На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


методичка Пределы функций и их основные свойства, операция предельного перехода, бесконечно малые функции. Производная функции, важнейшие правила дифференцирования, правило Лопиталя. Применение дифференциала функции в приближенных вычислениях, построение графиков.

Информация:

Тип работы: методичка. Предмет: Математика. Добавлен: 18.05.2010. Сдан: 2010. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


Тема 1. Предел функции

Число А называется пределом функции при , стремящимся к , если для любого положительного числа (>0) найдется такое положительное число >0 (зависящее в общем случае от ), что для всех , не равных и удовлетворяющих условию <, выполняется неравенство А <.
Для предела функции вводится обозначение =А.
Пределы функций обладают следующими основными свойствами:
Функция не может иметь более одного предела.
Если = С (постоянная), то С.
Если существует А, то для любого числа верно:
Если существуют А и В, то = АВ, а если В0, то
.
Операция предельного перехода перестановочна с операцией вычисления непрерывной функции, т. е. справедлива формула
Если функция непрерывна в точке , то искомый предел равен значению функции в этой точке, т.е. он находится непосредственной подстановкой предельного значения переменной вместо аргумента :
Функция ( называется бесконечно малой величиной при , если ее предел равен нулю: Функция называется бесконечно большой величиной при , если
Пример 1. 9.
Пример 2. .
В рассмотренных примерах предел находился сразу: в виде числа или символа (бесконечность). Но чаще при вычислении пределов мы встречаемся с неопределенностями, когда результат нахождения предела не ясен, например, в случае отношения двух бесконечно малых функций (условное обозначение ) или бесконечно больших ().Кроме названных встречаются неопределенности вида
Для раскрытия неопределенностей используются специальные приемы и два следующих предела, которые играют особую роль в математике и поэтому называются замечательными:
- первый замечательный предел
-второй замечательный предел (число Эйлера).
Пример 3. .
Решение. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что имеем дело с неопределенностью вида :
.
Для раскрытия неопределенности разложим числитель и знаменатель на множители. Найдем корни многочлена, стоящего в числителе. Для этого составим уравнение второй степени и найдем его решение:
Тогда для квадратного трехчлена справедливо разложение на множители
.
Аналогичные действия выполним для многочлена, стоящего в знаменателе.
Уравнение имеет решения
и знаменатель представляется в виде:
Сократим дробь на множитель и вычислим ее при
Пример 4.
Решение. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что возникает неопределенность вида . Для раскрытия неопределенности умножим числитель и знаменатель на выражение , являющееся сопряженным к знаменателю
= .
Пример 5. .
Решение. Имеем неопределенность вида . Разделим числитель и знаменатель на (в более общем случае, когда числитель и знаменатель представляют многочлены разных степеней, делят на с наибольшим показателем степени числителя и знаменателя). Используя свойства пределов, получим:
.
Пример 6. .
Решение. При имеем неопределенность вида . Представим , разделим и умножим числитель и знаменатель на числа 2, 5 и , тогда предел преобразуется к виду:
.
Пользуясь свойствами пределов и первым замечательным пределом, далее имеем:
.
Пример 7. .
Решение. Имеем неопределенность вида [], так как
, а .
Выделим у дроби целую часть
.
Введем новую переменную и выразим отсюда через : . Тогда
Заметим, что при переменная . Теперь, переходя к новой переменной и используя второй замечательный предел, получим:
=.
Неопределенности вида путем алгебраических преобразований приводятся к виду . Неопределенности вида , можно раскрыть, предварительно прологарифмировав соответствующую функцию. Неопределенности вида можно исключить, используя правило Лопиталя, которое изложено в конце темы 2.
Пример 8. Первоначальный вклад в банк составил денежных единиц. Банк выплачивает ежегодно % годовых. Необходимо найти размер вклада через лет при непрерывном начислении процентов. Решить задачу при =10, =5%, =20 лет.
Решение. При % годовых размер вклада ежегодно будет увеличиваться в
раз, т.е. .
Если начислять проценты по вкладам не один раз в год, а раз, то размер вклада за лет при начислениях составит
.
Тогда размер вклада за лет при непрерывном начислении процентов () сводится к нахождению предела
.
Здесь при решении использовался второй замечательный предел.
Подставляя исходные числовые данные задачи, получаем
(ден. единиц).
Вопросы для самопроверки
Дайте определение предела функции в точке.
Назовите основные свойства пределов функций.
Какие виды неопределенностей встречаются при нахождении пределов?
Какие пределы называются замечательными?
Какие функции называют бесконечно малыми?
Задачи для самостоятельной работы
Найти пределы следующих функций:
Номер варианта
А)
Б)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Таблица 1.
Тема 2. Производная функции

Приращением функции в точке , соответствующим приращению аргумента , называется число .
Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при , если этот предел существует, и обозначается:
.
Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции. Если функция имеет в точке конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке.
Важнейшими правилами дифференцирования являются следующие.
Производная постоянной равна нулю: .
Постоянный множитель выносится за знак производной
.
Производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) производных этих функций
.
Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго
.
Производная частного двух дифференцируемых функций находится по формуле
.
Пусть переменная есть функция от переменной (например, ), а переменная , в свою очередь, есть функция от независимой переменной (), иначе задана сложная функция .
Если и - дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу , умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной :
Если функция, производную которой нужно найти, представляет из себя комбинацию элементарных функций, то для вычисления производной применяются правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций, приводимая ниже.
Таблица 2.

