Здесь можно найти образцы любых учебных материалов, т.е. получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ и рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Диплом Комплексные числа в алгебраической форме. Степень мнимой единицы. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Тригонометрическая форма. Приложение теории комплексных чисел к решению уравнений 3-й и 4-й степени. Комплексные числа и параметры.

Информация:

Тип работы: Диплом. Предмет: Математика. Добавлен: 10.12.2008. Сдан: 2008. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


3
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
КАФЕДРА АГЛЕБРЫ И ГЕОМЕТРИИ
Комплексные числа
(избранные задачи)

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА
по специальности 050201.65 математика
(с дополнительной специальностью 050202.65 информатика)
Выполнила: студентка 5 курса
физико-математического
факультета
Научный руководитель:
ВОРОНЕЖ - 2008
Содержание

1. Введение……………………………………………………...…………..…3
2. Комплексные числа (избранные задачи)
2.1. Комплексные числа в алгебраической форме….……...……….…..5
2.2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел…………..….25
2.3. Тригонометрическая форма комплексных чисел…………….........48
2.4. Приложение теории комплексных чисел к решению уравнений 3-й и 4-й степени……………..………………………………………………………64
2.5. Комплексные числа и параметры………...……………………...….75
3. Заключение…………………………………………………….................88
4. Список литературы………………………….…………………...............89
1. Введение

В программе математики школьного курса теория чисел вводится на примерах множеств натуральных чисел, целых, рациональных, иррациональных, т.е. на множестве действительных чисел, изображения которых заполняют всю числовую ось. Но уже в 8 классе запаса действительных чисел не хватает, решая квадратные уравнения при отрицательном дискриминанте. Поэтому было необходимо пополнить запас действительных чисел при помощи комплексных чисел, для которых квадратный корень из отрицательного числа имеет смысл.
Выбор темы «Комплексные числа», как темы моей выпускной квалификационной работы, заключается в том, что понятие комплексного числа расширяет знания учащихся о числовых системах, о решении широкого класса задач как алгебраического, так и геометрического содержания, о решении алгебраических уравнений любой степени и о решение задач с параметрами.
В данной дипломной работе рассмотрено решение 82-х задач.
В первой части основного раздела «Комплексные числа» приведены решения задач с комплексными числами в алгебраической форме, определяются операции сложения, вычитания, умножения, деления, операция сопряжения для комплексных чисел в алгебраической форме, степень мнимой единицы, модуль комплексного числа, а также излагается правило извлечения квадратного корня из комплексного числа.
Во второй части решаются задачи на геометрическую интерпретацию комплексных чисел в виде точек или векторов комплексной плоскости.
В третьей части рассмотрены действия над комплексными числами в тригонометрической форме. Используются формулы: Муавра и извлечение корня из комплексного числа.
Четвертая часть посвящена решению уравнений 3-й и 4-й степеней.
При решении задач последней части «Комплексные числа и параметры» используются и закрепляются сведения, приведенные в предыдущих частях. Серия задач главы посвящена определению семейств линий в комплексной плоскости, заданных уравнениями (неравенствами) с параметром. В части упражнений нужно решить уравнения с параметром (над полем С). Есть задания, где комплексная переменная удовлетворяет одновременно ряду условий. Особенностью решения задач этого раздела является сведение многих из них к решению уравнений (неравенств, систем) второй степени, иррациональных, тригонометрических с параметром.
Особенностью изложения материала каждой части является первоначальный ввод теоретических основ, а в последствии практическое их применение при решении задач.
В конце дипломной работы представлен список используемой литературы. В большинстве из них достаточно подробно и доступно изложен теоретический материал, рассмотрены решения некоторых задач и даны практические задания для самостоятельного решения. Особое внимание хочется обратить на такие источники, как:
1. Гордиенко Н.А., Беляева Э.С., Фирстов В.Е., Серебрякова И.В. Комплексные числа и их приложения: Учебное пособие. [10]. Материал учебного пособия изложен в виде лекционных и практических занятий.
2. Шклярский Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Арифметика и алгебра. [21] Книга содержит 320 задач, относящихся к алгебре, арифметике и теории чисел. По своему характеру эти задачи значительно отличаются от стандартных школьных задач.
