На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Диплом Построение квадратичной двумерной стационарной системы, нахождение состояний равновесия, исследование бесконечно-удаленной части плоскости. Необходимые и достаточные условия существования у системы двух частных интегралов. Построение траектории в круге.

Информация:

Тип работы: Диплом. Предмет: Математика. Добавлен: 11.04.2009. Сдан: 2009. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


29
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины»
Математический факультет
Кафедра дифференциальных уравнений

Допущена к защите
Зав. кафедрой____________Мироненко В. И.
«____»_________________ 2003 г.

КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ В ЦЕЛОМ ДВУМЕРНОЙ КВАДРАТИЧНОЙ СТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ В ВИДЕ КРИВЫХ ТРЕТЬЕГО И ПЕРВОГО ПОРЯДКОВ
Дипломная работа

Исполнитель: студентка группы М-51
_____________________ ПЛИКУС Т.Е.
Научный руководитель: доцент, к.ф-м.н.
_____________________ ФИЛИПЦОВ В.Ф.
Рецензент:доцент, к.ф-м.н.
_____________________ РУЖИЦКАЯ Е.А.



Гомель 2003
Реферат
Дипломная работа состоит из 25 страниц, 11 источников.
Ключевые слова и словосочетания: квадратичная двумерная стационарная система, частный интеграл, кривые третьего и первого порядков, точка, характеристическое уравнение, характеристическое число, узел, седло.
Объект исследования: квадратичная двумерная стационарная система с заданными интегральными кривыми третьего и первого порядков.
Предмет исследования: построение квадратичной двумерной стационарной системы с частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков, нахождение и исследование состояний равновесия, исследование бесконечно-удаленной части плоскости.
Цель дипломной работы: качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы.
Основным инструментом исследований является понятие частного интеграла.
Содержание
В
ведение
1 Построение квадратичных двумерных стационарных систем
1.1 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой третьего порядка
1.2 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой первого порядка
1.3 Необходимые и достаточные условия существования у системы (1.1) двух частных интегралов (1.4), (1.18)
2 Исследование поведения траекторий системы на плоскости

2.1 Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданными формулами (1.35) в конечной плоскости

2.2 Исследование бесконечно-удаленной части плоскости

2.3 Построение качественной картины поведения траектории в круге Пуанкаре

Заключение

Список использованных источников

Приложение. Поведение траекторий системы (2.1)

Введение
Известно, что аналитический вид решения очень хорош в случае л
инейных систем. В случае же нелинейных систем даже тогда, когда решение может быть выражено через элементарные функции, эти выражения могут быть столь сложными, что непосредственный их анализ практически невозможен. В связи с этим появилась необходимость в создании такой теории, с помощью которой можно было бы изучать свойства решений дифференциальных уравнений по виду самих уравнений. Такой теорией, наряду с аналитической, и является качественная теория дифференциальных уравнений.
Впервые задача качественного исследования для простейшего случая системы двух дифференциальных уравнений
(0.1)
с полной отчетливостью была поставлена А. Пуанкаре [7] в конце прошлого столетия. Позднее исследования А. Пуанкаре были дополнены И. Бендиксоном [3,с.191-211] и уточнены Дж. Д. Биркгофом [4,с. 175-179].
Одной из задач качественной теории дифференциальных уравнений является изучение поведения траекторий динамической системы (0.1) на фазовой плоскости в целом в случае, когда P(x,y) и Q(x,y) - аналитические функции. Интерес к изучению этой системы или соответствующего ей уравнения объясняется их непосредственным практическим применением в различных областях физики и техники.
(0.2)
Н.Н. Баутиным [1, с. 181- 196] и Н. Н. Серебряковой [8, с. 160- 166] полностью исследован характер поведения траекторий системы (0.1), имеющей два алгебраических интеграла в виде прямых. В [10, с. 732- 735] Л. А. Черкасом такое исследование проведено для уравнения (0.2) при наличии частного интеграла в виде кривой третьего порядка. Яблонский А. И. [11, с. 1752- 1760] и Филипцов В. Ф. [9, с. 469-476] изучали квадратичные системы с предположением, что частным интегралом являлись алгебраические кривые четвертого порядка.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
(0.3)
В настоящей работе проводится качественное исследование в целом системы (0.3) при условии, что она имеет два частных интеграла вида:
x3+1x2y+1xy2+1y3+2x2+2xy+2y2+3x+3y+=0, (0.4)
mx+ny+p=0 (0.5)
в предположении, что коэффициенты кривых (0.4), (0.5) и системы (0.3) вещественные.
Работа состоит из двух глав.
В первой главе проводится построение квадратичной двумерной стационарной системы с частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков. При этом коэффициенты интегралов выражаются через коэффициенты системы, а коэффициенты системы связаны между собой тремя соотношениями.
Во второй главе проводится качественное исследование системы, включающее в себя нахождение и исследование состояний равновесия, исследование бесконечно-удаленной части плоскости при фиксированных значениях коэффициентов системы.

