На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Диплом Систематизация сведений о линейных и квадратичных зависимостях и связанных с ними уравнениях и неравенствах. Выделение полного квадрата, как метод решения некоторых нестандартных задач. Свойства функции х. Уравнения и неравенства, содержащие модули.

Информация:

Тип работы: Диплом. Предмет: Математика. Добавлен: 25.06.2010. Сдан: 2010. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


3
Линейные и квадратичные зависимости, функция/х/ и связанные с ними уравнения и неравенства

Дипломная работа по алгебре
22.06.2008
Сурскова Т.А.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Глава 1. Линейная зависимость и связанные с ней уравнения и неравенства
1.1 Линейная функция
1.2 Линейные уравнения и неравенства
1.3 Решение линейных неравенств
Глава 2. Квадратичная зависимость и связанные с ней уравнения и неравенства
2.1 Квадратный трехчлен
2.2 Корни квадратного трехчлена
2.3 Зависимость расположения графика функции квадратного трехчлена от а, D
2.4 Решение квадратных неравенств
2.5 Разложение квадратного трехчлена на линейные множители
2.6 Выделение полного квадрата, как метод решения некоторых нестандартных задач
2.7 Равносильность и следствие в задачах с квадратным трехчленом
Глава 3. Функция и связанные с ней уравнения и неравенства
3.1 Определение и свойства функции
3.2 Уравнения и неравенства, содержащие модули
Заключение
Литература
Приложение
Введение

Актуальность исследования.
В настоящее время в научно-методической литературе и периодических изданиях активно обсуждается «качество» математических знаний, приобретаемых учащимися общеобразовательных школ. Методисты, учителя математики, студенты педагогических институтов задают себе один и тот же вопрос: «Почему многие ученики не чувствуют взаимосвязи между изучаемыми темами, не умеют применять пройденный теоретический материал к решению задач, нередко через несколько уроков теряя приобретённые умения, так и не ставшие навыками?»
Данная работа не даёт исчерпывающего ответа на этот сакраментальный вопрос. (Если такой ответ вообще существует.) Однако основные принципы этой работы и её задачи являются своеобразной альтернативой наиболее часто применяемой системе изложения математических сведений.
Изучение линейных и квадратичных зависимостей, функции |х| -- всё чаще предлагаются абитуриентам на вступительных экзаменах самых различных ВУЗов. Но эти темы по-прежнему вызывают затруднения у многих старшеклассников. Предпринятая в данной работе попытка система-тизировать и обобщить теоретический материал по этой теме (как входящий в рамки школьного курса, так и выходящий за его пределы) может стать примером системного подхода к курсу алгебры и упомянутой выше альтернативой простому нарешиванию задач.
Кроме качества приобретённых знаний, выпускнику современной школы жизненно необходимо умение мыслить самостоятельно. Современному молодому человеку необходимо умение жить в мире, где думать - не развлечение, а обязанность. Поэтому существенная часть данной работы посвящена квадратичной зависимости и уравнениям и неравенствам, связанными с ней. Данная тема позволяет развить познавательную активность, творческую самостоятельность учащихся, интуитивное мышление, умение рассуждать и спорить. Нельзя сказать, что методисты и педагоги-учёные обходили своим вниманием этот вопрос. Однако в данной теме всегда находится что-то новое и интересное, позволяющее находить нестандартное решение.
Опираясь на всё выше сказанное, сформулируем задачи исследования.
Задачи.
1. Обобщить и систематизировать сведения о линейных и квадратичных зависимостях и связанных с ними уравнениями и неравенствами.
Показать выделение полного квадрата, как метод решения некоторых нестандартных задач.
Показать эффективность применения данного метода к решению задач.
Проанализировать методико-педагогическую литературу по теме
« Линейные и квадратичные зависимости»
5. Выполнить подборку задач, для которых решение сводилось бы к линейным или квадратичным зависимостям.
Теоретическая и практическая значимость.
Теоретическая значимость исследования состоит в систематизации и обобщении данной темы. Теоретически значимым также являются проведённый анализ методико-педагогической литературы по теме «Линейные и квадратичные зависимости».
Практическая значимость работы заключается в возможности использования в решении задач доказанных формул и утверждений. При этом может быть использована выполненная подборка задач, для которых метод выделения полного квадрата является рациональным. Материалы этой работы могут быть полезны учителям школ и студентам педагогических институтов.
Структура работы.
Работа состоит из введения, трёх глав, заключения и приложения, включает страниц машинописного текста и имеет список литературы из наименований.
Глава 1. Линейная зависимость и связанные с ней уравнения и неравенства