2. Комплексные числа (избранные задачи)

2.1. Комплексные числа в алгебраической форме

Решение многих задач математики, физики сводится к решению алгебраических уравнений, т.е. уравнений вида
,
где a0 , a1 , …, an действительные числа. Поэтому исследование алгебраических уравнений является одним из важнейших вопросов в математике. Например, действительных корней не имеет квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом. Простейшим таким уравнением является уравнение
.
Для того чтобы это уравнение имело решение, необходимо расширить множество действительных чисел путем присоединения к нему корня уравнения
.
Обозначим этот корень через . Таким образом, по определению
, или ,
следовательно, .
Символ называется мнимой единицей. С его помощью и с помощью пары действительных чисел и составляется выражение вида
.
Полученное выражение назвали комплексными числами, поскольку они содержали как действительную, так и мнимую части.
Итак, комплексными числами называются выражения вида
,
где и - действительные числа, а - некоторый символ, удовлетворяющий условию . Число называется действительной частью комплексного числа , а число - его мнимой частью. Для их обозначения используются символы
, .
Комплексные числа вида являются действительными числами и, следовательно, множество комплексных чисел содержит в себе множество действительных чисел.
Комплексные числа вида называются чисто мнимыми. Два комплексных числа вида и называются равными, если равны их действительные и мнимые части, т.е. если выполняются равенства
, .
Алгебраическая запись комплексных чисел позволяет производить операции над ними по обычным правилам алгебры.
Суммой двух комплексных чисел и называется комплексное число вида
.
Произведением двух комплексных чисел и называется комплексное число вида
.
1. Коммутативный (переместительный) закон сложения:
.
2. Ассоциативный (сочетательный) закон сложения:
.
3. Коммутативный закон умножения:
.
4. Ассоциативный закон умножения:
.
5. Дистрибутивный (распределительный) закон умножения относительно сложения:
.
6. .
7. .
8. .
9. Любому комплексному числу соответствует противоположное комплексное число такое, что .
10. Всякому комплексному числу отличному от нуля, соответствует обратное комплексное число такое, что .
Степени мнимой единицы.
Если натуральный показатель степени m при делении на 4 дает в остатке r, т.е. если , где n - натуральное число, то
;
при этом
Комплексное число называется сопряженным комплексному числу , если
.
Свойства операции сопряжения.
1.
2. Для любого действительного числа a справедливо равенство
3. Для любого действительного числа b справедливо равенство
4.
5.
Следствие из 5.
6.
7. Сумма и произведение двух комплексно сопряженных чисел являются действительными числами.
Следствие из 7.
Модулем комплексного числа называется действительное число вида
.
8. Теорема о сопряженном корне.
Если число является корнем уравнения
(1)
с действительным коэффициентами a0 , a1 , …, an , то число также является корнем уравнения (1).
Извлечение квадратного корня из комплексного числа . Пусть
,
где x и y - действительные числа. Возводя обе части этого равенства в квадрат, получаем
.
Что равносильно системе
Решая эту систему, получаем:
; .
Таким образом, извлечение корня квадратного из комплексного числа осуществляется по формуле
.
В скобках перед мнимой единицей берется знак плюс, если , и знак минус, если .
Задача 1. Найдите комплексные корни уравнения , если:
а) ; б) ; в) .
Решение
а) .
Так как , то это уравнение можно записать в виде или . Отсюда, раскладывая левую часть на множители, получаем , откуда , .
б) .
Учитывая, что , преобразуем это уравнение: , , , , откуда , .
в) .
Преобразуем , , , откуда , .
Ответ: а) ; б) ; в) .
Задача 2. Найдите x и y, для которых .
Решение
Получим и решим систему двух уравнений:
Ответ: .
Задача 3. Решите уравнение относительно действительных переменных x и y.
Решение
Левую часть уравнения можно рассматривать, как некоторое неизвестное комплексное число. Приведя его к виду , получаем уравнение равносильное данному: . Так как два комплексные числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, приходим к системе:
Ответ: .
Задача 4. При каких действительных значениях x и y комплексные числа и будут противоположными?
Решение
Комплексные числа и будут противоположными, если выполняются условия:
Ответ: ; .
