На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Курсовик Понятие и виды бинарной алгебраической операции. Определения, примеры и общие свойства -перестановочных подгрупп. Характеристика и методика решения конечных групп с заданными -перестановочными подгруппами. Доказательство p-разрешимости конечных групп.

Информация:

Тип работы: Курсовик. Предмет: Математика. Добавлен: 22.09.2009. Сдан: 2009. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


Курсовая работа
"Конечные группы с заданными -перестановочными подгруппами"


Содержание
Перечень условных обозначений
Введение
1. Необходимые определения и обозначения
2. Используемые результаты
3. Определения, примеры и общие свойства -перестановочных подгрупп
4. Конечные группы с заданными -перестановочными подгруппами
Заключение
Список использованных источников
Перечень условных обозначений
- знак строгого включения множеств;
- знак включения множеств;
- принадлежность элемента множеству;
- объединение множеств;
- пересечение множеств;
- является подгруппой группы ;
- является собственной подгруппой группы ;
- является максимальной подгруппой группы ;
- является нормальной подгруппой группы ;
- является субнормальной подгруппой группы ;
- является минимальной нормальной подгруппой группы ;
Скобки применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.
- подгруппа, сопряжённая подгрупп посредством элемента ;
- циклическая группа порядка ;
- симметрическая группа степени ;
- ядро подгруппы в группе , т.е. пересечение всех подгрупп, сопряжённых с в ;
- подгруппа, порожденная всеми подгруппами, сопряженными с подгруппой из элементами из , то есть ;
- централизатор множества T в группе G;
- центр группы G;
- нормализатор подгруппы в группе ;
- наибольшая нормальная подгруппа нечетного порядка группы ;
- наибольшая нормальная -подгруппа группы ;
- -холловская подгруппа группы ;
- силовская -подгруппа группы ;
- дополнение к силовской -подгруппе в группе , т.е. -холловская подгруппа группы ;
- группа G изоморфна группе ;
Пусть - группа, и , тогда:
- правый смежный класс,
- левый смежный класс;
- правая трансверсаль подгруппы
в группе ;
- левая трансверсаль подгруппы
в группе ;
- индекс подгруппы в группе ;
- порядок группы G;
Пусть и - подгруппы группы и , тогда:
- двойной смежный класс группы по подгруппам
и ;
- факторгруппа группы по подгруппе ;
- прямое произведение подгрупп A и B;
- цоколь группы ;
- коммутатор элементов и ;
- коммутант группы G;
- множество всех простых чисел;
- дополнение к во множестве , где - некоторое множество простых чисел;
--длина группы .
Введение
Напомним, что подгруппа группы перестановочна с подгруппой , если . Если перестановочна со всеми подгруппами группы , то она называется перестановочной [6] или квазинормальной в [7].
Так как для двух перестановочных подгрупп и произведение также является подгруппой в , то понятие перестановочных подгрупп является одним из наиболее важных обобщений понятия нормальных подгрупп.
Перестановочные подгруппы имеют много интересных свойств. Как известно, например, что каждая перестановочная подгруппа является восходящей [8] и, если она является перестановочной подгруппой в некоторой конечной порождённой группе , то субнормальна в [8].
Но фактически эти два результата были получены как обобщения следующего наблюдения: каждая перестановочная подгруппа конечной группы является субнормальной [7].
Разрабатывая этот результат Ito и Szep доказали, что для каждой перестановочной подгруппы конечной группы , - нильпотентна [9].
Немного позже было доказано, что при таких условиях, [18].
При некоторых естественных условиях мы встречаемся с ситуацией, когда некоторые подгруппы и группы неперестановочны, но существует подгруппа такая, что для некоторого .
Основываясь на этом наблюдении мы дадим следующие определения.
Определение 1 Пусть , - подгруппы группы и . Тогда мы говорим, что:
(1) является -перестановочной с , если для некоторого имеем .
(2) является наследственно -перестановочной с , если для некоторого .
Заметим, что - перестановочные подгруппы также являются перестановочными подгруппами. Во втором приведённом случае мы имеем дело с -перестановочными подгруппами, которые были исследованы и использованы в [].
Определение 2 Подгруппа группы называется (наследственно) -перестановочной, если она (наследственно) перестановочна со всеми подгруппами группы .
