На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


реферат Исследование свойств сингулярной функции

Информация:

Тип работы: реферат. Добавлен: 11.05.2012. Сдан: 2011. Страниц: 3. Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%

Описание (план):


§1. Монотонные функции
Напомним  основные понятия.
Определение 1. Функция f называется монотонно неубывающей, если их следует . Аналогично определяются монотонно невозрастающие функции.
Определение 2. Пусть f – произвольная функция на прямой. Предел

(если  он существует) называется пределом  справа функции f в точке и обозначается
Аналогично  определяется - предел слева функции f в точке . Равенство означает, очевидно, что в точке функция f или непрерывна, или имеет устранимый разрыв.
Определение 3. Точка, в которой оба этих предела существуют, но не равны между собой, называется точкой разрыва первого рода, а разность называется скачком функции f в этой точке.
Если  , то функция f называется непрерывной слева в точке , а если , то f непрерывна справа в этой точке.
Среди монотонных функций простейшими  являются так называемые функции  скачков. Они строятся следующим  образом. Пусть на отрезке [a, b] задано конечное или счетное число точек и пусть каждой из них поставлено в соответствие положительное число , причем . Определим функцию f на [a, b], положив
       (1)                                          

Ясно, что эта функция монотонно неубывающая. Кроме того, она непрерывна слева1 в каждой точке, а совокупность ее точек разрыва совпадает со множеством
1 Если бы мы определили f формулой , то получили бы функцию, непрерывную справа.
, причем скачок в точке  равен . Действительно,

но так  как каждое , удовлетворяющее условию , удовлетворяет и условию при достаточно малом , то последний предел равен . Таким образом,
Если  точка x совпадает с одной из точек , скажем, , то

т.е.
Наконец, если x не совпадает ни с одной из точек , то в ней функция скачков непрерывна.
Простейший  тип функций скачков – ступенчатые  функции, у которых точки разрыва  можно расположить  в монотонную последовательность

Другой  тип монотонных функций, в некотором  смысле противоположный функциям скачков, - непрерывные монотонные функции. Имеет  место следующее утверждение.
Всякую  монотонную функцию, непрерывную слева, можно представить как сумму непрерывной монотонной функции и функции скачков (непрерывной слева) и притом единственным образом.
Действительно, пусть f – неубывающая непрерывная слева функция и - все ее точки разрыва, а - ее скачки в этих точках. Положим

Разность  есть неубывающая непрерывная функция. Для доказательства
рассмотрим  разность

Здесь справа стоит разность между полным приращением функции f на отрезке [x’, x’’] и суммой ее скачков на этом отрезке. Ясно, что эта величина неотрицательная, т.е. - неубывающая функция. Далее, для произвольной точки x* имеем


откуда 

(где  h* - скачок функции H в точке x*). Отсюда и из непрерывности f и H слева вытекает, что действительно непрерывна. 

§2. Функции с ограниченным изменением
Определение 4. Функция f, заданная на отрезке [a, b], называется функцией с ограниченным изменением, если существует такая постоянная C, что, каково бы ни было разбиение отрезка [a, b] точками
выполнено неравенство 
      (2)

Определение 5. Пусть f – функция с ограниченным изменением. Точная верхняя грань сумм (2) по всевозможным конечным разбиениям отрезка [a, b] называется полным изменением (или полной вариацией) функции f на отрезке [a, b] и обозначается . Таким образом,

Теорема 1. Всякая функция с ограниченным изменением может быть представлена как разность двух монотонно неубывающих функций.
Теорема Лебега2. Монотонная функция f, определенная на отрезке [a, b], имеет почти всюду на этом отрезке конечную производную.
Из теоремы 1 и теоремы Лебега о существовании производной у монотонной функции сразу следует, что всякая функция с ограниченным изменением имеет почти всюду конечную производную.
Перейдя от монотонных функций к функциям с ограниченным изменением, полезно  следующим образом обобщить введенное выше понятие функции скачков. Пусть  - конечное или счетное множество точек на [a, b]. Поставим в соответствие каждой из этих точек два числа и , так, что

Предположим, кроме того, что если , то , а если , то .
Положим
    (3)

Мы будем  называть теперь функциями скачков любые функции вида (3). Полное изменение функции равно, очевидно,

Точками разрыва функции (3) служат те , для которых хотя бы одно из чисел отлично от нуля, при этом

Легко получается следующее утверждение, обобщающее утверждение.
Теорема 2. Всякая функция f с ограниченным изменением, определенная на [a, b], может быть представлена и притом единственным образом в виде

