Здесь можно найти учебные материалы, которые помогут вам в написании курсовых работ, дипломов, контрольных работ и рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.
ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

 
Поиск учебного материала на сайте
Поиск по названию работы
Поиск по тексту работы

Повышение оригинальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение оригинальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения оригинальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, РУКОНТЕКСТ, etxt.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии так, что на внешний вид, файл с повышенной оригинальностью не отличается от исходного.

Результат поиска

Обходим антиплагиат


Наименование:
Лекции Кинематика абсолютно твердого тела. Уравнение движения центра масс

Информация:

 Тип работы: Лекции. Добавлен: 07.05.2012. Год: 2011. Страниц: 20. Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%

Описание (план):

Лекция №2
Кинематика абсолютно твердого тела. Уравнение движения центра масс

Любое движение абсолютно твердого тела можно свести к сумме двух движений – поступательного и вращательного. Абсолютно твердым телом мы будем называть тело, деформациями которого можно в условиях данной задачи пренебречь.
Поступательным движением твердого тела называется такое движение, при котором любая прямая, проведенная внутри тела, перемещается параллельно самой себе.
В зависимости от формы траектории поступательное движение может быть как прямолинейным, так и криволинейным (пояснить случай криволинейного движения на примере "колеса обзора").
Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одно неподвижной прямой, называемой осью вращения. Ось вращения может лежать как внутри, так и вне его.
Разбив твердое тело на отдельные малые элементы, мы можем представить его как систему материальных точек, взаимное расположение которых не изменяется в процессе движения. При поступательном движении все элементы твердого тела за один и тот же промежуток времени совершают одинаковое перемещение. Поэтому поступательное движение твердого тела можно заменить движением любой из составляющих тело материальных точек, масса которой равна массе тела.
При непоступательном движении твердого тела ускорения отдельных его элементов разные. Однако центр масс твердого тела движется так, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе тела, если бы к ней были приложены все внешние силы, действующие на тело.
Центром масс системы материальных точек называется точка , положение которой задается радиус-вектором , определяемым следующим образом:
.
Здесь и - масса и радиус-вектор -й материальной точки.
Уравнением движения центра масс твердого тела имеет вид:
.
Решив это дифференциальное уравнение (дважды проинтегрировав его), можно найти закон движения центра масс
.

Кинематические характеристики вращательного движения


При вращательном движении твердого тела вокруг неподвижной оси радиусы-векторы, проведенные из центров окружностей к точкам тела, за время поворачивается на один и тот же угол , называемый угловым перемещением твердого тела.
Угловое перемещение твердого тела - вектор, численно равный углу поворота тела и направленный вдоль оси вращения так, что если смотреть с его конца, то вращение тела кажется происходящим против часовой стрелки (подробно объяснить на правиле буравчика).
Быстроту изменения углового перемещения с течением времени характеризует угловая скорость.
Угловая скорость твердого тела - это векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения углового перемещения тела с течением времени и равная угловому перемещению, совершаемому телом за единицу времени
.
Направлен вектор вдоль оси вращения в ту же сторону, что и .
Быстроту изменения угловой скорости характеризует угловое ускорение.
Угловое ускорение твердого тела - это векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости тела с течением времени и равная приращению угловой скорости за единицу времени:
.
Направлен вектор вдоль оси вращения. Вектор углового ускорения направлен в ту же сторону, что и вектор угловой скорости, если движение ускоренное, и направлен против направления , если движение замедленное (объяснить подробнее).
Модули углового перемещения , угловой скорости и углового ускорения равны соответственно:
,
,
.

Связь между линейными и угловыми характеристиками вращательного движения

Кроме угловых величин движения каждой точки вращающегося твердого тела характеризуют линейные величины: линейное перемещение , линейный путь , линейная скорость , тангенциальное и нормальное линейные ускорения.
За время произвольная точка твердого тела переместится на , пройдя путь . Легко видеть, что равно векторному произведению углового перемещения на радиус-вектор точки :
.
Действительно, направление перпендикулярно и , если смотреть с конца , то поворот от к происходит против часовой стрелки. Модуль равен
.
Такое же направление, как и , и такой же модуль имеет векторное произведение , следовательно, предыдущее утверждение (о векторном произведении) верно.
Разделив предыдущее выражение на промежуток времени , в течение которого произошло перемещение точки на , и учитывая, что и , получаем:
.
Линейная скорость данной точки вращающегося вокруг неподвижной оси твердого тела равна векторному произведению угловой скорости тела на радиус-вектор точки , проведенный из центра окружности, по которой движется точка.
Модуль мгновенной скорости равен
.
Продифференцируем выражение по времени:
.
Учитывая, что - линейное ускорение, - угловое ускорение, получим:
.
Первый вектор в правой части направлен по касательной к траектории точки. Он характеризует изменение модуля линейной скорости. Следовательно – это вектор тангенциального ускорения точки
.
Второй вектор в правой части выражения направлен к центру окружности и характеризует изменение направления линейной скорости. Этот вектор – нормальное ускорение точки
.
Модуль тангенциального ускорения равен:
.
Модуль нормального ускорения равен:
,
или, учитывая, что ,
.
Равномерное вращательное движение ( ) характеризуется также периодом вращения и частотой вращения.
Период вращения - промежуток времени, в течение которого тело совершает один полный оборот вокруг оси вращения, т.е. поворачивается на угол . Если угловая скорость тела равна , то
.
Частота вращения - число оборотов, совершаемых за единицу времени
.
Отсюда следует, что .






