На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Лекции Локальные экстремумы функции. Теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа. Достаточные условия экстремума функции. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точка перегиба. Асимптоты графика функции. Схема построения графика.

Информация:

Тип работы: Лекции. Предмет: Математика. Добавлен: 27.05.2010. Сдан: 2010. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


2
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Исследование функций
СОДЕРЖАНИЕ

Лекция 1. Основные теоремы дифференциального исчисления
1. Локальные экстремумы функции
2. Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа
Лекция 2. Исследование функций
1. Достаточные условия экстремума функции
2. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точка перегиба
3. Асимптоты графика функции
4. Общая схема построения графика функции
Задачи и упражнения
Ответы к задачам и упражнениям
Литература
Лекция 1.
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

План:

1. Локальные экстремумы функции.
2. Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа.
Ключевые понятия

Локальный максимум. Локальный минимум. Локальный экстремум. Монотонность функции.

1. Локальные экстремумы функции

Пусть задана функция у = f (х) на множестве Х и х0 - внутренняя точка множества Х.
Обозначим через U(х0) окрестность точки х0. В точке х0 функция f (х) имеет локальный максимум, если существует такая окрестность U(х0) точки х0, что для всех х из этой окрестности выполнено условие f (х) f (х0).
Аналогично: функция f (х) имеет в точке х0 локальный минимум, если существует такая окрестность U(х0) точки х0, что для всех х из этой окрестности выполнено условие f (х) f (х0).
Точки локальных максимума и минимума называются точками локальных экстремумов, а значения функции в них - локальными экстремумами функции.
Пусть функция f (х) определена на отрезке [а, b] и имеет локальный экстремум на каком-то из концов этого отрезка. Тогда такой экстремум называется локальным односторонним или краевым экстремумом. В этом случае соответствующая окрестность является правой для «а» и левой для «b» полуокрестностью.
Проиллюстрируем данные выше определения:
На рисунке точки х1, х3 - точки локального минимума, точки х2, х4 - точки локального максимума, х = а - краевого максимума, х = b - краевого минимума.
Заметим, что наряду с локальными минимумом и максимумом определяют так называемые глобальные минимумы и максимумы функции f(х) на отрезке [a, b]. На рисунке точка х = а - точка глобального максимума (в этой точке функция f(х) принимает наибольшее значение на отрезке [a, b]), точка х = х3 - точка соответственно глобального минимума.
2. Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа

Рассмотрим некоторые теоремы, которые позволят в дальнейшем проводить исследование поведения функций. Они носят названия основных теорем математического анализа или основных теорем дифференциального исчисления, поскольку указывают на взаимосвязь производной функции в точке и ее поведения в этой точке. Рассмотрим теорему Ферма.
Пьер Ферма (1601-1665) - французский математик. По профессии - юрист. Математикой занимался в свободное время. Ферма - один из создателей теории чисел. С его именем связаны две теоремы: великая теорема Ферма (для любого натурального числа n > 2 уравнение хn + yn = zn не имеет решений в целых положительных числах х, у, z) и малая теорема Ферма (если р - простое число и а - целое число, не делящееся на р, то а р-1 - 1 делится на р).
Теорема Ферма. Пусть функция f (х) определена на интервале (а, b) и в некоторой точке х0 (а, b) имеет локальный экстремум. Тогда, если в точке х0 существует конечная производная f '(x0), то f '(x0) = 0.
Доказательство.
Пусть, для определенности, в точке х0 функция имеет локальный минимум, то есть f (х) f (х0), х U(х0). Тогда в силу дифференцируемости
f (х) в точке х0 получим:
при х > х0:
при х < х0:
Следовательно, эти неравенства в силу дифференцируемости имеют место одновременно лишь когда
Теорема доказана.
Геометрический смысл теоремы Ферма: если х0 (а, b) является точкой минимума или максимума функции f (х) и в этой точке существует производная функции, то касательная, проведенная к графику функции
в точке (х0, f (х0)), параллельна оси Ох:
Заметим, что оба условия теоремы Ферма - интервал (а, b) и дифференцируемость функции в точке локального экстремума - обязательны.
Пример 1. у = х, х (-1; 1).
В точке х0 = 0 функция имеет минимум, но в этой точке производная не существует. Следовательно, теорема Ферма для данной функции неверна (не выполняется условие дифференцируемости функции в точке х0).
Пример 2. у = х3, х [-1; 1].
В точке х0 = 1 функция имеет краевой максимум. Теорема Ферма не выполняется, так как точка х0 = 1 (-1; 1).
Мишель Ролль (1652-1719) - французский математик, член Парижской академии наук. Разработал метод отделения действительных корней алгебраических уравнений.
Теорема Ролля. Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [а, b], дифференцируема на (а, b), f (а) = f(b). Тогда существует хотя бы одна точка , а < < b, такая, что f '() = 0.
Доказательство:
1) если f (x) = const на [a, b], то f '(х) = 0, х (a, b);
2) если f (x) const на [a, b], то непрерывная на [a, b] функция достигает наибольшего и наименьшего значений в некоторых точках отрезка
[a, b]. Следовательно, max f (x) или min f (x) обязательно достигается во внутренней точке отрезка [a, b], а по теореме Ферма имеем, что f '() = 0.
Теорема доказана.

