На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Курсовик Характеристика и определение общих свойств слабо нормальных подгрупп и их конечных групп. Доказательство новых критериев принадлежности группы насыщенной формации. Критерии разрешимости и метанильпотентности групп в терминах слабо нормальных подгрупп.

Информация:

Тип работы: Курсовик. Предмет: Математика. Добавлен: 02.03.2010. Сдан: 2010. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины»
Математический факультет
Кафедра ТВ и матстатистики
Курсовая работа
КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ С ЗАДАННЫМИ СИСТЕМАМИ СЛАБО НОРМАЛЬНЫХ ПОДГРУПП
Исполнитель:
Студент группы М-32 Макарченко А.Ю.
Научный руководитель:
Канд. физ-мат. наук, доцент Малинковский М.Т.
Гомель 2007
Содержание
    ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
    ВВЕДЕНИЕ
    1. Определение и общие свойства слабо нормальных подгрупп
    2. Конечные группы со слабо нормальными подгруппами
    ЗАКЛЮЧЕНИЕ
    ЛИТЕРАТУРА
    Перечень условных обозначений
    В работе все рассматриваемые группы предполагаются конечными.
    Будем различать знак включения множеств и знак строгого включения ;
    и - соответственно знаки пересечения и объединения множеств;
    - пустое множество;
    - множество всех для которых выполняется условие ;
    - множество всех натуральных чисел;
    - множество всех простых чисел;
    - некоторое множество простых чисел, т.е. ;
    - дополнение к во множестве всех простых чисел; в частности, ;
    примарное число - любое число вида ;
    Пусть - группа. Тогда:
    - порядок группы ;
    - порядок элемента группы ;
    - единичный элемент и единичная подгруппа группы ;
    - множество всех простых делителей порядка группы ;
    - множество всех различных простых делителей натурального числа ;
    -группа - группа , для которой ;
    -группа - группа , для которой ;
    - подгруппа Фраттини группы , т.е. пересечение всех максимальных подгрупп группы ;
    - подгруппа Фиттинга группы , т.е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы ;
    - наибольшая нормальная -нильпотентная подгруппа группы ;
    - коммутант группы , т.е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы ;
    - -ый коммутант группы ;
    - наибольшая нормальная -подгруппа группы ;
    - -холловская подгруппа группы ;
    - силовская -подгруппа группы ;
    - дополнение к силовской -подгруппе в группе , т.е. -холловская подгруппа группы ;
    - группа всех автоморфизмов группы ;
    - является подгруппой группы ;
    - является собственной подгруппой группы ;
    - является максимальной подгруппой группы ;
    нетривиальная подгруппа - неединичная собственная подгруппа;
    - является нормальной подгруппой группы ;
    - подгруппа характеристична в группе , т.е. для любого автоморфизма ;
    - индекс подгруппы в группе ;
    ;
    - централизатор подгруппы в группе ;
    - нормализатор подгруппы в группе ;
    - центр группы ;
    - циклическая группа порядка ;
    - ядро подгруппы в группе , т.е. пересечение всех подгрупп, сопряжённых с в .
    Если и - подгруппы группы , то:
    - прямое произведение подгрупп и ;
    - полупрямое произведение нормальной подгруппы и подгруппы ;
    - и изоморфны.
    Группа называется:
    примарной, если ;
    бипримарной, если .
    Скобки применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.
    - подгруппа, порожденная всеми , для которых выполняется .
    , где .
    Группу называют:
    -замкнутой, если силовская -подгруппа группы нормальна в ;
    -нильпотентной, если -холловская подгруппа группы нормальна в ;
    -разрешимой, если существует нормальный ряд, факторы которого либо -группы, либо -группы;
    -сверхразрешимой, если каждый ее главный фактор является либо -группой, либо циклической группой;
    нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны;
    метанильпотентной, если существует нормальная нильпотентная подгруппа группы такая, что нильпотентна.
    разрешимой, если существует номер такой, что ;
    сверхразрешимой, если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простыми числами.
    Группа Шмидта - это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которой нильпотентны.
    Добавлением к подгруппе группы называется такая подгруппа из , что .
    Минимальная нормальная подгруппа группы - неединичная нормальная подгруппа группы , не содержащая собственных неединичных нормальных подгрупп группы .
    Цоколь группы - произведение всех минимальных нормальных подгрупп группы .
    - цоколь группы .
    Классы групп, т.е. совокупности групп, замкнутые относительно изоморфизмов, обозначаются прописными готическими буквами. Также обозначаются формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений. За некоторыми классами закреплены стандартные обозначения:
    - класс всех групп;
    - класс всех абелевых групп;
    - класс всех нильпотентных групп;
    - класс всех разрешимых групп;
    - класс всех -групп;
    - класс всех сверхразрешимых групп;
    Формации - это классы конечных групп, замкнутые относительно взятия гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений.
    Пусть - некоторый класс групп и - группа, тогда:
    - -корадикал группы , т.е. пересечение всех тех нормальных подгрупп из , для которых . Если - формация, то является наименьшей нормальной подгруппой группы , факторгруппа по которой принадлежит . Если - формация всех сверхразрешимых групп, то называется сверхразрешимым корадикалом группы .
    Формация называется насыщенной, если всегда из следует, что и .
    Класс групп называется наследственным или замкнутым относительно подгрупп, если из того, что следует, что и каждая подгруппа группы также принадлежит .
    Произведение формаций и состоит из всех групп , для которых , т.е. .
    Пусть - некоторая непустая формация. Максимальная подгруппа группы называется -абнормальной, если .
    Подгруппы и группы называются перестановочными, если .
    Пусть - максимальная подгруппа группы . Нормальным индексом подгруппы называют порядок главного фактора , где и , и обозначают символом .
    Пусть - группа и - различные простые делители порядка группы . Тогда группа называется дисперсивной по Оре, если существуют подгруппы , такие что - силовская -подгруппа группы и подгруппа нормальна в для всех .