Лекция 4
Момент силы, момент инерции и момент импульса твердого тела относительно оси. Основной закон динамики вращательного движения

Вращательное действие силы, т.е. сообщение телу углового ускорения, зависит не только от модуля силы, но и от того, в каком направлении сила действует и к какой точке тела приложена. Величиной, которая учитывает все эти факторы, является момент силы.
Пусть на твердое тело, имеющее неподвижную ось вращения , в произвольном направлении действует сила . Разложим эту силу на две составляющие: , действующую в плоскости, перпендикулярной к оси вращения, и , параллельную оси вращения. Составляющая вращательного движения вызвать не может, а составляющая - может.
Величина

называется моментом силы относительно оси вращения. Если сила действует в плоскости, перпендикулярной оси вращения, т.е. , то момент этой силы равен:
.
Вектор направлен вдоль оси вращения. Если смотреть с конца вектора , то поворот от к по кратчайшему пути происходит против часовой стрелки.
Модуль вектора равен
,
где - угол между и . Из рисунка видно, что - кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы . Эта величина называется плечом силы .
Найдем зависимость углового ускорения твердого тела от момента сил, действующих на тело. Пусть на произвольный элемент тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, действуют внутренняя и внешняя силы. Составляющие этих сил, лежащие в плоскости, перпендикулярной к оси вращения, равны и .
По первому закону Ньютона
,
где - тангенциальное ускорение элемента .
Умножим это соотношение векторно слева на - радиус-вектор элемента относительно оси:
.
Слагаемые в правой части этого уравнения – моменты сил и относительно оси вращения, следовательно
.
Из предыдущих лекций мы знаем, что , подставим это выражение в предыдущую формулу:
.
Двойное векторное произведение раскроем по формуле:
, следовательно
,
, а , следовательно,
.
Таким образом,
.
Интегрируя это выражение по всем элементам , составляющим твердое тело, получим:
.
по следующей причине. Все внутренние силы можно разбить на равные по модулю и противоположные по направлению силы действия и противодействия. Модули и плечи сил действия и противодействия равны, а направления противоположны, следовательно, и их моменты относительно оси равны по модулю и противоположны по направлению, следовательно, сумма их равна нулю. Следовательно, равен нулю и результирующий момент всех внутренних сил. Интеграл - результирующий момент всех действующих на тело внешних сил. Следовательно,
 (*).
Интеграл , взятый по всем элементам твердого тела, называется моментом инерции тела относительно оси вращения
.
Момент инерции – это мера инерции тел при их вращательном движении. Чем больше момент инерции, тем медленнее изменяется скорость вращения тела под действием данного момента силы. Момент инерции зависит от массы тела и от распределения этой массы относительно оси вращения. Приведем выражения для моментов инерции некоторых твердых тел правильной геометрической формы:
1) тонкостенный цилиндр (тонкий обруч) ;
2) сплошной цилиндр (диск) ;
3) толстостенный цилиндр ;
4) шара ;
5) тонкого стержня .
Оси вращения проходят через центр инерции тел.
Моменты инерции тел относительно произвольных осей рассчитываются по теореме Штейнера, которая гласит: момент инерции тела относительно произвольной оси вращения равен моменту инерции относительно оси, проходящей через центр масс и параллельной данной оси плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями:
,
где - момент инерции тела относительно произвольной оси, - относительно оси, проходящей через центр масс, - масса тела, - расстояние между осями.
Введем момент инерции в (*)
.
Это основной закон динамики вращательного движения твердого тела
.
Угловое ускорение, приобретаемое твердым телом, прямо пропорционально результирующему моменту всех внешних сил, действующих на тело, обратно пропорционально моменту инерции тела относительно оси и направлено в сторону момента сил.

