Здесь можно найти образцы любых учебных материалов, т.е. получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ и рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


курсовая работа Инверсии. Свойства инверсных преобразований

Информация:

Тип работы: курсовая работа. Добавлен: 27.04.2012. Сдан: 2011. Страниц: 10. Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%

Описание (план):


Министерство  Образования Российской Федерации

Камчатский  государственный педагогический университет 

Кафедра прикладной математики
 
 
 
 
Курсовая  работа
Инверсии. Свойства инверсных преобразований. 
 
 
 
 
 
 
 

  Выполнила: студентка 2 курса физико-математического факультета специальности «математика с дополнительной специальностью информатика» Бучок Валентина  Cергеевна 

Научный руководитель: доцент кафедры прикладной математики,
к.т.н. Шереметьева О.В. 
 
 
 

Петропавловск-Камчатский

2010
Оглавление?
Введение…………………………………………………………………….....3стр.
1.Инверсия…………………………………..…………………………...........4 стр.
1.1 Инволютивность инверсии………………………………………...........8 стр.
1.2 Аналитическое  задание инверсии………………………………….…...9 стр.
2.Свойства инверсий …………………………………..……………….…10стр.
3.Использование метода инверсий при решении геометрических задач
3.1 Задачи на касание окружностей………………………………..………22стр.
3.2  Задачи на построение окружностей, пересекающих данные окружности ортогонально………………………………………………………………....25стр.
Заключение……………………………………………………………..……32стр.
Список  используемой литературы………………………………………….33стр. 
 
 
 
 
 
 

Введение
    В 1831 году Л. Дж Магнус впервые стал рассматривать  преобразование плоскости, которое  получило название симметрии относительно окружности или инверсии (от лат. inversio - обращение).В данной курсовой работе рассматривается такое  преобразование.
    Цель  данной курсовой работы: рассмотреть  преобразование инверсии, осветить основные свойства этого преобразования, применяемые  при решении задач и доказательстве теорем.
   Поставленная  цель предполагала решение следующих  задач:
    вывод  формулы инверсии;
    доказательство основных свойств инверсии;
    примеры решения нескольких задач при помощи инверсии;
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Инверсия. Аналитическое задание инверсии.
Пусть на плоскости Р задана окружность с центром в точке О и радиусом r. Инверсией окружность с центром в точке О и радиусом r называется преобразование плоскости, которое описывается следующим законом ? точке Х , отличной от точек О и О?, ставится в соответствии точка Х' на луче ОХ такая, что  ОХ' = r2/OX, где?
точка О?  - бесконечно удаленная точка;
точка О - центр инверсии;
r2- степень инверсии;
Введенная выше окружность с  окружность с  центром в точке О и радиусом r называется окружностью инверсии.

Рассмотрим  ту же окружность с центром в точке О и радиусом r и обозначим через Е0 множество точек плоскости без точки О. Каждой точке М множества Е поставим в соответствии точку М' так, чтобы она лежала на луче ОМ и
. Получаем  преобразование множества Е0 ,которое и называется инверсией относительно окружности (О,r) или просто инверсией.
Из данного определения инверсии следует, что в инверсии соответствие между точка множества Е0 взаимно- если точка М' соответствует точке М, то точка М соответствует М'. Каждая точка окружности инверсии является инвариантной точкой, а сама окружность является инвариантной фигурой.
Точки М, лежащие внутри окружности инверсий, переводятся инверсией в точки, лежащие вне окружности инверсии, и наоборот, точки лежащие вне окружности переводятся во внутренние точки  по отношению к этой окружности. Пусть точка М -внешняя относительно окружности (О). Из точки М проведем касательную МТ к окружности (О) и точку касания Т спроектируем ортогонально  на прямую ОМ. Мы получили точку М'=f(М).
 

