На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Реферат Визначення поняття математики через призму онйського рацоналзму. Основн властивост правильних багатокутникв правильних багатогранникв. Загальна характеристика внеску в розвиток головних засад сучасної математики видатних давньогрецьких вчених.

Информация:

Тип работы: Реферат. Предмет: Математика. Добавлен: 15.02.2010. Сдан: 2010. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


18
Реферат
з математики
на тему:
"Історія математики Греції"
Протягом останніх сторіч другого тисячоріччя до н.е. у басейні Середземного моря й у прилягаючих до нього областях дуже багато чого змінилося в економіці і в політиці.
Бронзове століття перемінилося тим нашим століттям, що ми називаємо століттям заліза, і відбувалося це в неясний час переселень і воїн. Лише деякі подробиці відомі нам про цю революційну епоху, але ми знаємо, що до її завершення, приблизно близько 900р. до н. е., уже не було царства Міноса і Хетської держави, значно слабкішими стали Єгипет і Вавілон і на історичній сцені з'явилися нові народи. Найбільш видатними серед них були євреї, ассирійці, фінікійці і греки. Витиснення бронзи залізом означало не тільки переворот у військовій справі, але і прискорення росту економіки завдяки здешевленню засобів виробництва, і це уможливило більш діяльну участь широких шарів суспільства в справах економічного і суспільного значення.
Це позначилося у двох важливих нововведеннях:
заміні незручного письма Стародавнього Сходу легко доступним алфавітом;
веденні карбованої монети, що послужило пожвавленню торгівлі.
Наступив той час, коли культурні цінності вже не могли далі залишатися винятковим надбанням східного чиновництва.
Діяльність "морських розбійників" - так єгипетські тексти характеризують деякі народи, що переселялися - спочатку супроводжувалася чималими культурними втратами. Критська цивілізація зникла, єгипетське мистецтво занепало, наука Вавилону і Єгипту окостеніла на сторіччя. Немає ніяких математичних текстів цього перехідного періоду. Коли положення знову стало стійким, Стародавній Схід оправився, залишаючись в основному вірним традиції, але було розчищено місце для цивілізації цілком нового складу - грецької цивілізації.
Ті міста, що виникли на узбережжя Малої Азії й у самій Греції, уже не були адміністративними центрами країни зрошувального землеробства. Це були торгові міста, де феодали-землевласники старого укладу були приречені на поразку в боротьбі, що їм довелось вести з незалежним, отримавшими політичну самосвідомість класом купців. Протягом сьомого і шостого сторіч до н. е. це купецтво узяло верх, але йому довелося у свою чергу вступити в боротьбу з дрібними торговцями і ремісниками, з демосом.
Підсумком був розквіт грецького поліса, самоврядної міста-держави - нове соціальне явище, цілком відмінне від ранніх міст-держав Шумеру й інших країн Сходу. Найбільш значні з цих міст-держав, склалися в Іонії, на анатолійскому березі. Їхня зростаюча торгівля зв'язала їх із всім узбережжям Середземного моря, із Двуріччям, Єгиптом, зі Скіфією і навіть більш далекими країнами. Довгий час ведуче місце займав Мілет. Але і міста на інших берегах: Коринф, пізніше Афіни у власне Греції, Кротон і Гіарент в Італії, Сіракузи в Сицилії - ставали багатше і значніше. Новий суспільний уклад створив новий тип людини. Купець-мандрівник ніколи ще не користався такою незалежністю, і він знав, що вона добута в завзятій і жорстокій боротьбі. Він ніяк не міг розділяти устояні погляди Сходу. Він жив у період географічних відкриттів, порівнянних тільки з відкриттями західноєвропейського шістнадцятого сторіччя, він не визнавав ні абсолютного монарха, ні влади, що з'являє у виді охоронного божества. А крім того він міг користатися відомим дозвіллям завдяки своєму багатству і праці рабів. Він міг помізкувати про навколишній його світ. Відсутність цілком сталої релігії привело багатьох мешканців цих прибережних міст до містицизму, але це сприяло і протилежному - росту раціоналізму і науковому підходу.
Сучасна математика народилася в цій атмосфері іонійського раціоналізму - математика, що ставила не тільки східне питання "як?", але і сучасне, наукове питання "чому?". Відповідно до переказу батьком грецької математики є мілетський купець Фалес, у першій половині шостого століття Вавілон і Єгипет, що відвідав. Але якщо він навіть цілком легендарна фігура, то за нею коштує щось цілком реальне. Це - образ, що відповідає тим умовам, у яких закладалися основи не тільки сучасної математики, але і всієї сучасної науки і філософії. Спочатку греки займалися математикою, маючи одну основну мету - зрозуміти, яке місце займає у всесвіті людина у рамках деякої раціональної схеми. Математика допомогла знайти порядок у хаосі, зв'язати ідеї в логічні ланцюжки, знайти основні принципи. Вона була найбільш теоретичною з усіх наук.
