На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


курсовая работа Геометрия Евклида

Информация:

Тип работы: курсовая работа. Добавлен: 14.05.2012. Сдан: 2011. Страниц: 6. Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%

Описание (план):


Содержание. Геометрия Евклида 
 

Введение
1. Развитие геометрии 2
2. О жизни Евклида 4
3. «Начала» Евклида 6
4. Геометрия Евклида 6
5. Неевклидова геометрия (геометрия Лобачевского). 9
5.1 Джероламо Саккери. 10
5.2 Генрих Ламберт. 12
5.3 Швейкарт и Тауринус. 12
5.4 Янош Больяй. 13
5.5 Фридрих Гаусс. 13
5.6 Николай Иванович Лобачевский. 14
6. Заключение 17
7. Список  литературы 18 
 
 

        
 
 
 
 
 
 
 
 

Геометрия Евклида
Введение 

     Любая теория современной науки считается  единственно верной, пока не создана  следующая. Это своеобразная аксиома  развития науки.
     Участь  эта не обошла и геометрию. Традиционная Евклидова геометрия переросла в неевклидову, геометрию Лобачевского. Именно этому разделу математики, его истории и особенностям и посвящен этот проект.
           Геометрия возникла очень давно, это одна из самых древних наук. Геометрия (греческое, от ge -- земля и metrein -- измерять)-- наука о пространстве, точнее -- наука о формах, размерах и границах тех частей пространства, которые в нем занимают вещественные тела. Таково классическое определение геометрии, или, вернее, таково действительное значение классической геометрии. Однако современная геометрия во многих своих дисциплинах выходит далеко за пределы этого определения. Развитие геометрии принесло с собой глубоко идущую эволюцию понятия о пространстве. В том значении, в котором пространство как математический термин широко употребляется современными геометрами, оно уже не может служить первичным понятием, на котором покоится определение геометрии, а, напротив, само находит себе определение в ходе развития геометрических идей.

     1. Развитие геометрии

 
Геометрия, как и другие науки, возникла из потребностей практики. Само слово «геометрия»  греческое, в переводе означает «землемерие».
Люди  очень рано столкнулись с необходимостью измерять земельные участки. Это требовало определенного запаса геометрических и
арифметических  знаний. Постепенно люди начали измерять и изучать свойства более сложных  геометрических фигур. 

«По дошедшим до нас египетским папирусам и  древневавилонским текстам видно, что уже за 2 тысячи лет до нашей  эры люди умели определять площади  треугольников, прямоугольников, трапеций, приближенно вычислять площадь  круга, они знали также формулы для определения объемов куба, цилиндра, конуса, пирамиды и усеченной пирамиды. Сведения по геометрии вскоре стали необходимы не только при измерении земли.  

Развитие  архитектуры, а несколько позднее  и астрономии предъявило геометрии  новые требования. И в Египте и  в Вавилоне сооружались колоссальные храмы, строительство которых могло  производиться только на основе предварительных  расчетов. ...И все же, несмотря на то что человечество накопило такие  обширные знания геометрических фактов, геометрия как наука еще не существовала.  

Геометрия стала наукой только после того, как в ней начали систематически применять логические доказательства, начали выводить геометрические предложения  не только путем непосредственных измерений, но и путем умозаключений, путем  вывода одного положения из другого, и устанавливать их в общем  виде. Обычно этот переворот в геометрии  связывают с именем ученого и  философа VI века до нашей эры Пифагора Самосского».  

Однако  все новые проблемы и созданные  в связи с ними теории привели  к тому, что совершенствовались сами способы математических доказательств, возрастала потребность создания стройной логической системы в геометрии.   

Это обстоятельство заметили еще в древности, и тогда  же был найден выход. Не позднее IV века до нашей эры греческие математики при построении геометрии выбирали некоторые предложения, которые  принимались без доказательства, а все остальные предложения  выводили из них строго логически. Предложения, принятые без доказательства, назывались аксиомами и постулатами.  

Закончилось развитие традиционной геометрии Евклидом. В III веке до нашей эры греческий ученый привел в систему известные ему геометрические сведения в большом сочинении «Начала».

