На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


реферат Особенности математической абстракции

Информация:

Тип работы: реферат. Добавлен: 12.05.2012. Сдан: 2011. Страниц: 11. Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%

Описание (план):


Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего  профессионального образования
«Самарский  Государственный Архитектурно-Строительный университет»
Кафедра « Высшая математика» 
 
 
 

                                                  
«Особенности математической абстракции». 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                                     

                                                 Выполнила: студентка II курса,
                                                      гр. ЭН-94 Блинова А. А.
     Научный руководитель : к. ф-м. н,
     доцент  кафедры ВМ Фадеева О.В. 
 
 
 
 

     Самара 2011 г.
                                                 Содержание. 

Введение…………………………………………………………………………...3
Глава 1. Природа и особенности математических абстракций………………...4
Глава 2. Основные способы математической абстракции…………………….10    
 2.1. Абстракция отождествления…………………………………………….10    
 2.2. Идеализация………………………………………………………………18    
 2.3 Абстракция осуществимости…………………………………………….22
Заключение……………………………………………………………………….29
Список  литературы………………………………………………………………30
Приложение. Исторические личности, упоминаемые в тексте ……………...31 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                 
 

       
                                                     
                                                   
                                                
                                                   
                                                        Введение
      Крайняя абстрактность понятий математики и чисто логический способ получения  ее выводов не раз вызывали острые дискуссии среди ученых.
      Особую актуальность вопрос о природе математических понятий и сущности доказательств приобретает в конце XIX – начале XX вв., когда были обнаружены первые парадоксы теории множеств, связанные с применением законов формальной логики, в частности исключенного третьего закона, к бесконечным множествам. Возникли трудности при обосновании самой теории множеств, не преодоленные в настоящее время.
      Чтобы найти выход из трудностей, были предложены различные программы  обоснования математики, которые  либо отвергали канторовский теоретико-множественный подход, либо его значительно реформировали. Наиболее влиятельными направлениями обоснования математики стали логицизм, интуиционизм, формализм, а также получили распространение идеи конструктивного направления.
      Новые математические методы и идеи, выдвинутые этими школами, во многом обогатили наши знания о таких фундаментальных понятиях и методах математики, как число и фигура, множество и функция, доказательство и вывод и др. Интенсивные исследования по основаниям математики дали ценные математические результаты и пролили новый свет на многие философские и методологические проблемы математики. К их числу относится проблема абстракций.
      Данная  работа дает ответ на вопрос, какую  сторону действительности отображает математика, как совершается процесс абстрагирования в этой науке и чем он отличается от абстрагирования в других опытных науках. Рассмотрена природа математической абстракции, ее виды и связь этого понятия с понятием бесконечности, а так же актуальная и потенциальная бесконечности. 
 
 

