Здесь можно найти учебные материалы, которые помогут вам в написании курсовых работ, дипломов, контрольных работ и рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

 

Повышение оригинальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение оригинальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения оригинальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, РУКОНТЕКСТ, etxt.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии так, что на внешний вид, файл с повышенной оригинальностью не отличается от исходного.

Результат поиска


Наименование:


контрольная работа Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Задачи

Информация:

Тип работы: контрольная работа. Добавлен: 08.05.2012. Год: 2011. Страниц: 19. Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%

Описание (план):


Министерство образования Российской Федерации
Хабаровская государственная академия экономики и права
Кафедра математика и математические методы в экономике





КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1
по дисциплине
«Линейная алгебра и аналитическая геометрия»
Вариант №8




2010 г.



План работы
Задание №1 3
Задание №2 4
Задание №3 7
Задание №4 9
Задание №5 10
Задание №6 11
Задание №7 12
Задание №8 13
Задание №9 15
Задание №10 16
Ответы на экзаменационные билеты 17



Задание 1. Найти произведение заданных матриц А и В.

Решение:
Произведением матрицы А = (аij) m?n на матрицу В=(bjk) n?s называется матрица С = АВ размерности m?s, элементы Сik которой находятся по формуле Cik = ai1b1k + … + ainbnk = (i =1,…,m; k = 1,…,s).






Задание 2. Решить систему линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера, матричным методом и методом Гаусса.

Решение:

а) методом Крамера
Система линейных алгебраических уравнений называется крамеровской, если число m уравнений совпадает с числом n неизвестных и определитель ?(А) квадратной матрицы А данной системы отличен от нуля. Определитель ?(А), называемый определителем системы, имеет вид


Каждая крамеровская система линейных уравнений совместна и определенна, т.е. имеет единственное решение, которое определяется формулами Крамера
Здесь ?j (j = 1, …, n) есть определитель, получающийся из определителя системы путем замены его j – го столбца столбцом из свободных членов системы.




, ,
б) матричным методом
Если матрица системы n уравнений с n неизвестными неособенная, то система имеет единственное решение, которое представимо в матричном виде где Х – матрица-столбец из неизвестных, В - матрица-столбец из свободных членов системы, А-1 – обратная матрица к матрице системы.
Так как ?(А) = 170 ? 0, то обратная матрица А-1 существует. Для ее нахождения вычислим все алгебраические дополнения элементов матрицы А:
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Тогда обратная матрица имеет следующий вид
Тогда имеем



в) методом Гаусса








Задание 3. Показать, что векторы а1, а2, а3 образуют базис в пространстве R3, и найти координаты вектора а в этом базисе.

Решение:
Любая система
а1 = (а11, …, а1n),
………..
an = (an1, …, ann)
из n векторов пространства Rn образует базис этого пространства, если определитель, составленный из их координат, не равен нулю:


Векторы образуют базис пространства R3.
Вектор а разлагается по векторам этого базиса, т.е. справедливо равенство вида:
а = ?1а1 + ?2а2 + ?3а3.
Последнее равенство в координатной форме имеет следующий вид:
(-6, 1, 1) = ?1(2, 1, -2) + ?2(1, -4, 3) + ?3(3, 0, 7).
Согласно определению равенства векторов и действиям над векторами получим систему

линейных алгебраических уравнений с неизвестными ?1, ?2, ?3.
Решим полученное уравнение методом Крамера:



, ,
a=(-2, 0, 1)a1,a2,a3





Задание 4. Определить ранг заданной матрицы.

Решение:
Преобразуем данную матрицу к эквивалентной ей, используя следующие правило. при вычислении ранга матрицы можно исключить из рассмотрения (вычеркнуть, отбросить):
1) нулевые строки;
2) одну из двух равных строк;
3) одну из двух пропорциональных строк;
4) строку, являющуюся линейной комбинацией остальных строк.
Такие образом, можно отбросить вторую строку, пропорциональную первой, и третью нулевую строку. Получим: (2. 4). То есть r(A) = 1.



Задание 5. Привести систему к системе с базисом методом Жордана-Гаусса и найти одно базисное решение.

Решение:

Получим следующую систему:

Свободные переменные: х3, х4, х5.
При х3 = 1, х4 = 0, х5 = 0 получим: ,
Одно базисное решение



Задание 6. Найти два опорных решения канонической системы уравнений.

Решение:
Данная система является системой с базисом относительно переменных х4, х5. Свободными неизвестными являются х1, х2 и х3. Полагая в системе х1 = 0, х2 = 0 и х3 = 0, получим первое опорное решение = (0,0,0,4,7).
Так как при свободных неизвестных х1, х2 и х3 имеются положительные коэффициенты, то возможен переход к эквивалентной канонической системе. Переход осуществим согласно алгоритму преобразования однократного замещения.
В качестве разрешающего столбца возьмем столбец свободной неизвестной х1. Разрешающей строкой будет первая строка. Тогда разрешающим элементом будет элемент а11 = 2.