     2. О жизни Евклида

 
        О жизни Евклида (около 365 г. до нашей эры — 300 г. до нашей эры) почти ничего не известно. До нас дошли только отдельные легенды о нем. Первый комментатор «Начал» Прокл (V век нашей эры) не мог указать, где и когда родился и умер Евклид. По Проклу, «этот ученый муж» жил в эпоху царствования Птолемея I. Некоторые биографические данные сохранились на страницах арабской рукописи XII века: «Евклид, сын Наукрата, известный под именем «Геометра», ученый старого времени, по своему происхождению грек, по местожительству сириец, родом из Тира».
         Одна из легенд рассказывает, что царь Птолемей решил изучить геометрию. Но оказалось, что сделать это не так-то просто. Тогда он призвал Евклида и попросил указать ему легкий путь к математике. «К геометрии нет царской дороги», — ответил ему ученый. Так в виде легенды дошло до нас это ставшее крылатым выражение.  

Царь  Птолемей I, чтобы возвеличить свое государство, привлекал в страну ученых и поэтов, создав для них  храм муз — Мусейон. Здесь были залы для занятий, ботанический и  зоологический сады, астрономический  кабинет, астрономическая башня, комнаты  для уединенной работы и главное  — великолепная библиотека. В числе  приглашенных ученых оказался и Евклид, который основал в Александрии  — столице Египта — математическую школу и написал для ее учеников свой фундаментальный труд.  

Именно  в Александрии Евклид основывает математическую школу и пишет  большой труд по геометрии, объединенных под общим названием «Начала» — главный труд своей жизни. Полагают, что он был написан около 325 года до нашей эры.  

Предшественники Евклида — Фалес, Пифагор, Аристотель и другие много сделали для  развития геометрии. Но все это были отдельные фрагменты, а не единая логическая схема.
Как современников, так и последователей Евклида  привлекала систематичность и логичность изложенных сведений. «Начала» состоят  из 13 книг, построенных по единой логической схеме.   

Каждая  из книг начинается определением понятий (точка, линия, плоскость, фигура и т. д.), которые в ней используются, а затем на основе небольшого числа  основных положений (5 аксиом и 5 постулатов), принимаемых без доказательства, строится вся система геометрии.   

В то время  развитие науки и не предполагало наличия методов практической математики. Книги I—IV охватывали геометрию, их содержание восходило к трудам пифагорейской  школы. В книге V разрабатывалось  учение о пропорциях, которое примыкало  к Евдоксу Книдскому. В книгах VII—IX содержалось учение о числах, представляющее разработки пифагорейских  первоисточников. В книгах X—XII содержатся определения площадей в плоскости и пространстве (стереометрия), теория иррациональности (особенно в X книге); в XIII книге помещены исследования правильных тел, восходящие к Теэтету. 

   3. «Начала» Евклида

 
         Обычно о «Началах» говорят, что после Библии это самый популярный написанный памятник древности. Книга имеет свою, весьма примечательную историю. В течение двух тысяч лет она являлась настольной книгой школьников, использовалась как начальный курс геометрии.
       «Начала» пользовались исключительной популярностью, и с них было снято множество копий трудолюбивыми писцами в разных городах и странах. Позднее «Начала» с папируса перешли на пергамент, а затем на бумагу. На протяжении четырех столетий «Начала» публиковались 2500 раз: в среднем выходило ежегодно 6-7 изданий. До двадцатого века книга считалась основным учебником по геометрии не только для школ, но и для университетов.
     «Начала»  состоят из 13 книг, посвященных геометрии  и арифметике в  геометрическом изложении.

   4. Геометрия Евклида

 
       «Начала» Евклида представляют собой изложение той геометрии, которая известна и поныне под названием Евклидовой геометрии. В качестве постулатов Евклид выбрал такие предложения, в которых утверждалось то, что можно проверить простейшими построениями с помощью циркуля и линейки. Евклид принял также некоторые общие предложения-аксиомы, например, что две величины, порознь равные третьей, равны между собой. На основе таких постулатов и аксиом Евклид строго и систематично развил всю планиметрию.   

