Здесь можно найти образцы любых учебных материалов, т.е. получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ и рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Лекции Методы искусственного интеллекта. Нечеткая логика

Информация:

Тип работы: Лекции. Добавлен: 04.05.2012. Сдан: 2011. Страниц: 7. Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%

Описание (план):


Лекции  составлены на основе следующих учебных  изданий:
    Методы робастного, нейро-нечеткого и адаптивного управления: Учебник/ Под ред. Н.Д.Егупова; издание 2-ое, М: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2002. 274-348
    С.Д.Штовба "Введение в теорию нечетких множеств и нечеткую логику". Интернет учебник.  matlab.exponenta.ru/fuzzylogic/book1/index.php.
    Robert Fuller. Neural Fuzzy Systems. Abo Akademy University. 1995
    В.В. Круглов, М.И. Дли, Р.Ю. Голунов. Нечеткая логика и искусственные нейронные сети.
 
Нечеткие множества 

Характерными примерами четких и нечетких понятий являются календарные и климатические понятия: весна, лето, осень, зима.

1.1 Основные термины и определения 

     Понятие нечеткого множества - эта попытка математической формализации нечеткой информации для построения математических моделей. В основе этого понятия лежит представление о том, что составляющие данное множество элементы, обладающие общим свойством, могут обладать этим свойством в различной степени и, следовательно принадлежать к данному множеству с различной степенью. При таком подходе высказывания типа “такой-то элемент принадлежит данному множеству” теряют смысл, поскольку необходимо указать “насколько сильно” или с какой степенью конкретный элемент удовлетворяет свойствам данного множества. 

Определение. Нечетким множеством (НМ) (fuzzy set) A на универсальном множестве U называется совокупность пар (MA(u), u), где MA(u) - степень принадлежности элемента u I U к нечеткому множеству A.
Степень принадлежности - это число из диапазона [0,1]. Чем выше степень принадлежности, тем в большой мерой элемент универсального множества соответствует свойствам нечеткого множества. 

В случае четкого  множества MA(u) = {0,1} 

Определение. Функцией принадлежности (ФП) (membership function) называется функция, которая позволяет вычислить степень принадлежности произвольного элемента универсального множества к нечеткому множеству.
Описание НМ
, на конечном множестве элементов U = {u1,u2,…un}
, на непрерывном множестве  элементов U = [-?,+?]
Замечание! Знак суммы обозначает операцию объединения 

Пример: Определим число "близкое к 1" на множестве целых чисел.
A = 0/(-2) + 0.3/1 + 0.6/0 + 1/1 + 0.6/2 + 0.3/3 + 0/4
 

Пример: Определим число "близкое к 1" на множестве реальных чисел.
A = exp(-b(u-1)2), где b – положительное реальное число.
 

1.2. Свойства нечетких множеств  

 

Определение. Высотой нечеткого множества A называется верхняя граница его функции принадлежности: hgt(A) = sup MA(u).
Для дискретного  универсального множества U супремум становится максимумом, а значит высотой нечеткого множества будет максимум степеней принадлежности его элементов  

Определение. Нечеткое множество A называется нормальным, если его высота равна единице (иначе называются субнормальными).
Нормализация - преобразование субнормального нечеткого множества A' в нормальное A определяется так: A = norm(A') U MA(u) = MA'(u)/ hgt(A').  

Определение. Носителем (основанием) нечеткого множества A называется четкое подмножество универсального множества U, элементы которого имеют ненулевые степени принадлежности: supp(A) = {u: MA(u) > 0}.  

Определение. Основание называется компактным если supp(A) < ?, иначе некомпактным. 

Определение. Нечеткое множество называется пустым, если его носитель является пустым множеством.
Записывается такое  множество ? и MA(u) = 0, " u I U. 

Определение. Ядром нечеткого множества A называется четкое подмножество универсального множества U, элементы которого имеют степени принадлежности равные единице: core(A) = {u: MA(u) = 0}.
Следствие: Ядро субнормального нечеткого множества пустое.  

Определение. a-сечением (или множеством a-уровня) нечеткого множества называется четкое подмножество универсального множества U, элементы которого имеют степени принадлежности большие или равные a: Aa = {u: MA(u) > a}, a I [0,1].
Значение a называют a-уровнем.  