      Глава 1. Природа и особенности математических абстракций.
      В окружающем нас мире все предметы и явления находятся в различных  взаимосвязях и отношениях друг с  другом.
      Чтобы познать сущность явлений объективного мира, законы, которые управляют  им, необходимо отделить существенные связи и признаки от несущественных, как говорят, рассмотреть явления в “чистом” виде. Признаком предметов называется то, в чем предметы сходны друг с другом или чем они друг от друга отличаются. Любой предмет имеет множество разнообразных признаков.
      К существенным признакам относятся  те, при потере которых предмет  перестает быть самим собой. А  признаки, которые могут принадлежать, но могут и не принадлежать предмету, и которые не выражают его сущности, называются несущественными.
      В опытных науках в целях рассмотрения явления в “чистом” виде обращаются к эксперименту, который всегда проводится так, чтобы обеспечить необходимый  для этого ход процесса.
      В теоретических науках нельзя пользоваться ни микроскопом, ни химическими реактивами, то и другое должна заменить сила абстракции.
      Чтобы провести математические исследования в “чистом” виде, необходимо отвлечься, абстрагироваться от других свойств  и отношений вещей. Реальные предметы не обладают в точности теми свойствами, которыми их наделяет математика. Поэтому математическая абстракция не сводится к простому отбрасыванию нематематических свойств и сохранению математических.
      Термин  “абстракция” в буквальном переводе означает отвлечение или отделение. Слово “абстракция” (от лат. термина abstractio отвлечение) ввел Боэции как перевод греческого термина, употреблявшегося Аристотелем.
      В научной литературе рассматривают  абстракцию в двух смыслах:, как способ изучения явлений, мыслительную операцию, посредством которой отвлекаются  от несущественного и сосредоточиваются на существенном, и как результат такого процесса. Отдельные понятия, суждения и умозаключения, полученные в результате процесса абстрагирования, очень часто называют абстракциями.
      В математике под абстрагированием понимают процесс мысленного выделения одного или нескольких свойств или отношений предметов, которые в данной связи рассматриваются как особо важные по сравнению со всеми другими свойствами.
      Так, например, замена реальных тел в  механике абсолютно твердыми телами, а в иных случаях – материальными точками, помогает нам глубже изучить процессы, связанные с механическим движением.
      Движение  транспорта, спутника или человека по определенному пути рассматривается  в математике как движение материальной точки по кривой или прямой линии, т. е. отбрасываются все свойства рассматриваемого объекта, кроме свойств движения.
      А работа, сила, ускорение, напряжение электрических  и магнитных полей заменяются в математике векторами, векторными величинами. Из всех свойств оставляют  для рассмотрения только величину и направление.
      Отвлекаясь  от множества свойств и отношений, мы не разрываем природных естественных связей между вещами. Сами эти связи  имеют неодинаковый характер: одни из них – более важные и определяющие, другие – менее.
      Например, рассчитывая диаметр Земли, человек мысленно рассматривает Землю как абстрактный шар, отбрасывая все иные свойства, кроме формы и размеров. Мысленно исключается бесчисленное множество свойств, при этом не нарушается ни одна группа связей и отношений (движение во Вселенной, вращение вокруг оси и др.)
      А это дает возможность отвлечься  от несущественных свойств и сосредоточиться  на изучении свойств существенных, определяющих, решающих (в данном случае существенные – форма и размер). В результате процесса абстракции возникают понятия, категории, законы, в которых как раз и отображаются существенные стороны реальной действительности.
      Специфика математики как особой науки состоит  в том, что она специально выделяет количественные отношения и пространственные формы, которые присущи всем без исключения предметам и явлениям, и делает их объектом своего исследования. Но такая широта применения математики неизбежно связана с ее абстрактностью и односторонностью.
      Обратим внимание на особенности математической абстракции, которыми она отличается от абстракции в естествознании и опытных науках.
      Чтобы выделить количественные отношения и пространственные формы в “чистом” виде, математик должен применить абстракцию “наибольшей силы”, так как он обязан отвлечься от всех качественных особенностей и специфических свойств предметов и явлений.
      Эта особенность математической абстракции осознавалась уже античными математиками. Аристотель отмечал, что в отношении  сущего математик подвергает рассмотрению объекты, устранив все чувственные свойства, например тяжесть и легкость, тепло и холод, жесткость, окраску, сохраняет только количественную определенность и непрерывность.
      В геометрии рассматриваются пространственные числа. Но пространственные свойства материальных тел не существуют отдельно от самих тел. Они определяются внутренними и внешними связями тел.
      Для лучшего понимания мы должны абстрагироваться от всех других свойств, кроме геометрических. Понятие геометрического тела –  это крайне односторонний снимок с действительности. Уже понятие физического тела представляет абстракцию, так как здесь мы отвлекаемся от всех нефизических свойств. В понятии геометрического тела мы отвлекаемся и от физических свойств, и сохраняем лишь его пространственные свойства.
      Вторая  особенность математической абстракции состоит в том, что абстрагирование здесь идет часто через ряд последовательных ступеней обобщения (абстракция от абстракции).
      В простейшей форме с этим процессом можно встретиться при выяснении происхождения числа. Первоначально понятие числа не отделяется со считываемых совокупностей, затем оно освобождается от этой конкретности и выступает как отвлеченное понятие.
      Более отчетливо этапы абстрагирования  выделяются в развитии такого фундаментального понятия, каким является функция.
      К самому понятию функциональной зависимости ученые пришли из рассмотрения конкретных взаимосвязей между различными величинами, которые встречаются в самых разных задачах естествознания и техники. По сути дела, большинство законов точного естествознания выражает функциональную связь различных величин. Так, например, закон падения можно выразить формулой
      S = ,
      где S – путь; g – ускорение силы тяжести; t – время падения тела.
      Энергию проводника емкостью с, заряженного  до потенциала U, можно представить  в виде другой формулы, по своему математическому  виду весьма сходной с первой формулой:
      W = .
      Отвлекаясь  от конкретного содержания входящих в эти соотношения величин, мы можем выразить их в виде общей  формулы:
      y = .
      Эта функция служит объектом исследования математики. Мы не рассматриваем здесь  конкретные величины, а исследуем  лишь общую формулу их количественной зависимости, т. е. тот закон, которому подчиняется изменение одной  величины (функции) в зависимости от изменения другой.
      В математике мы изучаем различные  виды функции (целые, рациональные, логарифмические, тригонометрические и т. д.). Чтобы  иметь возможность рассуждать о  любых функциях, мы должны отвлечься  от конкретных особенностей перечисленных функций и ввести абстрактное понятие функции вообще. Это уже следующий этап абстрагирования, т. е. абстракция от абстракции.
      Процесс обобщения в математике таких  понятий, как абстрактное математическое пространство, интеграл, группа и других проходит ряд ступеней абстракции, каждая из которых сопровождается расширением объема соответствующего понятия.
      Во  всей истории математики выделяется три больших исторических этапа  в развитии ее абстракции.
      На  первом этапе, (возникновение геометрии  и арифметики), отвлекаются от конкретной качественной природы объектов.
      На  втором этапе вводится буквенная  символика и происходит переход  к алгебре, стали отвлекаться  от конкретных чисел и величин.
      На  третьем этапе уже отвлекаются  не только от конкретной природы объектов, но и от конкретных зависимостей между ними.
      Например, под операцией умножения теперь понимают не только умножение чисел, но и векторов, событий, предложений. Таким образом, здесь переменными  становятся не только объекты исследования, но и сами операции над ними.
      Третья  особенность математической абстракции состоит  в значительном использовании  так называемых идеальных  объектов – точки, прямой, плоскости, евклидовой геометрии, которые  представляют идеальные  объекты, образующиеся посредством идеализации.
      Если  идеализацию понимать шире, а именно как процесс образования таких  понятий, которые или выражают свойства реальных объектов в искаженном виде, или приписывают им свойства, отсутствующие  у них, тогда можно будет с  известным основанием утверждать, что непосредственным объектом исследования математики являются именно идеальные математические объекты. Эти объекты – не плод чистой фантазии, они, как и математика в целом, служат для познания действительности. Но математика оперирует этими понятиями именно как идеальными объектами.
      Четвертая особенность –  использование различных  абстракций осуществимости.( См. Главу 2 п. 2.3)
      Пятая особенность состоит  в том, что многие системы абстракций в математике, возникнув  на базе опыта и  практики или даже в процессе чисто логического развития теории, не требуют в дальнейшем обращения к опыту.
      Действительно, в математике мы повсюду оперируем  одними лишь абстракциями, т. е. обращаемся прежде всего к логике, а не к  эксперименту.
      Шестая  особенность математического  познания – это широкое использование символического языка и алгоритмических процессов.
      Учитывая  указанные особенности, мы имеем  возможность выйти на очень высокий  уровень абстракции, что позволит осознать закономерности процессов  или явлений. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

