На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Лекции Модели ценообразования опционов

Информация:

Тип работы: Лекции. Добавлен: 01.05.2012. Сдан: 2011. Страниц: 10. Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%

Описание (план):


                      ITinvesV
                      Investment с 0 hi p а п у |
ЗАО «Инвестиционная  компания «Ай Ти Инвест»
Цикл  лекций «Торговля  на срочном рынке»
Лекция  № 7 В.В. Твардовский
Модели  ценообразования  опционов
Москва 2007
©Твардовский В.В., ITinvest, 2006-2007
Оглавление
    Оглавление 2
    Принятые  обозначения: 2
    Еще раз про фьючерсы и опционы 2
    Основной  принцип арбитража и стоимость  денег 3
    Сделка  «коробка» ("Box Trade") и паритет опционов 4
    Паритет Call-Put опционов с учетом времени 5
    Примеры простого распределения будущих цен при  вычислении европейского
    опциона Call 6
    Общий пример оценки опциона Call 7
    Биномиальная  модель Кокса-Росса-Рубинштейна 8
    Модель  Блэка-Шоулза (Black-Scholes) 11
    Модель  Блэка 12
    Модель  Паскаля оценки ближних опционов 13
    Сравнение моделей 15
    Влияние фрактальности рынка на оценку опционов 15
Принятые  обозначения:
    S - текущая рыночная цена базисного актива (Spot) F - текущая рыночная цена фьючерса на актив Х- цена страйк R - безрисковая ставка
    Т - срок до экспирации в годах (отношение числа рабочих дней до экспирации к 250 (или 252) - числу рабочих дней в году)
    N(d) - интегральная функция нормального распределения
    о, oY - сигма, волатильность (годовая),
    Od - дневная волатильность
    Call, Рс - теоретическая стоимость опциона CALL в той или иной модели. Put, Рр - теоретическая стоимость опциона PUT в той или иной модели.
    Д Р - дельта опциона PUT (первая производная цены опциона по цене базисного актива - F или S)
    Дс - дельта опциона CALL
    Г - гамма опциона (вторая производная цены опциона  по цене актива - F или S) 0 - тэта, производная цены опциона по времени р - ро, производная цены опциона по процентной ставке Vega - вега, производная цены по волатильности.
Еще раз про фьючерсы и опционы
Напомним  определения, данные нами фьючерсам  и опционам в предыдущих лекциях.
Фьючерс - это не товар, не ценная бумага, а  зарегистрированная маклером электронная  запись о принятых участником торгов «обязательствах» по поставке или принятию базисного актива в будущем.
 
Опцион - это право купить или продать по определенной цене подлежащий актив в или  до определенного  времени в будущем. В качестве подлежащего  актива могут использоваться фьючерсы, акции, товары, валюты.
Американский  стиль опционов позволяет держателю (покупателю) опциона реализовать  свое право в любой день до даты экспирации. Европейский стиль опционов позволяет держателям опционов реализовать  свое право лишь в единственный день - день истечения опциона или в  день экспирации.
Основной  принцип арбитража  и стоимость денег
Для того чтобы  вывести формулу цены любого опциона  нам достаточно будет двух понятий: стоимости денег и принципа арбитража. Поэтому сейчас самое время вспомнить  о том, что это за такие понятия.
Основной  принцип арбитража  гласит: «Не должно быть бесплатных обедов». Иными словами: экономический эффект (илирасходы) от двух разных действий, приводящих к одинаковому конечному состоянию, должны быть одинаковы.
Например, инвестор, желающий владеть акцией через срок Т, может это сделать  двумя способами: либо сейчас по цене Spot, либо в будущем по текущей форвардной цене F, заключив контракт сейчас же.
В последнем  случае инвестор может положить деньги в банк под процент R и заработать за срок Т дополнительный доход:
    Spot\ eRT 1 )
Этот доход - «бесплатный обед», - должен быть «нивелирован»  текущей форвардной ценой поставки F. Цена F должна быть подобрана так, чтобы инвестору не было никакой разницы по какому из двух путей приобретать акцию, а это будет возможно только в том случае, если цена F будет равна:
    F — Spot-eRT
В формуле  форвардной цены фигурирует процентная ставка R. Обычно это так называемая безрисковая ставка. Эта же величина вместе с формулой определяет стоимость денег и отражает тот простой факт, что деньги, полученные сегодня, стоят дороже тех денег, что будут получены завтра:
    FV—PV-eRT - PV •( 1+R )ТPV-(l + R)?'250
Здесь FV - future value (будущая стоимость инвестиций), а PV -present value (текущая стоимость инвестиций) заменяют понятия форвардной F и текущей цены S.
Сколько должны «стоить» сегодня будущие  доходы? Ответ дает «внутренняя стоимость»:
    PV — FV-e~ RT
Вышеприведенных формул достаточно, чтобы вывести  теоретическую цену опциона для  любой модели. Однако начнем мы с  так называемой сделки «коробка», которая  поможет нам понять вывести формулу  паритета опционов пут и колл.
 