Определение. Нечеткое множество A называется выпуклым если: " u1<u2<u3 (uiI U) ? MA(u2)>min(MA(u1),MA(u3)). Иначе невыпуклым.

Выпуклость просто пояснить графически. 

точки перехода 

1.3. Описание и типы ФП 

Получить  ФП для НМ можно:
    Прямым экспертным опросом (непосредственно для каждого u указывается значение M(u))
    Относительным экспертным опросом (составляется таблица отношений DM(u) для ui и uj)
    На основании статистической информации.
 
Описываются ФП:
    Парное представление MA(u)=M1/u1 +…+ Mn/un (дискретное)
    Аналитическое описание MA(u) = f(u) (непрерывное)
 
ФП могут  быть любыми. Наиболее распространенными  в приложениях теории нечетких множеств являются треугольные, трапециевидные, гауссовские и колоколообразные функции принадлежности.
Замечание! Чем проще описание ФП, тем лучше. 

Классификация типов ФП
1: кусочно-линейные, непрерывные
2: p, s, z 

p ФП описывают НМ, определяющие следующие понятия:
"приблизительно равно", "среднее значение", "расположен в интервале", "похож на предмет"
S ФП описывают НМ, определяющие следующие понятия: "большая величина", "много", "большое значение", "высокая скорость", т.е. высокая степень проявления какого-либо качества.
Z ФП описывают НМ, определяющие следующие понятия: "небольшая величина", "малое количество", "незначительное значение", т.е. (слабая степень проявления какого-либо качества) 

p кусочно-непрерывные ФП


p гладкие ФП
 
y = gaussmf(x,[sig c])
y=gbellmf(x,[a b c]);
Непрерывные S и Z ФП
 
 
Кусочно-линейные S и Z ФП
 
Так же можно задавать p ФП как комбинацию s и z:
p (x1,x2,x3,x4, x) = min(s(x1,x2,x), z(x3,x4,x)) 

1.4. Операции над нечеткими множествами (нечеткая логика) 

Разбиение
Определение. Любое нечеткие множества A может быть представлено в виде декомпозиции a-уровней
MA(u) =S MB(u), " u I U.  
 

Определение. Нечеткие множества A и B равны (A=B) если MA(u) =MB(u), " u I U.  

Определение. Включение (доминирование). Нечеткое множество A содержится в B (A I B)  если " u I U выполняется MA(u) ? MB(u) 

Определение. Дополнением (поЗаде) нечеткого множества A заданного на U называется нечеткое множество A с функцией принадлежности 
MA(u)=1-MA(u),  " u I U.  

Определение. Пересечением (по Заде) нечетких множеств A и B заданных на U называется нечеткое множество C = ACB с функцией принадлежности MC(u)=min(MA(u),MB(u)), " u I U.
или
MC(u)=MA(u)CMB(u) т.е. операция нахождения минимума также обозначается знаком C. 

Пример: Дано A и B найти их пересечение

Ответ:  

Определение. Объединением (по Заде) нечетких множеств A и B заданных на U называется нечеткое множество C = AEB с функцией принадлежности MC(u)=max(MA(u),MB(u)), " u I U.
или
MC(u)=MA(u)EMB(u) т.е. операция нахождения максимума также обозначается знаком E. 

Пример: Дано A и B найти их объединение
Ответ:  

Видим, что  приведенные правила выполняются (для граничных точек) как для  четкой логики, так и для нечеткой логики. Однако в промежуточных значениях  данные операции нечеткой логики могут иметь различный результат.
Обобщенные  определения операций нечеткого  пересечения и объединения –  это треугольной нормы (t-нормы) и  треугольной конормы (t-конормы или s-нормы) приведены ниже. 

 

Определение. Треугольной нормой (t-нормой или S-конормой) называется бинарная операция T на единичном интервале , удовлетворяющая следующим аксиомам для любых a,b,c I [0,1]:
 

Определение 25. Треугольной конормой (s-нормой или t-конормой) называется бинарная операция S на единичном интервале , удовлетворяющая следующим аксиомам для любых a,b,c I [0,1]:
 

Таблица - Примеры треугольных  норм
T(a,b) произведение S(a,b) сумма Примечание 
min(a,b)  max(a,b) логическая (Заде)
(a*b) (a+b-1) алгебраическая (Бандлер) 
max((a+b-1),0) min((a+b),1) граничная (Лукашевич)
a, если b = 1   b, если a = 1
0, если a,b ? 1
a, если b = 0 b, если a = 0
1, если a,b ? 0
сильная (Вебер)
 
