На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Диплом Понятие двойного и тройного интеграла. Кратные интегралы в криволинейных координатах. Геометрические и физические приложения кратных интегралов. Криволинейные и поверхностные интегралы: понятия и способы вычисления. Геометрические и физические приложения.

Информация:

Тип работы: Диплом. Предмет: Математика. Добавлен: 27.02.2009. Сдан: 2009. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


29
Министерство образования и науки Российской Федерации
Курсовая работа
По дисциплине: Высшая математика
(Основы линейного программирования)
На тему: КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Выполнил: ______________
Преподаватель:___________
Дата ___________________
Оценка _________________
Подпись ________________
ВОРОНЕЖ 2008
Содержание

1 Кратные интегралы
1.1 Двойной интеграл
1.2 Тройной интеграл
1.3 Кратные интегралы в криволинейных координатах
1.4 Геометрические и физические приложения кратных интегралов
2 Криволинейные и поверхностные интегралы
2.1 Криволинейные интегралы
2.2 Поверхностные интегралы
2.3 Геометрические и физические приложения
Список используемой литературы
1 Кратные интегралы

1.1 Двойной интеграл

Рассмотрим в плоскости Оху замкнутую область D, ограниченную линией L. Разобьем эту область какими-нибудь линиями на п частей , а соответствующие наибольшие расстояния между точками в каждой из этих частей обозначим d1, d2, ..., dn. Выберем в каждой части точку Рi.
Пусть в области D задана функция z = f(x, y). Обозначим через f(P1), f(P2),…, f(Pn) значения этой функции в выбранных точках и составим сумму произведений вида f(Pi)?Si:
, (1)
называемую интегральной суммой для функции f(x, y) в области D.
Если существует один и тот же предел интегральных сумм (1) при и , не зависящий ни от способа разбиения области D на части, ни от выбора точек Pi в них, то он называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области D и обозначается
. (2)
Вычисление двойного интеграла по области D, ограниченной линиями x = a, x = b ( a < b ), где ?1(х) и ?2(х) непрерывны на [a, b] (рис. 1) сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов, или так называемого двукратного интеграла:
Рис. 1
= (3)
1.2 Тройной интеграл

Понятие тройного интеграла вводится по аналогии с двойным интегралом.
Пусть в пространстве задана некоторая область V, ограниченная замкнутой поверхностью S. Зададим в этой замкнутой области непрерывную функцию f(x, y, z). Затем разобьем область V на произвольные части ?vi , считая объем каждой части равным ?vi , и составим интегральную сумму вида
, (4)
Предел при интегральных сумм (11), не зависящий от способа разбиения области V и выбора точек Pi в каждой подобласти этой области, называется тройным интегралом от функции f(x, y, z) по области V:
. (5)
Тройной интеграл от функции f(x,y,z) по области V равен трехкратному интегралу по той же области:
. (6)
1.3 Кратные интегралы в криволинейных координатах

Введем на плоскости криволинейные координаты, называемые полярными. Выберем точку О (полюс) и выходящий из нее луч (полярную ось).
Рис. 2 Рис. 3
Координатами точки М (рис. 2) будут длина отрезка МО - полярный радиус ? и угол ? между МО и полярной осью: М(?,?). Отметим, что для всех точек плоскости, кроме полюса, ? > 0, а полярный угол ? будем считать положительным при измерении его в направлении против часовой стрелки и отрицательным - при измерении в противоположном направлении.
Связь между полярными и декартовыми координатами точки М можно задать, если совместить начало декартовой системы координат с полюсом, а положительную полуось Ох - с полярной осью (рис. 3). Тогда x=?cos?, у=?sin? . Отсюда , tg.
Зададим в области D, ограниченной кривыми ?=?1 (?) и ?=?2 (?), где ?1 < ? < ?2 , непрерывную функцию z = f(?, ?) (рис. 4).
Рис. 4
Тогда
(7)
В трехмерном пространстве вводятся цилиндрические и сферические координаты.
Цилиндрические координаты точки Р(?,?,z) - это полярные координаты ?, ? проекции этой точки на плоскость Оху и аппликата данной точки z (рис.5).
Рис.5 Рис.6
Формулы перехода от цилиндрических координат к декартовым можно задать следующим образом:
x = ? cos?, y = ? sin?, z = z. (8)
В сферических координатах положение точки в пространстве определяется линейной координатой r - расстоянием от точки до начала декартовой системы координат (или полюса сферической системы), ? - полярным углом между положительной полуосью Ох и проекцией точки на плоскость Оху, и ? - углом между положительной полуосью оси Оz и отрезком OP (рис.6). При этом
Зададим формулы перехода от сферических координат к декартовым:
x = r sin? cos?, y = r sin? sin?, z = r cos?. (9)
Тогда формулы перехода к цилиндрическим или сферическим координатам в тройном интеграле будут выглядеть так:
, (10)
где F1 и F2 - функции, полученные при подстановке в функцию f вместо x, y, z их выражений через цилиндрические (8) или сферические (9) координаты.
1.4 Геометрические и физические приложения кратных интегралов

