На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Реферат Теория полуколец находит своё применение в теории автоматов, компьютерной алгебре и других разделах математики. Построение классического полукольца частных. Построение полного полукольца частных. Связь между полным и классическим полукольцами частных.

Информация:

Тип работы: Реферат. Предмет: Математика. Добавлен: 27.05.2008. Сдан: 2008. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


3
Содержание

    Введение
    Глава 1.Построение классического полукольца частных
    Глава 2.Построение полного полукольца частных
    Глава 3.Связь между полным и классическим полукольцами частных
    Библиографический список

Введение

В настоящее время теория полуколец активно развивается и находит своё применение в теории автоматов, компьютерной алгебре и других разделах математики.

В работе построены полное и классическое полукольца частных, а так же рассмотрена их связь.

Прежде чем начать рассмотрение этих структур, определим коммутативное полукольцо частных следующим образом.

Непустое множество с определёнными на нём бинарными операциями и называется коммутативным полукольцом, если выполняется следующие аксиомы:

A1. - коммутативная полугруппа с нейтральным элементом , т.е.

1) ;

2)

3)

А2. - коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 1, т.е.

1) ;

2)

3)

А3. умножение дистрибутивно относительно сложения:

, .

А4. .

Таким образом, можно сказать, что полукольцо отличается от кольца тем, что аддитивная операция в нём необратима.

Глава 1.

Для построения классического полукольца частных можно воспользоваться следующим методом:

Рассмотрим пары неотрицательных целых чисел .

Будем считать пары и эквивалентными, если , получим разбиение множества пар на классы эквивалентности.

Затем введём операции на классах, превращающие множество классов эквивалентных пар в полуполе, которое содержит полукольцо неотрицательных чисел.

Определение1. Элемент назовём мультипликативно сокращаемым, если для из равенства следует, что .

Обозначим через множество всех мультипликативно сокращаемых элементов.

Утверждение1.Мультипликативно сокращаемый элемент является неделителем нуля.

Пусть - делитель нуля, т.е. для некоторого . Тогда , но не является мультипликативно сокращаемым. ^

Пусть - коммутативное полукольцо с возможностью сокращения на элементы из . Рассмотрим множество упорядоченных пар . Введём отношение на : для всех и .

Предложение1. Отношение является отношением эквивалентности на .

Покажем, что является отношением рефлективности, симметричности и транзитивности.

1.Рефлективность: в силу коммутативности полукольца ;

2. Симметричность: ;

3.Транзитивность: Таким образом, отношение является отношением эквивалентности на .

Полукольцо разбивается на классы эквивалентности; в каждом классе находятся те элементы, которые находятся в отношении . Обозначим класс эквивалентности пары . Введём операции на множестве всех классов эквивалентности:

т.к. для , , выполнено отсюда т.к. получаем и поскольку то следовательно .

Покажем корректность введённых операций:

Пусть , , тогда

^

Теорема1. - коммутативное полукольцо с 1. .

Доказательство.

Чтобы доказать, что множество всех классов эквивалентности является коммутативным полукольцом с 1, нужно показать замкнутость на нём операций:

сложение: для и

1.

2.

Так как правые части равны, то левые части тоже равны:

3. покажем, что для .

Так как

Класс является нейтральным по +:

Из равенства тогда .

Для составляет отдельный класс, играющий в роль нуля.

умножение: для и

1.

2.

Из равенства правых частей следует, что

3. покажем, что для .

Пусть

Класс является нейтральным по умножению (единицей полукольца), т.к. , поскольку из равенства тогда .

4. умножение дистрибутивно относительно сложения:

Следовательно, правосторонний дистрибутивный закон выполняется:

Аналогично доказывается левосторонний закон дистрибутивности.

Таким образом, доказано, что является коммутативным полукольцом с 1.

Полукольцо называется классическим полукольцом частных полукольца .^

Глава 2

Для построения полного полукольца частных можно воспользоваться следующим методом. Рассмотрим дробь как частичный эндоморфизм аддитивной полугруппы неотрицательных целых чисел. Его область определения - идеал , и он переводит в , где . Аналогично, дробь определена на идеале и переводит в . Эти две дроби эквивалентны, т.е. они согласованы на пересечении своих областей определений, равном идеалу , поскольку та и другая дробь переводят в . Отношения определяются как классы эквивалентных дробей. Варьируя этот метод, можно выбрать в каждом классе эквивалентности одну «несократимую» дробь. Рассмотренный выше класс содержит несократимую дробь .

Данный метод можно применить к произвольному коммутативному полукольцу для построения «полного полукольца частных», где в качестве областей определения допускаются лишь идеалы определённого типа - плотные идеалы.

Определение2. Идеал коммутативного полукольца называется плотным, если для и выполняется равенство тогда и только тогда, когда .

Свойства плотных идеалов полукольца :

10 - плотный идеал.

Доказательство:

Пусть для выполнено . Положим , тогда . Таким образом - плотный идеал по определению. ^

20 Если - плотный идеал и , то идеал плотный.

Доказательство:

Если - плотный идеал, то для из равенства следует . Пусть для выполнено . Так как по условию возьмём . Тогда т.к. - плотный идеал получаем отсюда . Таким образом - плотный идеал по определению. ^

30 Если и - плотные идеалы, то и - так же плотные идеалы.

Доказательство:

Положим для выполняется . Пусть , где , . Элемент т.к. , тогда верно равенство отсюда , т.к. - плотный идеал имеем , , и - плотный, . Таким образом - плотный идеал.

Пусть , тогда по определению идеала: . С другой стороны значит . Тогда по 20 - плотный идеал. ^

40 Если , то 0 не является плотным идеалом.

Доказательство.

Пусть . Для и выполнено отсюда 0 не является плотным идеалом. ^

Определение3. Дробью назовём элемент , где - некоторый плотный идеал. ( - сокращение от - гомоморфизм, в данном случае: - гомоморфизм )

Таким образом, - гомоморфизм аддитивных полугрупп, для которого для и .

Введём так же дроби , положив и для .

Сложение и умножение дробей определяются следующим образом:

пусть и тогда

,

, .

Покажем, что является идеалом, где т.е. сохраняются операции:

1. Если , то .

Пусть , , тогда .

2. Если и , то . По условию .

Так как - коммутативное полукольцо, то .

. Таким образом и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.