На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Реферат Комплексн числа як розширення множини дйсних чисел. Приклади дї над комплексними числами: додавання, вднмання та множення. Геометрична нтерпретаця комплексних чисел. Тригонометрична форма запису комплексних чисел, поняття модуля аргумента.

Информация:

Тип работы: Реферат. Предмет: Математика. Добавлен: 22.02.2010. Сдан: 2010. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


РЕФЕРАТ
з Вищої математики
на тему „Комплексні числа”
1. Комплексні числа
У багатьох розділах математики та її застосуваннях неможливо обмежетись розглядом лише дійсних чисел. Вже досить давно під час розв'язування різних задач виникла потреба добувати квадратний корень з від'їмних чисел. Але чисел, які піднесені до квадрату дають від'ємні числа, тоді не знали і тому вважали, що квадратні корені з від'ємних чисел не існують, тобто задачі, які до них приводять, не мають розв'язків. Зокрема, так було під час розв'язування квадратних рівнянь з від'ємним дискримінантом, наприклад:
хІ - 4х + 10 = 0 х?,?=2±Ц-6.
Тому природно постало питання про розширення множини дійсних чисел, прєданням до неї нових так, щоб у розширеній множині крім чотирьох арифметичних дій - додавання, віднімання, множення і ділення (за вийнятком ділення на нуль), можна було виконувати дію добування кореня. Це питання було успішно розв'язано лише у ХІХ сторіччі. Відповідно до прийнятих в математиці принципів розширення поняття числа при розширенні множини дійсних чисел мають задовільнятися такі вимоги:
1) озачення нових чисел мусить спиратися на поняття дійсного числа, і нова множина має містити всі дійсні числа;
2) для нових чисел повині виконуватись п'ять законів прямих арифметичних чисел (пригадайте ці закони);
3) у новій числовій множині мусить мати розв'язок рівняння хІ=-1.
Оскільки існує вимога, щоб у новій числовій множині рівняння хІ=-1 мало розв'язок, необхідно внести деяке нове число, вважаючи його розв'язком цього рівняння. Число, квадрат якого дорівнює -1, позначають буквою і і називають уявною одиницею (і - перша буква латинського слова imaginarius - уявний). Підкреслимо, що рівність іІ=-1 приймається за означенням і не доводиться. До нової множини мають належати числа виду bЯ (добуток дійсного числа на уявну одиницю) і числа виду a + bЯ (сумма дійсного числа a та добуток дійсного числа b на уявну одиницю).
Отже, нова множина множина чисел повина містити всі числа виду a + bЯ.Числа виду a + bЯ, де a і b - довільні дійсні числа, аЯ - уявна одиниця називають комплексними. Слово “комплексний” означає складений. Число a називають дійсною частиною числа a + bЯ , а вираз bЯ - уявною.
Число називають коефіцієнтом при уявній частині. Наприклад, у числі 6 + 7Я дійсна частина 6, уявна 7. Коефіціент при уявній частині дорівнює 7. Дійсною частиною числа 0 + 3Яє число нуль, а уявною - вираз 3Я; коефіцієнт при уявній частині дорівнює 3. Числа виду a + 0Я ототожнюються з дійсними числами, а саме вважають, що a + 0Я=a. Таким чином виконується обов'язкова для будь - якого розширення поняття числа вимога, щоб попередній числовий “запас” входив до нової числової множини як її частина. Множина дійсних чисел є частиною (підмножиною) множини комплексних чисел. Відповідно до вимог, що ставляться при будь - якому розширення поняття числа, при побудові множини комплексних чисел треба ввести за означенням умову рівності цих чисел і правила виконання прямих дій - додавання і множення.
Два комплексних числа a + bЯ і c + dЯрівні між собою тоді і тільки тоді, коли a = c і b=d, тобто коли рівні їх дійсні частини і коефіцієнти при уявних частинах.
