На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Курсовик Исследование самых абстрактных алгебраических систем, в частности, универсальных алгебр. Основные определения, обозначения и используемые результаты. Свойства централизаторов конгруэнции универсальных алгебр. Конгруэнция Фраттини, подалгебра Фраттини.

Информация:

Тип работы: Курсовик. Предмет: Математика. Добавлен: 22.09.2009. Сдан: 2009. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Учреждение образования
"Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины"
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Курсовая работа
КОНГРУЭНЦИИ ФРАТТИНИ УНИВЕРСАЛЬНЫХ АЛГЕБР

Исполнитель:
студентка группы H.01.01.01 М-43
Селюкова Н.В.
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук,
профессор кафедры Алгебры и геометрии
Монахов В. С.
Гомель 2004
Содержание
Введение
1. Основные определения, обозначения и используемые результаты
2. Свойства централизаторов конгруэнции универсальных алгебр
3. Конгруэнция Фраттини, подалгебра Фраттини и их свойства
Список литературы
Введение
Одно из направлений исследований самых абстрактных алгебраических систем, в частности, универсальных алгебр, связано с изучением, определенным образом выделенных подсистем таких систем. Например, в группах - это силовские подгруппы, подгруппа Фраттини, подгруппа Фиттинга, в алгебрах Ли --- это подалгебра Картана, Фраттини и т.д. Разработка новых методов исследований мультиколец, универсальных алгебр, нашедших свое отображение в книге Л. А. Шеметкова и А. Н. Скибы ``Формации алгебраических систем''(1), дает мощный импульс в реализации этого направленияи в универсальных алгебрах. В этой курсовой работе решается задача, связанная с изучением свойств подалгебр Фраттини и конгруэнции Фраттини универсальных алгебр, принадлежащих некоторому фиксированному мальцевскому многообразию. В частности, получены новые результаты, указывающие на связь подалгебры Фраттини с фраттиниевой конгруэнцией (теоремы (4)и(5)). Установлено одно свойство подалгебры Фраттини нильпотентной алгебры (теорема(2)). Как следствие, из полученных результатов следуют аналогичные результаты теории групп и мультиколец.
Перейдем к подробному изложению результатов курсовой работы, состоящей из введения, трех параграфов и списка литературы, состоящего из пяти наименований.
1 носит вспомагательный характер. Здесь приведены все необходимые определения, обозначения и используемые в дальнейшем результаты.
2 носит реферативный характер. Здесь приводятся с доказательствами результаты работ , касающееся свойств централизаторов конгруэнций.
3 является основным. На основе введенного здесь понятия --- конгруэнции Фраттини, устанавливаются некотоые свойства подалгебры Фраттини универсальной алгебры. В частности, доказывается, что подалгебра Фраттини нильпотентной алгебры нормальна в (теорема(3)).
1. Основные определения и используемые результаты
Определение 1.1 Пусть --- некоторое непустое множество и пусть , отображение -ой декартовой степени в себя, тогда называют -арной алгебраической операцией.
Определение 1.2 Универсальной алгеброй называют систему состоящую из некоторого множества с заданной на нем некоторой совокупностью операций .
Определение 1.3 Пусть --- некоторая универсальная алгебра и (), тогда называют подалгеброй универсальной алгебры , если замкнута относительно операций из .
* Для любой операции , где и .
* Для любой операции элемент фиксируемый этой операцией в принадлежит .
Определение 1.4 Всякое подмножество называется бинарным отношением на .
Определение 1.5 Бинарное отношение называется эквивалентностью, если оно:
* рефлексивно
* транзитивно и
* симметрично
Определение 1.6 Пусть некоторая эквивалентность на , тогда через обозначают множество . Такое множество называют класс разбиения по эквивалентности содержащий элемент . Множество всех таких классов разбиения обозначают через и называют фактормножеством множества по эквивалентности .
Определим -арную операцию на фактормножестве следующим образом:
Определение 1.7 Эквивалентность на алгебре называется ее конгруэнцией на , если выполняется следующее условие:
Для любой операции для любых элементов таких, что имеет место .
Определение 1.8 Если и --- конгруэнции на алгебре , , то конгруэнцию на алгебре назовем фактором на .