Введение

В своей работе Оре рассмотрел два обобщения нормальности, оба из которых вызывают неослабевающий интерес у исследователей и в наши дни. Во-первых, в работе были впервые введены в математическую практику квазинормальные подгруппы: следуя, мы говорим, что подгруппа группы квазинормальна в , если перестановочна с любой подгруппой из (т.е. для всех подгрупп из ). Оказалось, что квазинормальные подгруппы обладают рядом интересных свойств и что фактически они мало отличаются от нормальных подгрупп. Отметим, в частности, что согласно, для любой квазинормальной подгруппы имеет место , а согласно, квазинормальные подгруппы - это в точности те субнормальные подгруппы группы , которые являются модулярными элементами в решетке всех подгрупп группы .
Понятно, что если подгруппа группы нормальна в , то в всегда найдется такая подгруппа , что выполнено следующее условие:
Таким образом, условие является еще одним обобщением нормальности. Такая идея также была впервые рассмотрена в работе, где в частности, было доказано, что: Группа является разрешимой тогда и только тогда, когда все ее максимальные подгруппы удовлетворяют условию . В дальнейшем, в работе подгруппы, удовлетворяющие условию были названы -нормальными. В этой же работе была построена красивая теория -нормальных подгрупп и даны некоторые ее приложения в вопросах классификации групп с заданными системами подгрупп.
В данной диссертационной работе мы анализируем следующее понятие, которое одновременно обобщает как условие квазинормальности, так и условие -нормальности для подгрупп.
Определение. Подгруппа группы называется слабо квазинормальной в подгруппой, если существует такая подгруппа группы , что и , - квазинормальные в подгруппы.
Следующий простой пример показывает, что в общем случае слабо квазинормальная подгруппа не является ни квазинормальной, ни -нормальной.
Пример. Пусть
,
где . И пусть , . Тогда и . Пусть - группа простого порядка 3 и , где - база регулярного сплетения . Поскольку , и - модулярная группа, то квазинормальна в и поэтому подгруппа слабо квазинормальна в . Значит, подгруппа является слабо квазинормальной в , но не квазинормальной и не -нормальной в .
В последние годы значительно возрос интерес к квазинормальным и -нормальным подгруппам, что говорит о несомненной актуальности данного направления. Следует отметить, что многими авторами (Асаад, Бакли, Баллестер-Болинше, Ванг, Вей, Ли, Педра-Агуэла, Рамадан, А.Н. Скиба, Сринивазан и др.) получено большое число теорем связанных с изучением групп, те или иные выделенные системы подгрупп которых -нормальны или квазинормальны. Не смотря на тот факт, что квазинормальность и -нормальность являются вполне различными обобщениями нормальности, в настоящее время получено много аналогичных результатов независимо для квазинормальных и -нормальных подгрупп. В данной работе такой параллелизм устраняется на основе введенного выше понятия слабой квазинормальности.
Таким образом, задача изучения групп с заданной системой слабо квазинормальных подгрупп вполне актуальна, ее реализации посвящена данная работа.

