На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


задача Нахождение интерполяционных многочленов Лагранжа и Ньютона, проходящих через четыре точки заданной функции, сравнение их степенных представлений. Решение нелинейного дифференциального уравнения методом Эйлера. Решение систем алгебраических уравнений.

Информация:

Тип работы: задача. Предмет: Математика. Добавлен: 21.06.2009. Сдан: 2009. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «ХПИ»

Кафедра «Вычислительной техники и програмирования»

Расчётно-графическое задание
по курсу «Теория алгоритмов и вычислительные методы»
Харьков - 2005
Исходные данные:
Вариант №
y0
y1
y2
y3
y4
y5
h
x0
64
-0.02
0.604
0.292
-0.512
-1.284
-2.04
0.5
0.3
Задача 1
Исходные данные вводятся в ЭВМ как абсолютно точные числа и представляются в ней в виде чисел с плавающей точкой с относительной погрешностью в одну миллионную. Введенные данные x0 и y0 служат основой формирования двух векторов x=(x0, x1, …, xn) и y=(y0, y1, …, yn) по рекуррентным формулам:

Вычислить скалярное произведение с := (x, y) по алгоритму:

с := 0; i := 0;

while i < n + 1 do c := c + xi · yi;


и оценить аналитически и численно инструментальную абсолютную и относительную погрешности.
Решение
Поскольку данные представляются в ЭВМ в виде чисел с плавающей точкой с относительной погрешностью, то
x0 = x0(1+?)
y0 = y0(1+?)
C0 = x0y0(1+?)
При i = 1
При i = 2
x2 = x03(1+?)5
y2 = y0(1+?)3
C2 = x0y0(1+?)5 + x02(1+?)7 + x03y0(1+?)10

При i = 3
x3 = x04(1+?)7
y3 = (1+?)5
C3 = x0y0(1+?)6 + x02(1+?)8 + x03y0(1+?)11 + x04(1+?)14
При i = 4
x4 = x05(1+?)9
y4 = y0(1+?)7
C4 = x0y0(1+?)7 + x02(1+?)9 + x03y0(1+?)12 + x04(1+?)15 + x05y0(1+?)18

Выявим закономерность изменения Ci:
При расчете Cn без учета погрешности исходных данных и погрешности вычисления, получим
Обозначим эту сумму как S1.
Тогда абсолютная погрешность S2

а относительная погрешность
Оценим инструментально относительную и абсолютные погрешности при n = 10
S1 = 0.0923071
S2 = 1.45914·10-6
S3 = 1.58075·10-5
Задача 2

Для функции g(x), заданной своими значениями в шести точках, составить таблицу всех повторных разностей. Преобразовать функцию g(x) с помощью линейного преобразования x = a + b * k в функцию G(k) с целочисленным аргументом k. В качестве проверки правильности заполнения таблицы вычислить аналитически конечную разность ?ng(x) = ?nG(k) для n = 5.
Решение
Составим таблицу всех повторных разностей:
k
x
y
?y
?2y
?3y
?4y
?5y
0
0.3
0.02
-1.576
0.044
-0.136
0.66
-0.54
1
1.1
-1.556
-1.532
-0.092
0.524
0.12
--
2
1.9
-3.088
-1.624
0.432
0.644
--
--
3
2.7
-4.712
-1.192
1.076
--
--
--
4
3.5
-5.904
-0.116
--
--
--
--
5
4.3
-6.02
--
--
--
--
--

Найдем формулу перехода от x к k:
Выполним проверку, вычислив аналитически конечную разность
?ng(x)= ?nG(k) для n = 5:
Конечные разности, вычисленные аналитически и таблично ?ng(x) = ?nG(k) для n = 5 совпали, следовательно, таблица повторных разностей составлена верно.
Задача 3

Таблично заданную функцию G(k) с целочисленным аргументом представить в виде разложения по факториальным многочленам (z(n) = z · (z-1) · (z-2) · … · (z - n + 1)) и преобразовать его в степенные многочлены G(z) и G(x).
Решение
Представим функцию G(k) в виде разложения по факториальным многочленам:
Преобразуем функцию G(k) в степенной многочлен G(z):
Выполним проверку при k = 1:
0.604=0.604
Так как результаты совпали, значит степенной многочлен G(z) представлен правильно.
Преобразуем функцию G(k) в степенной многочлен G(x). Зная, что получим:
Проверим вычисления при x = 0.8:
0.6045128 ? 0.604
Так как результаты совпали, то вычисления сделаны верно.
Задача 4