             Глава 2. Основные способы математической абстракции.
      Рассмотрим  основные способы абстрагирования, которые используются в математике и с помощью которых происходит образование таких исходных понятий  математики, как число, фигура и т. д.
      Наиболее  распространенными способами абстрагирования в математике являются абстракция отождествления, идеализация, различные абстракции осуществимости, которые играют важную роль при образовании различных понятий математической бесконечности.
                                2.1. Абстракция отождествления.
      Наиболее  фундаментальной является абстракция отождествления, с помощью которой  выделяется свойство или отношение, общее всех исследуемых предметов. Именно поэтому такую абстракцию называют обобщающей.
      Чтобы лучше понять суть абстракции отождествления, обратимся к процессу образования натурального числа, которое исторически и логически представляет исходный пункт развития всей математики.
      Для современного человека понятие числа  кажется очень привычным, хотя и  не всегда ясно осознаваемым. Ему кажется само собой разумеющимся, что любая операция сравнения и счета предметов уже предполагает существование натуральных чисел. Между тем факты истории убедительно показывают, что в развитии общества был такой период, когда люди не имели еще сколько-нибудь оформленного представления о числе и все-таки справлялись с операцией сравнения и счета, различных совокупностей или, как мы будем говорить дальше, множеств вещей. Понятие числа появляется значительно позже, поскольку оно предполагает уже развитую способность к абстрактному мышлению.
      Когда мы говорим о каком-либо числе, то ясно представляем, что с этим числом можно соотнести различные множества  вещей. Например, число пять может означать количество пальцев руки, лепестков цветка, вершин пятиугольника и т. д. В этом понятии отображается определенная количественная особенность этих множеств. Несмотря на качественно различную природу составляющих множества элементов, все они имеют общее свойство, характеризуемое числом пять.
      Каким путем люди в процессе практической деятельности пришли к абстрагированию такого общего свойства множеств, каким является число?
      Понятно, что такое отвлечение нельзя было осуществить без наличия определенных множеств вещей. А чтобы сравнить два множества вещей, надо сопоставить их элементы, т. е. установить взаимно однозначное соответствие между элементами различных множеств (рис. 1).
        