В самом  деле, в треугольнике ОТМ  угол Т  прямой и ТМ'- высота, проведенная из вершины прямого угла . Следовательно, ОМ*ОМ'=ОТ2 , т.е.
ОМ*ОМ'= r2, причем точка М' является внутренней точкой относительно окружности (О).
Если  же точка м является внутренней относительно окружности (О), то через М проведем прямую d перпендикулярно ОМ,  и пусть Т –точка пересечения прямой d с окружностью (О). Если  точка М неограниченно приближается к точке О, то ее образ –точка М ' -неограниченно удаляется от точки О.Это видно из соотношения ?
ОМ'= r2/ОМ +?.
                                       Аналогично  устанавливается, что при неограниченном удалении точки М от точки О, ее образ М' неограниченно приближается к точке О.Тем самым оправдано, что по определению инверсии центр инверсии переходит в бесконечно удаленную точку, и наоборот. Пусть произвольная точка Х подвергается последовательно действию одной и той же инверсии
?.
Обозначим через Х' точку   ? (Х), а через Х'' - точку ? (Х'). Тогда все три точки Х, Х', Х''  лежат на одном луче ОХ и, кроме того, справедливы соотношения?
=
,   ОХ''=

Отсюда  получаем  ОХ"=
,
следовательно, ОХ"= ОХ.
Итак, если Х  – произвольная точка плоскости, отличная от центра инверсии и бесконечно удаленной точки, то дважды выполненная инверсия переводит точку Х в эту же точку Х. Если точка Х совпадает с точкой О или с бесконечно удаленной точкой, то тот же результат сохраняет силу. Это вытекает непосредственно из определения инверсии.
Итак, справедлива  следующая теорема: Преобразование плоскости, представляющей собой последовательно выполненную дважды одну и ту же инверсию, есть тождественное преобразование.
Отметим, что если при инверсии точка Х  переходит в Х', то Х' при этой инверсии переходит в Х т.е. Х' и Х меняются местами. Подобным свойством обладает отражение в прямой, поэтому иногда инверсию называют «отражением в окружность». 

1.1 Инволютивность инверсии
Преобразование  f - называется инволютивным, если f?е , но f 2, где тождественное преобразование ,а f 2 = f *f-квадрат преобразования f.
Если  f- инволютивное  преобразование множества Х и f(х)=у, (х, уIХ), то
f 2(х)= f  (у), а значит f  (у)=х. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1.2. Аналитическое задание инверсии
1)выберем на плоскости ортонормированный репер R={O,i,j} c  началом в центре окружности (О) инверсии f. Выразим координаты х', у' точки М'= f(М) в репере R через координаты х,у точки МIЕ' в том же репере.
Так как векторы ОМ? 0 и ОМ коллинеарны, то ОМ' =ОМ*l .               (1)
из определения инверсии следует, что     l*ОМ2 =r2  ?
,          
                                    (2*)

из (2*) следует, что 

    , 
 (2)

2)Если  М' и N' -образы точек М и NIE' , то воспользовавшись формулами (2*) и (2) нетрудно выразить расстояние между двумя точками М' и N'?
 
 
 
 
 

2. Свойства инверсии.
  Обозначим через f инверсию на плоскости, имеющую центр в точке О, радиус которой равен r.
  Прежде  всего установим одну простую  лемму, которая играет существенную роль при изучении свойств инверсии.
  Лемма 1. Пусть инверсия f переводит точки А и В соответственно в точки А' и В' (,предполагается, что точки А и В отличны от точки О и бесконечно удаленной точки и, кроме того, точки О, А, В не лежат на одном луче с началом в точке О). Тогда треугольники ОАВ и OA'В' подобны и
ОАВ=
ОВ'А,  
ОВА =
О А'В'.
  Доказательство. У треугольников ОАВ и OA'В' имеется общий угол, а стороны, заключающие этот угол, пропорциональны. Действительно, так как OA*OA' = ОВ*ОВ'=r2 ,
  
.               (3)

  

Отсюда  следует, что треугольники ОАВ и OA'B' подобны. Но так как против пропорциональных сторон в подобных треугольниках лежат равные углы, то из соотношения (3) следует равенство соответствующих углов:
ОАВ =
ОВ'А'
ОВА =
ОА'В'
   Лемма доказана.
   Т е о р е м а 1: Инверсия f  переводит любую прямую, проходящую через центр инверсии, саму на себя} т. е. прямая у, проходящая через центр инверсии, есть инвариантная фигура.
   Доказательство  этой теоремы непосредственно вытекает из определения инверсии.
   Теорема 2. Инверсия f преобразует прямую, не проходящую через центр инверсии О, в окружность, проходящую через точку О.
Доказательство. Пусть l- прямая, не проходящая через центр инверсии - точку О. Опустим из точки О перпендикуляр на прямую l, и пусть он пересекает l в точке М. Пусть M'- образ точки М относительно инверсии f. Точка М', очевидно, лежит на луче OM.
   