Целью данной работы является изложение некоторых известных разделов теории перестановочных подгрупп, изучение и применение некоторых свойств -перестановочных подгрупп.
1. Необходимые определения и обозначения
Бинарной алгебраической операцией на множестве называют отображение декартова квадрата во множество . Если - бинарная операция на , то каждой упорядоченной паре элементов из соответствует однозначно определенный элемент . Бинарную операцию на обозначают одним из символов: и т.д. Если, например, вместо условимся писать , то вместо пишем .
Говорят, что на множестве X определена бинарная операция (умножение), если для всех .
Если для всех , то операция называется ассоциативной.
Если для всех , то операция называется коммутативной.
Элемент называется единичным, если для всех .
Обратным к элементу называется такой элемент , что .
Полугруппой называется непустое множество с бинарной алгебраической операцией (умножение), удовлетворяющей следующим требованиям:
(1) операция определена на , т.е. для всех и ;
(2) операция ассоциативна, т.е. для любых .
Группой называется непустое множество с бинарной алгебраической операцией (умножением), удовлетворяющей следующим требованиям:
(1) операция определена на , т.е. для всех и ;
(2) операция ассоциативна, т.е. для любых ;
(3) в существует единичный элемент, т.е. такой элемент , что для всех ;
(4) каждый элемент обладает обратным, т.е. для любого существует такой элемент , что .
Группу с коммутативной операцией называют коммутативной или абелевой.
Если G - конечное множество, являющееся группой, то G называют конечной группой, а число элементов в - порядком группы .
Также группой называется непустое множество с бинарной алгебраической операцией (умножением), удовлетворяющей следующим требованиям:
(1) операция определена на ;
(2) операция ассоциативна;
(3) уравнения , имеют решения для любых элементов .
Подмножество группы называется подгруппой, если - группа относительно той же операции, которая определена на группе . Для подгруппы используется следующее обозначение: . Запись читается так: - подгруппа группы .
Также можно дать следующее определение подгруппы конечной группы. Непустое подмножество конечной группы называется подгруппой, если для всех и
Каждая группа обладает единичной подгруппой . Сама группа также считается подгруппой в . Эти подгруппы называют тривиальными подгруппами. Нетривиальная подгруппа группы это такая подгруппа из , которая отлична от и отлична от единичной подгруппы .
Собственной называется подгруппа, отличная от группы.
Пусть - подмножество группы и . Через
обозначим подмножество всех элементов группы вида , где пробегает все элементы множества . Подмножество называется подмножеством, сопряженным подмножеству посредством элемента .
Подгруппа называется подгруппой, сопряженной подгруппе посредством элемента .
Пусть - непустое подмножество группы . Совокупность всех элементов группы , перестановочных с каждым элементом множества , называется централизатором множества в группе и обозначается через . Таким образом,
Центром группы называется совокупность всех элементов группы , перестановочных с каждым элементом группы . Центр группы обозначается через . Ясно, что , т.е. центр группы совпадает с централизатором подмножества в группе . Кроме того,
Зафиксируем элемент в группе . Пересечение всех подгрупп группы , содержащих элемент , назовем циклической подгруппой, порожденной элементом , и обозначим через . Таким образом,
Для элемента имеются следующие две возможности.
Все степени элемента различны, т.е. для целых . В этом случае говорят, что элемент имеет бесконечный порядок.
Имеются совпадения при . Если, например, , то и , т.е. существуют натуральные степени элемента , равные единичному элементу. Наименьшее натуральное число , при котором называют порядком элемента и пишут
Если группа совпадает с одной из своих циклических подгрупп, то группу называют циклической группой. В этом случае в группе имеется элемент такой, что , все элементы в группе являются целыми степенями элемента :
Если элемент имеет бесконечный порядок, то все эти элементы в группе попарно различны и - бесконечная циклическая группа.
Если элемент имеет конечный порядок , то , т.е. циклическая группа , порожденная элементом порядка , состоит из элементов. В этом случае - конечная циклическая группа порядка .
Две группы и называются изоморфными, если существует биекция такая, что для всех . Факт изоморфизма записывают так: .
Пусть - группа, и . Правым смежным классом группы по подгруппе называется множество
всех элементов группы вида , где пробегает все элементы подгруппы .