                          рис. 1. Взаимно однозначное

      Например, если каждому пальцу нашей руки сопоставить  один и только один предмет, то можно  установить соответствие: множество,
состоящее, скажем, из пяти коров, будет эквивалентно множеству пальцев на руке.
      В принципе, сравнить множества можно, не прибегая к помощи чисел.
      Первоначально люди не отделяли свойства от самих пересчитываемых предметов. Вместе с тем они уже могли устанавливать равночисленность одного множества другому путем сравнения их элементов. Не отдавая себе в том отчета, устанавливая равночисленность элементов одного множества с другими путем сравнения, люди использовали алгоритм сравнения, то есть абстракцию отождествления.
      Алгоритм  сравнения.
      1. Выявление множества предметов,  обладающих определенным свойством.
      2. Выбор множества объектов, которое  может образно служить эквивалентом.
      3. Сопоставление объектов первого  множества со вторым с целью  выявления черт сходства.
      Обобщение – умозаключение по аналогии сравниваемых множеств.
      В истории формирования понятия натурального числа выделяется четыре этапа.
      Первый  этап начинается с установления равночисленности различных множеств вещей. Здесь  общее свойство эквивалентных множеств полностью ассоциируется с конкретной природой сравниваемых множеств (коров  столько же, сколько пальцев на одной руке). При этом, устанавливая взаимно однозначное соответствие, необходимо иметь перед глазами перечисляемые предметы. Если количество коров выходит за пределы количества пальцев рук и ног, то обозначается словом “много” или “куча”.
      На  втором этапе, численность какого-либо определенного множества выражается через целый ряд других эквивалентных  ему множеств. Здесь общее свойство всех множеств начинает уже осознаваться как нечто отличное от конкретной природы самого множества. Так, например, чтобы сообщить, что в каком-то месте пасется стадо из десяти животных, можно это выразить с помощью двух рук, десяти камешков, ракушек или палочек.
      На  третьем этапе множество выступает  в качестве своеобразного эталона  количества, это общее свойство начинает отличаться от всех особенных свойств множеств.
      Дальнейшее  развитие обмена между людьми наталкивалось  на то неудобство, что у одних  племен в качестве эталона сравнения  были палочки, у других – ракушки, у третьих – камешки и т. д.
      Под влиянием потребности обмена, развития экономической жизни, постепенно одно определенное множество начинает выступать в качестве представителя количества всякого множества.
      И только на четвертом этапе общее  свойство всех эквивалентных множеств абстрагируется от самих множеств и выступает в “чистом” виде,  
т. е. как абстрактное понятие натурального числа.