На прямой l рассмотрим произвольную точку X, отличную от бесконечно удаленной точки O?. Пусть X' — образ X относительно инверсии f. Тогда по лемме 1 имеем:
OX'M' =
OMX=
.

Поэтому точка X' лежит на окружности K, построенной на отрезке ОМ' как на диаметре. Так как точка X взята на прямой l произвольно, то образ прямой l при инверсии f представляет собой совокупность точек l', расположен ную на окружности K.
  Докажем теперь, что множество точек l' совпадает с окружностью К. Прежде всего отметим, что точка О принадлежит множеству l'. Это вытекает из того, что прямая l проходит через бесконечно удаленную точку O?, а эту точку инверсия f переводит в точку О. Пусть теперь Y — произвольная точка окружности K. Луч ОУ пересекает прямую l в некоторой точке Z (мы предполагаем, что точка У отлична от точки О, поэтому луч ОУ не параллелен прямой l). Докажем, что точка Z переводится инверсией f в точку Y. Так как точки У и Z лежат на одном луче 0Z, то нам нужно лишь проверить, что выполняется соотношение OY=r2/OZ.
По построению треугольники OYM' и OMZ подобны.
 

Поэтому
.

Отсюда

Итак, доказано, что точка У есть образ точки  Z при инверсии f. Таким образом, образ прямой l совпадает с окружностью K.
  Теорема доказана.
  Построение, проведенное в доказательстве теоремы 2, дает способ построения образа заданной прямой относительно инверсии f с помощью циркуля и линейки. Из центра инверсии -точки О опускаем перпендикуляр ОМ на прямую l.
  Строим  точку М', являющуюся образом точки М (при этом приходится строить отрезок длиной, равной г2). Образ прямой l относительно инверсии—
окружность  l' строится на отрезке ОМ' как на диаметре.
  В том частном случае, когда прямая l касается окружности инверсии, точки М и М' совпадают и потому окружность l' строится на отрезке ОМ как на диаметре.
  Теорема 3. Инверсия f преобразует окружность, проходящую через центр инверсии О, в прямую, не проходящую через точку О.
  Пусть прямая а не проходит через центр  инверсии и определется в репере R уравнением: Ax+By+C=0.
Так как  инверсия является преобразование инволютивным, то вместе с формулами (2) имеем и  такие:
,
. (4)

Фигура f (а) определяется уравнением, которое  получится, если в уравнении Ax+By+C=0 заменим х и у их выражениями (4).  (х')2 + (у')2? 0, находим:
С((х')2 + (у')2) + r2 (Ах' + By') = 0
Это уравнение  определяет окружность, из которой  надо выбросить точку О.
Итак, прямая, не проходящая через центр О инверсии, переходит в окружность, проколотую в точке О.
В силу инволютивности инверсии заключаем, что  окружность, проколотая в точке О, переходит в инверсии в прямую, не проходящую через точку О.  

Рассмотрим  окружность (О1), определяемую уравнением:
(x-x0)2+(y-y0)2 =r2
Данное  уравнение можно записать в виде:
x2 + у2 + ах + bу + с = 0.                                                     (5)
Пусть 0€ (Ох) (с ? 0). Образ окружности (О1) в инверсии f определяется уравнением, полученным из (5) заменой х и у их выражениями (4):
 

  Это уравнение определяет окружность, не проходящую через точку О, Следовательно, окружность, не проходящая через центр  О инверсии, переходит в окружность, также не проходящую через точку  О.
  Теорема доказана. 

  Теорема 4. Инверсия f преобразует окружность, не проходящую через центр инверсии О, в некоторую окружность, также не проходящую через центр инверсии.
  Доказательство. Пусть К- окружность, не проходящая через центр инверсии О. Через точку О проведем прямую g так, чтобы она пересекла окружность К по диаметру АВ.
  Пусть А' и В'—образы точек А и В относительно инверсии f, X — произвольная точка окружности К и X'— ее образ.
  По  лемме 1 треугольники ОХ А и ОХ' А' подобны и потому
OA'X'=
OXA;
аналогично  треугольники ОХВ и ОХ'В' подобны и, следовательно,
Так как
А'Х'В' =
ОВ'Х' -
О АХ' =
ОХВ -
ОХ А =
AXB=?/2 ,
то отсюда вытекает, что отрезок А'В' из точки X' виден
под углом  ?/2 и, стало быть, точка X' лежит на окружности
S, построенной на отрезке А'В' как на диаметре. Поскольку точка X на окружности К была выбрана произвольно, то К'— образ окружности К при инверсии f — расположен на окружности S.
Докажем, что К ' совпадает с окружностью S. Пусть Y — произвольная точка окружности S и Z — точка на луче OY такая, что
         Очевидно, что точка Z переводится инверсией  f в точкуY. Далее, из соотношений