1 ПОСТРОЕНИЕ КВАДРАТИЧНЫХ ДВУМЕРНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ

1.1 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой третьего порядка

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

(1.1)

Согласно [10, с. 1752-1760], если система, правые части которой есть полиномы n-ой степени, имеет частный интеграл вида:

, (1.2)

где Fk(x,y) - однородные полиномы от x и y степени k, то выполняется равенство:

. (1.3)

Пусть частный интеграл (1.2) имеет вид:

F(x,y)x3+1x2y+1xy2+1y3+2x2+2xy+2y2+3x+3y+=0 (1.4)

Для интеграла (1.4) системы (1.1) имеет место соотношение (1.3),где L(x,y) = fx+gy+k, f, g, k - постоянные:

(3x2+21xy+1y2+22x+2y+3)(ax+by+a1x2+2b1xy+c1y2)+(1x2+

21xy+31y2+2x+22y+3)(cx+dy+a2x2+2b2xy+c2y2)=(x3+1x2y+1xy2+ (1.5)

1y3+2x2+2xy+2y2+3x+3y+)(fx+gy+k).

Приравнивая в (1.5) коэффициенты при одинаковых степенях выражений

xm yn слева и справа, получим следующую связь между коэффициентами кривой (1.4) и системы (1.1):

3a1+1a2-f=0, (1.61)

(2a1+2b2-f)1+2a21-g+6b1=0, (1.62)

21c1+(2b1+2c2-g)1+(6b2-f)1=0, (1.63)

(4b1+c2-g)1+(a1+4b2-f)1+3a21+3c1=0, (1.64)

c11+(3c2-g)1=0; (1.65)

c1+(2a1-f)2+a22-k+3a=0, (1.71)

(2a+d-k)1+2c1+(4b1-g)2+(a1+2b2-f)2+2a22+3b=0, (1.72)

2b1+(a+2d-k)1+3c1+2c12+(2b1+c2-g)2+(4b2-f)2=0, (1.73)

b1+(3d-k)1+c12+(2c2-g)2=0; (1.74)

(2a-k)2+c2+(a1-f)3+a23=0, (1.81)

2b2+(a+d-k)2+2c2+(2b1-g)3+(2b2-f)3=0, (1.82)

b2+(2d-k)2+c13+(c2-g)3=0; (1.83)

(a-k)3+c3-f=0, (1.91)

b3+(d-k)3-g=0, (1.92)

k=0. (1.93)

Будем предполагать, что коэффициенты кривой (1.4) и системы (1.1) вещественные и кривая не проходит через начало координат, тогда =0. Согласно (1.93) в этом случае k=0.

Будем рассматривать частный случай системы (1.1), т.е. будем предполагать, что a2=c1=0, а коэффициенты 1, 1, 1 интегральной кривой (1.4) обращаются в нуль.

Уравнения (1.61) - (1.93) при этих предположениях будут иметь вид:

3a1-f=0, (1.101)

g+6b1=0; (1.102)

(2a1-f)2+3a=0, (1.111)

(4b1-g)2+(a1+2b2-f)2+3b=0, (1.112)

(2b1+c2-g)2+(4b2-f)2=0, (1.113)

(2c2-g)2=0; (1.114)

2a2+c2+(a1-f)3=0, (1.121)

2b2+(a+d)2+2c2+(2b1-g)3+(2b2-f)3=0, (1.122)

b2+2d2+(c2-g)3=0; (1.123)

a3+c3-f=0, (1.131)

b3+d3-g=0. (1.132)

Из условий (1.101) и (1.102) получаем, что

f = 2a1, g = 6b1.

Из условия (1.114) имеем

(2c2-g)2=0.

Пусть 2, тогда

2c2-g=0 и g=2c2,

с другой стороны g = 6b1, значит

c2=3b1.

Имея условия f = 2a1, g = 6b1, c2=3b1, из соотношений (1.111) - (1.113), (1.121), (1.123) и (1.131) найдем выражения коэффициентов кривой (1.4) через коэффициенты системы(1.1) в следующем виде:

2 = , 2 = ,

2 = , 3 = ,

3 = ,(1.15)

= .

Равенства (1.122) и (1.132) с учетом полученных выражений (1.15), дадут два условия, связывающие коэффициенты a, b, c, d, a1, b1, b2:

(2ab1-ba1)[3(32a1b1b2-15a12b1-16b1b22) a+(8a1b22-18a12b2+9a13) b+

24(a1b12-b12b2) c+(16a1b1b2-15a12b1) d]=0, (1.16)

(2ab1-ba1)[12(7a1b1b2-3a12b1-4b1b22) a2+6(3a1b12-4b12b2) ac+(3a12b1-

-4a1b1b2) bc+2(4a12b2-3a13)bd -8a1b12cd+4a12b1d2]=0. (1.17)

Итак, установлена следующая теорема:

Теорема 1.1 Система (1.1) имеет частный интеграл вида (1.4), коэффициенты которого выражаются формулами (1.15), при условии, что коэффициенты системы связаны соотношениями (1.16), (1.17) и c1=a2= 0, c2= 3b1.

1.2 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой первого порядка

Рассмотрим система (1.1), которая в качестве частного интеграла (1.2) имеет кривую первого порядка:

mx+ny+p=0. (1.18)

В системе (1.1), согласно предыдущего параграфа

a2=c1=0, c2=3b1. (1.19)

Для интеграла (1.18) системы (1.1), с учетом (1.19), имеет место соотношение (1.3), где L(x,y)= x+y+, , , - постоянные:

m(ax+by+a1x2+2b1xy)+n(cx+dy+2b2xy+3b1y2)=

=(mx+ny+p)( x+y+). (1.20)
Приравнивая в (1.20) коэффициенты при одинаковых степенях xm yn, получим следующую связь между коэффициентами кривой (1.18) и системы (1.1):
(a1-)m= 0, (1.211)
(2b1-)m+(2b2-)n=0, (1.212)
(3b1-)n=0; ( и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.