 

Сделка  «коробка» ("Box Trade") и паритет опционов
Рассмотрим  трейдера, купившего опцион колл и  одновременно продавшего опцион пут  с тем же самым страйком X. Такой  портфель обладает графиком прибылей-убытков  при исполнении точно таким же, как и простая длинная позиция, купленная по цене X. Поэтому такая позиция называется синтетический Лонг:
    Long Call в Short Put = Synthetic Long:
Если  к этой позиции добавить проданный  базисный актив, т.е. шорт, то график прибылей и убытков не будет зависеть от цены базисного актива. Такая комбинация зовется бокс-трейд или сделка коробка. Название возникло из того факта, что трейдер открывший позицию  по длинному опциону колл, короткому  опциону колл и короткой позиции  по базисному активу этим как бы запирает «прибыль» и делает ее независимой  от изменения будущих цен базисного  актива:
    Box Trade = Long Call в Short Put в Short = Synthetic Long в Short
Проверим  это утверждение. Пусть S - спот,Х-страйк, Pc - цена CALL, Pp - цена PUT,
S(T) - цена актива в момент (T) экспирации. Считаем P&L сделки в момент экспирации
еслиS (T )> X еслиS (T )< X
 
 
еслиS (T )> X еслиS (T )< X
P Л L (Short)—S — S (T)
 
Складывая правые и левые части этих равенств, получим выражение для P&L сделки «коробка» в момент экспирации:
    P Л L (Box) — S — X + Pp — Pc
Видим, что прибыль по сделке «коробка»  не зависит от будущей цены базисного  актива S(T), а зависит лишь от тех условий, на которых были совершены три сделки, образовавшие «коробку», а именно, цен опционов Pc и Pp, а также уровня рынка S и цены страйк X.
Если  эта прибыль положительна, то имеет  смысл продать опцион пут, на вырученные деньги купить опцион колл и захеджировать  полученный синтетический лонг шортом. Это типичный арбитраж, приводящий к гарантированной прибыли, т.е. к  «бесплатным обедам». Массовые действия арбитражеров при положительном  значении P&L приведут к тому, что цены на опционы пут и колл станут такими, чтоб не было возможным получить гарантированную прибыль, т.е. цены изменятся так, что P&L окажется равным нулю.
Наоборот, если P&L отрицательно, то арбитражеры будут совершать обратные операции: продавать опционы колл, покупать путы (что в совокупности дает синтетический шорт) и хеджировать этот синтетический шорт реальным лонгом. В результате таких действий вновь цены изменятся так, что P&L окажется равным нулю.
SmartTrade
 