Задача 5. При каких действительных значениях x и y комплексные числа и будут равными?
Решение
Комплексные числа и будут равными, если выполняются условия:
Ответ: ; .
Задача 6. Решите уравнение относительно действительных переменных x и y.
Решение
Левую часть уравнения можно рассматривать, как некоторое неизвестное комплексное число. Приведя его к виду , получаем уравнение равносильное данному: . Так как два комплексные числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, приходим к системе:
Ответ: .
Задача 7. Решите во множестве комплексных чисел уравнение .
Решение
Так как , тогда корни находятся по формуле
().
Отсюда, , .
Ответ: .
Задача 8. Решите уравнение .
Решение
Перепишем уравнение в виде .
Полагая , получим уравнение , которое имеет корень . Поэтому левую часть этого уравнения можно представить в виде произведения двучлена и квадратного трехчлена.
Для нахождения коэффициентов квадратного трехчлена применим схему Горнера:
1
1
2
- 4
1
1
2
4
0
Итак, получаем уравнение .
Квадратный трехчлен имеет корни и .
Следовательно, исходное уравнение имеет корни: , , .
Ответ: ; .
Задача 9. Решите уравнение .
Решение
Корни данного уравнения находятся по формулам
, ,
где и - числа, удовлетворяющие условию . Отсюда . Пусть , тогда , т. е. . Два комплексных числа равны, следовательно, равны их действительные и мнимые части:
Находим два решения этой системы: , . Таким образом,
решениями исходного уравнения являются числа , и
, т. е. , .
Ответ: ; .
Задача 10. Произведите действия с комплексными числами в алгебраической форме:
а) ; б) ; в) .
Решение
а)
б)
в)
Ответ: а) ; б) ; в) .
Задача 11. Произведите следующие действия над комплексными числами:
а) ; б) ; в) ; г) .
Решение
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
Ответ: а) ; б) ; в) ; г) .
Задача 12. Запишите комплексное число в виде .
Решение
Имеем
Ответ: .
Задача 13. Найдите значение функции при .
Решение
Подставим значение x в функцию:
.
Вычислим второе слагаемое:
.
Вычислим первое слагаемое:
.
Таким образом, .
Ответ: .
Задача 14. Вычислите ; ; ; .
Решение
С помощью формулы:
Легко получаем:
;
;
;
.
Ответ: ; ; ; .
Задача 15. Выполните указанные действия: .
Решение
Вычислим значение дроби .
Следовательно,
Ответ: .
Задача 16. Решите уравнение .
Решение
По формуле , находим:
.
Заметим, что найденные в этой задаче корни являются сопряженными: и . Найдем сумму и произведение этих корней: , . Число 4 - это второй коэффициент уравнения , взятый с противоположным знаком, а число 13 - свободный член, то есть в этом случае справедлива теорема Виета. Она справедлива для любого квадратного уравнения: если и - корни уравнения , где , .
Ответ: .
Задача 17. Составьте приведенное квадратное уравнение с действительными коэффициентами, имеющий корень .
Решение
Второй корень уравнения является числом, сопряженным с данным корнем , то есть . По теореме Виета находим
; ,
где число 2 - это второй коэффициент уравнения, взятый с противоположным знаком, а число 5 - свободный член. Таким образом, получаем уравнение
.
Ответ: .
Задача 18. Даны числа ; . Найдите:
а); б) .
Решение
а) , тогда
б) , тогда
Ответ: а) ; б) .
Задача 19. Зная, что корнем уравнения является число , найдите все корни данного уравнения.
Решение
Поскольку все коэффициенты данного уравнения - действительные числа, то на основании теоремы о сопряженном корне, делаем вывод, что число также является корнем данного уравнения.
Пусть - неизвестный корень уравнения , тогда , где
, получаем .
Разделим обе части последнего равенства на , получим .
Следовательно, .
Ответ: ; .
Задача 20. Найдите все комплексные числа, каждое из которых сопряжено со своим квадратом.
Решение
Пусть - искомое комплексное число, где x и y - действительные числа. Тогда число , сопряженное числу , равно .
По условию задачи имеем: , т.е. .
Преобразовав это уравнение, получим: .
Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны соответственно их действительные и мнимые части. Следовательно, последнее уравнение равносильно следующей системе уравнений с действительными переменными x и y:
Возможны два случая:
1) . Тогда система равносильна системе: , которая
имеет следующие решения: ; .
2) . Тогда система равносильна системе , которая имеет два решения: и .
Итак, искомых чисел четыре: ; ; , из них два числа и - действительные, а два других и - комплексно сопряженные.
Ответ: ; ; .
Задача 21. Известно, что , . Найдите:
а) ; б) .
Решение
а) ,
б) .
Ответ: а) ; б) .
Задача 22. При каких действительных значениях x и y комплексные числа и будут сопряженными?
Решение
Комплексные числа и будут ком-
плексно сопряженными, если выполняются условия:
Ответ: ; .
Задача 23. Докажите тождество .
Решение
Пусть , , . Тогда , ,, ,,.
Отсюда легко следует доказываемое тождество.
Задача 24. Докажите, что если число является чисто мнимым, то .
Решение
По условию , где b - действительное число, тогда , , .
Тождество доказано.
Задача 25. Пусть . Докажите, что .
Решение
Поскольку , то
Тождество доказано.
Задача 26. Решите уравнение .
Решение
Пусть . Тогда данное уравнение запишется в виде , откуда . Комплексное число равно нулю, тогда и только тогда, когда его действительная и мнимая части равны нулю; поэтому для нахождения неизвестных x и y получим систему:
Из второго уравнения этой системы находим: x=0 и y=0. При x=0 первое уравнение системы запишется в виде или . Отсюда находим или . Таким образом, числа , , являются решениями данного уравнения.
При y=0 для нахождения x получаем уравнение . Отсюда следует, что x=0, и тем самым .
Ответ: ; ; .
Задача 27. Решить систему уравнений:
Решение
Полагая , имеем
следовательно, и .
После преобразований данная система принимает вид
Решение полученной системы является пары и . Таким образом, исходная система имеет два решения и .
Ответ: ; .
Задача 28. Докажите, что если , то .
Решение
Предположим, что существует такое комплексное число , , для которого выполнено неравенство . Тогда , или .
Поскольку
то и - действительные числа. Поэтому из последнего неравенства получим неравенство: .
Следовательно, .
Полученное противоречие доказывает утверждение.
Задача 29. Решите уравнение .
Решение
По формулам корней квадратного уравнения имеем: .
Извлекая корень квадратный из числа , получаем .
Следовательно, ;
.
Ответ: ; .
Задача 30. Извлеките квадратный корень из комплексного числа .
Решение
Пусть , где .
По формуле
Таким образом .
Ответ: .
Задача 31. Решите уравнение: .
Решение
Имеем , ,
.
Получаем
Извлечем квадратный корень из комплексного числа по формулам:
; ;
Так как , Тогда
Итак, , тогда
Где и
Можно сделать проверку по теореме Виета:
и .
Ответ: ; .
Задача 32.
Пусть , . При каких действительных значениях a и b выполняется условие ?
Решение
Находим
.
Используя условие равенства двух комплексных чисел, получаем систему
Ответ: .
2. 2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Введем на плоскости прямоугольную систему координат xOy и поставим в соответствии каждому комплексному числу точку плоскости с координатами (a; b). Полученное соответствие между всеми комплексными числами и всеми точками плоскости взаимно однозначно: каждому комплексному числу соответствует одна точка плоскости с координатами (a; b), и обратно, каждой точке плоскости с координатами (a; b) соответствует единственное комплексное число (см. рис. 1).
3
Рис. 1
Таким образом, z одновременно обозначают и комплексное число, и точку, изображающую это комплексное число.
Комплексное число называется комплексной координатой точки (a; b).
Поскольку при указанном соответствии действительные числа изображаются точками оси абсцисс, то ось Ox называется действительной осью. Ось Oy, на которой лежат чисто мнимые числа , называется мнимой осью. Плоскость, точки которой изображают комплексные числа, называется комплексной плоскостью.
Комплексное число может также изображаться вектором с координатами a и b, идущим из начала координат в точку (a; b) (см. рис. 1). По определению модуля комплексного числа
,
модуль комплексного числа равен длине вектора .