В «Началах»  он описывает метрические свойства пространства, которое современная  наука называет Евклидовым пространством. 

Евклидово пространство является ареной физических явлений классической физики, основы которой были заложены Галилеем и Ньютоном. Это пространство пустое, безграничное, изотропное(когда в пространстве нет какого-то выделенного направления), имеющее три измерения. Евклид придал математическую определенность атомистической идее пустого пространства, в котором движутся атомы. Простейшим геометрическим объектом у Евклида является точка, которую он определяет как то, что не имеет частей. Другими словами, точка — это неделимый атом пространства.
Бесконечность пространства характеризуется  тремя постулатами:  

1.«От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию». 2.«Ограниченную прямую можно непрерывно продолжить по прямой».     3.«Из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг».  

Учение  о параллельных и знаменитый пятый  постулат («Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и  по одну сторону углы меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно  эти две прямые встретятся с той  стороны, где углы меньше двух прямых») определяют свойства Евклидова пространства и его геометрию, отличную от неевклидовых геометрий. 
 

    В современном  изложении систему  аксиом Евклидовой геометрии разбивают на следующие пять групп.        
          
 
  I. Аксиомы сочетания. 1) Через каждые две точки можно провести прямую и притом
только  одну. 2) На каждой прямой лежат по крайней мере две точки. Существуют  хотя бы три точки, не лежащие на одной прямой. 3) Через каждые три точки, не  лежащие на одной прямой, можно провести плоскость и притом только одну. 4) На  каждой плоскости есть по крайней мере три точки и существуют хотя бы четыре  точки, не лежащие в одной плоскости. 5) Если две точки данной прямой лежат на  данной плоскости, то и сама прямая лежит на этой плоскости. 6) Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют ещё одну общую точку (и, следовательно, общую прямую).
  II. Аксиомы порядка. 1) Если точка В лежит между А и С, то все три лежат на одной прямой. 2) Для каждых точек А, В существует такая точка С, что В лежит  между А и С. 3) Из трёх точек прямой только одна лежит между двумя другими. 4) Если прямая пересекает одну сторону треугольника, то она пересекает ещё другую  его сторону или проходит через вершину (отрезок AB определяется как множество точек, лежащих между А и В; соответственно определяются стороны треугольника).
  III. Аксиомы движения. 1) Движение ставит в соответствие точкам точки, прямым  прямые, плоскостям плоскости, сохраняя принадлежность точек прямым и плоскостям.
2) Два  последовательных движения дают  опять движение, и для всякого движения  есть обратное. 3) Если даны точки А, A' и полуплоскости A, A‘, ограниченные  продолженными полупрямыми а, а', которые исходят из точек А, A', то существует  движение, и притом единственное, переводящее А, а, A в A', a', A' (полупрямая и  полуплоскость легко определяются на основе понятий сочетания и порядка).
  IV. Аксиомы непрерывности. 1) Аксиома Архимеда: всякий отрезок можно перекрыть любым отрезком, откладывая его на первом достаточное число раз (откладывание отрезка осуществляется движением). 2) Аксиома Кантора: если дана  последовательность отрезков, вложенных один в другой, то все они имеют хотя бы одну общую точку.
  V. Аксиома параллельности Евклида. Через точку А вне прямой а в плоскости, проходящей через А и а, можно провести лишь одну прямую, не пересекающую а.
           
Возникновение Евклидовой геометрии тесно связано с наглядными представлениями об окружающем нас мире (прямые линии — натянутые нити, лучи света и т. п.). Длительный процесс углубления наших представлений привёл к более абстрактному пониманию геометрии. 

    Неевклидова геометрия (геометрия  Лобачевского).
 