При этом из условия P&L = 0, приравнивая левую часть предыдущего уравнения нулю, получим
    Pc — Pp=S — X
Это условие, связывающее цены опционов колл и  пут со страйком и с текущей  ценой базисного актива.
Паритет Caii-Put опционов с учетом времени
Формула, выведенная выше и показывающая связь  между опционами колл и пут  с одним страйком, к сожалению, является приближенной. Тем не менее, ее простота позволяет ее использовать для ближних опционов T < 1-3 месяца и для малых ставок R < 5-7%.
Точная  формула, связывающая цены опционов колл и пут может быть выведена с учетом времени, оставшегося до погашения Tи стоимости денег R.
Вновь обратимся к сделке «коробка»  и отделим в формулах прибылей и убытков по каждой ее части (колл, пут и шорт) те деньги, которые  будут получены при исполнении от тех, что получаются или выплачиваются  сегодня. Будущие денежные потоки необходимо дисконтировать на ставку exp(RT). Тогда выражения для P&L примут следующий вид:
    P Л L (Cell+)=[<S <T)— X )'e—RT— Pc есл"1 <T )> X
            — Pc еслиЬ ( T )<X
    P AL (Put ) = | PP есmS(T)>X
          Pp + (S (T) — X)-e—RT если S( T)< X
    P Л L (Short )=S S (T )-e~RT
Складывая эти три равенства, получаем формулу  для определения P&L сделки «коробка»:
    P ЛL (Box) = S — X-e —RT + Pp — Pc
Приравнивая эту величину нулю, получаем формулу  паритета опционов
    Pс  — Pp=S — X -e~RT
Это очень  важная формула. Она позволяет, используя  рыночные стоимости одного опциона, оценить стоимость опциона другого  класса.
Другое  ее применение состоит в следующем. Можно вычислить теоретическую  стоимость, скажем опциона колл, и  получить с ее помощью формулу  для определения теоретической  стоимости опциона пут.
И, наконец, важное следствие из нее состоит  в том, что премии ничейных опционов колл и пут близки.
 

 

Примеры простого распределения  будущих цен при  вычислении европейского опциона Call
    Формула паритета опционов колл и пут позволяет  искать лишь теоретическую стоимость  опционов колл (что гораздо легче, чем оценивать путы). Именно этим мы теперь, наконец, и займемся. Для  начала приведем два простых примера  вычисления стоимости опционов колл на акцию, цена которой через год  может принимать лишь три возможных  значения, с вероятностями, показанными  в таблице:
    Цена
    Вероятность
    95 $
      25%
    105 $
      50%
    115$
      25%
 
    Для простоты будем считать, что R=10%, T = 1 год, а текущая стоимость акции составляет 100$. Таким образом, будущее среднее значение цены составляет 105$, а среднеквадратичное отклонение цены от среднего о = 9.52%.
    Нам предлагают купить европейский опцион колл на эту акцию со страйком 104$. По какой цене это имеет смысл? Какова стоимость опциона?
    Ответ на этот вопрос дает будущая стоимость  денежных потоков, порождаемая таким  опционом. А она такова: при цене акции 95$ опцион вне денег и стоит 0. При цене акции 105 опцион стоит 1$=105$ - 104$. Наконец, при цене акции 115$ опцион будет стоить 11$=115$ - 104$.
    Таким образом, будущие ожидаемые выплаты  по опциону составят:
    FV= 0$*25%+(105$ - 104$)*50% + (115$ - 104$)*25% = 3.25 $;
Цена
Вероятность
    Однако  это только будущие, ожидаемые доходы. Сегодня эти доходы, как мы знаем, стоят дешевле. Для того чтобы  найти текущую стоимость этих будущих доходов их
    необходимо  дисконтировать по ставке R на величину ee =0 .9048 • В результате получим:
      PV — FV-e RT — 2 .94 5
    Это и есть текущее значение стоимости  опциона колл в рассматриваемом  случае.
    Трактовать  эту величину нужно следующим  образом. Если инвестор очень много  раз будет покупать предлагаемый опцион по цене 2.94$, то в результате он заработает прибыль, не превосходящую  той, которую он получил бы вкладывая  деньги в казначейские обязательства  под фиксированный процент R.
    Как видим, рассчитать текущую стоимость  опциона достаточно просто. Для этого  нужно лишь знать будущее распределение  цен базисного актива.
    Рассмотрим  еще один пример, а ту же самую  акцию. Все условия прежние: R=10%, T = 1 год, текущая цена акции S= 100$, страйк Х= 104$. Однако распределение цен через год будем предполагать другим, а именно: 