Безсумнівно, що грецькі купці познайомилися зі східною математикою, прокладаючи свої торгові шляхи. Але люди Сходу майже не займалися теорією, і греки швидко знайшли це. Чому в рівнобедрених трикутниках два кути рівні? Чому площа трикутника дорівнює половині площі прямокутника при однакових підставах і висотах? Такі питання природно виникали в людей, що ставили подібні питання в області космології, біології і фізики.
На жаль, у нас немає першоджерел, що описують ранній період розвитку грецької математики. Уцілілі рукописи відносяться до епохи християнства й ісламу і їх тільки в малій мірі доповнюють замітки в єгипетських папірусах трохи більш раннього періоду. Усе-таки класична філологія дала можливість відновити тексти, що належать до четвертого сторіччя до н.е., і ми завдяки цьому маємо у своєму розпорядженні надійні видання Евкліда, Архімеда, Аполлонія й інших великих математиків античності. Але в цих текстах перед нами вже цілком розвита математична наука, і навіть за допомогою пізніших коментарів по них важко простежити хід історичного розвитку. Про епоху формування грецької математики приходиться судити, ґрунтуючись лише на невеликих фрагментах, що приводяться в більш пізніх добутках, і на окремих зауваженнях філософів і інших не строго математичних авторів. Дуже багато дотепності і праці було вкладено в критику текстів, завдяки чому удалося роз'яснити чимало темних місць у цьому ранньому періоді. Ця робота, пророблена такими дослідниками, як Поль Таннері (Tannery), Хіт (Т.L. Heath), Цейтен (Н. G. Zeuten), Франк (Е. Frank) і ін., дозволяє нам дати у відомій мері зв'язну, хоча в значній частині можливу картину грецької математики в епоху її формування.
У шостому сторіччі до н.е. на руїнах Ассірійської імперії виникла нова велика східна держава - Персія Ахеменідів. Вона завоювала міста Анатолії, але суспільний лад грецької метрополії пустив уже глибокі корені і його не можна було розтрощити. Перська навала була відбита в історичних битвах під Марафоні, Саламине і Платеє. Головним результатом грецької перемоги було розширення й експансія Афін. Тут у другій половині п'ятого сторіччя, при Періклі, вплив демократичних елементів увесь час зростало. Вони були рушійною силою економічної і військової експансії, і близько 430 р. вони зробили Афіни не тільки центром Грецької імперії, але і центром нової і зацікавленої цивілізації - золотого століття Греції.
В обстановці суспільної і політичної боротьби філософи і наставники викладали свої теорії і заодно нову математику. Вперше в історії група критично мислячих, "софістів", менш скована традицією, чим яка-небудь інша попередня їй група вчених, стала розглядати проблеми математичного характеру скоріше з метою з'ясування їхньої суті, чим заради користі.
Тому що такий підхід дозволив софістам дійти до основ точного мислення взагалі, було б надзвичайно повчально познайомитися з їхніми міркуваннями. До нещастя, від цього періоду дійшов лише один цільний математичний фрагмент, що належить іонійскому філософу Гіппократові з Хіоса. Математичні міркування в цьому фрагменті на дуже високому рівні, і досить типово те, що в ньому розглядається зовсім "непрактичний", але теоретично істотне питання про так званих луночок - плоскі фігури, обмежених двома круговими дугами.
Це питання - знайти площу таких луночок, у яких площа раціонально виражається через діаметр, - має пряме відношення до центральної проблеми грецької математики - квадратурі кола. Аналіз цієї проблеми в Гіппократа показує, що в математиків золотого століття Греції була упорядкована система плоскої геометрії, у якій у повному обсязі застосовувався принцип логічного висновку від одного твердження до іншого ("апагоге"). Були закладені основи аксіоматики, на що вказує назва приписуваної Гіппократові книги "Початку" ("Stoіcheіa"), назва всіх грецьких аксіоматичних трактатів, включаючи трактат Евкліда. Гіппократ досліджував площі плоских фігур, обмежених як прямими лініями, так і дугами окружності. Він учить, що площі подібних кругових сегментів відносяться, як квадрати стягуючих їхніх хорд. Він знає теорему Піфагора, а також відповідна нерівність для непрямокутних трикутників. Весь його трактат уже міг би бути віднесений до евклідової традиції, якби він не був старше Евкліда більш ніж на сторіччя.
