На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Курсовик Клеточные разбиения классических пространств. Важность для геометрии и топологии клеточного разбиения многообразий Грассмана. Гомотопические свойства клеточных пространств. Теорема о клеточной аппроксимации. Доказательство леммы о свободной точке.

Информация:

Тип работы: Курсовик. Предмет: Математика. Добавлен: 15.06.2009. Сдан: 2009. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


27
Содержание
    Введение
      1. Основные определения
      1.1Терминологические замечания
      1.2 Комментарии к определению клеточного пространства
      2. Клеточные разбиения классических пространств
      2.1 Сферы и шары
      2.2 Проективные пространства
      2.3 Многообразия Грассмана
      2.4 Многообразия флагов
      2.5 Классические поверхности
      3. Гомотопические свойства клеточных пространств
      3.1 Теорема Борсука о продолжении гомотопий
      3.2 Следствия из теоремы Борсука
      3.3 Теорема о клеточной аппроксимации
      3.4 Доказательство леммы о свободной точке
      3.5 Первые применения теоремы о клеточной аппроксимации
      Заключение
      Список использованных источников

Введение

В системе высшего образования весьма значительную роль играет гомотопическая топология, которая почти никогда не рассматривает совершенно произвольных топологических пространств. Обычно она изучает пространства с той или иной дополнительной структурой, причем со времен основоположника топологии Анри Пуанкаре рассматривают структуры двух типов. Первый тип - структуры аналитического происхождения: дифференциальная, риманова, симплектическая и т.д. Структуры второго, более важного для нас типа - комбинаторные структуры. Они заключаются в том, что пространство расчленено на более или менее стандартные, и изучение пространства сводится к изучению взаимного расположения этих частей.

Одна из важнейших из комбинаторных структур - клеточная структура. В гомологии она является эффективным вычислительным средством.

Данная работа посвящена изучению клеточной структуры, приведению некоторых теорем, свидетельствующие о полезности понятия клеточного пространства для гомотопической топологии., а так же подтверждающие необходимость изучения рассмотренной темы и всей топологии в целом, как основы для систематизации знаний по многим разделам высшей математики.

1. Основные определения

Клеточное пространство - это хаусдорфово топологическое пространство К, представленное в виде объединения попарно непересекающихся множеств ("клеток") таким образом, что для каждой клетки существует отображение q-мерного шара в К (характеристическое отображение, отвечающее клетке ), сужение которого на внутренность Int шара представляет собой гомеоморфизм Int?. При этом предполагаются выполненными следующие аксиомы.

(С) Граница = ? клетки содержится в объединении конечного числа клеток с r < q.

(W) Множество F К замкнуто тогда и только тогда, когда для любой клетки замкнуто пересечение F.

(Иногда характеристические отображения считаются фиксированными, т.е. рассматриваются как элемент структуры. Разумеется, такая модификация определения будет явно оговариваться)

1.1Терминологические замечания

1. Термин "клеточное пространство" не является абсолютно общепринятым: говорят также "клеточное разбиение" или "клеточный комплекс" или "CW-комплекс". Выражение "клеточное разбиение" мы будем употреблять как синоним выражения "разбиение пространства на клетки"; термин же "комплекс" будет у нас употребляться исключительно в алгебраическом значении.

2. Обозначения аксиом (С) и (W) являются стандартными; они происходят от английских слов "closure finite" и "weak topology".

Клеточное подпространство клеточного пространства K - это замкнутое его подмножество, составленное и целых клеток; клеточные подпространства являются самостоятельными клеточными пространствами. Важнейшие клеточные подпространства клеточного пространства - его остовы: n-й остов есть объединение всех клеток размерности n (по определению, размерность клетки равна q). Стандартные обозначения для n-го остова пространства или X. Кстати, некоторые говорят "n-мерный остов", но это неправильно: размерность клеточного пространства определяется как верхняя грань размерностей его клеток, и, очевидно, размерность n-го остова меньше или равна n. Клеточное пространство называется конечным (счетным), если оно состоит из конечного (счетного) числа клеток.

Заметим, что для конечных клеточных пространств аксиомы (С) и (W) проверять не нужно: они выполняются автоматически.

1.2 Комментарии к определению клеточного пространства

1. Замыкание клетки может не быть клеточным пространством. Пример: разбиение букета на клетки , и () - делает его клеточным пространством, но если а не есть отмеченная точка окружности , то замыкание последней клетки не является подпространством (см. рис.1).