Геометрический смысл теоремы Ролля: при выполнении условий теоремы внутри отрезка [a, b] обязательно найдется хотя бы одна точка , такая, что касательная к графику f (x) в точке (, f ()) Ox (см. рисунок).
Заметим, что все условия теоремы существенны.
Пример 3. f (x) = х, х [-1; 1]. f (-1) = f (1) = 1.
В точке х = 0 нарушено условие дифференцируемости. Следовательно, теорема Ролля не применяется - ни в одной точке отрезка [-1; 1] производная в нуль не обращается.
Пример 4.
Для данной функции f(0) = f(1) = 0, но ни в одной точке интервала
(0; 1) производная не равна 0, так как теорема Ролля не выполняется - функция не является непрерывной на [0; 1].
Огюстен Коши (1789-1857) - французский математик, член Парижской академии наук, почетный член Петербургской и многих других академий. Труды Коши относятся к математическому анализу, дифференциальным уравнениям, алгебре, геометрии и другим математическим наукам.
Теорема Коши. Пусть функции f (х) и g(х) непрерывны на отрезке
[a, b] и дифференцируемы на интервале (a, b), причем g'(х) 0, х (a, b). Тогда на (a, b) найдется точка , такая, что
. (1)
Доказательство.
Рассмотрим вспомогательную функцию
Функция F(х) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b), причем F(а) = F(b) = 0. Следовательно, по теореме Ролля на (a, b) существует точка , такая, что F'() = 0:
Следовательно:
.
Теорема доказана.

Жозеф Луи Лагранж (1736-1813) - французский математик и механик, почетный член Парижской и Петербургской академий. Ему принадлежат выдающиеся исследования по математическому анализу, по различным вопросам дифференциальных уравнений, по алгебре и теории чисел, механике, астрономии. Лагранж впервые ввел в рассмотрение тройные интегралы, предложил обозначения для производной (y', f '(x)).
Теорема Лагранжа. Пусть функция f(х) непрерывна на [a, b], дифференцируема на интервале (a, b). Тогда на (a, b) найдется точка , такая, что
. (2)
Доказательство.
Из формулы (1) при g(x) = x получаем формулу (2).
Теорема доказана.

