На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Реферат Возникновение и развитие теории динамических систем. Развитие методов реконструкции математических моделей динамических систем. Математическое моделирование - один из основных методов научного исследования.

Информация:

Тип работы: Реферат. Предмет: Математика. Добавлен: 15.05.2007. Сдан: 2007. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


23
РЕФЕРАТ
для сдачи кандидатского экзамена по истории и философии науки
(История математики)
Тема: «История возникновения и развития методов реконструкции математических моделей динамических систем по порождаемому временному ряду»
СОДЕРЖАНИЕ

Введение……………………………………………………………………….......3
§ 1. Возникновение и развитие теории динамических систем………………...5
§ 2. Развитие методов реконструкции математических моделей динамических систем…………………………………………………………………………….15
Заключение……………………………………………………………………….23
Список литературы………………………………………………………………24
Введение
В развитии различных областей человеческой деятельности математика оказывала и оказывает существенное влияние. Современное развитие науки характеризуется потребностью изучения всевозможных сложных процессов и явлений. Происходит значительное увеличение темпов математизации и расширение ее области действия. Теории математики широко применяются в других науках, казалось бы совершенно от нее далеких - лингвистике, юриспруденции. Это вызвано естественным процессом развития научного знания, который потребовал привлечения нового и более совершенного математического аппарата, проявлением новых разделов математики, а также кибернетики, вычислительной техники и так далее, что значительно увеличило возможности ее применения.
Математическое моделирование по временным рядам - бурно развивающееся направление математической статистики и нелинейной динамики. Оно возникло с аппроксимации множества экспериментальных точек на плоскости гладкой линией. В настоящее время эмпирические модели имеют вид сложных дифференциальных и разностных уравнений и способны описывать даже нелинейные колебательно-волновые феномены.
Использование современных компьютеров с их большими объемами памяти и скоростями обработки данных и современными математическими пакетами в значительной степени облегчает получение модельных систем нелинейных уравнений, обработку сложных зашумленных сигналов, типичных для реальных объектов и ситуаций. Практические приложения эмпирических моделей весьма разнообразны - от прогнозов будущего до технической и медицинской диагностики, но процедуры их получения формализовать чрезвычайно сложно[4].
В реферате предпринята попытка рассмотреть исторические и философские аспекты возникновения и развития методов реконструкции математических моделей динамических систем. В первом параграфе рассмотрено возникновение теории динамических систем, понятий динамическая систем, вычислительный эксперимент, математическая модель и хаос. Во втором параграфе рассматривается развитие методов реконструкции математических моделей динамических систем, применения компьютеров для проведения вычислительных экспериментов.
§ 1. Возникновение и развитие теории динамических систем
Первая линия развития, которая вела к появлению теории динамических систем, связана с небесной механикой. Основоположниками классической механики принято считать Исаака Ньютона, Жозефа Луи Лагранжа, Пьера Симона Лапласа, Уильяма Гамильтона. Результатом их деятельности стало формирование представления о том, что сейчас называют гамильтоновой или консервативной динамической системой. Проблема трёх тел в небесной динамике, - первая задача, анализируя которую исследователи столкнулись с возникновением сложной динамики и хаоса. Впервые об этом написал Анри Пуанкаре. Результатом изучения системы трёх тел стало развитие теории возмущений.
С развитием компьютеров возможности изучения и наглядного представления сложной динамики расширились. Одним из первых примеров компьютерного исследования сложной динамики стала работа французских астрофизиков, рассмотревших модель движения звезды через галактический диск.
Значительный прогресс в понимании соотношения между квазипериодической динамикой и хаосом связан с теорией, разработанной в 50-60-х годах А.Н. Колмогоровым и В.И. Арнольд, а также американцем Ю. Мозером. В качественном отношении большое значение получили работы Б.В. Чирикова и Г.М. Заславского.
Вторая линия развития связана со статической физикой и формированием эргодической теории. Как известно, состоятельное описание в статической физике достигается только в рамках квантовой теории. Однако, много важного было сделано в предположении, что на фундаментальном уровне законы движения микрочастиц, из которых построены физические системы, подчиняются классической гамильтоновой механике. Основоположники статистической физики Д.У. Гиббс и Л. Больцман рассматривали фазовое пространство гамильтоновых систем, образованных совокупностью большого числа микрочастиц. В силу закона сохранения энергии, предоставленная сама себе система должна оставаться всё время на некоторой гиперповерхности в этом пространстве, задаваемой условием постоянства энергии. Больцман ввёл эргодическую гипотезу - предположение о том, что имеется по существу только одна фазовая траектория, проходящая через все точки эргодической поверхности. В 1913 году было доказано, что такое невозможно. Исправленная версия (П. Эренфест) состоит в том, что фазовая траектория с течением времени должна проходить сколь угодно близко от любой точки эргодической поверхности. Результатом стало формирование отдельной математической дисциплины - эргодической теории или метрической теории динамических систем.
