На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


курсовая работа Теорема Остроградского-Гаусса и расчет электростатических полей в вакууме

Информация:

Тип работы: курсовая работа. Добавлен: 29.04.2012. Сдан: 2011. Страниц: 7. Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%

Описание (план):


      федеральное агентство по образованию 

      сыктывкарский лесной институт – филиал 

      государственного  образовательного учреждения
      высшего профессионального  образования
        «Санкт-Петербургская   государственная 
      лесотехническая академия   имени С. М. Кирова» 

      технологический факультет 

      Кафедра физики
                                                     «Допустить к защите»
                                                      завед. кафедрой физики
                                                             к.ф.-м.н., доцент Асадуллин  Ф.Ф.
                                                                                 (подпись)
                                                                                  (дата) 

      Курсовая  работа 
 

      по  физике 

на  тему: Теорема Остроградского-Гаусса и расчет электростатических полей в вакууме. 
 
 
 
 

      Выполнил: Киселев Владимир Иванович, студент факультета очного обучения,
      контрактная форма обучения,
      2 курс, 221 гр.; специальность ЭиУЛК,
      № зач. книжки:   080881
       
      Проверил:
       
      Асадуллин Ф. Ф., к.ф.-м.н., доц.
 
 
 
 
 
 
 
Сыктывкар 2009 
 

Оглавление 
 
 

 

Введение.

        

      Физика  – наука о природе, изучающая  простейшие и вместе с тем наиболее общие закономерности природы, строение и законы движения материи. Структура физики сложна. В нее включаются различные дисциплины или разделы. В зависимости от изучаемых объектов выделяют физику элементарных частиц, физику ядра, физику атомов и молекул, физику газов и жидкостей, физику плазмы, физику твердого тела. В зависимости от изучаемых процессов или форм движения материи выделяют механику материальных точек и твердых тел, механику сплошных сред (включая акустику), теория тяготения, квантовую механику и квантовую теорию поля.
      В науке часто бывает, что один и  тот же закон можно сформулировать по-разному. По большому счету, от формулировки закона ничего не меняется с точки зрения его действия, однако новая формулировка помогает теоретикам несколько иначе интерпретировать закон и испытать его применительно к новым природным явлениям. Именно такой случай мы и наблюдаем с теоремой Гаусса, которая, по существу, является обобщением закона Кулона, который, в свою очередь, явился обобщением всего, что ученые знали об электростатических зарядах на момент, когда он был сформулирован.
     Целью данной курсовой работы является систематизация, накопление и закрепление знаний о теореме Остроградского-Гаусса и ее применении. 

 

      Теорема Остроградского-Гаусса для электростатического поля в вакууме 

      1.Потоком (элементарным потоком) напряженности электрического поля сквозь малый участок поверхности, проведенной в поле, называется величина 

      
  (1)
 

      Здесь E - вектор напряженности электрического поля в точках малого участка поверхности площадью dS; n – единичный вектор, нормальный к площадке dS, а вектор dS=dSn.
      Так как  - проекция напряженности поля E на направление нормали n, а - площадь проекции  площадки dS на плоскость, перпендикулярную вектору E, то (1) можно также переписать в форме  

      
     (2)
 

      Поток напряженности N сквозь любую поверхность S равен алгебраической сумме потоков напряженности сквозь все малые участки этой поверхности: 

      
.    (3)
 

      Приэтом все векторы n нормалей к малым площадкам dS нужно направить в одну и ту же сторону относительно поверхности S. Например, в случае замкнутой поверхности S  всюду в дальнейшем под n понимаются векторы внешних нормалей, т. е.  направленные вовне из области, ограниченной этой поверхностью. 