Равенство (2) называют формулой конечных приращений или формулой Лагранжа о среднем.
Геометрический смысл теоремы Лагранжа.
При выполнении условий теоремы внутри отрезка [a, b] обязательно найдется хотя бы одна точка , такая, что касательная к графику функции
f (x) в точке (, f ()) параллельна секущей, проходящей через точки А (а, f (а)) и В (b, f(b)) (см. рисунок).
Рассмотрим следствия из теоремы Лагранжа:
1. (условие постоянства функции на отрезке). Пусть функция f (x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b). Если f '(x) = 0, х (a, b), то функция f (x) постоянна на [a, b].
2. Пусть функции f (x) и g(х) непрерывны на отрезке [a, b], дифференцируемы на интервале (a, b), f '(x) = g'(х), х (a, b). Тогда f (x) = g(х) + С, где С = const.
3. (условие монотонности функции). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируемая на интервале (a, b). Тогда, если f '(x) > 0, х (a, b), то f (x) строго монотонно возрастает на (a, b). Если же f '(x) < 0,
х (a, b), то f (x) строго монотонно убывает на (a, b).
Лекция 2.
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

План

1. Достаточные условия экстремума функции.
2. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точка перегиба.
3. Асимптоты графика функции.
4. Общая схема построения графика функции.
Ключевые понятия

Асимптота функции. Локальный минимум. Локальный максимум. Ста-ционарная точка. Выпуклость вверх. Выпуклость вниз. Точка перегиба.

1. Достаточные условия экстремума функции

В лекции 1 мы рассмотрели основные теоремы математического анализа, которые широко используются при исследовании функции, построении ее графика.
По теореме Ферма: из дифференцируемости функции f (x) в точке локального экстремума х0 следует, что f '(x0) = 0. Данное условие является необходимым условием существования в точке локального экстремума, то есть если в точке х0 - экстремум функции f (x) и в этой точке существует производная, то f '(x0) = 0. Точки х0, в которых f '(x0) = 0, называются стационарными точками функции. Заметим, что равенство нулю производной в точке не является достаточным для существования локального экстремума в этой точке.
Пример 1. у = х3, у' = 3х2, у'(0) = 0, но в точке х0 = 0 нет экстремума.
Точками, подозрительными на экстремум функции f (x) на интервале (a, b), являются точки, в которых производная существует и равна 0 либо она не существует или равна бесконечности. На рисунках функции имеют минимум в точке х0 = 0:
f '(0) = 0 f '(0) f '(0) =
Рассмотрим достаточные условия существования в точке локального экстремума, которые позволят ответить на вопрос: «Есть ли в точке экстремум и какой именно - минимум или максимум?».
Теорема 1 (первое достаточное условие экстремума). Пусть непрерывная функция f (x) дифференцируема в некоторой проколотой окрестности U(x0) точки х0 (проколотая окрестность означает, что сама точка х0 выбрасывается из окрестности) и непрерывна в точке х0. Тогда:
1) если (1)
то в точке х0 - локальный максимум;
2) если (2)
то в точке х0 - локальный минимум.
Доказательство.
Из неравенств (1) и следствия 3 теоремы Лагранжа (о монотонности функции) следует, что при х < х0 функция не убывает, а при х > х0 функция не возрастает, то есть
(3)
Следовательно, из (3) получаем, что в точке х0 функция имеет локальный максимум.
Аналогично можно рассмотреть неравенства (2) для локального минимума:
f (x) f (x)
f '(х) 0 f '(х) 0 f '(х) 0 f '(х) 0
Теорема доказана.

Пример 2. Исследовать на монотонность и локальный экстремум функцию с помощью производной первого порядка.
Решение. Найдем стационарные точки функции:
х2 -1 = 0 х1 = -1, х2 = 1.
Заметим, что данная функция не определена в точке х = 0. Следовательно:
х
(-; -1)
-1
(-1; 0)
0
(0; 1)
1
(1; +)
у'
+
0
-
-
-
0
+
у

-2
-
2
max min
То есть функция возрастает на интервалах (-; -1) и (1; +), убывает на интервалах (-1; 0), (0; 1), имеет локальный максимум в точке х1 = -1, равный уmax (-1) = -2; имеет локальный минимум в точке х2 = 1, уmin (1) = 2.
Теорема 2 (второе до и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.