Проблема квадратури кола - одна з "трьох знаменитих математичних проблем античності", що у цей період стали предметом дослідження.
Ці проблеми такі:
1) Трисекція кута, тобто поділ будь-якого заданого кута на три частини.
2) Подвоєння куба, тобто визначення ребра такого куба, що мав би обсяг, удвічі більший обсягу заданого куба (так звана делійська задача).
3) Квадратура кола, тобто перебування такого квадрата, площа якого дорівнює площі даного кругу.
Значення цих проблем у тім, що їх не можна точно вирішувати геометрично за допомогою кінцевого числа побудов прямих ліній і окружностей - це можна зробити тільки приблизно, - внаслідок чого ці , проблеми стали засобом для проникнення в нові області математики. У зв'язку з цими проблемами були відкриті конічні перетини, деякі криві третього і четвертого порядку і трансцендентна крива, названа квадратриссою. Ми не повинні з упередженням підходити до питанню про значення цих проблем через те, що інший раз вони з'являлися у виді анекдоту (дельфійські пророцтва і т.п. ). Не раз траплялося, що основної важливості питання викладали у виді чи анекдоту головоломки - згадаємо про яблуко Ньютона.
Математики різних епох, включаючи нашу, показали, який зв'язок існує між цими грецькими проблемами і сучасною теорією рівнянь, зв'язок, що торкається питання про області раціональності, алгебраїчні числа і теорію груп.
Ймовірно, від групи софістів, що до деякої міри були зв'язані з демократичним рухом, відмежувалася інша група філософів з математичними інтересами, що примикав до аристократичних об'єднань. Вони називали себе піфагорійцями на честь засновника цієї школи Піфагора, що, приблизно, був містиком, ученим і державним діячем аристократичної користі. Софісти в більшості підкреслювали реальність змін, піфагорійці прагнули знайти в природі і суспільстві незмінне. У пошуках вічних законів світу вони вивчали геометрію, арифметику, астрономію і музику. Найвидатнішим їхнім представником був Архіт з Тарента, що жив близько 400 р. до н.е. і школі якого, якщо ми приймемо гіпотезу Франка (Е. Frank), варто приписати велику частину "піфагорійської" математики. Арифметика піфагорійців була найвищою мірою спекулятивною наукою і мала мало загального із сучасної їй обчислювальною технікою Вавилона. Числа розбивалися на класи: парні, непарні, непарно-парні, непарно-непарні, прості і складені, зроблені, дружні, трикутні, квадратні, п'ятикутні і т, д. Деякі з найбільш цікавих результатів отримані для "трикутних чисел", що зв'язують арифметику і геометрію:
термін „квадратні числа” пішов від побудов піфагорійців:
Самі фігури значно старше, адже деякі з них ми знаходимо в неолітичній кераміці. Піфагорійці ж досліджували їхньої властивості, внесли сюди наліт свого числового містицизму і зробили числа основою своєї філософії всесвіт, намагаючись звести всі співвідношення до числового ("усі є число"). Крапка була "поміщеною одиницею".
Піфагорійцям були відомі деякі властивості правильних багатокутників і правильних багатогранників.
Вони показали, як заповнити площину системою правильних трикутників, чи квадратів, чи правильних шестикутників, а простір - системою кубів. Згодом Арістотель намагався доповнити це невірним твердженням, що простір можна заповнити правильними тетраедрами). Можливо, що піфагорійці знали правильний октаедр і додекаедр - останню фігуру тому, що кристали піриту, що знаходяться в Італії, мають форму додекаедра, а зображення таких фігур у орнаментах як магічний символ відноситься ще до часів етрусків. Вони належать до кельтських племен Центральної Європи початку епохи залізного віку ( 900 р. до н.е. ) і пізніше (пірит був джерелом заліза).
Що стосується теореми Піфагора, піфагорійці приписували її своєму наставнику і передавали, що він приніс у жертву богам сто биків на подяку. Ми вже бачили, що ця теорема була відома у Вавилоні часів Хаммураппі, але дуже можливо, що перший загальний доказ був отриманий у школі піфагорійців.
Найбільш важливим серед приписуваних піфагорійцям відкриттів було відкриття ірраціонального у виді непорівнянних відрізків прямої лінії. Можливо, що воно було зроблено в зв'язку з дослідженням геометричного середнього a:b = b:c, величиною, що цікавила піфагорійців і служила символом аристократії. Чому дорівнює геометричне середнє одиниці і двійки, двох священних символів? Це вело до вивчення відносини сторін і діагоналі квадрата, і було виявлено, що таке відношення не виражається "числом", тобто тим, що ми тепер називаємо раціональним числом (цілим чи числом дробом), а тільки такі числа допускалися піфагорійською арифметикою.
