На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Реферат Конические сечения Аполлония. Вывод уравнения кривой для сечения прямоугольного конуса вращения. Вывод уравнения для параболы, для эллипса и гиперболы. Инвариантность конических сечений. Дальнейшее развитие теории конических сечений в трудах Аполлония.

Информация:

Тип работы: Реферат. Предмет: Математика. Добавлен: 26.09.2014. Сдан: 2010. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


4
Министерство образования РФ
Калужский государственный педагогический университет
Им. К.Э. Циолковского
Реферат
«Конические сечения»

Калуга
Содержание:

1. Работы Аполлония
2. «Конические сечения» Аполлония.
2.1 Вывод уравнения кривой для сечения прямоугольного конуса вращения
2.2 Вывод уравнения для параболы
2.3 Вывод уравнения для эллипса и гиперболы
2.4 Инвариантность конических сечений
2.5 Дальнейшее исследование конических сечений в трудах Аполлония
2.6 Дальнейшее развитие теории конических сечений
3. Заключение
4. Список литературы
Работы Аполлония

Аполлоний родился в Пергах в Малой Азии. Расцвет его деятельности падает примерно на 210г. до н.э. В это время он жил в Александрии, куда переехал еще юношей и где учился под руководством математиков школы Евклида. Аполлоний прославился как геометр и астроном. Умер он около 170г. до н. э.
В математике Аполлоний более всего известен своими «Коническими сечениями», в которых он дал полное изложение теории, причем развил аналитические и проективные методы. Аполлоний написал трактат «О вставках», посвященный классификации задач которые решаются с помощью вставок. Такие задачи могут оказаться разрешимыми циркулем и линейкой (плоские задачи), с помощью конических сечений (телесные задачи) и с помощью других кривых (линейные). Выявление того, к какому классу относится та или иная задача, могло означать начало их алгебраической классификации. Интерес Аполлония к алгебраическим проблемам проявился и в другой его работе - «О неупорядоченных иррациональностях», в которой он продолжал классификацию Евклида.
Чисто геометрическими работами Аполлония являются: работа «О спиральных линиях», в которой он рассматривает спирали на поверхности цилиндра, «О касании», где разбирается знаменитая задача Аполлония: «Даны три вещи, каждая из которых может быть точкой, прямой или окружностью; требуется провести окружность, которая проходила бы через каждую из данных точек и касалась бы каждой из данных прямых или окружностей».
Из сочинений «О плоских геометрических местах» можно заключить, что Аполлоний рассмотрел преобразование плоскости на себя, которые переводят прямые и окружности в прямые и окружности. Частным случаем этих преобразований являются преобразования подобия и инверсии некоторой точки.
Некоторые труды Аполлония были утрачены и не дошли до наших дней.
«Конические сечения» Аполлония

«Конические сечения» состоят из восьми книг. Первые четыре, в которых, по словам автора, излагаются элементы теории, дошли до нас по-гречески, следующие три - в арабском переводе Сабита ибн Корры, последняя - восьмая книга - утеряна. Имеется реконструкция ее текста, принадлежащая английскому астроному Э. Галлею (XVIII в.).
Кривые второго порядка были впервые рассмотрены в связи с задачей удвоения куба, Менехм представил их как плоские сечения прямоугольного, тупоугольного и остроугольного конусов вращения. Такое стереометрическое представление гарантировало существование и непрерывность рассматриваемых кривых. Затем Менехм переходил к выводу основного планиметрического свойства сечения, которое древние называли симптомом (уравнение кривой).
Вывод уравнения кривой для сечения прямоугольного конуса вращения