Момент импульса твердого тела и материальной точки

Вспомним, что
,
и подставим это выражение в основной закон динамики вращательного движения твердого тела. Тогда
.
Если распределение массы относительно оси не меняется, то и его можно внести под знак производной:

или

или
,
где - момент импульса твердого тела относительно оси вращения, - импульс момента силы.
Момент импульса твердого тела относительно оси вращения – это вектор, равный произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловую скорость тела.
Импульс момента силы относительно оси вращения – это вектор, равный произведению момента силы относительно этой оси на время действия момента силы.
Проинтегрировав последнее соотношение, найдем приращение момента импульса за конечный промежуток времени
.
Если , то
.
Понятие момента импульса применимо к материальной точке.
Моментом импульса материальной точки относительно оси вращения называется вектор, равный векторному произведению радиуса-вектора материальной точки, проведенной от оси вращения в плоскости вращения, на импульс материальной точки
,
.

Закон изменения и сохранения момента импульса

Закон изменения момента импульса твердого тела, вращающегося вокруг оси – это основной закон динамики вращательного движения в его дифференциальной и интегральной форме
,
.
В частности, если , то
.
Подставив , получим закон сохранения момента импульса твердого тела
, (*)
Если внешние силы на тело не действуют или действуют так, что их результирующий момент относительно оси вращения равен нулю, то момент импульса тела относительно этой оси сохраняется.
Из (*) следует, что если момент инерции вращающегося твердого тела изменяется, то его угловая скорость тоже изменяется
 (пример фигуриста).
Рассмотрим систему из двух вращающихся твердых тел, взаимодействующих между собой с другими внешними телами. Моменты импульсов тел и моменты сил будем отсчитывать относительно одной и той же неподвижной оси.
Моментом импульса системы относительно оси называется сумма моментов импульсов всех тел системы относительно этой оси:
.
Изменение момента импульса каждого из тел рассматриваемой системы обусловлено действием моментов внутренних и внешних сил. Согласно основному закону динамики вращательного движения имеем
,
где и - моменты внутренних сил, действующих на первое и второе тела, и - суммарные моменты внешних сил, действующих на первое и второе тела.
Найдем быстроту изменения момента импульса нашей системы. Для этого сложим два предыдущих выражения
.
При этом мы учтем, что суммарный момент внутренних сил равен нулю. - момент импульса системы, - результирующий момент внешних сил, поэтому
.
Полученный результат справедлив для системы, состоящей из произвольного числа тел. Последнее соотношение – закон изменения момента импульса системы в дифференциальной форме.
Производная по времени от момента импульса системы, взятого относительно произвольной оси, равна результирующему моменту внешних сил относительно этой же оси.
Для замкнутой системы и тогда мы получаем закон сохранения момента импульса системы:
,
.
Момент импульса замкнутой механической системы сохраняется
,
где - момент импульса -й частицы в момент времени ,
- момент импульса -й частицы в момент времени .



Лекция 5
Механическая работа и мощность

Опыт показывает, что различные формы движения материи способны к взаимным превращениям. Так, в тепловой машине хаотичное молекулярное движение частично превращается в упорядоченное механическое, а при движении с трением механическое движение превращается в хаотическое молекулярное. Движение бесследно не исчезает. Исчезновение одной формы движения всегда сопровождается возникновением эквивалентного количества движения другой форы.
Работа – это физическая величина, характеризующая процесс превращения одной формы движения в другую.
По определению, элементарная работа , совершаемая силой , равна скалярному произведению силы на элементарное перемещение точки приложения силы
.
Работа на конечном перемещении равна интегралу
,
где и - радиусы-векторы начального и конечного положений точки приложения силы. От интегрирования по радиусу-вектору можно перейти к интегрированию по времени. Выразим элементарное перемещение через мгновенную скорость :
,
тогда получим:
.
Интегрируя это выражение по времени, получим работу силы за конечный промежуток времени :
.
Для вычисления работы в общем случае нужно знать силу , радиусы-векторы начального и конечного положений движущейся точки и (или начальный и конечный моменты времени и ) и закон движения точки .
В случае, если в процессе перемещения сила не изменяется ни по модулю, ни по направлению, то ее можно вынести за знак интеграла
,
где - перемещение точки, - угол между и .
Если при этом перемещение происходит по прямолинейной траектории, то , где - пройденный путь.
Тогда
,
угол - угол между направлением силы и направлением движения. Тогда - проекция силы на направление движения.
Работа – величина алгебраическая: она может быть положительной и отрицательной. Если угол между и острый - работа силы положительна, если угол тупой – работа отрицательная.
Сила, действующая на материальную точку, не совершает работу, если: а) точка покоится ( ), б) направление силы перпендикулярно к направлению перемещения (скалярное произведение взаимно неперпендикулярных векторов равно нулю). (Примеры).
Если на материальную точку одновременно действует несколько сил, то из принципа независимости действия сил следует, что работа равнодействующей силы (полная работа) равна сумме работ составляющих сил
.
Работа может быть вычислена графически. Построим график зависимости от . Если , то работа силы на пути численно равна площади прямоугольника, покрытого штриховкой. Если , то графиком будет некоторая кривая. Работой силы на пути в этом случае равна площади заштрихованной криволинейной трапеции
,
.
Элементарная работа равна площади узкой полоски.
Быстроту совершения работы характеризует мощность. Мощность равна работе, совершаемой за единицу времени. Различают среднюю и мгновенную мощности. Средняя за промежуток времени мощность равна:
,
где - работа, совершаемая силой за время .
Мгновенная мощность равна
.
Подставив сюда и принимая во внимание, что - мгновенной скорости, получим:
.
Мгновенная мощность равна скалярному произведению силы на скорость.