Приведем полученную систему к системе с базисом:

Получим систему:

Тогда второе опорное решение: = (-451, -7, 65, 0, 0).


Задание 7. Найти собственные значения и собственные векторы данной матрицы.

Решение:
Характеристическое уравнение имеет вид:


Подставляя последовательно полученные собственные значения в получим следующие три системы уравнений для нахождения соответствующих собственных векторов:

Решая данные системы получим собственные векторы:
из первой системы уравнений =(с, 0, -с)
из второй системы уравнений = (4с, 4c, c)
из третьей системы уравнений = (-4с, 5c, c)
где с – любое действительное число, не равное нулю.



Задание 8. Даны вершины треугольника АВС. Найти уравнения его сторон и точку пересечения высот.

Решение:

Найдем уравнения сторон треугольника:
АВ:
АВ: у = х + 6
АС:
АС:
ВС:
ВС:
Составим уравнения высот треугольника:
AH1: A(-3, 3),
так как , то угловой коэффициент перпендикулярной прямой
y = x + b
3 = •(-3) + b ? b = 5
AH1: y = x + 5
CH3: C(6, 2), у = х + 6
так как k = 1, то угловой коэффициент перпендикулярной прямой k = -1
y = -x + b
2 = -6 + b ? b = 8
CH3: y = 8 - x
Найдем точку D – точку пересечения высот.

Решив систему уравнений получим D( , )



Задание 9. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и построить линию.

Решение:
(-25x2 + 100x) + (4y2 + 8y) – 196 = 0
(-25x2 + 100x - 100) + (4y2 + 8y + 4) – 196 + 100 - 4 = 0
-(25x2 - 100x + 100) + (2y + 2)2 = 100
-(5x – 10)2 + (2y + 2)2 = 100
-25(x – 2)2 + 4(y + 1)2 = 100

Данное уравнение является каноническим уравнением гиперболы с центром в точке С(2, -1) и полуосями a = 2, b = 5.
Построим гиперболу:




Задание 10. Построить график заданной кривой.

Решение:
Преобразуем уравнение:
y – ? = -2(x – ?)2, где ,
Таким образом, данное уравнение определяет параболу с вершиной в точке (3, 9) и осью симметрии х = 3. Так как а = -2, то ветви параболы направлены вниз.





Ответы на экзаменационные билеты

Билет 8

    Является ли система векторов на плоскости (в пространстве R2) линейно независимой?
Решение:
Система векторов
а1 = (а11, …, а1n),
a2 = (a21, …, a2n),
………..
as = (as1, …, asn)
называется линейно зависимой, если справедливо равенство
?1а1 + … + ?sas = 0,
Получаем:
? ?
Данная система векторов является линейно независимой.

    Какую кривую на плоскости при определяет уравнение
Решение:
Преобразуем данное уравнение к следующему виду: . где
Следовательно, заданное уравнение определяет параболу с вершиной в точке и осью симметрии (ось симметрии параллельна оси ординат).


    Вычислить определитель

Решение:


    Найти два опорных решения канонической системы уравнений

Решение:
Данная система является системой с базисом относительно переменных х1 и х3. Свободной неизвестной является х2. Полагая в системе х2 = 0, получим первое опорное решение = (2, 0, 6).
Так как при свободной неизвестной х2 имеются положительные коэффициенты, то возможен переход к эквивалентной канонической системе. Переход осуществим согласно алгоритму преобразования однократного замещения.
В качестве разрешающего столбца возьмем столбец свободной неизвестной х2. Разрешающей строкой будет первая строка. Тогда разрешающим элементом будет элемент а12 = 2.

Приведем полученную систему к системе с базисом:

Получим систему:

Тогда второе опорное решение: = (0, 2, 0).

    Найти уравнение перпендикуляра, восстановленного в точке пересечения прямой с осью абсцисс.
Решение:
Общее уравнение прямой: y = kx + b
Пусть заданная прямая имеет вид: с.
Уравнение искомого перпендикуляра имеет вид: y = k2x + b2
По условию перпендикулярности прямых угловой коэффициент искомой прямой .
Тогда уравнение перпендикуляра примет вид:
Так как перпендикуляр восстановлен в точке пересечения прямой с осью абсцисс, то есть в точке М(х0, 0), получаем:
?
Уравнение перпендикуляра:


и т.д.................


Скачать работу


Скачать работу с онлайн повышением оригинальности до 90% по antiplagiat.ru, etxt.ru


Смотреть полный текст работы бесплатно


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.