      2. Найдем, чему равен поток напряженности электростатического поля сквозь произвольную замкнутую поверхность, поведенную в этом поле.  Рассмотрим электростатического поля сквозь произвольную замкнутую поверхность, проведенную в этом поле. Рассмотрим электростатическое поле системы точечных зарядов q1,q2,…qn. Согласно принципу суперпозиции электрических полей , 

      
,    (4)
 

      т. е. искомый поток N равен алгебраической сумме потоков через ту же замкнутую поверхность S напряженностей полей каждого из зарядов системы. Таким образом, наша задача сводится  расчету потока напряженности поля одного точечного заряда q1. Возможны два случая:
    Замкнутая поверхность S охватывает заряд qi, т. е. он находится внутри области, ограниченной замкнутой поверхностью S.
    Замкнутая поверхность S не охватывает заряд qi.
 
 
 
             
             
      Рис.1 Рис.2  

      
    Рассмотрим  сначала первый случай (рис.1). Поток  напряженности dN сквозь малый элемент dS поверхности найдем по формулам (3) и :
 
      
.    (5)
 

      С точностью до малых высшего порядка  малости можно считать, что  проекции элемента dS поверхности S на поверхность сферы радиуса ri c центром в месте нахождения заряда qi т. е.  

      
.           (5)
 

      Часть пространства, ограниченная замкнутой  конической поверхностью, называется телесным углом. Мерой телесного угла ? служит отношение площади Sсф, вырезаемой конической поверхностью на сфере произвольного радиуса r с центром в вершине  O конической поверхности (рис 2.), к квадрату радиуса: . Если , то ср. Площадь поверхности всей сферы равна , поэтому телесный угол, опирающийся на всю сферу и охватывающий собой все пространство, равен ср.
      Из  сказанного ясно, что отношение  , входящее в формулу (5’), есть не что иное, как телесный угол , под которым элемент dS замкнутой поверхности S виден из точечного заряда qi: 

      
                  (6)

      Интегригуя  это выражение по всей поверхности  S, т. е. по ?i от 0 до , находим поток напряженности электростатического поля точечного заряда qi сквозь замкнутую поверхность S, охватывающую этот заряд: 

      
.             (7)

      При выводе соотношений (5’) и (7) мы предполагали, что заряд qi>0. Однако все эти соотношения в равной мере справедливы и в том случае, когда qi<0. Все отличия в вышеприведенном выводе состоит лишь в том, что при qi<0 соотношение (5) имеет вид
      
.     

    Если замкнутая поверхность S не охватывает заряд qi (рис.3), то касательная к ней коническая поверхность с вершиной в точке O,где находится заряд qi, разбивает поверхность S (ради простоты предполагается, что поверхность S всюду выпуклая) на две части: S1 и S2. Поток напряженности сквозь поверхность S равен алгебраической сумме потоков Ni1 и Ni2 равны друг другу по абсолютному значению:
 
      
.   
 

      Однако  если для всех элементов поверхности  S1 углы между векторами Ei и внешними нормальными n острые ( при qi>0), то для всех элементов поверхности S2 эти углы тупые. Следовательно, 

      

             
       , 

      
,  (8)   
 

      
 
 

      Таким образом, поток напряженности электростатического  поля точечного заряда qi в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность S, не охватывающую этот заряд, равен нулю.
      5. Из (4), (7), (8) следует, что  

      
.          (9)
 

      Уравнение (9) выражает теорему Остроградского-Гаусса для электростатических полей в  вакууме: поток напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен отношению алгебраической суммы электростатических зарядов, охватываемых этой поверхностью, к электрической постоянной .
      При вычислении потока напряженности (9) векторы  dS малых участков замкнутой поверхности S нужно направлять по внешним нормалям. При решении задач замкнутую поверхность S, фигурирующую в теореме Остроградского-Гаусса, часто называют гауссовой поверхностью.
      6. Теорема Остроградского-Гаусса (9) теснейшим  образом связана с законом Кулона, согласно которому сила F электростатического взаимодействия двух точечных зарядов обратно пропорционально квадрату расстояния r между ними. Именно поэтому напряженность Ei поля точечного заряда qi также обратно пропорциональна квадрату расстояния ri от заряда: . Если бы зависимость F от r и Ei от ri, была иной, т. е. F~ra и , где , то вместо (6) мы бы получили
      
.
 