Консервативные и неконсервативные силы

Силы, работа которых не зависит от формы пути, по которому материальная точка переходит из некоторого начального положения в конечное, называются консервативными или потенциальными.
Найдем работу, совершаемую силой тяжести при перемещении материальной точки из положения 1 в положение 2 по двум разным путям и . Искомые работы равны соответственно
 и
.
Полагая, что масштабы перемещения значительно меньше радиуса земли, можно считать, что одинакова во всех точках рассматриваемой области пространства. Вынесем за интеграл:
,
.
Поскольку по любому пути равен перемещению точки из положения 1 в положение 2, а перемещение это одно и то же, то обе эти работы равны . Таким образом, сила тяжести – консервативная сила.
Сила называется неконсервативной или непотенциальной, если совершаемая ею работа зависит от формы пути, по которому материальная точка переходит из начального положения в конечное.
Найдем работу силы тяги , действующей на автомобиль при его равномерном перемещении из пункта 1 в пункт 2 по двум различным горизонтальным путям и . Искомые значения работы равны соответственно:
,
.
Направление силы тяги в процессе перемещения автомобиля изменяется, поэтому выносить за знак интеграла нельзя. Но так как в любой точке траектории направлена так же, как , то проекция на одна и та же во всех точках траектории и, следовательно, ее можно вынести за знак интеграла:
,
.
Так как , то . Таким образом, сила тяги, развиваемая двигателем автомобиля – неконсервативная сила. Неконсервативными силами являются силы трения, давления газа, силы вихревого электрического поля, силы, развиваемые любым двигателем.
Как консервативные, так и неконсервативные силы могут быть стационарными и нестационарными (зависят ли явно от пути).

Работа и энергия

Неуничтожимость движения материи и способность различных форм движения к взаимным превращениям привели физиков к мысли о том, что должна существовать единая мера различных форм движения, характеризующая любое движение с точки зрения возможностей превращения его в другие формы. Такая мера была найдена и ее назвали энергией.
Энергия – это единая мера различных форм движения материи и типов взаимодействия материальных объектов, являющаяся однозначной непрерывной конечной дифференцируемой функцией параметров состояния объекта.
Параметрами состояния объекта называются все измеряемые свойства, характеризующие состояние этого объекта. Так, параметрами механического состояния материальной точки являются ее радиус-вектор и скорость ; параметрами термодинамического состояния тела – температура , объем , давление , плотность и т.д.; параметрами состояния электромагнитного поля – векторы напряженности и индукции . Следовательно, энергия есть функция этих параметров состояния.
Материальные объекты могут участвовать в различных формах движения (перемещаться в пространстве в них могут происходить различные молекулярные, электромагнитные, ядерные и т.д. процессы). Обычно изменения, обусловленные участием объекта в различных формах движения, рассматривают отдельно. В связи с этим энергию

можно представить в виде суммы нескольких слагаемых, каждое из которых зависит от одного-двух параметров. В механике различают следующие виды энергии:
1) энергию механического движения тел, т.е. кинетическую (сюда относятся энергия движения материальной точки, энергия поступательного и вращательного движения твердого тела, энергия последовательного движения упругих тел);
2) энергию взаимодействия, т.е. потенциальную (сюда относятся энергия тел в поле сил тяготения, в поле электростатических сил, в поле магнитных сил, энергия различных видов деформации).