    85 $
      25%
    105 $
      50%
    125$
      25%
 
Видно, что будущая средняя (ожидаемая) цена при этом не изменилась и осталась прежней - 105$, а дисперсия и среднеквадратичное отклонение выросли. Сигма теперь составляет 19.5%.
Какова  теперь будет стоимость опциона? Ответ находится также легко. Сначала находим ожидаемые будущие  прибыли по опциону, взвешенные по вероятностям, что дает нам будущую стоимость  инвестиции в опцион:
    FV= 0$*25%+(105$ - 104$)*50%+ (125$ - 104$)*25% = 5.75 $;
Затем дисконтируем найденную величину для  определения текущей стоимости:
      PV — FV-e—RT—5 .205
Это и  есть теоретическая стоимость опциона  колл в рассмотренном примере. Видно, что рост волатильности приводит к росту опционной премии.
Общий пример оценки опциона  Call
Рассмотрим  общий пример. Пусть нам нужно  оценить стоимость опциона колл, зная распределение цен базисного  актива в момент экспирации. Это  распределение показано на нижнем рисунке  слева.
 
По горизонтальной оси отложены будущие возможные  цены (курс) базисного инструмента  S(T), а по вертикальной оси - вероятности их реализации. Кроме того, мы знаем, что опцион при исполнении дает прибыль равную его внутренней стоимости, как это показано на верхнем рисунке справа. Таким образом, нужно перемножить прибыли, показанные на рисунке справа на соответствующие вероятности левого рисунка. Результат этого перемножения представлен на рисунке ниже. Видно, какой вклад в будущую стоимость дает каждое возможное значение цены. Хотя более высокие будущие цены дают большую стоимость опциона колл, но вероятность их
 


появления ниже, поэтому столбцы на результирующей гистограмме сначала возрастают, а потом, по мере падения вероятности - убывают.
 
Теперь  для получения премии опциона  в рассматриваемой модели достаточно просуммировать результаты, показанные на последнем рисунке и дисконтировать их для приведения к текущей стоимости.
Биномиальная  модель Кокса-Росса-Рубинштейна
Способ  оценки опциона колл, рассмотренный  выше, включает в себя все, что нужно  для расчета. При этом молчаливо  подразумевается, что вид будущего распределения цен нам хорошо известен. Очевидно что это не так. В поисках наиболее адекватного  вида распределения и состоит  большая часть работы опционных  исследователей.
Простейший  вид этого распределения представляет собой так называемое биномиальное распределение, использованное впервые  Коксом, Россом и Рубинштейном. Это  довольно простой численный способ смоделировать будущее движение цен, который может быть выполнен в простейших электронных таблицах.
Суть  такого моделирования состоит в  разбиении времени, оставшегося  до экспирации на N шагов и предположении, что цена базисного актива на каждом шаге может либо двинуться вверх на определенную величину Pт = P0eN с вероятностью р, либо вниз, тоже на некоторую определенную величину с вероятностью q=\ -р, как показано на
рисунке.
Будем считать, что доходность на каждом шаге определяется параметром N, так что цена на каждом следующем шаге может либо вырасти в е5 раз, либо уменьшиться в это же число раз. Таким образом, мы имеем в модели три параметра: N - число шагов, которое мы задаем исходя из собственных представлений о нужной нам точности, а также N - относительное изменение цены на каждом шаге и вероятность повышения цены р. Последние два параметра должны быть найдены исходя из времени, оставшегося до срока Т, процентной ставки R и волатильности базисного актива о.
 