Припустимо, що це відношення дорівнює р : q, де цілі числа р и q ми завжди можемо вважати взаємно простими. Тоді р2 = 2q отже, р2, а з ним і р - парне число, і нехай р = 2r. Тоді q повинно бути непарним, але, тому що q2 = 2r2, воно повинно бути також парним. Таке протиріччя дозволялося не розширенням поняття числа, як на чи Сході в Європі епохи Відродження, а тим, що теорія чисел для таких випадків відкидалася, синтез же шукали в геометрії.
Це відкриття, що порушило невимушену гармонію арифметики і геометрії, імовірно, було зроблено в останні десятиліття п'ятого сторіччя до н.е.. Поверх того, виявилися інші труднощі - виявилася в розуміннях про реальність змін, і цим філософи займаються до наших днів. Відкриття цих нових труднощів приписують Зенонові Элейському (близько 450 р. до н.е. ), учню Парменіда, філософа-консерватора, що учив, що розум осягає тільки абсолютне буття і що зміна є тільки удаване. Це придбало математичне значення тоді, коли в зв'язку з такими задачами, як визначення обсягу піраміди, сталі займатися нескінченними процесами. Тут парадокси Зенона виявилися в протиріччі з деякими давніми й інтуїтивними представленнями відносно нескінченно малого і нескінченно великого. Завжди вважали, що суму нескінченно багатьох величин можна зробити як завгодно великий, навіть якщо кожна величина вкрай мала, а також що сума кінцевого чи нескінченного числа величин розміру нуль дорівнює нулю. Критика Зенона була спрямована проти таких представлень, і його чотири парадокси викликали таке хвилювання, що і зараз можна спостерігати деякі брижі. Ці парадокси дійшли до нас завдяки Аристотелю і відомі під назвами Ахіллес, Стріла, Дихотомія (розподіл на два) і Стадіони. Вони сформульовані так, щоб підкреслити протиріччя в поняттях руху і часу, але це зовсім не спроба дозволити такі протиріччя.
Парадокси Ахіллес і Дихотомія, що ми викладемо своїми словами, роз'яснять нам суть цих міркувань.
Ахіллес. Ахіллес і черепаха рухаються в одному напрямку по прямій. Ахіллес куди швидше черепахи, але, щоб її нагнати, йому треба спочатку пройти точку Р, з якої черепаха почала рух. Коли Ахіллес потрапить у Р, черепаха просунеться в точку Р1. Ахіллес не може наздогнати черепаху, поки не потрапить у P1 але черепаха при цьому просунеться в нову точку Р2. Якщо Ахіллес знаходиться в Р2, черепаха виявляється в новій точці Р3 і т.д. Отже, Ахіллес ніколи не може наздогнати черепаху.
Дихотомія. Допустимо, що я хочу пройти від А до В по прямій. Щоб досягти В, мені треба спочатку пройти половину (АВ1) відстані АВ; щоб досягти В2, я повинний спочатку досягти В2 на півдороги від А до В1 і так до нескінченності, так що рух ніколи не зможе початися.
Аргументи Зенона показали, що кінцевий відрізок можна розбити на нескінченне число малих відрізків, кожний з який - кінцевої довжини. Вони показали також, що ми натрапляємо на труднощі при поясненні того, який зміст заяви, що пряма "складається" із крапок. Дуже імовірно, що сам Зенон не мав представлення про те, до яких математичних висновків приводять його міркування. Проблеми, що привели до парадоксів Зенона, незмінно виникають у ході філософських і теологічних дискусій. Ми в них бачимо проблеми, зв'язані з відношенням, потенційної й актуальної нескінченності. Утім, Поль Таннері вважав, що міркування Зенона насамперед були спрямовані проти піфагорійского представлення простору як суми крапок ("крапка є одиниця положення"). Як би справа ні обстояла, безсумнівно, що міркування Зенона впливали на математичну думку багатьох поколінь. Його парадокси можна зіставити з млой, якими користався в 1734 р. єпископ Берклі, показуючи, до яких логічних безглуздостей може привести погане формулювання положень математичного аналізу, але не пропонуючи зі своєї сторони кращого обґрунтування.
Після відкриття ірраціонального розуміння Зенона стали навіть ще більше турбувати математиків. Чи можлива математика як точна наука? Таннері думав, що ми можемо говорити про "дійсний логічний скандал" - про кризу грецької математики. Якщо справа обстояла саме так, то ця криза починається під кінець Пелопонесської війни, що закінчилася падінням Афін (404 р. до н, е.). Тоді ми можемо знайти зв'язок між кризою в математику і кризою суспільної системи, тому що падіння Афін означало смертний вирок пануванню рабовласницької демократії і початок нового періоду верховенства аристократії - криза, що була дозволена вже в дусі нової епохи.