Поняття “більше” і “менше” для комплексних чисел не має смислу. Ці числа за величиною не порівнюють. Тому не можна, наприклад, сказати, яке з двох комплексних чисел більше 10Я чи 3Я, 2+5Я чи 5+2Я.
Важливим є поняття про спяжені комплексні числа. Числа a + bЯ і a - bЯ, дійсні частини яких рівні, а коефіцієнти при уявих частинах рівні за модулем, але протилежні за знаком, називають спряженими. Можна сказати простіше: числа a + bЯ і a - bЯ, які відрізняються лише знаком уявної частини, називають спряженими.
Наприклад, спряженими є комплексні числа 4+3Я та 4-3Я; 2-Я та 2+Я; -8+7Я та -8-7Я;-5-Я та -5+Я. Якщо дане число 6Я, то спряженим до нього є -6Я. До числа 11 спряженим буде 11, бо 11+0Я=11-0Я.
2. Дії над комплексними числами
а) додавання комплексних чисел
Означення: сумою двох комплексних чисел a + bЯ і c + dЯ називається комплексне число (a + c) + (b + d)Я, дійсна частина якого і коефіцієнт при уявній частині дорівнюють відповідно сумі дійсних частин і коефіцієнтів при явних частинах додатків, тобто (a + bЯ) + (c + dЯ) = (a + c) + (b + d)Я.
Приклади. Виконати додавання комплексних чисел:
1) (3+2Я) + (-1-5Я) = (3-1) + (2-5)Я = 2-3Я
2) (4-5Я) + (2-Я) = (4+2) + (-5-1)Я = 6-6Я
3) (2+3Я) + (6-3Я) = (2+6) + (3-3)Я= 8
4) (10 - 3Я) + (-10+3Я) = (10-10) + (-3+3)Я = 0
З наведених прикладів випливає, що додавання комплексних чисел ми виконуємо за правилом додавання многочленів. У множині дійсних чисел справедлива рівність a + 0 = a. У множині комплексних чисел нулем є число 0 + 0Я. Справді, яке б не було число , справедлива рівність
(a + bЯ) + (0+0Я) = (a +0) + (b +0)Я = a + bЯ
За аналогією з дійсними числами, для комплексних чисел вводиться поняття про протилежні числа: два числа a + bЯ та -a - bЯ, сумма яких дорівнює 0, називають протилежними.
Додавання комплексних чилел підлягає переставному та сполучному законам. Доведемо, наприклад, справедливість переставного закону додавання комплексних чисел. Нехай,z? = a + bЯ, z?= c + dЯ. Тоді z?+ z? = (a + bЯ) + (c + dЯ) = (a + c) + (b+d )Я , z?+ z? = (c + dЯ) + (a + bЯ) = (c + a) + (d+b)Я. Оскільки для додавання дійсних чисел справджується переставний закон, тобто a + c = c + a; b+d = d+b, тобто (a + c) + (b+d)Я = (c + a) + (d+b)Я , то z? + z? = z?+ z?, що й треба було довести. Означення суми комплексних чисел поширюється і на випадок трьох і більше доданків.
б) віднімання комплексних чисел
Віднімання комплексних чисел означають як дію, обернену до додавання, коли за даною сумою й одним з доданків знаходять другий, невідомий доданок.
Означення. Різницею двох комплексних чисел z?= a + bЯ і z? = c + dЯ називається таке комплексне число z?= x+yЯ , яке в суммі з z? дає z?.
Отже, z?- z?= z?, якщо z? + z?= z?. можливість дії віднімання комплексних чисел та її однозначність потребує доведення.
Доведемо, що для будь - яких комплексних чисел z?= a + bЯ і z? = c + dЯ різниця z?- z? визначена і до того ж однозначно. Доведемо, що існує, і до того ж єдине, комплексне число z?= x+yЯ, яке в сумі з z? дає z?.