Аналогично определяется левый смежный класс
Пусть - подгруппа группы . Подмножество элементов группы называется правой трансверсалью подгруппы в группе , если содержит точно один элемент из каждого правого смежного класса группы по подгруппе . Итак, если
- правая трансверсаль подгруппы в группе , то
- конечная группа, то число различных правых смежных классов по подгруппе также будет конечно, оно называется индексом подгруппы в группе и обозначается через . Ясно, что индекс подгруппы в конечной группе совпадает с числом элементов в правой трансверсали подгруппы , т.е.
Аналогично определяется левая трансверсаль подгруппы в группе . Если
- левая трансверсаль подгруппы в группе , то
Ясно, что индекс подгруппы в конечной группе совпадает с числом элементов в левой трансверсали подгруппы , т.е. .
Пусть и - подгруппы группы и . Множество
называется двойным смежным классом группы по подгруппам и .
При двойной смежный класс
превращается в произведение подгрупп и . В общем случае не является подгруппой.
Говорят, что подгруппы и перестановочны, если . Равенство означает, что для любых существуют такие, что .
Если , то говорят, что группа есть произведение своих подгрупп и , либо группа факторизуема подгруппами и . В этом случае каждый элемент представим в виде , где .
Подгруппа называется нормальной подгруппой группы , если для всех .
Запись читается так: - нормальная подгруппа группы Равенство означает, что для любого элемента существует элемент такой, что .
В каждой группе тривиальные подгруппы (единичная подгруппа и сама группа ) являются нормальными подгруппами. Если в неединичной группе нет других нормальных подгрупп, то группа называется простой. Единичную группу считают непростой группой.
Пусть - нормальная подгруппа группы . Обозначим через совокупность всех левых смежных классов группы по подгруппе , т.е.
Группа называется факторгруппой группы по подгруппе и обозначается через .
Пусть - простое число. p-группой называют конечную группу, порядок которой есть простого степень числа . Ясно, что подгруппы и факторгруппы любой -группы также являются -группами. Конечная группа называется примарной, если она является -группой для некоторого простого .
Силовской p-подгруппой конечной группы называют такую -подгруппу, индекс которой не делится на .
Каждая нормальная подгруппа группы определяет цепочку . Обобщая эту ситуацию, цепочку
вложенных друг в друга нормальных подгрупп группы называют нормальным рядом в .
Ряд называется субнормальным, если выполняется более слабое условие: каждый предыдущий его член есть нормальная подгруппа следующего члена, т.е. для
Члены субнормальных рядов называются субнормальными подгруппами (если подгруппа субнормальна в , то пишут ().
Ясно, что каждый нормальный ряд является субнормальным.
Пусть - группа, и - ее подгруппы. Напомним, что произведение определяется как множество элементов , где , . Если , то говорят, что группа является произведением своих подгрупп и . В этом случае каждый элемент представим в виде , где , .
Произведение называется прямым, если подгруппы и нормальны в и . Прямое произведение обозначают так: . Итак, группа является прямым произведением своих подгрупп, если выполняются следующие требования:
Можно дать следующее определение прямого произведения, эквивалентное начальному. Группа является прямым произведением своих подгрупп и , если:
- каждый элемент единственным образом представим в виде , где , ;
- каждый элемент подгруппы перестановочен с каждым элементом подгруппы .
Определение прямого произведения сформулировано для двух подгрупп. Для большего числа сомножителей определение выглядит так.
Минимальной нормальной подгруппой группы называют такую нормальную подгруппу группы , что и в нет нетривиальных нормальных подгрупп группы . Запись означает, что - минимальная нормальная подгруппа группы . Таким образом, если , то и из условий следует, что или . Очевидно, что в каждой неединичной конечной группе имеется минимальная нормальная подгруппа.
Группа называется сверхразрешимой, если она обладает нормальным рядом с циклическими факторами.
Цоколем группы G называется подгруппа, являющаяся произведением всех минимальных нормальных подгрупп группы G. Цоколь группы G обозначают через . Таким образом,
Группа называется нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны.
Элементарной абелевой p-группой называют группу, являющуюся прямым произведением подгрупп порядка .