1. Определение и общие свойства слабо нормальных подгрупп


Определение. Подгруппа
группы называется слабо нормальной в подгруппой, если существует такая квазинормальная подгруппа группы , что и .
Докажем ряд общих свойств слабо нормальных подгрупп.
Пусть - группа и . Тогда справедливы следующие утверждения:
(1) Пусть - нормальная в подгруппа. Тогда слабо нормальная подгруппа в группе тогда и только тогда, когда - слабо нормальная подгруппа в группе .
(2) Если - слабо нормальная в подгруппа, то - слабо нормальная в подгруппа.
(3) Пусть - нормальная в подгруппа. Тогда для всех слабо нормальных в подгрупп таких, что , - слабо нормальная подгруппа в группе .
Доказательство. (1) Пусть - слабо нормальная в подгруппа и - такая квазинормальная в подгруппа, что
Тогда , - квазинормальная в подгруппа и . Значит, - слабо нормальная в подгруппа.
Пусть теперь, для некоторой квазинормальной в подгруппы мы имеем и
Ясно, что
Поскольку
то
и - квазинормальные в подгруппы. Следовательно, - слабо нормальная в подгруппа.
Утверждение (2) очевидно.
(3) Пусть - слабо нормальная подгруппа в группе и - квазинормальная в подгруппа такая, что и . Ясно, что и
Значит, слабо нормальна в и ввиду (1), - слабо нормальная в подгруппа.

2. Конечные группы со слабо нормальными подгруппами


В данном разделе мы докажем некоторые критерии разрешимых, метанильпотентных, дисперсивных по Оре и сверхразрешимых групп в терминах слабо нормальных подгрупп.
Следующая теорема доказывается аналогично теореме 3.5.1.
Группа разрешима тогда и только тогда, когда , где , - подгруппы группы такие, что каждая максимальная подгруппа из и каждая максимальная подгруппа из слабо нормальны в .
Пусть - группа тогда следующие утверждения эквивалентны:
(1) - разрешима;
(2) , где , - подгруппы группы такие, что каждая максимальная подгруппа из и каждая максимальная подгруппа из слабо квазинормальны в ;
(3) , где , - подгруппы группы такие, что каждая максимальная подгруппа из и каждая максимальная подгруппа из слабо нормальны в .
Группа метанильпотентна тогда и только тогда, когда , где подгруппа -квазинормальна в , - нильпотентна и каждая силовская подгруппа из слабо нормальна в .
Доказательство. Допустим, что , где - -квазинормальна в , - нильпотентна и каждая силовская подгруппа из слабо нормальна в . Покажем, что группа метанильпотентна. Предположим, что это не верно и пусть - контрпример минимального порядка. Тогда справедливы следующие утверждения.
(1) не является нильпотентной группой.
Предположим, что нильпотентна. Так как ввиду леммы (3), субнормальна, то содержится в некоторой нильпотентной нормальной подгруппе из по лемме (2). Тогда
нильпотентна и поэтому метанильпотентна. Полученное противоречие с выбором группы доказывает (1).
(2) .
Допустим, что . Тогда ввиду леммы , нильпотентна, что противоречит (1). Значит, мы имеем (2).
(3) Если - абелева минимальная нормальная подгруппа группы , содержащаяся в , то метанильпотентна.
Пусть - -группа и - силовская -подгруппа в . Тогда и поэтому по лемме каждая силовская подгруппа из слабо нормальна в . Поскольку по лемме , -квазинормальна в ,
то условия теоремы справедливы для . Так как , то ввиду выбора группы , метанильпотентна.
(4) Условия теоремы справедливы для (это проямо следует из леммы ).
(5) разрешима.
Если , то метанильпотентна по (4)и выбору группы . Пусть теперь . Предположим, что для некоторой силовской подгруппы из мы имеем . Тогда ввиду (3), разрешима. Пусть теперь для каждой силовской подгруппы группы . Тогда по условию каждая силовская подгруппа из имеет квазинормальной дополнение в и поэтому нильпотентна. Полученное противоречие в выбором группы доказывает (5).
(6) В группе имеется в точности одна минимальная нормальная подгруппа , содержащаяся в .
Пусть - минимальная нормальная подгруппа группы , содержащаяся в . Тогда абелева согласно (5), и поэтому ввиду (3), мет и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.