Появление компьютеров позволило в начале 50-х годов Ферми, Паста и Уламу предпринять попытку пронаблюдать в вычислительном эксперименте процесс установления термодинамического равновесия в цепочке связанных нелинейных осцилляторов. Результат оказался совершенно неожиданным: вместо релаксации к равновесию наблюдался квазипериодический процесс. Эта работа показала, что проблема значительно сложнее, чем виделась раньше и дала тем самым толчок исследованиям, приведшим впоследствии к представлению о распределённых системах, а также к понятию солитона. Как выяснилось, свойство эргодичности само по себе не является ни необходимым, ни достаточным для желаемого обоснования статистической физики. По настоящему существенным является неустойчивость фазовых траекторий системы по отношению к малым возмущениям начальных условий и связанное с этим более сильное, чем эргодичность, свойство перемешивания. Одним из первых эту идею разработал Н. С. Крылов (1917-1947).
Количественная характеристика неустойчивости траекторий известна как ляпуновский характеристический показатель - величина, введённая русским математиком А.М. Ляпуновым (1857-1918). В 1968 г. советский математик В.И. Оселедец опубликовал важнейший результат - так называемую мультипликативную эргодическую теорему, которая позволяет говорить о ляпуновских показателях, определённых не для одной фазовой траектории, а для множества траекторий.
Были введены и другие характеристики, позволяющие различать простую и сложную динамику, - динамическая энтропия, известная как энтропия Колмогорова-Синая (1959) и топологическая энтропия (1965).
(1917{1947)
Третья линия развития связана с радиотехникой, электроникой, теорией автоматического регулирования. Основоположником этого направления развития теории динамических систем был Б. Ван-дер-Поль. С этим именем связан генератор и осциллятор Ван-дер-Поля - классическая модель нелинейной системы, демонстрирующей периодические автоколебания. Около 1927 г. Ван-дер-Поль и Ван-дер-Марк исследовали динамику такого генератора под периодическим внешним воздействием. Режим работы устройства контролировался по звуку работы в наушниках. Исследова-тели отметили явление синхронизации при определенных раци-ональных соотношениях частоты воздействия и собственной ча-стоты и шумоподобные колебания при переходах между областями захвата. Возможно, это первое документально зарегистрированное экспериментальное наблюдение хаоса.
Работа Ван-дер-Поля и Ван-дер-Марка повлияла на работу Картрайт и Литтлвуда (1945). В этой работе, посвященной математическому исследованию уравнения автоге-нератора под периодическим внешним воздействием, была обна-ружена необычайная сложность динамики, в частности, наличие у системы (при достаточно большой амплитуде внешней силы) бесконечного числа неустойчивых периодических орбит. Эта ра-бота впоследствии оказала влияние на математиков, создававших основы математической теории сложной динамики и хаоса.
В России в 20-е годы в Московском университете сформиро-валась сильная научная школа Л.И.Мандельштама (1879-1944). Интересы этой школы охватывали, в частности, радиофизику, оп-тику, колебательные процессы в системах различной природы. Мандельштам первым пришел к пониманию возможности такой дисциплины, как теория нелинейных колебаний, -- до этого по-лагали, что нелинейные явления должны изучаться для каждой конкретной системы отдельно. В конце 20-х годов ученик Ман-дельштама А.А. Андронов (1901-1952) установил, что адекватным математическим образом периодических автоколебаний являются предельные циклы, введенные Пуанкаре в его качественной тео-рии дифференциальных уравнений. Мандельштам сразу понял важность этого достижения и настоял на немедленной публикации результата. Андронов привлек также для анализа автоколебатель-ных систем созданный А.М.Ляпуновым аппарат теории устой-чивости. Одно из важных достижений -- исследование момента возникновения автоколебаний при изменении параметров, ситу-ации, которую теперь называют бифуркацией Андронова-Хопфа. С 1931 г. Андронов работает в Нижнем Новгороде (Горьком), где вокруг него формируется крупная научная школа в области теории колебаний. В 1937 г. выходит классическая книга А. А. Андронова, А.А.Витта и С.Э.Хайкина «Теория колебаний». Один из соавто-ров книги - Витт оказался жертвой репрессий и погиб в лагерях, в издании книги 1937 г. его имя было исключено и восстановлено только в последующих изданиях.
