На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Контрольная Понятие предикатов и кванторов, порядок составления логических формул. Запись предиката как множество высказываний, формулы их исчисления. Аксиоматическое и натуральное представление узкого исчисления предикатов, погружение аристотелевской силлогистики.

Информация:

Тип работы: Контрольная. Предмет: Математика. Добавлен: 12.08.2010. Сдан: 2010. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


ПЛАН

Предикаты и кванторы.
Понятие формулы исчисления предикатов.
Аксиоматическое представление узкого исчисления предикатов.
Натуральное узкое исчисление предикатов.
Погружение аристотелевской силлогистики в узкое исчисление предикатов.
5. Расширенное исчисление предикатов.
Литература
1. ПРЕДИКАТЫ И КВАНТОРЫ

Исчисление высказываний образует основную часть математической логики. Но оно не составляет достаточного базиса для анализа всех правил рассуждений, потому что оставляет в стороне внутреннюю структуру высказываний. Исчисление предикатов преследует цель расширить наши представления о правилах правильных рассуждений на основании учета внутренней структуры высказываний.
Анализ содержания высказываний таких как «Роза-растение», «ав», «Точка А лежит между точками В и С» и др. позволяет сделать вывод, что в высказываниях речь идет о том, что предметы, указанные в высказываниях, обладают какими-то свойствами или находятся в каких-то отношениях. Ту часть высказывания, в которой говорится о свойствах или отношениях принято считать предикатом, если имена предметов, которые обладают этими свойствами или отношениями, заменены переменными, принимающими значения из множества самого общего вида. Так что предикат зависит не только от того, о каких свойствах или отношениях идет речь, но и от переменных. Например, из высказывания «Роза растение» получается предикат «х - растение», из высказывания «ав» - предикат «ху», а из высказывания «Точка А лежит между точками В и С» - предикат «Точка Х лежит между точками Y и Z».
Если обозначить ту часть высказываний, в которой говорится о свойствах или отношениях большими латинскими буквами Р, Q, R, … с индексами или без них, а переменные - традиционно малыми латинскими буквами х, y, z ,… с индексами или без них, то обозначение предиката примет вид Р (х), Q(х,у), L(х,y,z) и т.д. Число n переменных или аргументов, от которых зависит предикат называется n -местностью предиката, так что можно говорить об одноместном предикате, двухместном и т.д.
Запись предиката Р (х), Q(х,у) и т.д. ничем не отличается от записи математической функции. Но это не только случайное совпадение. Если подставлять в предикаты имена предметов, эти имена традиционно обозначаются малыми латинскими буквами а, в, с, d,… с индексами или без них, то предикаты превращаются в высказывания истинные или ложные. Так если Р (х) считать записью предиката «х - растение», то, подставляя вместо х имена «Роза», «Лилия» получаем истинное высказывание «Роза - растение», «Лилия - растение». Если же вместо х подставить имена «камень», «железо» - то ложное высказывание «камень -растение», «железо - растение». Обозначив через «0» «ложь», а через «1» «истину», получаем из предиката Р (х1, х2, …, хп) двухзначную функцию, аргументы которой принимает значение из множества самого общего вида.
При подстановке в предикат, вместо переменных имен предикатов он превращается в высказывание. Так что предикат, скажем предикат Р(х), можно рассматривать записью некоторого множества высказываний, мощность которого равна мощности множества значений аргумента.
В логике наряду с подстановкой, превращающей предикат в высказывание, используются и другая операция, делающая это. Эта операция заключается в связывании переменных, входящих в предикат, кванторами. Применяются кванторы двух видов: квантор общности, его обычно обозначают символом , и читается он «для всех», «для любого», «все», и квантор существования, он обозначается и читается «существует такое». Высказывание (х) Р(х) читается : «Для всех х Р(х)» или «Для любого х Р(х)». Высказывание х Р(х) читается: «Существует такое х, что Р(х)» или «Для некоторых х Р(х)».
Следует еще раз подчеркнуть, что заменять в предикате переменную, к которой относится квантор, на имена предметов, чтобы превратить предикат в высказывание, не имеет смысла. Такая переменная считается связанной. Переменные предикаты, не связанные кванторами, называются свободными.
Если Р (х1, х2, …, хп) - n-местный предикат и m его переменных (m n) связываются кванторами, то он превращается в (n-m) местный предикат.
Кванторы общности и существования могут употребляться комбинировано. Порядок употребления кванторов в многоместных предикатов играет существенную роль. Например для двухместного предиката Р(х,у) мы имеем следующие простейшие формы составления: х у Р(х,у) - читать эту формулу следует так: «Для всех х и для всех у имеет место отношение Р(х,у)».
х у Р(х,у) «Существует некоторое х и некоторое у, для которых имеет место Р(х,у)».
ху Р(х,у) - «Существует такое х, которое к каждому у находится в отношении Р(х,у)».
ху Р(х,у) - «Для каждого х существует некоторое у, такое, что имеет место Р(х,у)».
В выражении х у Р(х,у) знаки общности могут быть переставлены без изменения смысла высказывания. То же самое имеет место в выражении х у Р(х,у).
Напротив, в выражении ху Р(х,у) порядок следования знаковх и у играет существенную роль. Например, высказывание ху (х<у) - «Для каждого числа х существует число у такое, что х меньше у - истинно». Но если мы переставим в этом высказывании знаки х и у, то получим высказывание у х (х<у) - «Существует число у, которое больше любого числа х», - которое ложно. Так что порядок следования в комбинациях кванторов общности и существования, и обратно, перед предикатом играет важную роль.
2. ПОНЯТИЕ ФОРМУЛЫ ИСЧИСЛЕНИЯ ПРЕДИКАТОВ