1.1 Линейная функция

Определение. Функция, задаваемая формулой у = k·х + b, называ-ется линейной.
В школьной программе доказывается, что графиком линейной функции на плоскости является прямая, и обратно, что любая прямая на плоскости есть график некоторого линейного уравнения a·x +b·y +c = 0.
Уравнение у = k·х + b называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k







Приведенные выше два рисунка иллюстрируют связь параметров k и b с особенностями расположения прямой в декартовой системе координат. В частности, число k = tg б называется угловым коэффи-циентом прямой.
В данном случае . Если k = 0, то , линей-ная функция постоянна и задает прямую, параллельную оси ОХ и | проходящую через точку (0,b) на оси OY.
Перечислим основные свойства линейной функции.
Ее областью определения является множество R.
Если k 0 , то множеством значений линейной функции также является множество R, если k = 0, то множество значений -- одноточечное множество b.
Если k > 0, то - монотонно возрастающая функция на R, если k < 0, то - монотонно убывает на R.
Если b = 0, то - нечетная функция, у = b - четная функция; если же , то не является четной или нечетной функцией.
Рассмотренные выше случаи не позволяют задать прямую, параллельную оси OY. Поэтому условимся, что уравнение х0 задает
множество всех точек вида (х0, у), где у R, то есть задает прямую
параллельную оси OY и проходящую че рез точку о, 0) на оси ОХ.
Чтобы построить прямую, задаваемую уравнением , достаточно найти две точки (х0, у0) и (х1, у1), удовлетворяющие этому уравнению: у0 = kх0 + b; у1 = kх1 + b и провести через них искомую прямую.
1.2. Линейные уравнения и неравенства

Рассмотрим простейшее уравнение с двумя параметрами а и b --
линейное ах = b и сразу же выпишем ответ:
ах = b
Ответ:
1) если а 0, то уравнение имеет единственное решение х0 = .
2) если , то решения заполняют всю числовую прямую
3) если , то нет решений.
1.3 Решение линейных неравенств
Сразу же выпишем решения в виде готового правила:
1) ах > b, если a > 0, то x >
если a < 0, то x <
если a = 0 и b < 0, то x - любое число,
если a = 0 и b0, то решений нет.
2) ах < b, если a > 0, то x <
если a < 0, то x >
если a = 0 и b 0, то решений нет,
если a = 0 и b>0, то x - любое число.
Всегда полезно помнить следующее основное правило:
При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
При умножении или делении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства не изменяется.
1.4 Квадратный трехчлен

Определение. Квадратным трехчленом называется функция
Выделение полного квадрата путем тождественных преобразований.
Иначе можно записать в виде:
Пример 1.


Пример 2.


Определение. Число называется дискриминантом квадратного трехчлена
1.5 Корни квадратного трехчлена
Нужно найти корни уравнения
Выделив полный квадрат, получим формулу (*), откуда
Мы должны рассмотреть три случая:
1) , тогда
В этом случае уравнение имеет два различных корня:
2) , тогда
в силу (*), то есть - два совпадающих корня.
3) ,
Тогда
не имеет вещественных корней, так как
Итак, доказана теорема:
Теорема 1. Пусть имеется уравнение если
1) , то уравнение не имеет вещественных решений.
2) , то уравнение имеет два равных корня
3) , то уравнение имеет два различных корня
Замечание: если
В этом случае корни удобно находить по формуле
Теорема 2. Если а > 0, то функция монотонно убывает для и монотонно возрастает для
Доказательство теоремы:
Пусть (1),
где произвольные фиксированные числа, тогда из (1) получаем
а это по (**) есть , что требовалось доказать.
1) В этом рассуждении использовано монотонное возрастание функции на множестве
2) Докажите, что функция монотонно возрастает на множестве
Аналогично доказывается монотонное возрастание функции на
Теорема 3. Если а < 0, то функция монотонно возрастает для и монотонно убывает для
Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы 2.
Следствие.
Если а > 0, то для любого х
Если а < 0, то для любого х
При а > 0
При а < 0
min и max достигаются при x =.
Точка называется вершиной параболы.
1.6 Зависимость расположения графика функций квадратного трехчлена от a, D