функция
производная

функция
производная
1
7
1/
2
8
-1/
3
1/
9
1/()
4
10
-1/()
5
11
1/(1+)
6
-
12
-1/(1+)
Пример 1. Найти производную функции
.
Решение. Представим ее как сложную функцию. Пусть , тогда и . Найдем производную по промежуточному аргументу как степенной функции
.
В свою очередь, промежуточный аргумент представляется в виде суммы двух степенных функций минус постоянная, поэтому, используя правила 1-3,по-лучим
=.
Отсюда производная искомой функции
.
Пример 2. Найти производную функции
.
Решение. Обозначим, . Тогда и искомая производная находится из формулы .
Производную находим из таблицы производных элементарных функций
.
Второй сомножитель представляет производную от степенной функции
Наконец, последняя производная находится по правилам дифференцирования частного
==.
В итоге получаем искомую производную
.
Пример 3. Наити производную
.
Решение. Производная суммы двух функций есть сумма их производных
.
Для нахождения производной первого слагаемого обозначим , .
Тогда ,
=
Производную второго слагаемого найдем по правилу дифференцирования степенно-показательной функции. Прологарифмируем функцию : Дифференцируем левую и правую часть полученного равенства
Отсюда
Наконец, находим производную искомой функции
Пример 4. На основе опытных данных построена математическая модель спроса населения на некоторый товар в зависимости от цены :
.
Определить эластичность спроса при (в условных денежных един.).
Решение. Эластичностью спроса называют предел отношения относительного приращения спроса к относительному приращению цены при :
.
Если >1, то спрос называют эластичным, при <1 - неэластичным, а при нейтральным.
Найдем производную
.
Тогда
.
Определим эластичность спроса при :. Таким образом, при такой цене имеем неэластичный спрос.
Правило Лопиталя. При нахождении пределов функций (тема 1) неопределенности вида можно исключить, применяя правило Лопиталя: предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных, если последний существует, т. е.
Если (или ), то правило Лопиталя можно использовать вторично, т.е.
В общем случае правило Лопиталя можно применять неоднократно.
Пример 5. Найти
Решение. Для раскрытия неопределенности применим правило Лопиталя.
Неопределенность вида по-прежнему сохраняется. Применим правило Лопиталя еще раз:
Вопросы для самопроверки
Дайте определение производной функции в точке.
Какая функция называется дифференцируемой в точке?
Назовите важнейшие правила дифференцирования.
Как находится производная сложной функции?
Сформулируйте правило Лопиталя.
Задачи для самостоятельной работы
Найти производные следующих функций:
Таблица 3.
Номер варианта
А)
Б)
В)
1
y=(3x4-4x(-1/4)+2)5
y=arccos2x+(1-4x2)1/2
y=2tgx+x sin(2x
2
y=(5x2+4x(5/4)+3)3
y=arctg(x2-1)1/2
y=e3x-2x tg(3x)
3
y=(0.25x8+8x(3/8)-1)3
y=arccos(1-x2)1/2
y=3cosx-x sin(2x)
4
y=(0.2x5-3x(4/3)-4)4
y=arctg(x-1)1/2
5
y=(3x8+5x(2/5)-3)5
y=arctg(2/(x-3))
6
y=(5x4-2x(-3/2)+3)4
y=arccos(1-x)1/2
7
y=(4x3+3x(-4/3)-2)5
y=arcctg(x-1)1/2
8
y=(7x5-3x(5/3)-6)4
y=arcsin3x-(1-9x2)1/2
y=etgx-x1/2 cos(2x).
9
y=(3x4-4x(-1/4)-3)5
y=arctg(1/(x-1))
y=x tg3x+2x-2
10
y=(8x3-9x(-7/3)+6)5
y=arcsin((1-x)1/2)
Тема 3. Применение дифференциала функции в приближенных вычислениях