Как уже говорилось, запись предиката можно рассматривать как множество высказываний. Из предикатов получаются высказывания при замене (подстановке) переменных постоянными или посредством связывания их кванторами. Так что предикаты можно соединять между собой и с высказываниями теми же связками «?», «», «», «», «», которые приняты в исчислении высказываний, получая формулы исчисления предикатов. Более точно понятие формулы исчисления предикатов (коротко формулы) определяется следующим образом:
Переменное высказывание есть формула.
Предикаты являются формулами.
Если есть формула, то - формула.
Если и какие-то формулы, причем одна и та же переменная не встречается связной внутри одной формулы и свободной, внутри другой, то , , , суть формулы.
Если (х) означает какую-то формулу, в которой переменная х выступает в качестве свободной переменной, то х (х) и х (х) суть формулы. То же самое справедливо для других свободных переменных.
Значит, согласно пункту 5. Одна и та же переменная не встречается в формуле одновременно в свободной и связанной форме.
Для экономии скобок вводятся следующие соглашения: знаки , , , разделяют выражение сильнее, чем знаки общности и существования. Например, выражение х F(х) р, является более простым способом записи выражения (х F(х)) р. Прежнее соглашение, что знак связывает теснее, чем знаки , , , знак - связывает теснее, чем знаки и , знак теснее, чем остается в силе.
Далее, ко всякому встречающемуся в формуле знаку общности или существования принадлежит часть формулы, к которой он относится. Эту часть формулы заключают в скобки, помещая перед ними соответствующий знак. Так, в формуле х (F(х) у G(у)) область действия знака простирается до конца формулы. В формуле х F(х) у G(у) - лишь до знака .
Дальнейшее уменьшение количества скобок достигается с помощью следующего правила: если несколько знаков общности или существования следуют непосредственно друг за другом, не будучи разделенными скобками, то это всегда нужно понимать так, что, их область действия простирается до одного и того же места. Например, выражение:
хуz (Р(х,у,z) Q(у,z)) R(u) есть более простая запись выражения
х (у (z (Р(х,у,z) Q(у,z)))) R(u).

Для удобства обозначений формул принимаются еще и следующие соглашения:
Вместо Р(х) пишут просто Р(х);
Вместо х Р(х) пишут простох Р(х);
Вместо х Р(х) пишут просто х Р(х).
Из самого смысла знаков общности и существования получаются следующие эквивалентности:
х Р(х) хР(х) (33)
хР(х) х Р(х) (34)
х Р(х) хР(х) (35)
хР(х) х Р(х) (36)

На основании этих содержательных соотношений можно заменять квантор существования квантором общности и наоборот, а значит, при построении исчисления предикатов обойтись лишь одним квантором.
Проиллюстрируем представления в символической форме высказываний. Предполагая, что переменные пробегают множество людей, применим следующие соглашения
М(х): х есть мужчина;
V (х): х есть женщина;
J (х,у): х моложе, чем у;
R (х,у): х есть ребенок у;
G (х,у): х состоит в браке с у;
K (х): х живет в Киеве;
L (х): х живет в Луганске.
Представим в символической форме следующее высказывание: «Каждый человек имеет отца и мать». Оно будет иметь вид:
(х (у (М(у) R (х,у)) z (V (z) R (х, z)))).
3. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ УЗКОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ПРЕДИКАТОВ

В исчислении высказываний проблема разрешимости состояла в решении вопроса, является ли данная сложная функция высказывания, представляемая формулой исчисления высказываний, тождественно истинной, выполнимой или тождественно ложной. В этом исчислении метод таблиц и метод приведения к совершенным нормальным формам давал эффективный способ решения этого вопроса. И это потому, что каждому атомарному высказыванию приписывалось лишь два значения.
В узком исчислении предикатов проблема разрешимости состоит в постановке аналогичного вопроса: является ли сложная, функция, которая представляется формулой исчисления предикатов тождественно истинной при любых значениях переменных и любых предикатах, выполнимой, или тождественно ложной. Воспользоваться методом таблиц в узком исчислении предикатов уже нельзя. Например, по определению высказываниехР(х) эквивалентно конъюнкции высказываний Р(а) Р(в) Р(с) Эта конъюнкция истинна, если и только если истинны все высказывания Р(а), Р(в), … Однако в тех случаях, когда переменная х в Р(х) пробегает бесконечную предметную область, установить истинное значение каждого из высказываний Р(а), Р(в) и т.д. не всегда удается. А это значит, что вопрос об истинностном значении формулы хР(х) или формулы, содержащей хР(х) может оставаться открытым.
Итак, проблема разрешимости в исчислении предикатов представляет собой очень трудную и в целом отнюдь не решенную проблему. И даже можно считать безнадежными попытки дать ее полное решение. Но в виду центрального значения проблемы большой интерес представляют попытки дать ее решение хотя бы для возможно более широких классов формул. Один из таких классов представляется аксиоматическим представлением исчисления предикатов.
Существуют разные эквивалентные системы аксиом узкого исчисления предикатов. Одна из них, предложенная Гильбертом в качестве аксиом содержит четыре аксиомы исчисления высказываний:
р р р
р рq
рq q р
(р q) ( r р rq)
К этим аксиомам присоединяются еще две аксиомы для кванторов и

х F(х) F(у)
F(у) х F(х)
Первая из этих аксиом читается так: «Если предикат F выполняется для всех х, то он выполняется также для любого у». Вторая аксиома читается так: «Если предикат F выполняется для какого-то у, то существует х, для которого выполняется F».
Для получения новых формул из аксиом, равно как уже из выведенных формул используются правила и формулы исчисления высказываний, а такж и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.