На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


курсовая работа Распределение случайных величин и их характеристики

Информация:

Тип работы: курсовая работа. Добавлен: 06.05.2012. Сдан: 2011. Страниц: 8. Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%

Описание (план):


Федеральное агентство по образованию
Государственное учреждение высшего  профессионального  образования
Тюменский государственный  нефтегазовый университет
Сургутский  институт нефти и  газа (филиал)
Кафедра экономики и менеджмента 
 
 
 
 
 
 
 
 

КУРСОВАЯ  РАБОТА
по дисциплине: «Общая теория статистики» 

тема: Распределение случайных  величин и их характеристики.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Выполнила студентка: группа ЭП-08
Толомеева Олеся
Проверил:  к.э.н., доцент Орлов О.И.   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Сургут, 2009 г. 

 

Содержание: 
Введение.

      Случайной величиной (СВ) Х называется действительная функция X = X(w), определенная на множестве элементарных исходов W, такая, что для любого действительного x множество тех w I W, для которых X(w) < x, принадлежит полю событий W(W). СВ принято обозначать большими буквами латинского алфавита, а их возможные значения - соответствующими малыми буквами. Введение.
      Различают СВ дискретного типа (сокращенно СВДТ) и СВ непрерывного типа (сокращенно СВНТ). СВ называется СВДТ, если множество ее возможных значений конечно или счетно. Например, число бросаний монеты до появления герба или число выпавших очков при бросании игрального кубика. СВ называется СВНТ, если множество ее возможных значений заполняют интервал числовой оси. Например, время до отказа прибора (время “жизни” прибора) или погрешность измерения.
      Для полного задания СВ необходимо указать  множество ее возможных значений и определить некоторое соответствие между отдельными ее значениями xi (или некоторыми подмножествами) и вероятностями pi, с которыми эти значения (или подмножества) принимаются. Любое такое соответствие называется законом распределения СВ. Например, для СВДТ достаточно указать зависимость pi = P{X = xi} или таблицу следующего вида: 

      Возможные значения СВ Х x1 x2 ... xn
      P{X = xi} = pi > 0; (p1 + p2 + ... + pn = 1) p1 p2 ... pn
 
Для СВНТ такие способы не годятся, поэтому  ставят в соответствие вероятности  не отдельные значения СВ, а множество  значений (X < x), где x - произвольное число. Этот способ годится для СВДТ и для СВНТ. 

      Функцией  распределения (ФР) (или интегральным законом распределения) СВ X называется числовая функция F(x) = P{X < x}, определенная для любых x I R. Свойства ФР:
    0 ? F(x) ? 1;
    F(x1) ? F(x2), если x1 < x2, т.е. F(x) - неубывающая функция;
     
    P{a ? X < b} = F(a) - F(b).

      Плотностью  распределения (ПР) (или дифференциальным законом распределения) СВ X называется числовая функция f(x), равная производной от ФР, если такая производная существует: f(x) = F?(x). Связь между ПР и ФР можно представить в интегральной форме:
 что позволяет определить  ФР:
Свойства  ПР:
    f(x) ? 0, т.к. ФР - неубывающая функция;
    - условие нормировки.
     Различают следующие группы числовых характеристик: характеристики положения (математическое ожидание), рассеивания (дисперсия, среднеквадратичное отклонение и др.), характеристики формы плотности распределения (показатель асимметрии, эксцесса и др.).
 

1. Числовые характеристики случайных величин.
     Каждая  случайная величина полностью определяется своей функцией распределения.
     В то же время при решении практических задач достаточно знать несколько  числовых параметров, которые позволяют  представить основные особенности  случайной величины в сжатой форме. К таким величинам относятся в первую очередь математическое ожидание и дисперсия. 

1.1. Математическое ожидание случайной величины.
     Математическое  ожидание - число, вокруг которого сосредоточены  значения случайной величины. Математическое ожидание случайной величины x обозначается Mx .
     Математическое  ожидание дискретной случайной величины x , имеющей распределение 

x1 x2 ... xn
p1 p2 ... pn
 
называется  величина     , если число значений случайной величины конечно.
     Если  число значений случайной величины счетно, то . При этом, если ряд в правой части равенства расходится, то говорят, что случайная величина x не имеет математического ожидания.
     Математическое  ожидание непрерывной случайной  величины с плотностью вероятностей px (x) вычисляется по формуле . При этом, если интеграл в правой части равенства расходится, то говорят, что случайная величина x не имеет математического ожидания.
     Если  случайная величина h является функцией случайной величины x , h = f(x), то

     Аналогичные формулы справедливы для функций дискретной случайной величины:
, .
Основные  свойства математического ожидания:
     -математическое  ожидание константы равно этой  константе, Mc=c ;
     -математическое  ожидание - линейный функционал на  пространстве случайных величин, т.е. для любых двух случайных величин x , h и произвольных постоянных a и b справедливо: M(ax + bh ) = a M(x )+ b M(h );
     -математическое  ожидание произведения двух независимых  случайных величин равно произведению  их математических ожиданий, т.е. M(x h ) = M(x )M(h ). 