Рис.1

2. Из (W) не следует (С). Разбиение диска D2 на внутренность Int D2 и отдельные точки граничной окружности удовлетворяет аксиоме (W) (потому что всегда F Int D 2 = F), но не удовлетворяет аксиоме (С).

3. Из (С) не следует (W). Возьмем бесконечное семейство ¦б=1,2,…копий отрезка I, отождествим нулевые концы и топологизируем получившееся множество при помощи метрики: расстояние между точками , равно, если , и равно , если. Разбиение построенного пространства на множества и оставшиеся точки не удовлетворяет, из условий, входящих в определение клеточного пространства, только аксиоме (W): точки составляют последовательность, сходящуюся к 0, и, значит, незамкнутое множество, но пересечение этой последовательности с замыканием любой клетки замкнуто.

Кстати, если, как это только что было, разбиение пространства на клетки удовлетворяет всем условиям из определения клеточного пространства, кроме аксиомы (W), то можно ослабить в этом пространстве топологию, определив новую топологию при помощи аксиомы (W). Эта процедура называется "клеточным ослаблением топологии".

2. Клеточные разбиения классических пространств

2.1 Сферы и шары

При конечном n имеется два канонических клеточных разбиения сферы . Первое состоит из двух клеток: точки (любой, скажем, (1,0,... ..., 0)) и множества (рис.2а). Характеристическое отображение , отвечающее второй клетке, - это обычное "сворачивание" сферы из шара; годится, например, отображение, действующее по формуле , где (рис.3).

Рис.2

Рис.3

Другое каноническое клеточное разбиение сферы состоит из 2n +2 клеток : клетка состоит из точек , у которых и (рис.2б). Заботиться о характеристических отображениях здесь не приходится: замыкание каждой клетки очевидным образом гомеоморфно шару соответствующей размерности.

Заметим, что оба описанные клеточные разбиения сферы получаются из единственного возможного разбиения сферы (двоеточия) посредством применения канонической конструкции клеточного разбиения надстройки: в первом случае нужно брать надстройку над сферой как над пространством с отмеченной точкой, а во втором случае - обыкновенную надстройку.

Существует, конечно, масса других клеточных разбиений сферы : ее можно разбить на 3n+1 - 1 клеток как границу (n+1) - мерного куба, на клеток - как границу (n+1) - мерного симплекса и т.п. .

Все описанные клеточные разбиения, кроме самого первого, годятся для сферы .

Клеточное разбиение шара можно получить из любого клеточного разбиения сферы путем присоединения одной клетки Int с характеристическим отображением id: . Наиболее экономное клеточное разбиение шара состоит, таким образом, из трех клеток. Правда, ни одно из этих разбиений не годится для шара .

2.2 Проективные пространства

При отождествлении диаметрально противоположных точек сферы клетки- клеточного разбиения склеиваются между собой и получается (n+1) - клеточное разбиение пространства R, по одной клетке в каждой размерности q?n. Это же разбиение можно описать так:

R¦.

Еще одно описание этого разбиения: имеется цепочка включений

R R R R,

и мы полагаем eq = R - R. Характеристическим отображением для eq служит композиция канонической проекции Dq R и включения RR. При n= наша конструкция доставляет клеточное разбиение пространства R, содержащее по одной клетке каждой размерности. Конструкция имеет также комплексный, кватернионный и кэлиев аналоги. Она дает: разбиение пространства С на клетки размерностей 0, 2, 4,..., 2n; разбиение пространства Hна клетки размерностей 0, 4, 8,..., 4n; разбиение пространства СаР2 на клетки размерностей 0,8,16; клеточные разбиения пространств Си H, содержащие по одной клетке в каждой размерности, делящейся, соответственно, на 2 и 4. Например, пространство С разбивается на клетки

С¦

с характеристическими отображениями

C С.

2.3 Многообразия Грассмана

Описываемое ниже клеточное разбиение многообразий Грассмана очень важно для геометрии и топологии (особенно для теории характеристических классов). Составляющие его клетки называются клетками Шуберта, а само оно называется шубертовским.