      При результат интегрирования этого выражения по замкнутой поверхности S должен зависеть от формы и размеров поверхности S, т. е. в этом случае теорема Остроградского-Гаусса не должна была бы выполняться. Следовательно, справедливость теоремы Остроградского-Гаусса и всех последствий из неё служит надежным подтверждением правильности закона Кулона.
      7. С помощью теоремы Остроградского-Гаусса легко доказать одну из основных теорем электростатики – теорему Ирншоу: система неподвижных точечных электрических зарядов, находящихся на конечных расстояниях друг от друга, не может быть устойчивой.
      Произвольный  точечный заряд q системы находится в положении устойчивого равновесия, если при любом малом смещении заряда q из этого положения на него действует со стороны электростатического поля E остальных зарядов сила , направленная к положению равновесия. Пусть S – замкнутая поверхность, охватывающая заряд q и соответствующая столь малым его смещениям из положения равновесия во всевозможных направлениях, что все другие заряды системы находятся вне этой поверхности. Тогда в случае устойчивого равновесия заряда q действующая на него сила F образовала бы тупой угол с внешней нормалью к замкнутой поверхностью S, так что должно было бы выполниться условие 

      
.
 

      Однако  это соотношение противоречит теореме  Остроградского-Гаусса, согласно которой 
      

      Так как замкнутая поверхность S не охватывает ни один из точечных зарядов, участвующих в создании поля E.
      8. Теорема Ирншоу сыграла важную роль в развитии теории строения вещества, так как она показала, что атомы и молекулы представляют собой не статические, а динамические системы заряженных частиц. В электростатике для объяснения устойчивости различных рассматриваемых систем зарядов пользуются формальным представлением о добавочных силах или связях неэлектростатические происхождения , обеспечивающих эту устойчивость. Так, в идеальном проводнике носители заряда могут свободно перемещаться по всему объему и поверхности проводника. Например электроны проводимости находятся в металлическом проводнике в потенциальной яме. В идеальном диэлектрике действуют такие неэлектростатические силы, которые обеспечивают полную неподвижность свободных зарядов, вносимых в диэлектрик.
 

       Применение  теоремы Остроградского-Гаусса к расчету электростатических полей в вакууме.

 
      

        1.Метод расчета электростатических полей, основанный на использовании принципа суперпозиции полей, применим к расчету поля любой системы зарядов. Это универсальный метод расчета электростатических полей. Однако, как правило, он связан с более или менее трудоемкими математическими операциями суммирования или интегрирования. В ряде случаев значительно более простым оказывается метод, основанный на использовании теоремы Остроградского — Гаусса (14.9). Этот метод особенно удобен для расчета электростатических полей симметричных систем зарядов. Поля таких систем зарядов обладают заранее известной симметрией, обусловленной симметрией в конфигурации зарядов. Поэтому можно так выбрать гауссову поверхность, проходящую через рассматриваемую точку поля, чтобы поток напряженности поля сквозь эту поверхность легко выражался через искомое значение вектора напряженности Е.
      
      Рис.4 

      2. Рассмотрим несколько примеров расчета полей симметричных систем зарядов.
      Пример 1. Поле заряда q, равномерно распределенного по поверхности сферы радиуса R с поверхностной плотностью . Система зарядов и, следовательно само поле центрально-симметричны относительно центра O сферы. Вектор напряженности поля имеет только радиальную составляющую: , где r радиус-вектор, приведенный из центра O сферы в рассматриваемую точку поля; Er проекция вектора E на радиус-вектор r, одинаковая во всех точках, равноудаленных от центра O. Поэтому за гауссову поверхность S следует взять сферу радиуса r с центром в точке O. Тогда: 

      
 

      Если  , то и и, по теореме Остроградского-Гаусса (9), 

      
         (10)
 
 