Работа и кинетическая энергия

Функция состояния – это такая физическая характеристика материального объекта, изменение которой при переходе объекта из одного состояния в другое не зависит от пути перехода, а целиком определяется параметрами начального и конечного состояний. Функциями состояния являются, например, энергия, энтропия, плотность, вязкость и т.д.
Покажем, что механическая работа однозначно связана с вполне определенной функцией механического состояния материального объекта, который эту работу получает. Пусть на материальную точку с массой действует переменная сила . Найдем работу этой силы за время, в течение которого модуль скорости точки изменяется от до . Элементарная работа силы на перемещение равна
.
Преобразуем правую часть этого соотношения
.
Полная работа, совершаемая силой при изменении скорости точки от до , равна интегралу
.
Таким образом, работа не зависит от пути перехода точки из начального состояния в конечное. Если модуль скорости точки изменился от до , то совершенная над точкой работа равна . Следовательно, разность эта есть приращение некоторой функции механического состояния точки , зависящее от скорости

или
,
,
если много сил, то , .
Функция механического состояния, которая зависит от массы материальной точки и квадрата ее скорости и приращение которой равно работе всех действующих на точку сил, называется кинетической энергией точки
.
Отметим свойства кинетической энергии:
1) кинетическая энергия – однозначная конечная непрерывная дифференцируемая функция механического состояния объекта;
2) кинетическая энергия не может быть отрицательной;
3) кинетическая энергия – величина аддитивная, т.е. кинетическая энергия системы материальных точек равна сумме кинетических энергий отдельных точек
;
4) изменение кинетической энергии точки обусловлено работой всех действующих на точку сил. Если эта работа положительна – кинетическая энергия точки возрастает, если отрицательна – уменьшается;
5) тело, обладающее кинетической энергией, способно передать ее другим телам, т.е. совершить работу. В этом смысле говорят об энергии как о способности тела совершать работу.

Энергия вращательного движения твердого тела

Кинетическая энергия, которой обладает твердое тело, вращаясь вокруг неподвижной оси, проходящей через центр масс тела, называется энергией вращательного движения этого тела. Эта энергия складывается из кинетических энергий отдельных элементов тела. Кинетическая энергия элемента , отстоящего на расстоянии от оси, равна
.
Кинетическая энергия вращения всего ела равна
,
где - момент инерции тела относительно оси вращения, - модуль угловой скорости вращения тела.
Как известно, плоское движение твердого тела может быть представлено в виде суммы двух движений: поступательного вместе с центром масс и вращательного вокруг оси, проходящей через центр масс и сохраняющей неизменную ориентацию в пространстве. Можно показать, что кинетическая энергия твердого тела, совершающего плоское движение, равна сумме
,
где - масса тела, - модуль скорости центра масс тела, - момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела, - модуль угловой скорости тела относительно оси, проходящей через центр масс.
Первое слагаемое – энергия поступательного движения тела, второе слагаемое – энергия вращательного движения.

Работа при вращательном движении

Найдем работу, совершаемую внешней силой при повороте твердого тела на некоторый угол вокруг неподвижной оси. Элементарная работа dA силы , действующей на тело, равна

где - угол между и , - проекция на направление .
Поскольку

Получаем:
 (*)
если М=const,
.
Перепишем и подставим в формулу (*)

Проинтегрировав это выражение, найдем работу силы F при повороте тела на конечный угол
.
Как известно, такое движение твердого тела может быть представлено в виде суммы двух движений – поступательного и вращательного вокруг оси, проходящей через центр масс. Полная кинетическая энергия твердого тела, совершающего плоское движение, равна

где m – масса тела, - скорость центра масс тела, Ic – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела. Первое слагаемое – энергия поступательного движения твердого тела, второе –энергия вращательного движения твердого тела.

Работа и потенциальная энергия

Как уже говорилось ранее, для того, чтобы найти работу силы , нужно знать, как она зависит от скорости ,радиуса-вектора , времени t, закон движения точки Однако, в частном случае, когда на точку действуют только консервативные силы, работу и энергию точки можно найти и не зная закона ее движения. Убедимся в этом, обратившись к работе силы тяжести. Пусть материальная точка с массой переместилась по произвольной траектории из точки 1 в точку 2, находящихся на расстоянии и от поверхности Земли. Совершенная при этом работа равна
,
где - перемещение точки.
Преобразуем это выражение:
,
где - проекция перемещения на направление .
Проекцию можно выразить через приращение высоты . Так как , а , то
.
Подставив это выражение в уравнение для работы, получим:
.
Мы видим, что работа силы тяжести зависит только от модуля , а также от начального и конечного положения точки, и не зависит от пути перехода из точки 1 в точку 2.
По какой бы траектории мы ни перемещали материальную точку, результат остался бы тот же. Следовательно, изменение есть изменение (убыль) некоторой функции состояния , зависящей от положения материальной точки относительно земли