1.2. Дисперсия случайной величины.
     Дисперсия случайной величины характеризует  меру разброса случайной величины около  ее математического ожидания.
     Если  случайная величина x имеет математическое ожидание Mx , то дисперсией случайной  величины x называется величина Dx = M(x - Mx )2.
     Легко показать, что Dx = M(x - Mx )2= Mx 2 - M(x )2.
     Эта универсальная формула одинаково  хорошо применима как для дискретных случайных величин, так и для  непрерывных. Величина Mx 2 >для дискретных и непрерывных случайных величин соответственно вычисляется по формулам
, .
     Для определения меры разброса значений случайной величины часто используется среднеквадратичное отклонение , связанное  с дисперсией соотношением
     Основные  свойства дисперсии:
     -дисперсия  любой случайной величины неотрицательна, Dx  0;
     -дисперсия  константы равна нулю, Dc=0;
     -для  произвольной константы D(cx ) = c2D(x );
     -дисперсия  суммы двух независимых случайных  величин равна сумме их дисперсий: D(x ± h ) = D(x ) + D (h ). 

1.3. Моменты.
     В теории вероятностей и математической статистике, помимо математического ожидания и дисперсии, используются и другие числовые характеристики случайных величин. В первую очередь это начальные и центральные моменты.
     Начальным моментом k-го порядка случайной  величины x называется математическое ожидание k-й степени случайной величины x , т.е. a k = Mx k.
     Центральным моментом k-го порядка случайной  величины x называется величина m k, определяемая формулой m k = M(x - Mx )k.
     Заметим, что математическое ожидание случайной величины - начальный момент первого порядка, a 1 = Mx , а дисперсия - центральный момент второго порядка,
     a 2 = Mx 2 = M(x - Mx )2 = Dx .
     Существуют  формулы, позволяющие выразить центральные  моменты случайной величины через  ее начальные моменты, например:
     m 2=a 2-a 12, m 3 = a 3 - 3a 2a 1 + 2a 13.
     Если  плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины симметрична относительно прямой x = Mx , то все ее центральные моменты  нечетного порядка равны нулю.
1.4. Асимметрия.
     В теории вероятностей и в математической статистике в качестве меры асимметрии распределения является коэффициент асимметрии, который определяется формулой
      ,
     где m 3 - центральный момент третьего порядка, - среднеквадратичное отклонение. 

1.5. Эксцесс.
     Нормальное  распределение наиболее часто используется в теории вероятностей и в математической статистике, поэтому график плотности вероятностей нормального распределения стал своего рода эталоном, с которым сравнивают другие распределения. Одним из параметров, определяющих отличие распределения случайной величины x , от нормального распределения, является эксцесс.
     Эксцесс g случайной величины x определяется равенством
.
     У нормального распределения, естественно, g = 0. Если g (x ) > 0, то это означает, что  график плотности вероятностей px (x) сильнее “заострен”, чем у нормального распределения, если же g (x ) < 0, то “заостренность” графика px (x) меньше, чем у нормального распределения. 

1.6. Среднее геометрическое и среднее гармоническое.
     Среднее гармоническое и среднее геометрическое случайной величины - числовые характеристики, используемые в экономических вычислениях.
     Средним гармоническим случайной величины, принимающей положительные значения, называется величина .
     Например, для непрерывной случайной величины, распределенной равномерно на [a, b], 0 < a < b, среднее гармоническое вычисляется следующим образом:
 и  .
     Средним геометрическим случайной величины, принимающей положительные значения, называется величина .
     Название  “среднее геометрическое” происходит от выражения среднего геометрического дискретной случайной величины, имеющей равномерное распределение 

x a1 a2 a3 ... an
p 1/n 1/n 1/n ... 1/n
 
     Среднее геометрическое, вычисляется следующим  образом:
,
т.е. получилось традиционное определение среднего геометрического чисел a1, a2, …, an.
     Например, среднее геометрическое случайной  величины, имеющей показательное распределение с параметром l , вычисляется следующим образом:
, .
Здесь С » 0.577 - постоянная Эйлера. 
 