Пусть OAB - сечение этого конуса плоскостью, проходящей через ось OL, и пусть PLK - след плоскости, перпендикулярной к образующей этого конуса (рис. 1). Тогда KM2 = AK*KB, так как AMB - полукруг. Но AK=PP?=v2LP2, а KB=v2KP2, поэтому KM2=2LP*KP.
Рис. 1
Обозначим KM через y, KP - через p, тогда получим
y2=2px. (1)
Это уравнение, или симптом, кривой, которое записывается с помощью буквенной символики, а древние записывали в словесно - геометрической форме: квадрат на полухорде KM в каждой точке равен прямоугольнику PKSR, построенному на отрезке PK оси до вершины (x) и на постоянном отрезке PR (рис. 2).
Рис. 2
Аналогично выводилось уравнение для сечений остроугольного и тупоугольного конусов, т.е. эллипса и гиперболы:
= и =, (2)
где 2a - большая ось эллипса или действительная ось гиперболы,
а р -постоянная.
В случае, когда р=а, уравнения (2) принимают вид
y2=x(2a-x) и y2=x(2a+x) (3)
первое из которых является уравнением окружности радиуса а, а второе - уравнением равносторонней гиперболы. Эллипс и гипербола (2) могут быть получены из окружности и гиперболы (3) сжатием к оси абсцисс в отношении vp/a.
Аполлоний прежде всего дает более общее определение. Во - первых, он берет произвольный круговой конус; во - вторых, рассматривает обе его полости ( что дает ему возможность изучать обе ветки гиперболы); наконец, он проводит сечение плоскостью расположенной под любым углом к образующей.
На привычном языке аналитической геометрии, можно сказать, что до Аполлония конические сечения рассматривались по отношению к прямоугольной системе координат, причем одна из осей совпадала с главным диаметром, а вторая проходила перпендикулярно к ней через вершину кривой; Аполлоний же относил кривые к любому диаметру касательной проведенной в одном из его концов, т.е. к некоторой косоугольной системе координат.
После стереометрического определения Аполлоний также дает вывод симптомов - уравнений кривых. При этом он классифицирует полученные кривые по виду определяющего их уравнения, т.е. в основу кладется точка зрения, свойственная аналитической геометрии.
Вывод уравнения для параболы

Пусть BAC - сечение кругового конус плоскостью, проходящей через ось (рис. 3), и пусть проведена плоскость GHD так, что DE перпендикулярна BC, а GH параллельна AB ( GH можно было выбрать параллельной AC). Найдем уравнение кривой DGE, полученной в сечении.
Рис. 3

Пусть К - произвольная точка этой кривой. Проведем KL параллельно DE и MN параллельно BC. Плоскость проходящая через KL и MN, будет параллельна плоскости основания и, как это ранее доказал Аполлоний, будет пересекать конус по кругу. Поэтому KL2=ML*LN.
Но , т.е. ,
, т.е. .
Значит,
Отрезок GL есть переменное расстояние проекции точки Д от вершины, члены постоянны. Аполлоний выбирает такой отрезок GF, что
Тогда KL2=GF*LG. Это и есть симптом - уравнение сечения.
Если обозначить KL=y, LG=x, GF=2p, то мы получим уравнение в привычной форме: y2=2px.
У Аполлония уравнение записывается также словесно - гречески: если GH - один из диаметров параболы, а KL - полухорда, сопряженная с этим диаметром, то Аполлоний откладывает GR = 2р перпендикулярно к GH. Тогда утверждается, что в каждой точке квадрат, построенный на LK (рис. 4), должен равняться прямоугольнику GRSL, т.е. GL*GR.
Название «парабола» происходит от названия Аполлония ???????? (приложение), так как задача о построении точки этой кривой сводится к задаче о приложении (до Аполлония параболу называли сечением прямоугольного конуса вращения).
Рис. 4

Вывод уравнения для эллипса и гиперболы

Аналогично Аполлоний получает уравнение эллипса и гиперболы.
Так, для эллипса доказывается, что LK2= пл. GLL?G? (рис. 5), где GH=2a - некоторый диаметр эллипса, LK - полухорда, сопряженная с ним, GR=2p - постоянная, причем GR перпендикулярна GH. Чтобы перейти к более привычной форме записи, заметим, что
Рис. 5
,
т.е.
,
или
.
Таким образом, задача о по и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.