За означенням дії віднімання, (c + dЯ) + (x+yЯ) = a + bЯ. виконавши додавання в лівій частині рівності, дістанемо:
(c + x) + (d + y)Я = a + bЯ (1).
З умови рівності двох комплексних чисел маємо:
c + x = a
d + y = b
Ця система має розвиток, і до того ж єдиний: x = a - c, y = b - d. Отже, існує , і до того ж єдина, пара дійсних чисел (x, y), яка задовільняє рівняння (1), що і треба було довести. З доведеного випливає, що віднімання комплексних чисел виконують за таким правилом:
(a + bЯ) - (c + dЯ) = (a - c) + (b - d)Я
Приклади: Виконати віднімання комплексних чисел.
1) (3+4Я) - (1+2Я) = (3-1) + (4-2)Я = 2 + 2Я;
2) (-5+2Я) - (2+Я) = (-5-2) + (2-1)Я = -7+Я;
3) (6+7Я) - (6-5Я) = (6-6) + (7+5)Я = 12Я;
4) (0,3+2,5Я) - (-0,75+1,5Я) = (0,3+0,75Я) + (2,5-1,5Я) = 1,05+Я;
5) (Ц2-2Я) - (Ц2+3Я) = (Ц2-Ц2) + (-2-3)Я = -5Я;
6) 1+1/2) - (1/4-3/5) = (1/3-1/4) + (1/2+3/5) = 1/12 + 11/10.
в) Множення комплексних чисел
Означення. Добутком двох комплексних чисел a + bЯ і c + dЯ називається комплексне число (ac - bd) + (ad + bc)Я . Суть і доцільність цьго означення стане зрозумілою, якщо взяти до уваги, що цей добуток утворений так, як виконується множення двочленів з дійсними коефіцієнтами, а саме (a + bЯ)( c + dЯ) = ac + adЯ + bcЯ + bdЯІ = ac + (ad + bc)Я + bdЯІ. Замінюючи, за означенням, ЯІна -1, дістанемо: bdЯІ = -bd . Відокремивши дійсну частину від уявної, остаточно матимемо:
(a + bЯ)( c + dЯ) = (ac - bd) + (ad + bc)Я (2)
Формулу (2) не слід намагатися механічно запам'ятати. Під час множення комплексних чисел треба користуватись відомим правилом множення двочленів a + bЯ і c + dЯ з наступною заміною ЯІна -1.
Приклади: Виконити множення комплексних чисел.
1) (4-5Я)(3+2Я) = 12+8Я -15Я -10ЯІ= 12+10-7Я =22-7Я;
2)(Ц3-Я)(Ц2+Ц5Я) = Ц6-Ц2Я+Ц15Я-Ц5 ЯІ= (Ц6+Ц5) + (Ц15-Ц2)Я;
3)8Ях3ЯхЦ3 = -24Ц3;
4)(2-Я)(-5) = -10+5Я;
5)(-4-3Я)(-6Я) = -18+24Я.
Дія множення комплексних чисел підлягає основним законам множення, встановленим для дійсних чисел: переставному і сполучному.
Знайдемо добуток двох спряжених комплексних чисел. Маємо: (a + bЯ)( a - bЯ) = aІ - (bЯ)І = aІ -bІЯІ = aІ + bІ, тобто (a + bЯ)( a - bЯ) = aІ + bІ.
Приклади: Обчислити добуток.
1) (3+5Я)(3-5Я) = 9+25 = 34;
2) (2+Я)(2-Я) = 4+1 = 5;
3) (4+Ц3Я)(4-Ц3Я) = 16+3 = 19;
4) (Цх+ЦуЯ)( Цх-ЦуЯ) = х+у;
5) (3/4+2/5Я)(3/4-2/5Я) = 9/16+4/25 = 289/400.
Читаючи рівність (a + bЯ)( a - bЯ) = aІ + bІ справа наліво, робимо висновок, що сумму квадратів будь - яких двох чисел можна подати у вигляді добутку комплексно - спряжених множників.