тогда и только тогда, когда .
или или 1 --- соответственно наименьший и наибольший элементы решетки конгруэнций алгебры .
Лемма 1.1 (Цорна). Если любая цепь частично упорядоченного множества содержит максимальные элементы, то и само множество содержит максимальные элементы.
Определение 1.9 Пусть --- бинарное отношение на множестве . Это отношение называют частичным порядком на , если оно рефлексивно, транзитивно, антисимметрично.
Определение 1.10 Множество с заданным на нем частичным порядком называют частично упорядоченным множеством.
Теорема Мальцев А.И. Конгруэнции на универсальной алгебре перестановочны тогда и только тогда, когда существует такой тернарный оператор , что для любых элементов выполняется равенство . В этом случае оператор называется мальцевским.
Определение 1.11 Алгебра называется нильпотентной, если существует такой ряд конгруэнций , называемый центральным, что для любого .
Определение 1.12 Подалгебра алгебры называется собственной, если она отлична от самой алгебры .
Определение 1.13 Подалгебра универсальной алгебры называется нормальной в , если является смежным классом по некоторой конгруэнции алгебры .
Определение 1.14 Пусть и --- универсальные алгебры с одной и той же сигнатурой, отображение называется гомоморфизмом, если
1) и имеет место ;
2) , где и элементы фиксируемой операцией в алгебрах и соответственно.
Определение 1.15 Гомоморфизм называется изоморфизмом между и , если обратное к нему соответствие также является гомоморфизмом.
Теорема Первая теорема об изоморфизмах Пусть - гомоморфизм, --- конгруэнция, тогда .
Теорема Вторая теорема об изоморфизмах Пусть --- есть -алгебра, --- подалгебра алгебры и --- конгруэнция на . Тогда является подалгеброй алгебры , --- конгруэнцией на и .
Теорема Третья теорема об изоморфизмах Пусть --- есть -алгебра и и --- такие конгруэнции на , что . Тогда существует такой единственный гомоморфизм , что . Если , то является конгруэнцией на и индуцирует такой изоморфизм .
2. Свойства централизаторов конгруэнции универсальных алгебр
Определение 2.1 Пусть и --- конгруэнции на алгебре . Тогда централизует (записывается: ), если на существует такая конгруэнция , что:
1) из
всегда следует
2) для любого элемента
всегда выполняется
3) если
то
Под термином "алгебра" в дальнейшем будем понимать универсальную алгебру. Все рассматриваемые алгебры предполагаются входящими в фиксированное мальцевское многообразие .
Следующие свойства централизуемости, полученные Смитом , сформулируем в виде леммы.
Лемма 2.1 Пусть . Тогда:
1) существует единственная конгруэнция , удовлетворяющая определению 2.1;
2) ;
3) если
то
Из леммы 2.1. и леммы Цорна следует, что для произвольной конгруэнции на алгебре всегда существует наибольшая конгруэнция, централизующая . Она называется централизатором конгруэнции в и обозначается .
В частности, если , то централизатор в будем обозначать .
Лемма 2.2 Пусть , --- конгруэнции на алгебре , , , . Тогда справедливы следующие утверждения:
1) ;
2) , где ;
3) если выполняется одно из следующих отношений:
4) из всегда следует
Доказательство:
1) Очевидно, что --- конгруэнция на , удовлетворяющая определению 2.1. В силу пункта 1) леммы 2.1. и .
2) --- конгруэнция на , удовлетворяющая определению
2.1. Значит
3) Пусть .
Тогда
Применим к последним трем соотношениям мальцевский оператор такой, что
Тогда получим
т.е.
Аналогичным образом показываются остальные случаи из пункта 3).
4) Пусть
Тогда справедливы следующие соотношения:
Следовательно,
где --- мальцевский оператор.
Тогда
то есть .
Так как
то .
Таким образом . Лемма доказана.
Следующий результат оказывается полезным при доказательстве последующих результатов.
Лемма. 2.3 Любая подалгебра алгебры , содержащая диагональ , является конгруэнцией на алгебре .
Доказательство:
Пусть
Тогда из
следует, что
Аналогичным образом из
получаем, что
Итак, симметрично и транзитивно. Лемма доказана.
Лемма 2.4 Пусть . Тогда для любой конгруэнции на алгебре .
Доказательство:
Обозначим и определим на алгебре бинарное отношение следующим образом:
тогда и только тогда, когда
где
Используя лемму 2.3, нетрудно показать, что --- конгруэнция на алгебре , причем
Пусть и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.