где непрерывна, а - функция скачков.
2 Доказательство этой теоремы подробно рассмотрено в учебнике А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин «Элементы теории функций и функционального анализа», М.: Наука, 1976, стр. 324
Рассмотрим  теперь непрерывную, но не абсолютно  непрерывную функцию с ограниченным изменением и положим

Разность  представляет собой непрерывную функцию с ограниченным изменением. При этом

почти всюду.
Определение 6. Назовем непрерывную функцию с ограниченным изменением сингулярной, если ее производная равна нулю почти всюду.
Мы можем  теперь сформулировать следующий результат:
Теорема 3. Всякая функция с ограниченным изменением может быть представлена в виде суммы трех компонент
    (4)

- функции скачков,  абсолютно непрерывной  функции и сингулярной  функции.
Нетрудно  показать, что каждое из слагаемых  в разложении (4) определяется самой функцией f однозначно с точностью до константы. Если функции, входящие в равенство (4), нормировать, потребовав обращение двух из них в ноль в точке x=a, то разложение (4) в точности уже будет единственным. Продифференцировав равенство (4), мы получим, что почти всюду

(поскольку  и равны нулю почти всюду). Следовательно, при интегрировании производной от функции с ограниченным изменением восстанавливается не сама эта функция, а только ее абсолютно непрерывная компонента. Две другие компоненты (функция скачков и сингулярная) при этом «бесследно исчезают». 

§3. Алгоритм построения сингулярной функции
Сингулярная функция строится по следующему правилу.
Пусть и , где каждое равно одному из чисел:  0, 1, 2, …, n – 1.
Если  все  - четные числа, то полагаем
  (k = 1, 2, 3 …);
если  же - первое нечетное число, то
(k = 1, 2, …, p-1),
Таким образом, f(x) всюду определена на [0, 1] и принимает значения также на
[0, 1]. При этом значения аргумента записаны в системе счисления с основанием n, а значения функции – в системе счисления с основанием m.
f(x) не убывает, что устанавливается непосредственным разбором всех возможных и с учетом определения f(x).
f(x) непрерывна, так как для любого натурального числа k.
Эта функция  вообще не постоянная – ее значения полностью заполняют [0, 1]. Постоянна  во всех интервалах смежных к совершенному нигде не плотному множеству3 меры нуль, откуда следует, что почти всюду.
Множество функций, строящихся таким  образом и обладающих описанными выше некоторыми свойствами, образуют класс так называемых сингулярных  функций. Исторически первым примером сингулярной функции является
3 Множество А называется нигде не плотным, если оно не плотно ни в одном шаре, т.е. если в каждом шаре содержится другой шар , не имеющий со множеством А ни одной общей точки.
«канторова лестница», речь о которой будет идти ниже.
§ 4. Пример сингулярной функции. Канторова лестница.
Рассмотрим  канторово множество – сложный  пример замкнутого множества на прямой.
Пусть - отрезок [0, 1]. Выбросим из него интервал , а оставшееся замкнутое множество обозначим . Затем выбросим из интервалы и , а оставшееся замкнутое множество (состоящее из четырех отрезков) обозначим . В каждом из этих четырех отрезков выбросим средний интервал длины и т.д. (рис.1). Продолжая этот процесс, получим убывающую последовательность замкнутых множеств . Положим
.

F – замкнутое множество (как пересечение замкнутых). Оно получается из отрезка [0, 1] выбрасыванием счетного числа интервалов. 

              1
             


Рис.1 Канторово  множество
Рассмотрим так называемую функцию «канторова лестница»4.
4  Канторова лестница более известна в литературе как функция Граве, так как Д.А. Граве дал наиболее прозрачное определение этой функции (точнее, целого семейства таких функций), детально изучил ее свойства и вычислил интеграл от этой функции.                                                         
Положим
Рассмотрим  на отрезке [0, 1] канторово множество  и определим f сначала на его смежных интервалах, положив на k-ом смежном интервале n-го ранга (включая и его концы). Следовательно,
при

при

при
и т.д.
 

Таким образом, f определена на отрезке [0, 1] всюду, кроме точек второго рода канторова множества (т.е. точек, не принадлежащих ни смежным интервалам, ни совокупности их концов). Доопределим теперь f  в этих оставшихся точках следующим образом. Пусть t* - одна из таких точек и пусть - сходящаяся к ней возрастающая последовательность точек первого рода (т.е. концов смежных интервалов). Тогда существует предел
        (5)

Аналогично  существует и предел
       (6)

- убывающая последовательность  точек первого рода, сходящаяся  к t*, причем
 

пределы (5) и (6) равны между собой. Приняв это общее значение за f(t*)
и т.д.................


Перейти к полному тексту работы


Скачать работу с онлайн повышением уникальности до 90% по antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru


Смотреть полный текст работы бесплатно


Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.