или

или
.
Для элементарного изменения состояния
.
Функция называется потенциальной энергией материальной точки в поле силы тяжести Земли.
Рассмотрим пример работы, совершаемой стационарной консервативной силой, действующей между частями одного и того же поля. Рассмотрим растяжение (или сжатие) пружины. Элементарная работа упругой силы при растяжении или сжатии пружины равна:
,
где - приращение вектора удлинения (или сжатия) пружины.
Учтем, что и воспользуемся свойством скалярного произведения:
.
Для того, чтобы определить работу при удлинении пружины от до , нужно проинтегрировать следующее выражение
.
Работа упругой силы не зависит от того, как произошло удлинение пружины. Следовательно, разность есть изменение (убыль) некоторой функции состояния пружины u, зависящей от взаимного расположения частей пружины:

или
.
Для элементарного удлинения (или сжатия) имеем:
.
В данном случае эта функция состояния называется потенциальной энергией деформированной пружины. Поскольку консервативные силы бывают как стационарными, так и нестационарными, то в общем случае потенциальная энергия есть функция как координат, так и времени
.
Материальная точка может одновременно обладать и потенциальной и кинетической энергией. Сумма потенциальной и кинетической энергии материальной точки называется ее полной механической энергией Е
.


Связь потенциальной энергии с консервативной силой. Понятие о градиенте скалярной функции.

Между потенциальной энергией материальной точки и консервативной силой, действующей на точку существует связь. Установим эту связь.
Если в каждой точке пространства на материальную точку действует консервативная сила, то говорят, что точка находится в потенциальном поле сил.
Пусть материальная точка, находясь в потенциальном поле сил, переместилась в произвольном направлении на величину . Консервативная сила , действуя на точку, совершает при этом работу:

где - проекция силы на направление r.
Работа консервативной силы равна убыли потенциальной энергии:
поэтому

величина - производная потенциальной энергии по r; она показывает, как быстро изменяется потенциальная энергия вдоль направления r.
Таким образом, проекция консервативной силы на произвольное направление r равна по модулю и противоположна по знаку производной от потенциальной энергии по этому направлению.
Предыдущее соотношение справедливо для любого направления в пространстве, в частности для осей x,y,z декартовой системы координат:
.
Зная проекции силы, можно найти сам вектор силы:
,
.
Вектор, стоящий в правой части этого выражения, называется градиентом функции U и обозначается символом

Градиент потенциальной энергии – это вектор, указывающий направление быстрейшего возрастания потенциальной энергии и численно равный приращению энергии, приходящемуся на единицу длины этого направления.
Консервативная сила, действующая на материальную точку, равна по модулю и противоположна по направлению градиенту потенциальной энергии этой точки.

Лекция №6
Закон сохранения энергии

Закон сохранения энергии – результат обобщения многих экспериментальных данных. Идея этого закона принадлежит М.В. Ломоносову, изложившему закон сохранения материи и движения, а количественная формулировка закона сохранения энергии дана немецким врачом Ю. Майером (1814-1878гг.) и немецким естествоиспытателем Г. Гельмгольцем (1821-1894гг.)
Выведем закон сохранения энергии. Для этого рассмотрим замкнутую систему материальных точек массами m1, m2, …, mn, движущихся со скоростями
Пусть - равнодействующие внутренних консервативных сил, действующих на каждую из этих точек, а - равнодействующие внешних сил.
Запишем II закон Ньютона для каждой из точек:
.
Пусть все точки за какой-то интервал времени dt совершают перемещения Умножим каждое из выражений на соответствующие перемещения скалярно:
.
Сложим эти уравнения и учтем, что - работа внешней консервативной силы над i-й материальной точкой, , т.к. по условию система замкнута, т.е. внешние силы работу не совершают.
.
Учтем следующее:
,
где - бесконечно малое изменение кинетической энергии всей системы,

где - бесконечно малая работа всех действующих в системе внутренних консервативных сил, взятая с обратным знаком, равна бесконечно малому изменению потенциальной энергии системы (т.к. ).
Следовательно, для всей системы в целом
, т.е.
.
Проинтегрируем это выражение
.
Это выражение представляет собой закон сохранения механической энергии:
В замкнутой системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, механическая энергия сохраняется, т.е. не изменяется со временем.