Для цього нового періоду грецької історії характерно те, що росте багатство визначеної частини правлячих класів і так само ростуть убогість і незабезпеченість бідняків. Правлячі класи усе більше засобів для існування одержували за рахунок рабської праці. Це давало їм дозвілля для занять мистецтвом і наукою, але заодно усе більш підсилювало їхню неприхильність до фізичної праці. Ці дозвільні добродії з презирством відносилися до праці рабів і ремісників, і. заспокоєння від турбот вони шукали в заняттях філософією й етикою індивідуума. На таких позиціях коштували Платон і Аристотель. У "Республіці" Платона (написаної, імовірно, близько 360 р. до н.е. ) ми знаходимо саме чітке вираження ідеалів рабовласницької аристократії. "стражі" у республіці Платона повинні вивчати "квадривіум", що складається з арифметики, геометрії, астрономії і музики, для того щоб розуміти закони всесвіту.
Така інтелектуальна атмосфера (принаймні , у своєму ранньому періоді) була сприятлива для обговорення основ математики і для умоглядної космогонії. Частина сторінки з першого видання "Початків" Евкліда, 1482 р.
Щонайменше три великих математики цього періоду були зв'язані з Академією Платона, а саме Архіт, Теєтет (розум. у 369 р.) і Євдокс (ок.408-355). Теєтету приписують ту теорію ірраціональних, котра викладена в десятій книзі "Початків" Евкліда. Ім'я Евдокса зв'язане з теорією відносин, що Евклід дає у своїй п'ятій книзі, а також з так званим методом вичерпування, що дозволив строго проводити обчислення площ і обсягів. Це означає, що саме Євдокс переборов "кризу" у грецькій математиці і що його строгі формулювання допомогли визначити напрямок розвитку грецької аксіоматики і, значною мірою , усієї грецької математики.
Евдоксова теорія відносин покінчила з арифметичною теорією піфагорійців, застосовної тільки до сумірних величин. Це була чисто геометрична теорія, викладена в строгій аксіоматичній формі, і вона зробила зайвими які-небудь застереження щодо чи несумірності сумірності розглянутих величин.
Сучасна теорія ірраціонального числа, побудована Дедекиндом і Вейерштрассом, майже буквально випливає ходу думок Евдокса, але вона відкриває значно більш широкі перспективи завдяки використанню сучасних математичних методів.
"Метод вичерпування" (термін "вичерпування" уперше з'являється в Григорія Сен Венсана, 1647 р.) був відповіддю школи Платона Зенонові. Метод обходив усі пастки нескінченно малого, попросту усуваючи їх, тому що зводив проблеми, у яких могли з'явитися нескінченно малі, до проблем, розв'язуваним засобами формальної логіки. Наприклад, якщо було потрібно довести, що обсяг V тетраедра дорівнює однієї третини обсягу З призми з тією же підставою і тією же висотою, то доказ полягав у тому, щоб показати абсурдність як допущення, що V, так і допущення, що. Для цього була введена аксіома, відома тепер як аксіома Архімеда. Вона лежить в основі теорії відносин Евдокса, а саме: "про ті величини говорять, що вони знаходяться в деякім відношенні одна до іншої, котрі можуть, будучи помножені, перевершити одна іншу" (Евклід V, Визначення 4). Цей метод, що у греків в епоху Відродження став стандартним методом точного доказу при обчисленні площ і обсягів, був цілком строгий, і його легко перетворити на доказ, що відповідає вимогам сучасної математики.
Великим недоліком цього методу було те, що треба було заздалегідь знати результат, щоб його довести, так що математик повинний був спершу прийти до результату менш строгим шляхом, за допомогою проб і спроб.
Є ясні вказівки на те, що такого роду інший метод дійсно використовувався. Ми маємо у своєму розпорядженні лист Архімеда Ератосфену (близько 250 р. до н.е. ), що було виявлено лише в 1906 р. і в який Архімед описує нестрогий, але плідний спосіб одержання результатів. Це лист відомий за назвою "Метод". С. Лур'є висунув припущення, що в ньому виражені погляди математичної школи, що суперничала зі школою Евдокса, виникла, як і та, у період кризи і зв'язана була з Демокрітом, засновником атомістики. Відповідно до теорії Лур'є, школа Демокрита ввела поняття "геометричного атома". Передбачалося, що відрізок прямо и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.