 
 

2. Распределения дискретных случайных величин.
2.1. Биномиальное распределение.
     Пусть проводится серия из n независимых  испытаний, каждое из которых заканчивается либо “успехом” либо “неуспехом”. Пусть в каждом испытании (опыте) вероятность успеха p, а вероятность неуспеха q = 1- p. С таким испытанием можно связать случайную величину x , значение которой равно числу успехов в серии из n испытаний. Эта величина принимает значения от 0 до n. Ее распределение называется биномиальным и определяется формулой Бернулли:
, 0 < p <1, k = 0, 1, …, n, npq, . 

2.2. Геометрическое распределение.
     Со  схемой испытаний Бернулли можно  связать еще одну случайную величину x - число испытаний до первого  успеха. Эта величина принимает бесконечное  множество значений от 0 до + и ее распределение определяется формулой
pk = P(x= k) = qk-1 p, 0 <p <1, k=1, 2, … , ,  ,  . 

2.3. Гипергеометрическое распределение.
     В партии из N изделий имеется M (M < N) доброкачественных и N - M дефектных  изделий. Если случайным образом  из всей партии выбрать контрольную  партию из n изделий, то число доброкачественных изделий в контрольной партии - случайная величина, которую обозначим x. Распределение такой случайной величины называется гипергеометрическим и имеет вид:
 ,k = 0, 1, …, min(n,M), , , . 

2.4. Пуассоновское распределение.
Пуассоновское распределение c параметром l имеет случайная величина x , принимающая целые неотрицательные значения k = 0, 1, 2, … с вероятностями pk:
, , Mx =l, Dx = l , l > 0 - параметр распределения. 

3. Распределения непрерывных случайных величин.
3.1. Равномерное распределение.
     Непрерывная случайная величина x , принимающая  значения на отрезке [a, b], распределена равномерно на [a, b], если ее плотность  распределения px (x) и функция распределения Fx (x ) имеют соответственно вид:
, , , . 

3.2. Экспоненциальное (показательное) распределение.
     Непрерывная случайная величина x имеет показательное  распределение с параметром l > 0, если она принимает только неотрицательные  значения, а ее плотность распределения px (x )и функция распределения Fx (x) имеют соответственно вид:
, ,  , . 

3.3. Нормальное распределение.
     Нормальное  распределение играет исключительно  важную роль в теории вероятностей и математической статистике.
     Случайная величина x нормально распределена с параметрами a и s , s >0, если ее плотность распределения px (x ) и функция распределения Fx (x) имеют соответственно вид:
, , Mx = a, Dx = s 2.
     Часто используемая запись x ~ N(a, s ) означает, что случайная величина x имеет  нормальное распределение с параметрами a и s .
     Говорят, что случайная величина x имеет стандартное нормальное распределение, если a = 0 и s = 1 (x ~ N(0, 1)). Плотность и функция распределения стандартного нормального распределения имеют вид:
, ,Mx = 0, Dx = 1.
Здесь - функция Лапласа.
     Функция распределения нормальной величины x ~ N(a, s ) выражается через функцию Лапласа следующим образом: .
     Если x ~ N(a, s ), то случайную величину h = (x-a)/s называют стандартизованной или  нормированной случайной величиной; h ~ N(0, 1) - имеет стандартное нормальное распределение. 

3.4. Распределение хи-квадрат (c 2- распределение).
     Пусть x 1, x 2, …, x n - независимые случайные величины, каждая из которых имеет стандартное нормальное распределение N(0, 1). Составим случайную величину
c 2 = x 12 + x 22 + …+ x n2.
     Ее  закон распределения называется c 2- распределением с n-степенями свободы. Плотность вероятности этой случайной величины вычисляется по формуле:
, , Dc 2=2n.
Здесь - гамма-функция Эйлера. 

3.5. Распределение Стьюдента.
Пусть случайная величина x имеет стандартное  нормальное распределение, а случайная величина c n2 - c 2-распределение с n степенями свободы. Если x и c n2 - независимы, то про случайную величину говорят, что она имеет распределение Стьюдента с nстепенями свободы. Плотность вероятности этой случайной величины вычисляется по формуле:
, x R, Mt n = 0, Dt n = n/(n-2), n>2. 

При больших  n распределение Стьюдента практически не отличается от N(0, 1). 

3.6. F-распределение Фишера.
     Пусть случайные величины c n2и c m2 независимы и имеют распределение c 2 с n и m-степенями свободы соответственно. Тогда о случайной величине

говорят, что она имеет F-распределение. Плотность  вероятности этой случайной величины вычисляется по формуле:
, x>0, - гамма-функция Эйлера; , m>2; , m > 4. 

3.7. Распределение Парето.
     Распределение Парето часто применяется в экономических  исследованиях. Плотность вероятностей для случайной величины, распределенной по Парето, имеет вид:
  , .
     Распределение Парето имеет математическое ожидание только при r > 1, а дисперсию - только при r > 2. Случайная величина, распределенная по Парето, принимает значения только в области x x0, x0 > 0. 