ОА*ОА' = г2,
OB*OB' = г2,
OZ * OY = г2
и леммы 1 вытекает, что
  
AZB =
OZB-
OZA =
OB'Y-
OA'Y =
=
A'YB'= ?/2 .
Следовательно, точка Z лежит на окружности К. Осюда вытекает, что фигуры S и К' совпадают. Так как построению концы диаметра окружности К –
 точки  А, отличны от О и расположены  на луче OA по одну сторону от точки О, то окружность К' не проходит через т.О. (Последнее утверждение вытекает также того факта, что никакая окружность не проходит ч бесконечно удаленную точку О?.) Построения, проведенные выше, дают возможн строить образ окружностей при инверсии с помощью : куля и линейки. Остановимся на этом вопросе более подробно.
  а) Окружность К не проходит через центр инверсии.В этом случае проводим из т. О луч, который пересекает окружность К по диаметру для точек А и В строим их образы А' и В'.
  Окружность  К'— образ окружности К относительно инверсии f — окружность, построенная на отрезке А'В' как на диаметре .
  

   б) Окружность К проходит через центр инверсии.
В этом случае согласно теореме 3 образ К  есть прямая К'. Из точки О проводим луч , который пересекает К по диаметру OA. Для точки А строим ее образ — точку А'. Прямая, проходящая через точкуА'  перпендикулярно лучу OA, и есть искомая прямая К'.
  Построение  прямой К' значительно упрощается в  двух случаям:
1)если окружность К пересекает окружность инверсии в двух точках В и С, то прямая К' совпадает с прямой ВС .
2) если  К касается окружности инверсии, то К' есть касательная к  окружности инверсии в точке  касания К с окружностью инверсии.   

  Перейдем  теперь к вопросу о характере  изменения углов между кривыми  под действием инверсии f. Как известно, углом между двумя кривыми l1 и l2 в точке их пересечения называется наименьший из вертикальных углов между касательными к этим кривым в рассматриваемой точке.
Можно доказать, что при инверсии углы между кривыми  сохраняются.
Докажем ниже это предложение для окружностей и прямых.
  Теорема 5. При инверсии f угол между прямыми равен углу между их образами.
  Доказательство. Здесь могут представиться три случая:
1)   прямые l1 и l2 проходят через центр инверсии f;
2)одна из прямых l1 и l2 проходит через центр инверсии;
3)ни  l1 ни l2 не проходят через центр инверсии.
В первом случае утверждение теоремы очевидно. Рассмотрим случаи
2) и 3).                                                                                             

  В случае  2) будем считать для определенности, что прямая проходит через центр инверсии — точку О. Тогда инверсия f переводит прямую l1 саму в себя, т. е. образ прямой совпадает с этой прямой. Прямая l2 не проходит через центр инверсии и потому переводится инверсией в некоторую окружность проходящую через точку О. Касательная t к окружности l'2 в точке О параллельна прямой l2.
  Относительно  взаимного расположения прямых l1 и l2могут представиться две возможности:
  а) прямые l1 и l2 параллельны;
  б) l1 и l2 пересекаются в некоторой точке А. Если l1 и l2, параллельны, то угол между ними, очевидно, равен нулю. прямая l1 проходит через точку О и параллельна l2. Поэтому она необходимо будет совпадать с касательной t к окружности l2 в точке О. Отсюда следует, что угол между l1 и l2 равен нулю и, следовательно, утверждение теоремы в случае а) доказано.
Пусть теперь l1 и l2 не параллельны и А — точка их пересечения. Обозначим через ? наименьший из вертикальных углов между  прямой l1= l'1 или,
что то же, прямой t. Точка А при инверсии переходит в некоторую точку A', в которой прямая l'1 пересекается с окружностью l2. Но прямая l'2 или, что то же, прямая OA' составляет с касательной t' в точке А' к окружности l' такие же вертикальные углы, что и с касательной t. Отсюда немедленно следует, что угол между l1 и l2 в точке А' равен ?. Случай 2) полностью доказан.
Третий  случай доказывается аналогичными рассуждениями. Заметим только, что если прямые l1 и l2 параллельны, то соответствующие окружности l'1 и l'2 имеют в точке О общую касательную и, стало быть, составляют между собой нулевой угол. Отсюда угол между l'1 и l'2  равен углу между l1 и l2. Если же прямые l1 и l2 пересекаются, то угол между окружностями l'1 и l'2  в точке О равен углу между прямыми l1 и l2, ибо касательные t1 и t2 к этим окружностям в точке О параллельны прямым l1 и l2. Отсюда и вытекает утверждение теоремы.
 