Задача 33. Изобразите на комплексной плоскости (рис.2), следующие комплексные числа:
Решение
Данным комплексным числам соответствуют точки комплексной плоскости.
Покажем их.
3
Рис.2
Задача 34. Найдите комплексную координату середины отрезка AB, если комплексные координаты его концов равны и соответственно.
Решение
Обозначим середину отрезка AB через O1. Тогда
.
Учитывая, что комплексная координата вектора равна , получим .
Ответ: .
Задача 35. Изобразите графически множество всех точек комплексной плоскости, для которых выполняются данные условия:
а) , б) , в) , г) , д) ,
е) , ж) , з) , и) , к) .
Решение
а) . Из равенств и , получаем: .
Множество точек - прямая (рис. 3).
3
Рис. 3.
б) . , . Следовательно, .
Множество точек - верхняя относительно оси OX полуплоскость, включая прямую (рис. 4).
3
Рис. 4.
в) . Из равенств и , получаем: .
Множество точек - прямая (рис. 5).
3
Рис. 5.
г) , , и . Следовательно, .
Множество точек - левая относительно прямой полуплоскость, включая прямую (рис. 6).
3
Рис. 6.
д) . , поэтому .
Множество точек - прямая . (рис. 7).
3
Рис. 7.
е) Если , то условия и означают, что и . Множество точек - часть плоскости, ограниченная снизу прямой , справа , исключая указанные прямые (рис. 8).
3
Рис. 8.
ж) Если , то , и условие означает, что , т.е. . Множество точек - прямая (рис. 9).
3
Рис. 9.
з) Если , то при условие, что сумма отлична от нуля, имеем , поэтому . Следовательно, , откуда получаем уравнение:
, или .
Преобразуем его
.
Таким образом, множество точек - это окружность с центром в точке O радиуса , у которой «выколота» точка (рис. 10).
3
Рис. 10.
и) ; по условию , следовательно, .
Множество точек - окружность с центром в начале координат радиуса 1.
к) По условию , поэтому , т.е. , , , . Последнее условие означает, что либо , либо . В первом случаи получаем уравнение оси Ox, в во втором случаи точку . Учитывая, что , т.е. что действительная часть комплексного числа неотрицательна.
Приходим к выводу: искомое множество точек - положительная полуось Ox с началом в точке .
Задача 36. Изобразите на плоскости XOY множество, всех точек , удовлетворяющих условию:
а) ; б) ; в) ; г) ; д)
Решение
а) . Для каждого число равно расстоянию между точкой и точкой . Поэтому заданному условию удовлетворяют те и только те точки, которые лежат на окружности радиуса 1 с центром в точке (рис. 11).
3
Рис. 11.
б) . Для каждого число равно расстоянию между точкой и началом координат. Поэтому условию удовлетворяют те и только те точки, которые лежат внутри кольца, ограниченного двумя концентрическими окружностями с центром в начале координат и радиусами и соответственно (рис. 12).
3
Рис. 12.
в) . Из определения главного аргумента комплексного чи-сла следует, что множество точек z, удовлетворяющих данному соотношению, является открытым лучом Oz (рис 13), образующем угол с положительным направлением оси Ох.
3
Рис. 13.
г) . Пусть . Тогда данное соотношение перепишется в виде или .
Отсюда находим: , т.е. .
Таким образом, , и, следовательно, исходному соотношению удовлетворяют только те комплексные числа, для которых . Такие точки заполняют всю верхнюю полуплоскость (рис. 14). Этот ответ можно получить из геометрических соображений, учитывая, что ось OX есть перпендикуляр к отрезку, соединяющий точки и , восстановленный из его середины.
3
Рис. 14.
д) Искомое множество точек есть пересечение кольца, ограниченного окружностями радиусов 1 и 2 с центром в точ-ке , и второго квадранта (рис. 15).
3
Рис. 15.
Задача 37. Докажите, что расстояние между точками и равно .
Решение
Так как , а это и
есть, как известно из геометрии, формула расстояния между двумя точками и .
Задача 38. Докажите, что если точка не совпадает с точкой , то равенство задает уравнение прямой, перпендикулярной отрезку, соединяющему точки и , и проходящей через его середину.