Для того, чтобы найти эти выражения  заметим, что окончательные, на шаге N цены могут принимать только следующие значения Pn г = P0е12г-N, г е [0, N] с вероятностями, определяемыми биномиальным распределением:
      z-^i i N—i
    WN, i -CnP 0
Легко вычислить получаемую при каждой цене доходность:
 
N, i
Rt (N )- In
P
0
-(2i — N)N ,i = 0,l ¦¦¦, N,
 
а также  найти среднюю или ожидаемую  доходность:
                п
    R=Z wn,,R (N )=N (р— q)N — RT, T-
                252
Из этого  уравнения мы получаем первую связь  между неизвестными пока р и N с одной стороны и известными N, T и R. Вторая связь находится из анализа дисперсии доходностей:
    D\Rt (?)-тт2, от-oD VОу ^2Е2-ty JT
Считая, что годовая ожидаемая волатильность, обозначаемая здесь т Y , нам известна, получим второе уравнение:
    D\R, (п)| = D{(2i — N) NJ = 451 Npq-o 2 T
Разрешая  эти уравнения относительно неизвестных  величин р и N , окончательно будем иметь:
 
Это все  параметры, которые используются в  биномиальной модели.
Теперь  посчитаем будущие выплаты или  прибыль по опциону при исполнении в рассмотренной модели. Вспомним, что это просто взвешенная по вероятности  сумма внутренних стоимостей опциона:
    FV- I (Pn, j — X)
      PNJ> X
Последнее, что осталось сделать - это привести будущую стоимость к текущим  значениям, что и дает справедливую стоимость европейского опциона  колл для биномиальной модели:
        —RT
    Pc - FV-е
 

 

                      ITinvest
                      lnvestriiEn[ company |
Последние две формулы легко программируются  и считаются во всех электронных  таблицах.
Ниже  приведено типичное распределение  доходностей, полученное с помощью 10- тишагового биномиального распределения.
 
Практика  показывает, что для получения  надежной и достаточно точной оценки стоимости ближних опционов достаточно выбрать число шагов от 10 до 30. Для дальних опционов, для больших  значений безрисковой ставки, а также  для акций с большой волатильностью, число шагов может быть увеличено.
Чем большее  количество шагов N выбрать для биномиальной модели, тем больше результаты будут похожи на те, что получаются с помощью нормального Гауссова распределения доходностей. Ничего странного в этом нет, поскольку нормальное распределение - это предельный случай при N биномиального распределения.
Ниже  на рисунке представлены два нормальных (Гауссовых) распределения доходности с различными значениями волатильности (среднеквадратичного отклонения сигма).
 
 
 


Именно  такая форма распределения будущих  доходностей впервые была использована Блэком и Шоулзом для построения модели стоимости опцинов, известной  теперь как модель Блэка-Шоулза.
Модель  Блэка-Шоулза (Biack-Schoies)
На предыдущем рисунке было показано распределение  доходностей, подчиняющихся нормальному  или Гауссовому распределению N(x):
 
1
x ~2
р(x ) =
exp
N(x)=j (у )dy
 
это распределение  симметрично относительно центра, допускает  положительные и отрицательные  значения. Если, исходя из этого распределения  доходностей, вычислить распределение  цен, то окажется, что оно будет  уже так называемым логарифмическим  нормальным распределением. Соответствующие  графики приведены на рисунке  ниже:
 
Используя это распределение цен, Фишер  Блэк и Майрон Шоулз нашли следующую  формулу для вычисления теоретической  стоимости опциона колл:
    Call=S-N (d т)-X-e~RT-N (d 2)
_ln(S/X) + (R + 0 .5 -о1)T
где функция  N(x) определена выше, а ее аргументы суть
    _ln(S/X) + (R-0 .5 -т2)T
о V т и d 2 т VT
-rT
Для оценки опциона пут используем формулу  паритета, что немедленно дает:
d т =
Put = Call - S + X •e
Преимущество  этих формул и модели Блэка-Шоулза перед  биномиальной моделью состоит в  том, что цену опциона можно «увидеть», пощупать руками, а также получить
 

 

все необходимые  «греки» в аналитическом виде. В частности, дельты опционов колл и  пут ассоциируются с функцией нормального распределения:
    Ac
    и т.д.................


Перейти к полному тексту работы


Скачать работу с онлайн повышением уникальности до 90% по antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru


Смотреть полный текст работы бесплатно


Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.