Также существует другие варианты определение обобщенной операции "НЕ"
Операция  Дополнение или "НЕ" или (-)
 по Сугено
 по Ягеру 

 

Свойства  простейших операций (C E не)
1. Коммутативность:  АEB = BEА, АCB = BCА
2. Ассоциативность:  АE(BEС) = (АEB)EС, АC (BCС) = (АCB) CС
3. Дистрибутивность: АE(BCС) = (АEB)C(BEС),
             АC(BEС) = (АCB)E(BCС)
4. Идемпотентность:  АEA = A, АCA = A
5. Поглощение: АE(ACB) = АC(AEB) = A
6. Универсальность  границ: АE? = A, АEU = U
               АC? = ?, АCU = A
7. Инволюция: 
8. Законы де Моргана:  ,  

Другие операции с НМ, которые еще не упоминались
разность

(по заде) 

Дизъюнктивная сумма 

(по заде) 

Умножение на число
 


 

CON эквивалентна применению к лингвистической переменной понятия "Очень"
т.е. увеличение четкости множества (уточнение модели) 

EX: есть "старый"
CON("старый" ) = "очень старый"  

 

DIL эквивалентна применению к лингвистической переменной понятия "более менее" 
т.е. увеличение нечеткости множества (размытия модели)

EX: есть "старый"
DIL("старый" ) = "более менее старый"  

Замечание! Существуют другие типы описания модификаторов (кванторов) для применения понятий "очень"/"более менее": масштабирование и сдвиг. 
 
 
 
 
 
 
 

1.5. Нечеткие отношения 

Определение. Нечетким отношением R на множествах X1, X2, …, Xn называется нечеткое подмножество декартова произведения X1 x X2 x… x Xn. Степень принадлежности MR(X1, X2, …, Xn) показывает степень выполнения отношения R между элементами X1, X2, …, Xn, xi I Xi, i = 1,…, n . 

Отличается только тем (без учета смысловой нагрузки), что нечеткие множества это функции  от одного переменного, а нечеткие отношения  это функции от многих переменных. 

Замечание! В дальнейшем будем рассматривать только бинарные отношения между множествами X, Y. Тогда задание бинарного нечеткого отношения R на X x Y состоит в указании всех троек:
(x,y,MR(x,y)), где  x I X, y I Y          
                    или, (x,y) I XxY. 

Пример. Задать нечеткое отношение x~y ("x приблизительно равно y").
Пусть x,y I {0,1,2,3}. Тогда нечеткое отношение удобно задавать матрицей вида:
x\y 0 1 2 3
0 1 0.5 0.2 0.1
1 0.5 1 0.6 0.3
2 0.2 0.6 1 0.8
3 0.1 0.3 0.8 1
 
Пример. Для непрерывных множеств x =[0,3] и y =[0,3] нечеткое отношение "x~y" можно задать следующей функцией принадлежности:  MR(x,y) = exp(-0.2(x-y)^2).  

Пример. Задать нечеткое отношение "x << y" ("x намного меньше y").
Пусть x,y I {0,1,2,3}. Тогда нечеткое отношение можно задать матрицей вида:
X\y 0 1 2 3
0 0 0.2 0.6 1
1 0 0 0.2 0.6
2 0 0 0 0.2
3 0 0 0 0
 
Пример. Для непрерывных множеств x =[0,3] и y =[0,3] нечеткое отношение "x<<y" можно определить такой функцией принадлежности:
 

Совпадающие свойства нечетких отношений и множеств: основание, высота, нормальность, a-сечение и т.д.
Определение. Носителем нечеткого отношения R на множествах X и Y называется подмножество декартова произведения X?Y вида:
supp R ={(x,y): (x,y) I XxY, MR(x,y)>0)} 

Определение. a-сечением нечеткого отношения R на X и Y называется обычное отношение, связывающее все пары (x,y) I XxY, для которых степень выполнения нечеткого отношения R не меньше a:
Ra ={(x,y): (x,y) I XxY, MR(x,y)>=a)} 

Определение. Нечеткое отношение R на XxX называется рефлексивным, если для любого xIX выполняется равенство MR(x,x)=1.
В случае конечного  множества X все элементы главной диагонали матрицы R равны 1. Примером рефлексивного НО "x~y".  