Решение
Все точки , удовлетворяющие равенству , равноудалены от точек и и поэтому, как это известно из геометрии, лежат на прямой, перпендикулярной отрезку, соединяющему точки и , и проходящей через его середину. Обратно, все точки этой прямой, очевидно, удовлетворяют равенству , следовательно, это равенство является уравнением указанной выше прямой.
Задача 39. Укажите, где на плоскости расположены точки, соответствующие комплексным числам , для которых .
Решение
Представим выражение в виде разности двух комплексных чисел: . Тогда становится ясно, что равенство является уравнением окружности с центром в точке и радиусом 2.
Неравенству удовлетворяют внутренние точки указанного круга вместе с точками, лежащими на окружности , тогда неравенству соответствует внешность круга радиуса 1 концентрическому первому.
Так как нас интересуют точки, удовлетворяющие одновременно двум условиям: , поэтому искомая область является пересечением двух найденных областей и представляет собой кольцо, содержащее точки внешней ограничивающей окружности. Так как левое неравенство является строгим, точки внутренней ограничивающей окружности не входит в полученную область (рис. 16).
3
Рис. 16.
Задача 40. Укажите, где на плоскости расположены точки, соответствующие комплексным числам, удовлетворяющим условию: .
Решение
Равенство является уравнение прямой l, перпендикулярной отрезку AB (A (0;0) и B (0;2)) и проходящей через середину, т.е. прямая l параллельна оси Ox и проходит через точку (0;1). Так как из равенств , , следует равенство , а значит, , т.е. .
Поэтому этому равенству удовлетворяют точки полуплоскости, лежащие ниже прямой l не входит в указанную область, так как данное неравенство строгое (рис. 17).
3
Рис. 17.
Задача 41. Изобразите на плоскости комплексные числа , удовлетворяющие условию: .
Решение
. Следовательно, . Таким образом, , , то
, , .
Этим числам соответствуют три точки: A (), B () и C (). Они расположены на единичной окружности и делят ее на три равные части (рис. 18).
3
Рис. 18.
Задача 42. Изобразите на плоскости комплексные числа , удовлетворяющие условию: .
Решение
, значит, и .
Получили две точки: B () и C () (рис. 19).
3
Рис. 19.
Задача 43. Изобразите множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию: .
Решение
Данное неравенство равносильно выполнению двух условий: и . Если , где x и y - действительные числа, то получаем следующие неравенства: , , , , . Искомая область лежит вне круга с центром в точке (-2; 0) радиуса 2, включая границу круга и исключая точку (2; 0) (рис. 20).
3
Рис. 20.
Задача 44. Изобразите множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию: .
Решение
Данное неравенство равносильно выполнению двух условий:
и . Если положить , то получаем следующие неравенства:
.
Преобразуем его
,
, ,
Получаем .
Искомая область - круг с центром в точке (0; 2) радиуса 2, включая границу круга и исключая точку (0; 1) (рис. 21).
3
Рис. 21.
Задача 45. Изобразите множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию: .
Решение
Положим .
Тогда , .
Неравенство при равносильно неравенству или . Последнее неравенство задает круг с центром в точке (0; 0,5) и радиусом 0,5 включая границу круга. Вследствие ограничения точка (0; 0) не принадлежит заданному множеству (рис. 22).
3
Рис. 22
Задача 46. Изобразите на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенствам: .
Решение
Представим число как . Тогда
;
.
По условию, , откуда
; ;
.
Левая часть двойного неравенства задает область, лежащую вне круга с центром в точке K(-0,5; 0,5) и радиусом 1. правая часть задает круг с центром в точке K и радиусом 2. В каждом случае граница не включается в заданное множество. Искомое множество точек изображено на рис. 23.
3
Рис.23.
Задача 47. Из всех чисел , удовлетворяющих условию , найдите такие, что принимает наименьшее значение.
Решение
I способ.
Пусть . Тогда .
Уравнение задает на комплексной плоскости окружность с центром в точке O(0; 0) и радиусом 5. С геометрической точки зрения величина представляет собой сумму расстояний от точки, соответствующей комплексному числу , до точек A(7; 0) B(0; 7), соответствующих числами 7 и 7i. Из рис. 24 видно, что окружность с центром в O и радиусом 5 пересекает отрезок AB в двух точках P и Q. Эти точки и будут соответствовать тем комплексным числам, для которых величина принимает наименьшее значение.