Дифференциалом функции в точке называется главная, линейная относительно приращения аргумента часть приращения функции , равная произведению производной функции в точке на приращение независимой переменной:
.
Отсюда приращение функции отличается от ее дифференциала на бесконечно малую величину и при достаточно малых значениях можно считать или
.
Приведенная формула используется в приближенных вычислениях.
Пример. Вычислить приближенно
Решение. Рассмотрим функцию . Это степенная функция и ее производная найдется:
В качестве требуется взять число, удовлетворяющее условиям:
- значение известно или достаточно просто вычисляется;
- число должно быть близким к числу 33,2, т.е. приращение должно быть как можно меньше.
В нашем случае этим требованиям удовлетворяет число = 32, для которого = 2, = 33,2 -32 = 1,2.
Применяя формулу, находим искомое число:
+ .
Вопросы для самопроверки
1. Дайте определение дифференциала функции в точке.
2. Почему формула, используемая для вычислений, является приближенной?
3. Каким условиям должно удовлетворять число , входящее в приведенную формулу?
Задачи для самостоятельной работы
Вычислить приближённое значение , заменив в точке приращение функции ее дифференциалом.
Таблица 4.
Номер варианта
1
3
502
512
2
4
267
256
3
5
234
243
4
6
685
729
5
7
142
128
6
3
349
343
7
4
605
625
8
5
255
243
9
6
773
729
10
7
156
128
Тема 4. Исследование функций и построение их графиков

Если функция одной переменной задана в виде формулы , то областью ее определения называют такое множество значений аргумента , на котором определены значения функции.
Пример 1. Значение функции определены только для неотрицательных значений переменной : . Отсюда область определения функции будет полуинтервал [4;).
Пример 2. Функция
не определена при таких значениях аргумента , когда либо знаменатель равен нулю (), либо подкоренное выражение отрицательно (<3). Тогда областью определения служит множество, являющееся объединением интервалов (3;4)(4;5) (5;).
Пример 3. Функция определена только на отрезке [-1;1], так как значение тригонометрической функции удовлетворяют неравенству: -11.
Функция называется четной, если для любых значений из области ее определения выполняется равенство
,
и нечетной, если справедливо другое соотношение: . В других случаях функцию называют функцией общего вида.
Пример 4. Пусть . Проверим:
.
Таким образом, эта функция является четной.
Для функции верно: . Отсюда эта функция нечетная.
Их сумма является функцией общего вида, так как не равна и .
Асимптотой графика функции называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки (;) плоскости до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. Различают вертикальные (а), горизонтальные (б) и наклонные (в) асимптоты.
2


а) б)
в)
Вертикальные асимптоты функции следует искать либо в точках разрыва второго рода (хотя бы один из односторонних пределов функции равен в точке бесконечности или не существует), либо на концах ее области определения (a,b), если a,b -конечные числа.
Если функция определена на всей числовой оси и существует конечный предел , либо , то прямая, задаваемая уравнением , является правосторонней горизонтальной асимптотой, а прямая - левосторонней горизонтальной асимптотой.
Если существуют конечные пределы
и ,
то прямая является наклонной асимптотой графика функции. Наклонная асимптота также может быть правосторонней () или левосторонней ().
Функция называется возрастающей на множестве , если для любых , таких, что >, выполняется неравенство: > (убывающей, если при этом:
<).
Множество в этом случае называют интервалом монотонности функции.
Справедливо следующее достаточное условие монотонности функции: если производная дифференцируемой функции внутри множества положительна (отрицательна), то функция возрастает (убывает) на этом множестве.
Пример 5. Дана функция . Найти ее интервалы возрастания и убывания.
Решение. Найдем ее производную . Очевидно, что >0 при >3 и <0 при <3. Отсюда функция убывает на интервале (;3) и возрастает на (3;).
Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции , если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство
().
Значение функции в точке называется максимумом (минимумом). Максимум и минимум функции объединяются общим названием экстремум функции.
Для того, чтобы функция имела экстремум в точке необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю () или не существовала.
Точки, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными точками функции. В стационарной точке не обязательно должен быть экстремум функции. Для нахождения экстремумов требуется дополнительно исследовать стационарные точки функции, например, путем использования достаточных условий экстремума.
Первое из них заключается в том, что если при переходе через стационарную точку слева направо производная дифференцируемой функции меняет знак с плюса на минус, то в точке достигается локальный максимум. Если знак изменяется с минуса на плюс, то это точка минимума функции.
Если же изменение знака производной при переходе через исследуемую точку не происходит, то в данной точке экстремума нет.
Второе достаточное условие экстремума функции в стационарной точке использует вторую производную функции: если <0, то является точкой максимума, а если >0, то - точка минимума. При =0 вопрос о типе экстремума остается открытым.
Функция называется выпуклой (вогнутой) на множестве , если для любых двух значений выполняется неравенство:
.
Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри множества , то функция вогнута (выпукла) на .
Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющие интервалы, в которых функция выпукла и вогнута.
Вторая производная дваж и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.