Определение. График квадратного трехчлена называется параболой.

Нарисуем эскизы парабол для шести типичных и существенно различных комбинаций значений параметров a и D.
1)




2)
3)
4) )
5)
6)
1.7 Решение квадратных неравенств

Опираясь на иллюстрации, сформулируем следующее правило решения квадратных неравенств:
Неравенство
Ответ



Нет решений (или )
x =

x =
Нет решений (или )
Нет решений (или )
x =
Нет решений (или )
1.8 Разложение квадратного трехчлена на линейные множители

Теорема 4.
1) Если D > 0, то
2) Если D = 0, то .
3) Если D < 0, то нельзя разложить на линейные множители, используя в качестве коэффициентов этих линейных множителей вещественные числа.
Пример 1.
Пример 2.
Пример 3. .
Укажем и другие связи между корнями и коэффициентами квадратного трехчлена.
Теорема 5. (Виета)
Если , - вещественные корни уравнения , то
Теорема 6. (Обратная теорема Виета)
Если , удовлетворяют условиям системы:
то , корни уравнения .
Часто встречаются задачи, в которых требуется выяснить взаимное расположение какого-либо числа и корней квадратного трехчлена на числовой оси.
Следующая теорема позволяет существенно упростить решение подобного рода задач. Отметим, что для уменьшения числа разбираемых различных случаев мы переходим к рассмотрению приведенного квадратного уравнения, которое получается после деления всех коэффициентов уравнения на старший коэффициент a.
Теорема 7.
Пусть , - вещественные корни уравнения число.
Для того, чтобы
Необходимо и достаточно
I.
II.
III.
Место для формулы.
Докажем случай 1.
Необходимость.
Пусть , - вещественные корни уравнения
Если , то необходимо выполняются условия
Доказательство.
Так как по условию
то сложив (1) и (2) получим По теореме Виета p, то есть , что и требовалось доказать.
Перемножив (1) и (2), получим
>0

Воспользовавшись теоремой Виета:
получим , что и требовалось доказать.
Достаточность.
Пусть , - вещественные корни уравнения
Для того, чтобы оба корня были меньше числа , достаточно, чтобы выполнялась следующая система неравенств:
Доказательство.
По условию, справедлива система:
(1)
Вновь воспользуемся теоремой Виета
тогда система (1) примет вид:
Переписав систему (3) в другом виде, получим систему (4):
Неравенство (б) означает, что числа ) имеют одинаковые знаки, а неравенство (а), что оба эти числа положительны, то есть
иначе говоря , что и требовалось доказать.
1.9 Задачи

Обозначим через , корни квадратного трехчлена (a-1) Найти все а, при которых оба корня больше 1.
Решение.
а) Если а=1, то уравнение -3x + 7 = 0 имеет только один корень, поэтому
б) При воспользуемся пунктом II теоремы 7, который позволяет сразу записать:
Ответ. .
2. Найти все значения , при которых корни уравнения больше .
Решение.
Воспользовавшись пунктом II теоремы 7 получаем:

Ответ. a < -2.
3. Найти все значения , при которых оба корня квадратного уравнения
будут меньше 1.
Решение.
Уравнение будет квадратным только если . В этом случае оно равносильно уравнению:
Согласно пункту 1 теоремы 7 получаем, что
Ответ. .
Иногда применение теоремы 7 вызывает трудности, так как возникают неравенства третьей или более высокой степени. Тогда, скорее всего, можно выражения для корней исходного квадратного трехчлена получить в виде рациональных функций параметра.
Иными словами:
Если применение теоремы 7, вызывает алгебраические трудности, стоит проверить, не является ли дискриминант рассматриваемого квадратного уравнения полным квадратом. Если дискриминант является полным квадратом, то нужно попытаться выписать выражения для корней и продолжить решение задачи.
4. При каких значениях а все корни уравнения
3a удовлетворяют условию
1) Заметим, что если , то уравнение имеет единственный корень , и число 0 удовлетворяет условию задачи.
2) Если , то
Заменим , тогда
- данное выражение есть полный квадрат! Теперь легко вычислить:
Условие задачи будет выполнено, если справедлива система:








Сравним числа из промежуточных ответов:
пусть верно;
пусть верно.


Пересечение ответов является множество:
Ответ.
1.10 Выделение полного квадрата, как метод решения некоторых нестандартных задач

Пример 1. Найти наибольшее из значений z, для которых существуют числа x, y, удовлетворяющие уравнению
Решение.
Так как нужно найти наибольшее значение z, то в левой части равенства будем последовательно выделять полные квадраты, сначала относительно x, затем относительно y. (Конечно, можно сначала выделить полный квадрат относительно y, затем относительно x).
Итак,
Обозначим и соберем подобные члены
Обозначим
Так как левая часть последнего равенства неотрицательна, то правая часть должна быть неотрицательной:
Итак, необходимо Покажем, что можно найти такие x, y, при которых Если , то
Ответ.
Пример 2. Числа x, y, z таковы, что . Какое наибольшее значение может принимать выражение
Пример 2 мы сведем к примеру 1.
Пусть значение
подставляя это выражение для z в уравнение, получим:
.
(1)
Теперь задача формулируется так: найти наибольшее значение а, для которого существуют числа x, y, удовлетворяющие уравнению (1).
Опять выделяя полные квадраты, сначала относительно х, затем относительно у, получаем:
Обозначим .
Положим
Так как левая часть последнего равенства больше или равна нулю, то и правая часть должна быть неотрицательна, то есть
Решая систему
Ответ. Наибольшее значение а = .
Пример 3. Найти все значения а, при каждом из которых существует единственная пара целых чисел x, y, удовлетворяющих уравнению и двум неравенствам
Решение.
1) Будем рассматривать левую часть равенства, как, например, квадратный трехчлен относительно и попытаемся разложить его на множители.
Для этого воспользуемся теоремой 4. Согласно этой теореме, нужно найти корни уравнения:
Его дискриминант и тогда
Теперь
Тогда равенство можно переписать в виде:
Так как мы ищем только пары целых чисел (x,y), то числа
тоже целые.
Целыми делителями числа 7 являются числа и только они. Поэтому данное уравнение равносильно совокупности четырех систем:
2) Установлено, что уравнение имеет ровно четыре пары целых решений. Неравенству x < y, удовлетворяют только две пары: (9; 26) и (15;38).
3) Выясним при каких а эти две пары из пункта 2) удовлетворяют условию: .
(9; 26):
(15; 38):
4) Изобразим полученные множества на оси параметра а.


Из чертежа видно, что для задача не имеет целых решений; для - лишь одна целая пара (9; 26) удовлетворяет всем условиям; при имеются две пары целых чисел, удовлетворяющих задаче (9; 26) и (15; 38).
Ответ. .
1.11 Равносильность и следствия в задачах с квадратным трехчленом

В некоторых задачах вступительного экзамена требуется не просто исследовать расположение корней квадратного трехчлена, а выяснить, при каких значениях параметра выполняется то или иное логическое высказывание, связанное с решением уравнения или неравенства.
Рассмотрим сначала в общем виде одну из типичных задач:
1. Найти все значения параметра а, при которых неравенство:
выполняется для всех . (2)
В ином виде данная задача может сформулирована так:
Найти все значения параметра а, при которых из условия (2) следует неравенство (1).
Выскажем то же самое на языке теории множеств:
Обозначим символом А множество решений неравенства (1), а символом В множество, заданное условием (2) (условие (2) может быть наложено в виде требования решить некоторое не и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.