Вывести аналитическое выражение суммы для функции целочисленного аргумента G(z). Проверить правильность вычисления полученного выражения прямым суммированием табличных значений G(k), k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 (m = 5).
Решение.
Для вычисления значения суммы используем функцию G(z) в виде разложения по факториальным многочленам, полученным в задаче 3:
где
Для проверки, просуммируем значения G(k) из таблицы:
-0.02 + 0.604 + 0.292 - 0.512 - 1.284 - 2.04 = - 2.96
- 2.96 = - 2.96
Так как результаты вычисления аналитического выражения и суммы табличных значений G(k) совпали, значит аналитическое выражение для суммы выведено правильно.
Задача 5

Составить таблицу упорядоченных разделенных разностей для g(x). Проверить правильность таблицы для разделенной разности [x0; x1; x2; x3] по формуле ее аналитического представления.
Решение
Составим таблицу упорядоченных разделенных разностей для g(x):
xi
g(xi)
[xi; xi+1]
[xi; xi+1; xi+2]
[xi; xi+1; xi+2; xi+3]
[xi; xi+1; xi+2; xi+3; xi+4]
[xi; xi+1; xi+2; xi+3; xi+4;xi+5]
0.3
-0.02
1.248
-1.872
0.592
0.0533333
-0.1567999
0.8
0.604
-0.624
-0.984
0.6986666
-0.3386666
--
1.3
0.292
-1.608
0.064
-0.0213333
--
--
1.8
-0.512
-1.544
0.032
--
--
--
2.3
-1.284
-1.512
--
--
--
--
2.8
-2.04
--
--
--
--
--
Для проверки правильности заполнения таблицы разделенных разностей, вычислим разделенную разность пятого порядка по формуле ее аналитического представления:
Так как результаты вычислений совпали, значит, таблица разделенных разностей составлена правильно.
Задача 6

Получить интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона, проходящие через первые четыре точки таблично заданной функции G(x), и сравнить их степенные представления.
Решение
Для нахождения интерполяционного многочлена Лагранжа используем формулу
где n = 3.
Проведем проверку вычислений, подставив x=0.8 в интерполяционный многочлен Лагранжа, получим y1=0.604
Интерполяционный многочлен Ньютона находится по формуле:
ln(x) = g0 + (x-x0)[x0;x1] + (x-x0)(x-x1)[x0;x1;x2] + … +
+(x-x0)(x-x1)• …•(x-xn-1)[x0;x1;x2;…;xn]
Подставив в формулу gi и xi получим:
Интерполяционные многочлены Ньютона и Лагранжа совпадают.
Проведем проверку вычислений, подставив x=0.8 в интерполяционный многочлен Ньютона, получим y1=0.604
Задача 7.

Вывести выражения для вычисления второй производной в точке x=x3 в виде функций:
где ?ng(0) и g(xn) для n = 0,1,…,5 соответственно значения разностей в точке x = x0 и ординаты g(xn) = gn из задачи N2. Значения производной вычисленные по выведенным формулам, сравнить с вычисленным значением производной, найденной путем дифференцирования интерполяционного многочлена G(x):
Решение
Для вычисления производной воспользуемся оператором дифференцирования:
Выражение для вычисления производной в точке x0 имеет вид:
Для того, чтобы преобразовать его к выражению для вычисления производной в точке x3, применим оператор сдвига:
Для того, чтобы перейти от функции к функции воспользуемся формулой:
Получим выражения для ?2y0:
?5y0 = -y0 + 5y1 - 10y2 + 10y3 - 5y4 + y5
?4y0 = y0 - 4y1 + 6y2 - 4y3 + y4
?3y0 = -y0 + 3y1 - 3y2 + y3
?2y0 = y0 - 2y1 + y2

Подставим эти значения в функцию:
Сравним это значение с вычисленным значением производной путем дифференцирования интерполяционного многочлена G(x):
при x3 = 1.8
Значения производной равны, следовательно, вычисления сделаны верно.
Задача 8

Методом наименьших квадратов для таблично заданной g(x) получить аппроксимирующие степенные полиномы нулевой, первой, второй и третьей степеней (Pi(x), i = 0, 1, 2, 3) и изобразить их на одном графике.
Решение.
Составим таблицу степеней x и xy
и т.д.................


i
x
y
x2
x3
x4
x5
x6
xy
x2y
x3y
1
0.3
-0.02
0.09
0.027
0.0081
0.00243
0.000728999
-0.006
-0.0018
-0.00054
1
0.8
0.604
0.64
0.512
0.4096
0.32768
0.262144
0.4832
0.38656
0.309247
1
1.3

Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.