Собственная подгруппа неединичной группы называется максимальной подгруппой, если не содержится ни в какой другой подгруппе, отличной от всей группы , т.е. если из условия следует, что или . Для максимальной подгруппы неединичной группы используется запись
В абелевой группе любые два элемента перестановочны. Если группа неабелева, то в ней существуют неперестановочные элементы, т.е. такие элементы и , что . Поэтому естественно рассмотреть элемент , для которого . Отсюда .
Коммутатором элементов и называют элемент , который обозначают через . Ясно, что .
Подгруппа, порождённая коммутаторами всех элементов группы , называется коммутантом группы и обозначается через . Таким образом,
Для любой неединичной подгруппы можно построить цепочку коммутантов
Если существует номер такой, что , то группа называется разрешимой.
Говорят, что подгруппа группы дополняема в , если существует такая подгруппа , что и . В этом случае подгруппу называют дополнением к подгруппе в группе .
Пусть - множество всех простых чисел, а - некоторое множество простых чисел, т.е. . Дополнение к во множестве обозначим через , т.е. .
Зафиксируем множество простых чисел . Если , то число называется -числом.
Подгруппа группы называется -подгруппой, если есть -число. Подгруппа называется -холловой подгруппой, если есть -число, а индекс есть -число. Таким образом, -холлова подгруппа - это такая -подгруппа, индекс которой не делится на простые числа из .
Подгруппа группы называется холловой подгруппой, если - -холлова подгруппа для некоторого множества . Другими словами, - холлова подгруппа тогда и только тогда, когда
-Холлову подгруппу, если она существует в группе , называют -дополнением.
Подгруппа разрешимой группы называется картеровой подгруппой группы , если нильпотентна и .
Произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы называют подгруппой Фиттинга группы и обозначают через .
Силовская система группы полностью задаётся силовскими -подгруппами группы для любого , удовлетворяющего для всех , .
Две силовские системы и из называются сопряженными, если там существует элемент такой, что для всех .
Напомним, что подгруппа группы называется абнормальной если и сопряжены в в для любого .
2. Используемые результаты
Теорема 2.1 Конечная группа тогда и только тогда непроста, когда она содержит такие подгруппы и , , что перестановочна с каждой сопряжённой с в подгруппой , и, кроме того, . или тогда содержаться в некотором собственном нормальном делителе группы .
Теорема 2.2 (Бернсайда) Группа порядка разрешима для любых .
Теорема 2.3 (Томпсона - Фейта) Группы нечётного порядка разрешимы.
Теорема 2.4 (Теорема о соответствии) Пусть - нормальная подгруппа группы . Тогда:
(1) если - подгруппа группы и , то - подгруппа факторгруппы ;
(2) каждая подгруппа факторгруппы имеет вид , где - подгруппа группы и ;
(3) отображение является биекцией множества S на множество S;
(4) если S, то - нормальная подгруппа группы тогда и только тогда, когда - нормальная подгруппа факторгруппы .
Теорема 2.5 (Силов) Пусть конечная группа имеет порядок , где - простое число и не делит . Тогда справедливы следующие утверждения:
(1) в группе существует подгруппа порядка для каждого ;
(2) если - -подгруппа группы и - подгруппа порядка , то существует такой элемент , что ;
(3) любые две подгруппы порядка сопряжены в группе ;
(4) число подгрупп порядка в группе сравнимо с единицей по модулю и делит .
Лемма 2.6 Пусть конечная группа имеет порядок , где - простое число и не делит . Тогда:
(1) существует силовская -подгруппа и её порядок равен ;
(2) каждая -подгруппа содержится в некоторой силовской -подгруппе;
(3) любые две силовские -подгруппы сопряжены;
(4) число силовских -подгрупп сравнимо с единицей по модулю и делит .
Теорема 2.7 Для конечной группы и её силовской -подгруппы справедливы следующие утверждения:
(1) если , то - силовская -подгруппа в , а - силовская -подгруппа в ;
(2) ;
(3) если и , то
и
(4) пусть - все простые делители порядка группы при , и пусть - соответствующие им силовские подгруппы. Тогда
а если , то .
Теорема 2.8 Пусть группа является прямым произведением своих подгрупп и . Тогда:
(1) каждый элемент единственным образом представим в виде , где , ;
(2) каждый элемент подгруппы перестановочен с каждым элементом подгруппы .
Обратно, если выполняются требования (1) и (2), то , подгруп и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.