Удар абсолютно упругих и неупругих тел.
Абсолютно неупругое столкновение

Абсолютно неупругим называется такое столкновение, при котором механическая энергия сталкивающихся тел полностью или частично превращается в немеханические виды энергии и по завершении которого столкнувшиеся тела движутся (или покоятся) как единое целое.
Например, столкновение тел из мягкого воска или пластилина, столкновение двух разноименных ионов, сопровождающееся образованием молекулы, захват свободного электрона положительным ионом, поглощение фотона атомом вещества и т.д.
Рассмотрим абсолютно неупругое центральное столкновение двух тел с массами и , движущихся до столкновения со скоростями и . После столкновения оба тела движутся с одной и той же скоростью . По закону сохранения импульса имеем
,
откуда
.
Таким образом, движение тел после абсолютно неупругого столкновения происходит вдоль диагонали параллелограмма, построенного на векторах и .
Найдем убыль кинетической энергии тел при абсолютно неупругом столкновении. Суммарная кинетическая энергия тел до столкновения
,
после столкновения
.
Тогда убыль кинетической энергии равна
.
Эта формула выражает кинетическую энергию, превратившуюся при абсолютно неупругом ударе в другие виды энергии:
,
где - угол между и . Если , то и потери кинетической энергии системы максимальные (встречный удар). , то и потери кинетической энергии минимальны (одно тело догоняет другое).

Абсолютно упругое столкновение

Абсолютно упругим называется такое столкновение, при котором механическая энергия сталкивающихся тел сохраняется.
Столкновения макроскопических тел в реальных условиях всегда бывают в той или иной степени неупругим, ибо они всегда сопровождаются нагреванием тел, их пластической деформацией и т.д., т.е. превращением механической энергии тел в другие ее виды. Однако в некоторых случаях столкновения таких тел можно с достаточной степенью точности считать абсолютно упругими (например, столкновение шаров из слоновой кости или стали).
Важную роль упругие столкновения играют в физике атомных явлений. Например, столкновения молекул газа друг с другом и со стенками сосуда можно считать абсолютно упругим. Упруго рассеиваются -частицы при прохождении через тонкие пленки вещества, рентгеновские кванты при взаимодействии со свободными электронами, нейтроны в ядерных реакторах и т.д.
Рассмотрим центральное абсолютно упругое столкновение со скоростями и . В процессе столкновения тела деформируются, после чего полностью восстанавливают свой объем и форму и разлетаются со скоростями и . Полагая, что тела образуют замкнутую систему и взаимодействуют друг с другом только в процессе столкновения, и применим к ним законы сохранения импульса и энергии:
.
Поскольку тела на расстоянии не взаимодействуют друг с другом, их механическая энергия складывается только из кинетической энергии
.
Эту формулу можно преобразовать к виду:

или
. (*)
Преобразуем закон сохранения импульса:
. (**)
Разделив (*) на (**), получим:
.
Умножим это выражение на и вычтем полученный результат из (**) и найдем :
.
Формулу для получим, поменяв в последнем уравнении индексы:
.
При прямом центральном ударе все вектора параллельны, поэтому, спроектировав и на направление , получим формулы для и :
,
.
Знак "-" относится к случаю, когда и "+", когда .

Механический принцип относительности Галилея

Механический принцип относительности Галилея отвечает на вопрос: одинаково ли протекают механические явления в разных инерциальных системах отсчета, можно ли с помощью механических опытов обнаружить равномерное прямолинейное движение системы отсчета, равноправны ли с механической точки зрения инерциальные системы отсчета.
Чтобы ответить на поставленный вопрос, нужно сравнить вид основных законов механики в разных инерциальных системах отсчета. Если окажется, что законы одной механики не изменяют своего вида при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, то это и буде означать, что механические явления во всех инерциальных системах отсчета протекают одинаково.
Для того, чтобы осуществить переход от одной инерциальной системы отсчета к другой, мы должны знать правила, по которым при этом преобразуются координаты и время.
Преобразования координат и времени, в основе которых лежат классические представления о свойствах пространства и времени, называются преобразованиями Галилея.
Рассмотрим две инерциальные декартовы системы координат и . Систему будем считать неподвижной, систему - движущейся со скоростью в положительном направлении оси без поворота осей и . В начальный момент времени начала координат обеих систем и направления их осей совпадают. Обе системы снабжены синхронизированными часами.
Классическая механика постулирует, что время абсолютно, следовательно, часы, связанные с системами и всегда будут показывать одно и то же время:
.
Найдем связь между радиусами-векторами (координатами) одной и той же материальной точки в системах и . Пусть в некоторый момент времени положение точки в системе определяется радиусом-вектором . Перемещение системы относительно за время равно
.
По правилу вычитания векторов
.
Скорректировав все векторы этого соотношения на оси координат, найдем связь между компонентами векторов и

Эти формулы позволяют найти координаты материальной точки в системе , если известны ее координаты в системе .
Аналогично, для перехода от к получаем