Пусть - произвольная конечная (возможно, пустая) невозрастающая последовательность целых положительных чисел, не превосходящих k, причем s ? n - k. Обозначим через e () подмножество пространства G (n,k), составленное из подпространств пространства R, удовлетворяющих следующим условиям (мы полагаем =0):

R при m ? k - m;

codim ( R) =о при ;

R при m ? k + s + 1

(мы считаем, что Ra R при a < b: ). Приведем другое, более простое описание множества e (). Напомним, что диаграмма Юнга набора - это фигура, которая рисуется на клетчатой бумаге, как показано на рис.4а (столбцы имеют длины ).

Число клеток диаграммы Юнга равно . Можно считать, что клетки пространства G (n,k) отвечают диаграммам Юнга, вмещающимся в прямоугольник k (n - k) (рис.4а). Рассмотрим диаграмму Юнга набора и расположим ее, как показано на рис.4б. Толстая линия на этом рисунке представляет собой график некоторой неубывающей функции, и множество e () задается условием dim (R) = (m). Ввиду наличия такого простого описания, множество e () обозначают иногда через е (), где - обозначение для диаграммы Юнга набора (). Еще раз заметим, что размерность клетки е () равна числу клеток диаграммы.

Лемма. Множество e () гомеоморфно R.

Доказательство. Расчленим диаграмму Юнга набора (), как показано на рис.4в. Поставим в клетках вдоль косых линий единицы, в Заштрихованные клетки - произвольные числа и в остальные места - нули. Получится kn-матрица, строки которой составляют базис некоторого k-мерного подпространства пространства R. Легко понять, что это подпространство принадлежит e () и что всякое подпространство, принадлежащее e (), обладает единственным базисом указанного вида. Получаем параметризацию клетки e () наборами из чисел (числа в заштрихованных клетках).

Рис.4
На самом деле верно больше: множества e () составляют клеточное разбиение пространства G (n, k). Для доказательства нужно построить характеристические отображения, т.е. продолжить построенные гомеоморфизмы IntR e () до непрерывных отображений G (n, k), отображающих сферу в объединение клеток меньших размерностей.
Замечательное свойство шубертовских клеток состоит в том, что при естественных вложениях G (n, k) в G (n+1, k) ив G (n+1, k+1) клетка e () гомеоморфно накладывается на клетку того же наименования. Следовательно, пространство G (,k) разбивается на клетки Шуберта, отвечающие диаграммам Юнга, содержащимся в горизонтальной полуполосе высоты k, а пространство G (,) разбивается на клетки, отвечающие всем без исключения диаграммам Юнга. Во всех случаях размерности клеток равны числам клеток диаграмм Юнга.
Комплексные и кватернионные аналоги шубертовских клеток очевидны; разумеется, размерности комплексных и кватернионных аналогов клеток Шуберта соответственно в 2 и 4 раза превосходят числа клеток соответствующих диаграмм Юнга.

2.4 Многообразия флагов

Многообразия флагов имеют естественное клеточное разбиение, обобщающее шубертовское разбиение многообразий Грассмана. Это разбиение и его клетки также называются шубертовскими. Опишем разбиение в вещественном случае (комплексный и кватернионный случаи отличаются только удвоением и учетверением размерностей клеток).

Шубертовские клетки многообразия флагов характеризуются наборами размерностей пересечений VR. Числа , однако, должны удовлетворять набору довольно неудобных условий, и мы предпочтем следующее, более рациональное описание клеток Шуберта.

Клетки пространства F (n; ) отвечают наборам целых чисел, принимающих значения 1,…, s + 1, причем ровно из этих чисел равны j (j=1,…, s+1; мы считаем, что k=0 и k=n). Клетка е [], отвечающая набору (), состоит из флагов VV, у которых

dim{

(мы считаем, что V=0 и V есть все пространство R) или, иначе,

dim (V R ) = card {р ? i¦kp ? j }.

Размерность клетки е [] равна числу пар (i, j), для которых i<j, >.

В частности, многообразие F (n; 1,…,n-1) полных флагов разбито на n! клеток, отвечающих обыкновенным перестановкам чисел 1,…, n, причем размерность клетки равна числу инверсий в перестановке.

Если многообразие флагов есть многообразие Грассмана G (n, k), то s = 1 и набор состоит из k единиц и n-k двоек. Построим по этому набору n-звенную ломаную на плоскости, начинающуюся в точке (0, k) и кончающуюся в точке (n-k, 0). Все звенья ломаной имеют длину 1, причем i-e звено направлено вниз, если = 1, и вправо, если = 2. Эта ломаная ограничивает (вместе с координатными осями) некоторую диаграмму Юнга , и легко понять, что е [] = е ().