Приклади: Розкласти на множники двочлени.
1) а+9 = (а+3Я)(а-3Я);
2) 16mІ+25nІ = (4m+5nЯ)(4m-5nЯ);
3) 49+36 = (7+6Я)(7-6Я);
4) а+16 = (Ца+4Я)( Ца-4Я);
5) в+7 = (Цв+Ц7Я)( Цв-Ц7Я).
г) Ділення комплексних чисел.
Ділення комплексних чисел означають як дію, обернену до дії множення, коли за даним добутком і одним з множників знаходять другий, невідомий множник. Причому в множині комплексних чисел залишається вимога, щоб дільник був відмінним від нуля.
Означення. Часткою комплексних чисел z? = a + bЯ та z? = c + dЯ називеється таке комплексне число z?= x+yЯ, яке при множенні на z? дає z?.
Можливість ділення комплексних чисел і його однозначність потребує доведення.
Доведемо, що частка комплексних чисел z? = a + bЯ та z? = c + dЯ визначена і до того ж однозначно, якщо c + dЯ? 0+0Я. Отже, доведемо, що за умови існує, і до того ж єдине, комплексне число z?= x+yЯ, яке при множенні на z? дає z?. За означенням дії ділення, (c + dЯ)( x+yЯ) = a + bЯ. Виконавши в лівій частині цієї рівності дію множення, дістанемо: (c x - dy) + (cy +d x)Я = a + bЯ.
З умови рівності двох комплексних чисел випливає:
c x - dy= a
cy +d x=b
Система має єдиний розв'язок:
x= (a c +bd)\( cІ+dІ);
y = (bc- ad)\( cІ+dІ).
Із доведення випливає, що ділення ккомплексних чисел відбувається за таким правилом:
(a + bЯ)\( c + dЯ) = (a c +bd)\( cІ+dІ) + (bc- ad)Я\( cІ+dІ).
Цей результат можна дістати, помноживши ділене і дільник на число, спряжене до дільника. Покажемо це:
(a + bЯ)\( c + dЯ) = (a + bЯ)( c - dЯ)\( c + dЯ)( c - dЯ) = ((a c +bd) + (bc- ad)Я )\( cІ+dІ) = (a c +bd)\( cІ+dІ ) + ((bc- ad)Я)\( cІ+dІ).
Цим принципом користуються під час розв'язування вправ на ділення комплексних чисел.
Приклади. Знайти частку комплексних чисел.
а) (2+5Я)/(3-2Я) = (2+5Я)(3+2Я)/(3-2Я)(3+2Я) = (-4+19Я)/13 = -4/13+19Я/13;
б) (3+Я)/Я = (3+Я)(-Я)/Я = 1-3Я;
д) піднесення комплексних чисел до степеня.
За означенням, Я№ = Я, ЯІ= - 1.
Користуючись рівністю ЯІ= - 1, визначеко кілька послідовних ступенів уявної одиниці:
Яі =ЯІЯ= - 1Я= -Я; Я = ЯіЯ = -ЯЯ= 1; Я=ЯЯ=Я; Я=ЯЯ=-1; Я=ЯЯ=-Я; Я=-ЯЯ=1.
Оскільки Я=1, то значення степенів періодично повторюються із збільшенням показника на 4. Так, ЯІ= Я =-1, Яі=Я =-Я, Я =Я = 1і так далі.
Означення. Щоб піднести число до степеня з натуральним показником n, треба показник сепеня поділити на 4 і піднести до степеня, показник якого дорівнює остачі від ділення.
Приклади. Піднести до степеня:
а) Я = Я =Я = ЯЯ =-Я ;
б) Я = Я = Я = ЯІ= -1;
в) Я =Я = Я = -Я.
Правила піднесення до степеня уявної одиниці застосовується при піднесенні д и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.