      Если  r<R, то qохв=0 и Er=0, т. е. внутри заряженной сферы поля нет.
      Потенциал поля ? найдем из формулы связи между потенциалом и напряженностью поля: . Пологая , получаем, что потенциал поля вне сферы равен 

      
.       (10’)
 

      Из (10) и (10’) видно, что вне заряженной сферы радиуса R поле такое же, как поле точечного заряда q, находящегося в центре сферы. Внутри заряженной сферы поля нет, так что потенциал всюду одинаков и такой же, как на её поверхности: 

      
.          (10”)
 

      График  зависимостей Er и ? от r для случая, когда , показаны на рис.4.
      Пример 2. Поле заряда q, равномерно распределенно в вакууме по объему шара радиуса R с объемной плотностью .
      Центр шара O является центром симметрии поля. Поэтому для гауссовой поверхности S в виде сферы радиуса r с центром в точке O 

      
,
 

      где, Er проекция вектора E на радиус-вектор r, проведенной из точки O в рассматриваемую точку поля; E=Er=Err/r. Связь потенциала ? с E имеет вид .
      Если  , то qохв=q и
      
,
.        (11)
 

      В частности при r = R  

      
,                                                    

      
.         (11’)
 

      Если  r<R, то и  

      
.          
(12)
 

      Из  связи между ? и E следует, что для r<R 

      
,
 

      так что 

      
.          (12’)

             
      Графики зависимости Er и ? от r для случая, когда , показаны на рис.14.5 
 
 
 
 
 
 
 

      Пример 3. Поле заряда, равномерно распределенного в вакууме с поверхностной плотностью по круговой цилиндрической поверхности, радиус R которой во много раз меньше длины l образующей.
      Вдали от концов заряженной поверхности и  на расстояниях r от ее оси OO’, малых по сравнению с l, поле можно считать осесимметричным – векторы E направлены перпендикулярно оси OO’ и радиально от нее (если бы ) и к ней (если ). За гауссову поверхность S удобно взять поверхность кругового цилиндра радиуса r и высоты H<<l, ось которого совпадает с OO’, а основания перпендикулярны оси. Тогда 

      
,
 

      где Er проекция вектора E на радиус-вектор r, проведенный от оси OO’. Потенциал поля зависит только от r и удовлетворяет соотношению .
      Если  r<R, то qохв=0 и Er=0, а (внутри цилиндра радиуса R поля нет). Удобно принять эту константу равной нулю, т. е. принять ?=0 в точках оси OO’.
      Если  ,то , где - линейная плотность заряда. Поэтому
       
      
,
 

      
.           (13)
 

      Пример 4. Поле заряда, равномерно распределенного с объемной плоскостью по объему кругового цилиндра, радиус R которого во много раз меньше длины l образующей.
      Вдали от конца заряженного цилиндра и  на расстояниях r<<l от его оси OO’ поле можно считать осесимметричным – векторы E направлены перпендикулярно оси OO’ и радиально от нее (если ) или к ней (если ). Выбирая гауссову поверхность S так же, как в предыдущем примере, получим, что в области поля, где , , так что  

      
,
.     (14)
 

      В частности при r = R
      
,
     (14’)
 

      В области поля, где  , и  

      
              (15)
 

      Потенциал поля  

      
.              (15’)
 
 

        

      Графики зависимостей Er и ? от r для случая, когда , показаны на рис.14.7.
      Пример 5. Поле заряда, равномерно распределенного в вакууме с поверхностной плотностью   по плоскости.
      Эта плоскость (x=0) является плоскостью симметрии поля, векторы напряженности E которого направлены перпендикулярно плоскости  от нее (если ) или к ней (если ). За гауссову поверхность S удобно принять поверхность цилиндра, образующие которого перпендикулярны плоскости, а основание площадью параллельны ей и лежат по разные стороны от нее на одинаковых расстояниях. Так как векторы E направлены вдоль оси OX (E=Exi) и , то 