Одним из важных достижений развивающейся теории нели-нейных колебаний стало формирование Андроновым и Понтрягиным представления о грубых или структурно-устойчивых систе-мах. Представим себе пространство, точки которого изображают динамические системы. Система грубая, если около соответству-ющей ей точки пространства систем можно указать такую окрест-ность, что в ней будут располагаться только системы с топологи-чески эквивалентным устройством фазового пространства. В про-странстве параметров грубые системы занимают целые области. Эти области разграничены поверхностями, где располагаются не-грубые системы коразмерности один. На этих поверхностях могут располагаться линии коразмерности два и т. д.
Исследовательская программа нелинейной теории колебаний по Андронову и Понтрягину и состоит в выделении и изучении грубых ситуаций, а затем негрубых в порядке возрастающей ко-размерности. Что касается негрубых ситуаций, то они составляют предмет теории бифуркаций -- глубокой и хорошо развитой математической дисциплины, одного из краеугольных камней нели-нейной динамики.
С 1970 г. с интервалом в 2 года в Горьком организуются школы-семинары по нелинейным колебаниям и волнам, в которых участ-вуют ведущие советские ученые. Этих школ состоялось 9, и они во многом определили распространение в нашей стране идей не-линейной динамики и динамического хаоса. Еще одна школа, восстанавливающая прерванную традицию, уже международная, состоялась в 1995 г. В формировании, распространении и популя-ризации в России представлений о хаотической динамике большую роль сыграли А. В. Гапонов-Грехов, Ю.И.Неймарк, М.И.Рабино-вич, Л. П. Шильников. В 1979 г. Кияшко, Пиковский и Рабинович предложили, по-видимому, первый простой радиотехнический ав-тогенератор, в котором целенаправленно был реализован режим хаотических автоколебаний.
Четвертая линия развития связана с гидродинамикой и про-блемой турбулентности. В 1883 г. была опубликована работа английского физика Осборна Рейнольдса (1842-1912) «Экспериментальное исследование об-стоятельств, которые определяют, будет ли движение воды прямо-линейным или волнистым, и о законе сопротивления в параллель-ных каналах». В зависимости от безразмерного параметра, из-вестного теперь как число Рейнольдса), движение воды в трубке было ламинарным или турбулентным. Хотя основные уравнения, описывающие динамику вязкой жидкости -- уравнения Навье-Стокса, уже были известны, причины возникновения турбулент-ности оставались загадкой. С тех пор вопрос о природе турбулент-ности стоял перед наукой, приобретая со временем все большую остроту. Около 1920 г. английский физик Л.Ричардсон развил качественные представления о том, что в турбулентном течении имеется перенос энергии от крупных ко все более и более мел-ким завихрениям, пока энергия не диссипирует из-за вязкости в малых масштабах. В 1941 г. была предложена теория турбулент-ности Колмогорова-Обухова. Анализ основывался на предположе-нии, что при больших числах Рейнольдса турбулентное состоя-ние можно считать локально однородным и изотропным в стати-стическом смысле, и о том, что имеет место каскадная передача энергии от крупных пространственных масштабов к мелким в так называемом «инерционном интервале» -- области масштабов, где вязкость несущественна. Замечательно простая и глубокая теория приводила ко вполне определенному теоретическому предска-занию -- распределение энергии по спектру должно быть пропор-ционально /г~5'3, где к - волновое число («закон пяти третей»). К настоящему времени получены экспериментальные данные, хо-рошо согласующиеся с этим законом, но осознана также необхо-димость внесения уточнений в теорию.
Другое направление в попытках понять природу турбулентно-сти состояло в поисках ответа на вопрос -- как возникает турбу-лентность, если постепенно увеличивать число Рейнольдса, начав от малых значений, когда течение заведомо ламинарное. В 1944 г. была опубликована статья советского физика Л.Д.Ландау (1908-- 1968) «К проблеме турбулентности». В этой замечательной для своего времени статье Ландау предположил, что турбулентность возникает в результате большого числа (каскада) последователь-ных бифуркаций, каждая из которых состоит в появлении ко-лебаний с новой частотой. Вновь возникающие частоты в ти-пичном случае находятся в иррациональном соотношении с ранее возникшими частотами. Аналогичные представления развивал несколько позже немецкий математик Э.Хопф (1902-1983; работа «Математический пример, демонстрирующий особенности турбу-лентности» опубликована в 1948). Поэтому данную картину воз-никновения турбулентности называют сценарием Ландау-Хопфа. Подчеркнем, что этим работам предшествовало формирование пред-ставлений об автоколебаниях, предельных циклах и бифуркациях в радиофизике и теории колебаний.