      Теперь  в качестве эталона количества выступают  уже сами натуральные числа. Действительно, начиная счет, мы теперь соотносим каждый предмет отсчитываемого множества к определенному числу натурального ряда, именно к тому, которое служит его номером.
      Абстракция  отождествления использовалась, по существу, уже в античной математике, к ней  прибегают и Евдокс, и Евклид в  тех случаях, когда они не могут  установить непосредственное значение какого-либо геометрического отношения.
      А пифагорейцы, связав философию с  математикой, поставили вопрос о  числовой структуре мироздания, используя  абстракцию отождествления следующим  образом: тезис Пифагора – “Самое мудрое – число”, является центральным в философском обосновании мироздания.
      Число владеет всеми вещами, в том  числе и нравственными, и духовными  качествами. Полемизируя в этом вопросе  с Пифагором, Аристотель сообщает, что  Пифагор учил: “Справедливость есть число, помноженное само на себя”. “Душа есть гармония”. Но гармония – это числовое соотношение. И здесь мы находим число.
      Есть  сведения о том, как Пифагор пришел к своей идее, которая стала  основной идеей пифагореизма, что  число – основа всего сущего. Эти основания эмпирические. Ямвлих (IV в. н. э.) и Боэций (конец V – начало VI в. н. э.) рассказывают: проходя как-то мимо кузницы, Пифагор заметил, что совпадающие удары не одинаковых по весу молотов производят гармоничные различные созвучия. Вес молотов можно измерить. Таким образом, качественное явление (созвучие) можно измерить, оно точно определяется через количество. Отсюда Пифагор сделал вывод: “Число владеет… вещами”.
      Занимаясь числами, Пифагор продвинул эту  науку вперед, “освободив ее от служения делу купцов”. А о геометрии у  неоплатоника Прокла
(V в.  н. э) сказано об этом еще  сильнее: “Пифагор преобразовал  геометрию, придав ей форму  свободной науки, рассматривая  ее принципы чисто абстрактным  образом и исследуя теоремы  с нематериальной стороны, с  интеллектуальной точки зрения”.
      Число у Пифагора было положено в основу Космоса. Эту идею развил Гиппас из Метапонта. Гиппас учил, что число – первый образец творения мира.
      Нельзя  не упомянуть философа-математика Эврита, который довел учение пифагорейцев о числе до крайности. Он пытался найти собственное число для каждого вида, изображая этот вид (например, человека) разнообразными камешками (мозаика). Число вида определяется тем числом этих камешков, которые понадобятся то ли для заполнения контура типичного изображения того или иного животного или человека, то ли для заполнения всей площади изображения.
      Исторический  экскурс в генезис понятия  числа следует дополнить его  логическим определением. В наиболее отчетливой форме такое определение  было дано немецким математиком и  логиком Готлобом Фреге. Впоследствии его определение было переоткрыто Б. Расселом. В основе определения числа, данного Фреге и Расселом, лежит понятие взаимно-однозначного соответствия.
      Два множества подобны или эквивалентны, если между ними может быть установлено  взаимно-однозначное соответствие. Каждому элементу одного множества ставится в соответствие один и только один элемент другого множества.
      Как определяет Рассел, число – “класс всех тех классов, которые подобны  ему”.
      Итак, все множества сравнивают с одним  и тем же множеством-посредником, т. е. множеством натуральных чисел.
      На  примере образования числа можно  раскрыть особенности абстракции отождествления, которая играет важную роль в математике.
Эта абстракция начинается с установления отношения  типа равенства между исследуемыми множествами объектов. Для определения числа мы рассматриваем отношение взаимно-однозначного соответствия между множествами. Чтобы определить понятие геометрической фигуры, мы должны рассмотреть отношение подобия фигур. Для определения сравнения числа по некоторому модулю мы должны исследовать отношения сравнения.
      Отношения взаимно-однозначного соответствия характеризуются  следующими свойствами.
      1. Симметричность. Если множество А эквивалентно множеству В, то множество В эквивалентно множеству А, или фигура Ф1 ~ Ф2, то Ф2 ~ Ф1.
      2. Транзитивность. Если множество А эквивалентно множеству В, а множество В эквивалентно множеству С, то множество А эквивалентно множеству С. Для фигур Ф1 ~ Ф2, Ф2 ~ Ф3 => Ф1 ~ Ф3.
      3. Рефлексивность. Каждое множество эквивалентно само себе, каждая фигура подобна себе.
      Если  между определенными объектами  существует отношение, обладающее свойствами симметричности, транзитивности и рефлексивности, то с помощью такого отношения  можно выделить, или абстрагировать, некоторое общее свойство, присущее всем этим объектам.
      Абстракция  отождествления используется почти  во всех математических науках. В геометрии  при вычислении площадей и объектов, исследуемые, измеряемые объекты отождествляют  с конкретными геометрическими  фигурами, отбрасывая все качественные свойства, оставляя лишь форму и размеры.
      В дифференциальном исчислении.
      Задача. Окно имеет форму прямоугольника завершенного полукругом. Определить размер окна при заданном периметре, имеющем наибольшую площадь.
      Приступая к решению задачи, мы отбрасываем все качественные свойства этого окна. Неважно, в каком здании будет сделано это окно, из какого материала, как это окно будет открываться.
      Представляя форму этого окна, отождествляем  его с геометрической фигурой, состоящей  из прямоугольника и полукруга (рис. 2).
и т.д.................


Перейти к полному тексту работы


Скачать работу с онлайн повышением уникальности до 90% по antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru


Смотреть полный текст работы бесплатно


Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.