Действительно, для точек P и Q значение равно длине отрезка AB, а для любой точки N окружности, отличной от P и Q, в силу неравенства треугольника справедливо соотношение AN+BN>AB.
3
Рис. 24.
Найдем координаты точек P и Q. Эти точки лежат на прямой AB, которая задается уравнением . Решим систему
Так как , то перейдем к системе
Уравнение имеет корни 3 и 4, поэтому решениями системы являются пары (3; 4) и (4; 3). Таким образом, точкам P и Q соответствуют числа и .
II способ. Пусть . Тогда (см. I способ);
.
Найдем пары (x; y), для которых достигается минимум функции при условии . Поскольку функция принимает не отрицательное значения при всех допустимых x и y, вместо минимума функции ц можно рассматривать минимум функции
.
Преобразуем последнее выражение к виду
,
так как , то ,
откуда .
Произведем замену и найдем значение t, для которых достигается минимум функции или , или после замены - те значения p, при которых минимально выражение .
Исследуем функцию с помощью производной. Имеем ; , если , т.е. если , а . Последнее равенство выполняется при .
Нетрудно убедиться в том, что если , то , т.е. убывает, а если , то , т.е. возрастает. При функция принимает наименьшее значение.
Значению соответствует , при . Отсюда, учитывая соотношение , находим , или , и получаем окончательный ответ.
Ответ: и .
Замечание. Конечно, II способ более трудоемкий, но вместе с тем и более универсальный. В частности, если бы на отрезке AB не нашлось ни одной точки, удовлетворяющей заданному в условии равенству, то решение I способом было бы вообще невозможно.
Задача 48. Изобразите множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию: .
Решение
Представим в виде и преобразуем заданную дробь:
.
Мнимая часть дроби равна .
Неравенство равносильно системе
Неравенство перепишем в виде . Это соотношение задает круг с центром в точке (1; 1) и радиусом 1. Точка (1;0) принадлежит кругу, однако ее координаты не удовлетворяют второму условию системы. Полученное множество изображено на рис. 25.
3
Рис. 25.
Задача 49. Среди комплексных чисел , удовлетворяющих условию: , найдите число с наименьшим модулем.
Решение
Воспользуемся геометрическим смыслом модуля комплексного числа. Как известно, для комплексных чисел и w величина равна расстоянию между точками комплексной плоскости, соответствующими числами и w. Точки, соответствующие числам , для которых выполняется равенство , равноудалены от точек (0; 0) и (0; 2) комплексной плоскости, а, следовательно, образуют прямую . Среди точек прямой наименее удаленной от начала координат является точка (0; 1). Она соответствует числу - числу с наименьшим модулем, удовлетворяющему заданному уравнению.
Ответ: .
Задача 50. Пусть M - множество точек комплексной плоскости таких, что ; K - множество точек комплексной плоскости вида , где . Найдите расстояние между фигурами M и K.
Решение
I способ.
Пусть ; тогда , откуда
. Множество точек M комплексной плоскости, удовлетворяющих данному условию, есть окружность с центром в точке O1 (0; ) и радиусом 0,5.
По условию, , т.е. . Полагая , имеем и .
Множество K точек комплексной плоскости, удовлетворяющих этому условию, есть окружность с центром в точке O2 (-; 0) и радиусом 0,5. Так как окружности M и K не имеют общих точек, то расстоянием между ними (рис. 26) является длина отрезка PN линии центров, т.е. .
3
Рис. 26.
Ответ: 1.
Замечание. Геометрическое обоснование того, что длина отрезка PN есть расстояние между данными фигурами, весьма просто. Действительно, возьмем на окружностях K и M такие точки N1 и P1 соответственно (рис. 27), что , . Для ломанной O1P1N1O2 и прямой O1O2 выполняется неравенство O1P1+ P1N1+ N1O2 > O1P+ PN+ NO2. Вычитая из обеих частей неравенства сумму радиусов, получаем P1N1 > PN.
3
Рис. 27.
II способ.
Запишем неравенства . Таким образом, . Это значит, что расстояние от точек фигуры M до т и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.