В 1963 г. американский метеоролог Э.Лоренц опубликовал статью «Детерминированное непериодическое течение», в которой обсуждались результаты численного интегрирования с помощью компьютера системы трех обыкновенных дифференциальных урав-нений, моделирующей динамику жидкости при конвекции в по-догреваемом снизу слое. Будучи хорошо образованным матема-тически, Лоренц подверг полученные результаты тщательному и глубокому обсуждению, акцентировав внимание на взаимосвязи между наблюдаемой сложной динамикой и присущей системе не-устойчивостью фазовых траекторий. Позднее это свойство хаоти-ческой динамики пропагандировалось им под названием «эффект бабочки»: в приложении к метеорологии взмах крыльев бабочки может через достаточное время повлечь суще-ственное изменение погоды где-то совсем в другом месте. При-мерно в то же самое время А. Н. Ораевский с соавторами также по-лучили непериодические решения для аналогичных уравнений в теории одномодового лазера. Как работа Лоренца, опубликованная в метеорологическом журнале, так и работа Ораевского не были своевременно замечены и оценены.
В 1971 г., основываясь на достигнутом к этому времени про-движении в математических исследованиях, Д.Рюэль и Ф. Такенсвыступили с работой «О природе турбулентности». Подвергнув кри-тике теорию Ландау, они аргументировали, что уже после включе-ния в игру относительно небольшого числа частот (трех или четы-рех в зависимости от некоторых математических деталей) дина-мика может стать турбулентной и, в частности, демонстрировать характерный для случайного процесса сплошной спектр. Это свя-зывалось с появлением в фазовом пространстве «странного аттрак-тора» -- ключевой термин, введение которого определило истори-ческое значение работы Рюэля и Такенса. Подчеркивалось нали-чие неустойчивости фазовых траекторий на странном аттракторе и его нетривиальная геометрическая структура -- он представлял собой то, что стали называть фрактальным множеством или про-сто фракталом.
С точки зрения интерпретации результатов, работа Рюэля и Такенса также оказалась уязвимой для критики. Многие вопросы, которые возникают в связи с предложенной ими карти-ной перехода к турбулентности, до сих пор остаются открытыми. Надо сказать, что аргументация и в работе Ландау, и в работе Рюэля и Такенса носила столь общий характер, что имела рав-ное отношение как к возникновению турбулентности, так и к воз-никновению сложной динамики в диссипативных системах другой физической природы. Дальнейшее понимание возможных типов перехода произошло благодаря еще одной линии развития.
Попытки математического описания биологических проблем динамики популяций восходят к Томасу Мальтусу (1766-1834), ав-тору нашумевшей концепции о том, что численность людей возра-стает в геометрической прогрессии, а средства поддержания жизни лишь в арифметической. Поэтому численность населения должна регулироваться войнами, эпидемиями и пр. Марксисты, как из-вестно, заклеймили эту теорию как человеконенавистническую. Не входя в полемику, заметим, что в отсутствие факторов, сдер-живающих рост населения, изменение численности популяции из года в год «по Мальтусу» можно описать как хп+\ = Rxn, где R -- параметр, определяющий условия жизни популяции. Ввести сдер-живающий фактор можно, если добавить в уравнение нелинейный, например, квадратичный член: жп+1 = R(xn -- x2n). Полученное соотношение называют логистическим отображением и оно дей-ствительно неплохо описывает, по крайней мере, с качественной стороны, динамику некоторых биологических популяций.
Интересный результат, проливающий свет на возможность сложной динамики в логистическом отображении, был получен в конце 40-х годов в работе американских математиков Станислава Улама (1909-1984) и Джона фон Неймана. Они показали, что для случая R = 4 это отображение путем замены переменных сводится к форме, допускающей тривиальный анализ, причем оказывается, что выбором начальной точки х можно реализовать любую на-перед заданную последовательность знаков величины х -- хтах.
В 1975 г. американские математики Ли и Йорке опубликовали работу «Период три означает хаос». Речь шла о том, что если при частном значении параметра логистическое или другое одно-мерное отображение вида хп+\ = f(xn) имеет цикл периода три, то оно имеет бесконечное множество циклов всех прочих перио-дов. Эта работа привлекла большое внимание, и стоит отметить, что именно в ней в контексте нелинейной динамики впервые по-явился термин «хаос», ставший впоследствии общепринятым обо-значением всей области деятельности, о которой мы ведем речь. Только через несколько лет на Западе стало широко известно, что еще в 1964 г. советский математик А. Н. Шарковский опубликовал гораздо более содержательную теорему, устанавливающую самые общие закономерности сосуществования циклов различного пери-ода в одномерных непрерывных отображениях.
К середине 70-х годов было уже хорошо известно, что при увеличении параметра в логистическом отображении имеет место последовательность бифуркаций удвоения перио и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.