или в проекциях на оси координат

Эти две системы соотношений между координатами и временами неподвижной и движущейся постоянной скоростью и системами координат называются преобразованиями Галилея.
Из преобразований Галилея вытекает закон сложения скоростей в классической механике. Продифференцируем выражение по времени:
.
Но - скорость точки относительно системы , - скорость точки относительно системы . Следовательно,
.
Для перехода от системы к
.
В проекциях эти два соотношения запишутся так:
.
Пользуясь преобразованиями Галилея, можно показать, что некоторые физические величины и соотношения изменяются при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, т.е. являются относительными, другие – не изменяются, т.е. являются инвариантными по отношению к преобразованиям Галилея.
Так как законы механики имеют одинаковый вид во всех инерциальных системах отсчета, то все механические явления в таких системах протекают одинаково. Равномерное прямолинейное движение системы отсчета не влияет на ход механических процессов и его невозможно обнаружить механическим опытами. Так, изучая различные механические явления (например, свободное падение тел, колебания маятника и т.д.) в равномерно и прямолинейно движущемся вагоне, мы не сможем определить, движется вагон или нет. Эти явления будут протекать так, как если бы вагон покоился.
Таким образом, никакими механическими опытами, проведенными внутри инерциальной системы отсчета, невозможно установить, покоится эта система относительно другой инерциальной системы отсчета или движется.
Законы механики инварианты относительно перехода от одной инерциальной системы отсчета к другой.
Эти утверждения – эквивалентны формулировке механического принципа относительности Галилея.





Лекция 7
Элементы специальной теории относительности

Теория относительности создана А. Эйзенштейном в 1905-1916 годах. Теория относительности включает в себя специальную и общую теории. Первая рассматривает свойства пространства-времени в отсутствии полей тяготения, вторая – в неинерциальных системах при наличии полей тяготения. Мы будем изучать только специальную теорию относительности.
Рассмотрим сначала кратко представления классической механики в пространстве, времени и движении.
1) Классическая механика утверждает, что пространство абсолютно. Абсолютное пространство – это некое неподвижное, безграничное, пустое вместилище материи. Свойства абсолютного пространства не зависят от того, есть в нем материальные тела, или нет, движутся они или покоятся.
Абсолютное пространство трехмерно – оно имеет при измерения и для однозначного определения положения каждой его точки необходимо задать три координаты.
Абсолютное пространство непрерывно, т.е. координаты, определяющие положение отдельных его точек, могут принимать любые значения.
Абсолютное пространство эвклидово, т.е. метрические свойства описываются геометрией Эвклида.
Абсолютное пространство однородно, т.е. в нем нельзя выделить особых точек, которые могли бы послужить началом привилегированны систем координат.
Абсолютное пространство изотропно, т.е. в нем не существует особых, привилегированных направлений, все его направления равноправны.
2) Классическая механика также утверждает, что время абсолютно. Абсолютное время – это некая абсолютная длительность событий, не зависящая от тел.
Абсолютное время одномерно – т.е. для его определения необходимо задать одно число – временную координату.
Абсолютное время непрерывно – т.е. два его мгновения могут быть абсолютно близки друг к другу.
Абсолютное время однородно – т.е. в нем нельзя выделить особого мгновения, которое могло бы служить началом привилегированной системы отсчета времени.
Абсолютное время анизотропно, т.е. оно не обладает способностью течь сначала в одном направлении, а затем в другом, оно течет всегда в одном направлении – из прошлого в будущее.
Считается, что абсолютное пространство и абсолютное время не взаимосвязаны, т.е. существуют независимо друг от друга, а также от материи и ее движения.
В классической механике также считается, что все инерциальные системы отсчета в механическом отношении равноправны.

Экспериментальные основы специальной теории относительности

Как известно, волновая теория света, выдвинутая Х. Гюйгенсом в XVII веке, основывалась на представлении о существовании материального светового носителя – эфира. Эфир считался средой, заполняющей пространство и пронизывающей все тела. Свет по Гюйгенсу – упругие поперечные волны механического эфира. Создание Максвеллом электромагнитной теории света (XIX век) привело к представлению об электромагнитном эфире.
Возникает вопрос, вовлекается ли эфир в движение телами или нет? Были выдвинуты три теории. По Г.Р. Герцу (Германия) эфир полностью увлекается движущимися телами, по А. Физо (Франция) – частично, по Г.А. Лоренцу (Голландия) – не увлекается вовсе.
Остановимся на последнем предположении.
Если свет – колебания эфира, то скорость света относительно эфира
и т.д.................

Смотреть работу подробнее



Скачать работу



Смотреть полный текст работы бесплатно


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.
© 2009...2023
WEBKURSOVIK.RU – ЭФФЕКТИВНАЯ ПОМОЩЬ СТУДЕНТУ
webkursovik@yandex.ru