  Теорема 6. Угол между окружностями равен углу между образами этих окружностей относительно инверсии.
  Теорема 7. Угол между окружностью и прямой равен углу между образами этих фигур относительно инверсии. 
 
 
 
 
 

3. Использование метода инверсий при решении геометрических задач
  С помощью преобразования инверсии можно  дать весьма простые и изящные решения ряда задач на построение. Ниже мы рассматриваем задачи, в которых требуется построить окружность, касающуюся или ортогональную соответственно одной или нескольким окружностям.
  3.1 1 Задачи на касание окружностей
 Задача 1.
Три окружности Кг, Кг, К3 пересекаются в одной точке О. Требуется построить все окружности, касающиеся окружностей К1, К2, K3.Задача имеет четыре решения.
  Метод инверсии легко позволяет найти  эти решения. Действительно, пусть  f— инверсия с центром в точке О и радиусом r таким, что окружность инверсии пересекает окружности K1, К2, К3 соответственно в точках А1, В1, А2, В2, А3, В3. Инверсия f переводит окружности К1 К2, К3 соответственно в прямые  А1В1, А2В2, A3B3, причем, так как по условию задачи окружности К1, К2, К3 пересекались попарно в точке 0 (а не касались), то прямые А1В1, А2В2, A3B3 попарно пересекаются. Таким образом, наша задача сводится к построению всех окружностей, касающихся прямых А1B1, А2В2, А3В3. Это, очевидно, будут вписанная и три вневписанные окружности треугольника DEF, образованными этими прямыми.
Cтроим образы четырех окружностей, касающихся сторон треугольника DEF или их продолжений, относительно инверсии f. Полученные окружности и есть искомые.
  Заметим, что все проведенные построения можно выполнить с помощью циркуля и линейки.
Задача 2.
Построить окружности, которые касались бы двух данных окружностей К1 и K2 и проходили бы через данную точку О, лежащую вне К1 и K2.
  Пусть R — одна из искомых окружностей. Обозначим через  f инверсию с центром в точке О. Тогда f переводит К1 и K2 соответственно в окружности К'1 и K'2, а окружность R — в их общую касательную R'. Отсюда видно, что решения задачи представляют собой окружности, которые будут образами общих касательных к окружностям K1, и К'2 относительно инверсии f.  Так как таких касательных четыре, то задача имеет четыре решения.

   Задача 3 (Задача Аполлония). Построить окружности, касающиеся трех данных окружностей К1 ,K2 и K3. Пусть L — одна из искомых окружностей. Соединим отрезком О1О3 центры окружностей К1 и К3 и проведем соответственно из точек 01, 02, О3 окружности радиусов r1+s, r2+s, r3+s, где
  (6)
Обозначим построенные окружности соответственно через К1 ,K2 и K3. Пусть L - окружность, концентрическая по отношении к окружности L и имеющая радиус R — R—s. Очевидно, L касается окружностей К1 ,K2 и K3. Поэтому ясно, что если мы построим окружность L, то мы без труда построим и окружность L. Окружности К1 и K3 построены так, что они касаются друг друга в некоторой точке D. Обозначим через инверсию с центром в точке D и радиусом r таким, что окружность инверсии пересекает окружности К
и т.д.................


Перейти к полному тексту работы


Скачать работу с онлайн повышением уникальности до 90% по antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru


Смотреть полный текст работы бесплатно


Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.