      
,   
 

      где Ex – проекция вектора E на ось OX в точках с координатами x>0. Таким образом, 

      
, если 
 

      
, если 

      Общая формула для напряженности в любой точке поля имеет вид 

      
.          (16)
 

      Таким образом, после заряженной плоскости  всюду слева от нее однородное и всюду справа от нее тоже однородное. Однако при переходе через эту  плоскость из одной области поля в другую вектор напряженности E  изменяет скачком свое направление на противоположное.
      Так как  , то, полагая потенциал поля равным нулю в точках заряженной плоскости x=0, получаем: 

      А) , ( )
      Б) ( ).
      Общая формула, справедливая при любых  значениях x, имеет вид 

      
               (16’)
 

      Графики зависимостей Ex и ? от x для случая, когда , показаны на рис. 14.8. 

      Пример 6. После двух параллельных плоскостей, заряженных разноименно с равными по абсолютному значению поверхностными плотностями зарядов и - (рис 14.9).
      Из примера 5 ясно, что векторы E1 и E2 напряженностей полей первой и второй плоскостей равны по модулю и всюду направлены параллельно оси OX, ортогональной заряженным плоскостям. При этом вектор E1 направлены от положительно заряженной первой плоскости, а векторы E2 к отрицательно заряженной второй плоскости. По принципу суперпозиции полей напряженность поля двух плоскостей E=E1+E2. Таким образом, слева от плоскости 1 и справа от плоскости 2, т. е. в областях и , E=0. В области между плоскостями E2=E1 и E=2E1. Следовательно, Ex=0, если и , а в области  

      
    (17)
 

      После между плоскостями однородное. Зависимость ?(x) найдем, интегрируя уравнение и полагая потенциал плоскости l равными ?1:
      а) , ( );
      б) , ( ).                    (17’) 

      В частности, при x=d, , т. е. разность потенциалов плоскостей равна 

      
        (18)

      в) , ( ).
 

       Задача.

Фарфоровый  шар радиусом см заряжен равномерно с объемной плотностью . Определить напряженность электростатического поля: 1) на расстояние см от центра шара; 2) на поверхности шара; 3) на расстояние см от центра шара. Диэлектрическая проницаемость фарфора .
Дано:
 см = 0,1 м
=1,5

 см = 5 м
 см = 15 м 

Найти:



 

 







 

Ответ:
       
 

Заключение.

 
 
      На  основании рассмотренных примеров можно сделать следующие выводы относительно зависимостей напряженности и потенциала электростатического поля в вакууме от координат точек в этом поле:
      Напряженность электростатического поля в вакууме изменяется скачком при переходе через  заряженную поверхность;
      При переходе через границу области объемного заряда напряженность поля в вакууме изменяется непрерывно
      Потенциал поля всегда является непрерывной функцией координат (скачкообразное изменение потенциала поля означало бы возможность совершения в этом поле конечной по величине работы над электрическим зарядом при его перемещении, равном нулю).
 

Список литературы:

 
 
    Зисман  Г. А. Курс общей физики : В 3 т. / Г. А. Зисман, О. М. Тодес. – М., 1972.
    Детлаф А. А. Курс физики [Текст] / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. – М. : Высш.шк., 2002.
    Мякишев Г. Я. Физика [Текст] : учебник / Г. Я. Мякишев, Б. Б. Бухофцев. – М. : Просвещение, 2006.
    Савельев И. В. Общий курс физики : В 3 т. – М., 1977.
    Трофимова Т. И. Сборник задач по курсу физики с решениями [Текст] : учеб. пособие для вузов / Т. И. Трофимова. – М. : Высш.шк., 1999.
    Трофимова Т. И. Курс физики [Текст] / Т. И. Трофимова. – М. : Высш.шк., 2002 .

и т.д.................


Перейти к полному тексту работы


Скачать работу с онлайн повышением уникальности до 90% по antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru


Смотреть полный текст работы бесплатно


Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.