1) Площадь плоской области S: (11)
Пример 1.
Найти площадь фигуры D, ограниченной линиями
у = 2, у = 5.
Решение.
29
Эту площадь удобно вычислять, считая у внешней переменной. Тогда границы области задаются уравнениями и
где вычисляется с помощью интегрирования по частям:
Следовательно,
2) Объем цилиндроида, то есть тела, ограниченного частью поверхности S: z = f(x,y) , ограниченной контуром L, проекцией D этой поверхности на плоскость Оху и отрезками, параллельными оси Оz и соединяющими каждую точку контура L с соответствующей точкой плоскости Оху:
(12)
3) Площадь части криволинейной поверхности S, заданной уравнением z = f(x,y), ограниченной контуром L:
(13)
где D - проекция S на плоскость Оху.
4) Момент инерции относительно начала координат О материальной плоской фигуры D:
(14)
Пример 2.
Найти момент инерции однородной круглой пластинки
(x - a)2 + (y - b)2 < 4b2 относительно начала координат.
Решение.
В силу однородности пластинки положим ее плотность ?(х,у) = 1.
29
Центр круга расположен в точке C(a, b), а его радиус равен 2b.
Уравнения границ пластинки имеют вид
Вычислим каждый из полученных интегралов отдельно.
Для вычисления интеграла I1 сделаем замену:
при x = a - 2b при x = a + 2b
Для вычисления интеграла I2 преобразуем подынтегральную функцию по формуле разности кубов:
Тогда
Следовательно,
Моменты инерции фигуры D относительно осей Ох и Оу:
(15)
5) Масса плоской фигуры D переменной поверхностной плотности ? = ? (х, у):
(16)
Пример 3.
Найти массу пластинки D плотности ? = ух3, если
Решение.
29
Координаты центра масс плоской фигуры переменной поверхностной плотности ? = ? (х, у):
(17)
Пример 4.
Найти центр тяжести однородной пластины D, ограниченной кривыми у2 = ах и
Решение.
Так как пластина однородна, т.е. ее плотность постоянна, то можно принять ее за единицу.
29
Тогда
Найдем массу пластины, а для этого определим абсциссу точки пересечения ограничивающих ее линий:
Соответственно
6) Объем тела V:
(18)
Пример 5.
Найти объем тела V, ограниченного поверхностями
Решение.
Найдем проекцию тела на плоскость Оху (при этом заметим, что плоскость проектируется на эту плоскость в виде прямой х = 0):
29
Определим абсциссу точки пересечения кривых у = х2 и х + у = 2:
посторонний корень. Тогда, используя формулу (18), получаем:
7) Масса тела V плотности ? = ? (x, y, z):
(19)
8) Моменты инерции тела V относительно координатных осей и начала координат:
(20)
(21)
где ? (х, y, z) - плотность вещества.
Статические моменты тела относительно координатных плоскостей Oyz, Oxz, Oxy:
(22)
9) Координаты центра масс тела:
II. Криволинейные и поверхностные интегралы

2.1

Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.