/С)+Р(В/С)

3.

2.2 Формула полной вероятности

Определение. Пусть задано некоторое вероятностное пространство (?, F, P). Тогда совокупность событий А1, А2, …, Аn называется полной группой событий, если выполняются следующие условия:

а) А1 А2 …,Аn=?;

б) Аi Aj=Ш, ;

г) Р(Ак)>0.

Пусть дано событие А, оно может наступить при появлении одного из несовместных Событий В1, В2,…, Вn, которые образуют полную группу. Нам также известны вероятности , , …, . Как можно найти вероятность события А? Ответ на этот вопрос дает теорема:

Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появлении одного из несовместных событий В1, В2,…, Вn, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятности каждого из этих событий на собственную условную вероятность:

P(А)=.

Эту формулу также называют формулой полной вероятности.

2.3 Формула Бейеса

Составим задачу: Пусть дано событие А, оно может наступить при появлении одного из несовместных Событий В1, В2,…, Вn, которые образуют полную группу. Так как нам заранее не известно, какое событие наступит, их называют гипотезами. Допустим, что произведено испытание в результате, которого появилось событие А. Поставим своей задачей определить как изменились вероятности гипотез, в связи с тем что событие А уже наступило. Другими словами определим следующие условные вероятности:

, , …, .

Определить данные вероятности можно при помощи формулы Бейеса:

,

Заменив P(А)= получим:

.

Решение задач.

Задача 1. Бросается игральный кубик. Какова вероятность того, что выпало число очков, больше трех (событие А), если известно, что выпала четная грань (событие В)?

Решение. Событию В соответствует выпадение чисел 2,4,6. Событию А выпадение чисел 4, 5, 6. Событию АВ - 4, 6. Поэтому используя формулу условной вероятности получи:

.

Задача 2. Для контроля продукции лыжной фабрики из трех партий лыж взята на проверку одна деталь. Какова вероятность выявления бракованной продукции, если в одной партии 2/3 лыж бракованные, а в двух других все доброкачественные?

Решение. Пусть событие В= «Взятая деталь бракованная», Ак= «деталь берется из к-ой партии», тогда вероятность Р(Ак)=1/3, где к=1; 2; 3.

Пусть в первой партии находятся бракованные лыжи, значит , тогда в двух других парий нет бракованных лыж, то есть: . Применяя формулу полной вероятности получим:

P(B)=.

Задача 3. Прибор состоит из двух узлов; работа каждого узла необходима для работы прибора в целом. Надежность (вероятность безотказной работы) в течении времени t первого узла равна p1, второго р2. Прибор испытывался в течении времени t, в результате чего обнаружено, что он отказал. Найдите вероятность того, что отказал первый узел, а второй исправен.

Решение. Пусть событие В= «прибор отказал», событие А1= «Оба узла исправны», А2= «первый узел отказал, а второй испарвен», А3= «первый узел исправен, а второй узел отказал», А4= «Оба узла отказали». Эти события образуют полную группу событий. Найдем их вероятности:

Р(А1)=р1р2

Р(А2)=(1-р12

Р(А3)=р1(1-р2)

Р(А4)=(1-р1)(1-р2).

Так как наблюдалось событие В, то:

Р(В/А1)=0,

Р(В/А2)= Р(В/А3)= 1.

Применяя формулу Бейеса получим:

.

Задачи для самостоятельного решения

2.1.

Среди N экзаменационных билетов n «счастливых». Студенты подходят за билетами один за другим. У кого больше вероятность взять счастливый билет: у того, кто подошел первым, или у того, кто подошел вторым? Какова вероятность взять «счастливый» билет у последнего студента?

2.2.

15 экзаменационных билетов содержат по 2 вопроса, которые не повторяются. Экзаменующийся может ответить толь- ко на 25 вопросов. Определить вероятность того, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на два вопроса из одного билета или на один вопрос из первого билета и на указанный дополнительный вопрос из другого билета.

2.3.

В техникуме n студентов, из которых nk , k = 1, 2, 3 , человек учатся k -й год. Среди двух наудачу выбранных студентов оказалось, что один из них учится больше второго. Какова вероятность того, что этот студент учится третий год?

2.3

Из чисел 1, 2, …, n одно за другим выбирают наугад два числа. Какова вероятность тго, что разность между первыми выбранным числом и вторым будет не меньше m?

2.4

Во время испытаний было установлено, что вероятность безотказной работы прибора при отсутствии повреждений равна 0,99, при перегреве - 0,95, при вибрации - 0,9, при вибрации и перегреве - 0,8. Найти вероятность P1 отказа этого прибора во время работы в жарких странах (вероятность перегрева - 0,2, вибрации - 0,1) и вероятность P2 отказа во время работы в передвигающейся лаборатории (вероятность перегрева - 0,1, вибрации - 0,3), если считать перегрев и вибрацию независимыми событиями.

2.5

По каналу связи передают символы A , B , C с вероятностями 0,4; 0,3; 0,3 соответственно. Вероятность искажения сим- вола равна 0,4, и все искажения равновероятны. Для увеличения надежности каждый символ повторяют четыре раза. На выходе восприняли последовательность ВАСВ. Какова вероятность того, что передали АААА, ВВВВ, СССС?

2.6

На наблюдательной станции установлены 4 радиолокатора различных конструкций. Вероятность обнаружения целей с помощью первого локатора равна 0,86, второго 0,9, третьего 0,92, четвертого 0,95. Наблюдатель наугад включает один из локаторов. Какова вероятность обнаружения цели?

2.7

Вероятность того, что двое близнецов будут одного пола 0,64, а вероятность рождения в двойне первым мальчика 0,51. Найти вероятность того, что второй из близнецов будет мальчиком, при условии, что первый из них мальчик.

2.8

Некоторая деталь производиться на двух заводах. Известно, что объем продукции первого завода в к раз превышает объем второго. Доля брака на первом заводе 0,3, на втором 0,2. Наугад взятая деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что эта деталь выпущена первым заводом?

2.9

Среди женщин - избирателей 70% поддерживают кандидата А, а среди мужчин 60%. Используя данные переписи, согласно которым доля женщин избирателей составляет 55%, оценить вероятность победы на выборах кандидата А.

2.10

Трое сотрудников фирмы выдают соответственно 30%, 50%, 20% всех изделий, производимой фирмой. У первого брак 2%, второго 5%, третьего 1%. Какова вероятность, что случайно выбранное изделие дефектно? 3. Случайные величины

Изучение случайных величин требует связи этих величин с определенными событиями, которые заключаются в попадании случайной величины в некоторый интервал и для которых определены вероятности. Другими словами необходимо связать случайную величину с полем данного испытания.

Для лучшего понимания рассмотрим пример. При бросании кости могли появиться цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6. Наперед определить число выпавших очков невозможно, так как это зависит от многих случайных величин, которые полностью не могут быть учтены. В этом смысле число очков есть величина случайная; и числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 - есть возможные значения этой величины.

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Будем обозначать случайные величины прописными (заглавными) буквами: X, Y, Z, а их возможные значения соответствующими строчными буквами x, y, z. Если величина Х имеет три значения то они будут обозначены так: х1, х2, х3 .

3.1 Дискретные и непрерывные случайные величины

Обычно рассматриваются два типа случайных величин: дискретные и непрерывные.

Рассмотрим следующий пример: Число мальчиков пошедших в секцию бальных танцев среди 100 пришедших туда людей есть случайная величина, которая может принимать следующие значения 0, 1, 2, …, 100. Эти значения отделены друг от друга промежутками, в которых нет возможных значений Х . таким образо и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.