3.8. Логистическое распределение.
     Это еще одно распределение, широко применяемое  в экономических исследованиях. Для случайной величины x , имеющей  логистическое распределение, функция распределения и функция плотности вероятностей имеют соответственно вид:
, ,
, , x R, a и b - параметры распределения.
По своим  свойствам логистическое распределение  очень похоже на нормальное. 

3.9. Логнормальное распределение.
     Случайная величина x имеет логарифмическое  нормальное (логнормальное) распределение  с параметрами a и s , если случайная  величина lnx имеет нормальное распределение  с параметрами a > s . Функция распределения  и функция плотности вероятностей логнормального распределения имеют соответственно вид:
, , , . 

3.10. Бета-распределение.
     Случайная величина x имеет В-распределение (бета-распределение) с параметрами a1 и a2, если ее функция плотности вероятностей имеет вид:
 

3.11. Распределение Вейбулла.
     Случайная величина x имеет распределение Вейбулла с параметрами l 0 и a , если ее функция  распределения и функция плотности  вероятностей имеют соответственно вид:
, ,
, - гамма-функция Эйлера. 

3.12. Распределение Коши.
     Случайная величина x имеет распределение Коши с параметрами a и c, если ее функция распределения и функция плотности вероятностей имеют соответственно вид:

     У распределения Коши не существует ни математического ожидания, ни дисперсии. Это распределение не имеет ни одного момента положительного порядка. 

3.13. Гамма-распределение.
     Случайная величина x имеет Г-распределение (гамма-распределение) с параметрами a и b, если ее функция  плотности вероятностей имеет вид:
, a > 0, b > 0, , , .
3.14. Распределение Лапласа.
     Случайная величина x имеет распределение Лапласа (двустороннее экспоненциальное распределение) с параметром l , если ее функция плотности вероятностей имеет вид:
-  < x < , Mx = 0, D x = 2/l 2. 

    Совместные  распределения нескольких случайных величин.
    4.1.Многомерные случайные величины. Функции распределения многомерных случайных величин.
Функцией  распределения случайного вектора или совместным распределением случайных величин называется функция, определенная равенством
где .
     По  известной многомерной функции можно найти распределение каждой из компонент .
     Например, если - двумерная случайная величина, имеющая совместное распределение , то распределения компонент и вычисляются соответственно по формулам:
, .
     В дальнейшем будем рассматривать  двумерные случайные векторы.
Случайный вектор называется непрерывным случайным вектором, если существует такая неотрицательная функция , что для любого прямоугольника W  на плоскости вероятность события равна:
.
     Функция в этом случае называется совместной плотностью распределения. 

Легко показать, что  .
     Если - совместная плотность распределения двумерного случайного вектора , то плотности распределения его компонент определяются равенствами:
и
     Если - дискретный случайный вектор, то совместным распределением случайных величин  и   чаще всего называют таблицу вида:
  y1 y2 ... ym
x1 p11 p12 ... p1m
x2 p12 p12 ... p2m
... ... ... pij ...
xn pn1 pn2 ... pnm
где и .
По этой таблице можно найти распределения и компонент x и h . Они вычисляются по формулам:
 

4.2. Независимость случайных величин.
     Решить  обратную задачу, т.е. восстановить совместное распределение (x , h ) по распределениям величин x и h , вообще говоря, невозможно. Однако эту задачу можно решить, когда случайные величины x и h независимы.
     Случайные величины x и h называются независимыми, если для любых x1, x2  R2 справедливо равенство:
Fx ,h (x1, x2)= Fx (x1)Fh ( x2).
     Для непрерывных случайных величин  это определение эквивалентно следующему:
случайные величины называются независимыми, если
px ,h (x1, x2)= px  (x1) ph (x2)
во всех точках непрерывности входящих в  это равенство функций.
     Для дискретных случайных величин x и h с  матрицей совместного распределения {pij} условие независимости x и h имеет вид:
pij = P(x = xi, h = yj) = P(x = xi) P(h = yj),
для всех i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, m. 

4.3. Условные распределения случайных величин.
     Если  две случайные величины x и h зависимы, то информация о том, какое значение на самом деле приняла одна из них, меняет наше представление о распределении  другой. В связи с этим можно ввести понятие условного распределения. 

4.4. Условные распределения дискретных случайных величин.
Пусть дана двумерная случайная величина (x ,h ) с распределением:
  y1 y2 ... ym
x1 p11 p12 ... p1m
x2 p12 p12 ... p2m
... ... ... pij
и т.д.................


Перейти к полному тексту работы


Скачать работу с онлайн повышением уникальности до 90% по antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru


Смотреть полный текст работы бесплатно


Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.