Определение. Нечеткое отношение R на XxX называется антирефлексивным, если для любого xIX выполняется равенство MR(x,x) = 0.
В случае конечного  множества X все элементы главной диагонали матрицы R равны 0. Примером антирефлексивного НО "x >> y". 

Определение. Нечеткое отношение R на XxY называется симметричным, если для любой пары (x,y) I XxY выполняется равенство  MR(x,y) = MR(y,x).
Матрица симметричного  нечеткого отношения, заданного  на конечном множестве, рефлексивная. 

Определение. Нечеткое отношение R на XxY называется асимметричным, если выражение MR(x,y)>0 =>MR(y,x) = 0 справедливо для любой пары (x,y) I XxY.
Примером асимметричного нечеткого отношения может служить  отношение "намного больше". 

Определение. Нечеткое отношения R и R^(-1) на XxY называется обратными, если для любой пары (x,y) I XxY выполняется равенство MR(x,y) = MR^(-1)(y,x).
Примером обратных нечетких отношений может служить  пара НО "x >> y" - "x << y". 

     1.6. Операции над нечеткими отношениями
Операции  над нечеткими отношениями аналогичны соответствующим операциям для  обычных отношений. Однако, как и  для нечетких теоретико-множественных операций, они могут выполняться различными способами. Ниже приводятся определения операций над нечеткими отношениями с использованием треугольных нормы и конормы. 

Определение. Пересечением нечетких отношений A и B , заданных на XxY, называется нечеткое отношение  C = A CB с функцией принадлежности  Mc(x,y) = t(MA(x,y), MB(x,y)), (x,y) I XxY, где t(.) - t-норма. 

Определение. Объединением  нечетких отношений A и B , заданных на XxY, называется нечеткое отношение C = A EB с функцией принадлежности  Mc(x,y) = s(MA(x,y), MB(x,y)), (x,y) I XxY, где s(.) - t-конорма (s-норма). 

Пересечение и объединение нечетких отношений "x приблизительно равно y" и "x намного меньше, чем y"из примеров 5 и 6 показаны на рис. 12. В качестве t-нормы и s-нормы использовались операции нахождения минимума и максимума, соответственно. 

Пример. Даны НО R1 "x<<y" и R2 "x ~y". Посчитать
объединение R = R1 ER2
x\y 0 1 2 3
0 1 0.5 0.6 1
1 0.5 1 0.6 0.6
2 0.2 0.6 1 0.8
3 0.1 0.3 0.8 1
Пересечение R = R1CR2
X\y 0 1 2 3
0 0 0.2 0.2 0.1
1 0 0 0.2 0.3
2 0 0 0 0.2
3 0 0 0 0
 
Определение. Дополнением нечеткого отношения R, заданного на XxY, называется нечеткое отношение R с функцией принадлежности MR(x,y) = 1 –MR(x,y), (x,y) I XxY. 

Определение. Первая проекция это нечеткое множество с ФП

Определение. Вторая проекция это нечеткое множество с ФП
 

Определение. Максминной композицией (произведением) нечетких отношений A и B, заданных на XxZ и ZxY, называется нечеткое отношение G=A°B на множестве XxY с функцией принадлежности

Замечение! В случае конечных множеств X,Y,Z матрица нечеткого отношения G=A°B получается как максминное произведение матриц A и B, в которой операция выполняется как обычное произведение матриц («строка на столбец») и операция поэлементного умножения заменена на нахождение минимума, а суммирование - на нахождение максимума. 

Аналогично  определяются операции минимаксной  композиции. Композиция играет ключевую роль в нечетком логическом выводе. 

% код минимакса ----------------------------------------------------------------
D = zeros(size(R1*R2))
for j = 1:length(R2(1,:))
for i = 1:length(R1(:,1))
    D(i,j) = max( min(R1(i,:),R2(:,j)'));
end
end
%------------------------------------------------------------------------------------ 

Пример.

 

Определение. Цилиндрическое расширение НМ A(x1)


Определение. Проекция нечеткого отношения на X1

и т.д.................


Перейти к полному тексту работы


Скачать работу с онлайн повышением уникальности до 90% по antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru


Смотреть полный текст работы бесплатно


Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.