Заметим в заключение, что клетки е [] (и их комплексные и кватернионные аналоги) могут быть описаны чисто групповым образом: это - орбиты группы нижних треугольных nn-матриц с единицами на диагонали, естественным образом действующей в многообразии флагов. Именно, клетка е [] есть орбита флага, i-е пространство которого порождено координатными векторами, номера р которых удовлетворяют неравенству < i.

2.5 Классические поверхности

Клеточные разбиения поверхностей S2 и RP2 нами уже построены. Клеточные разбиения остальных поверхностей без края автоматически получаются при склеивании этих поверхностей из многоугольников: двумерная клетка получается из

внутренности многоугольника, одномерные клетки - из его (открытых) ребер, нульмерные клетки - из его вершин. Каноническое клеточное разбиение каждой классической поверхности имеет одну двумерную и одну нульмерную клетку. Кроме того, сфера с g ручками имеет 2g одномерных клеток (см. рис.5), проективная плоскость с g ручками имеет 2g +1одномерную клетку и бутылка Клейна с g ручками имеет 2g +2 одномерных клеток.

Рис.5

3. Гомотопические свойства клеточных пространств

3.1 Теорема Борсука о продолжении гомотопий

Определение. Пара (X, А) называется парой Борсука (или корасслоением), если для любого пространства Y и любого непрерывного отображения F: ХY всякая гомотопия ft: АY, такая, что f = F¦ А, может быть продолжена до гомотопий Ft: ХY, у которой F0 = F.

Теорема Борсука. Если X - клеточное пространство и А - его клеточное подпространство, то (X, А) - пара Борсука.

Доказательство. Нам даны отображения Ф: А I Y (гомотопия ft) и F: X 0 Y, причем F ¦= Ф¦. Продолжить гомотопию ft до гомотопий Ft - это значит продолжить отображение F до отображения F': XI Y, такого, что F' ¦= Ф. (Продолжение мы произведем индуктивно по размерности клеток пространства X, не входящих в А. Начальным шагом индукции служит продолжение отображения Ф на (AX) I:

F' (x, t) ={

Допустим теперь, что отображение F' уже определено на (A X) I. Возьмем произвольную (n+ 1) - мерную клетку e Х - A. По предположению, F' задано на множестве () I, так как граница = клетки содержится в X по определению клеточного пространства. Пусть f: D X - характеристическое отображение, соответствующее клетке . Нам надо продолжить F' на внутренность "цилиндра" f (D) I с его "стенки" f (S) I и "дна" f (D) 0. Но из определения клеточного пространства ясно, что это все равно, что продолжить отображение F'f: (SI) (D 0) Y до непрерывного отображения ': D I Y.

Пусть : D I (SI) (D 0) - проектирование цилиндра D I из точки, лежащей вне цилиндра вблизи верхнего основания D I (см. Рис.6); это отображение тождественно на (SI) (D 0). Отображение ' мы определяем как композицию

D I (SI) (D 0) Y.

Эту процедуру можно проделать независимо для всех (n + 1) - мерных клеток пространства X, и мы получаем продолжение отображения F' на (A X) I.

Рис.6

Так, остов за остовом, мы строим желаемое продолжение отображения Ф до отображения F: XI Y. Подчеркнем, что если пространство X бесконечномерно, то наше индуктивное построение будет состоять из бесконечного числа шагов; в этом случае непрерывность окончательного отображения будет следовать из аксиомы (W). Теорема доказана.

3.2 Следствия из теоремы Борсука

Следствие 1. Пусть X - клеточное пространство и А - его клеточное подпространство. Если А стягиваемо по себе в точку, то X/А ~ X.

Доказательство. Обозначим через проектирование X Х/А. Так как А стягиваемо, то существует гомотопия ft: АА, такая, что отображение f0: А А тождественно и f (A) есть точка. В силу теоремы Борсука, существует гомотопия Ft: ХХ, такая, что F0 = id и Ft¦A =ft. B частности F (A) =* (точка). Это означает, что можно рассматривать как отображение, заданное на Х/А, точнее, что F = q p, где q: Х/А X и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.