Пятый постулат  («Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по  одну сторону углы меньшие двух  прямых, то продолженные неограниченно эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых») 

     Длительные  неудачи разнообразных попыток  вывести пятый постулат Евклида из остальных аксиом и постулатов евклидовой геометрии подготовили  почву для принципиально иной постановки вопроса о проблеме параллельных линий. Происходило постепенное перерастание задачи доказательства пятого постулата в противоположную задачу: установления его логической недоказуемости. Сама природа вопроса наталкивала исследователей на поиски решения на других путях, иногда помимо их намерений или даже наперекор им.
      Идея  недоказуемости пятого постулата Евклида  с начала XVIII века проявляется во всё более отчётливой форме и  во всё более содержательном виде, пока не приводит к окончательному утверждению логической возможности  новой геометрии, где пятый постулат Евклида не имеет места. К началу XIX века «проблема пятого постулата» Евклида настолько назрела, что  была решена почти одновременно и  независимо друг от друга несколькими  различными лицами.
      Возможно, что и сам Евклид пытался доказать постулат о параллельных. В пользу этого говорит то обстоятельство, что первые 28 предложений «Начал»  не опираются на пятый постулат; Евклид как бы старался отодвинуть применение этого постулата до тех  пор, пока использование его не станет настоятельно необходимым.
      Со  времён Евклида до конца XIX столетия проблема пятого постулата являлась одной из самых популярных проблем  геометрии. За этот период было предложено множество различных доказательств  пятого постулата. Однако все они  были ошибочны. Обычно авторы этих доказательств  использовали какое-нибудь геометрическое утверждение, которое оказывалось  столь наглядно очевидным, что проскальзывало в рассуждениях незаметно для  самого автора. Вместе с тем попытка  логически доказать такое утверждение, в свою очередь не опираясь на пятый  постулат, всегда оканчивалась неудачей.
      Конечно, подобные исследования не достигали  намеченной цели, так как смысл  проблемы заключался в освобождении евклидовой теории параллельных от специального постулата, и, таким образом, дело здесь  было не в том, чтобы заменить пятый  постулат другим утверждением, хотя бы оно и было весьма очевидным, а  в том, чтобы доказать этот постулат, исходя из остальных постулатов геометрии.
      Нужно заметить, впрочем, что многочисленные попытки доказательства пятого постулата, несмотря на их тщётность, привели к  известным положительным результатам.
        
      5.1 Джероламо Саккери.
      Характерными  для периода зарождения идеи недоказуемости пятого постулата являются работы итальянского учёного монаха Джероламо Саккери (1667 – 1733), выпущенные им в свет в 1733 году под названием «Евклид, очищенный от всяких пятен». Само название сочинения указывает на замысел Саккери: довести евклидову геометрию до логического совершенства, причём, конечно, имелось в виду в первую очередь устранить сомнения, связанные с пятым постулатом, путём его доказательства.              С этой целью Саккери применяет метод доказательства от противного. В основе его рассуждений лежит изучение свойств четырёхугольника ABCD,
      Где = = и AB=CD. Эта фигура получила название «четырёхугольника Саккери» (хотя О. Хайям рассматривал эту фигуру ещё в XII веке). Рассматривая прямую MN, проведённую перпендикулярно к прямой AD через середину отрезка AD, путём перегибания чертежа по прямой MN легко убедиться, что эта прямая служит осью симметрии фигуры, так что 

       = и BN=CN. 

      Относительно  равных углов ABC и DCB Саккери три логически  возможных допущения:
       = > (гипотеза тупого угла),
       = = (гипотеза прямого угла),
       = < (гипотеза острого угла).
      Из  «гипотезы тупого угла» Саккери  выводит, что сумма углов треугольника равна  и, следовательно, сумма углов четырёхугольника равна , так что эта гипотеза противоречива (по его словам, «сама себя убивает») и должна быть отброшена.
      Саккери устанавливает далее, что гипотеза прямого угла влечёт пятый постулат Евклида. Поэтому для доказательства пятого постулата остаётся только опровергнуть гипотезу острого угла. С этой целью  Саккери далеко развивает систему  следствий из этой гипотезы, стремясь прийти к противоречию. Несмотря на непривычность получаемых результатов, ожидаемое противоречие не возникает…. В конце концов Саккери изменяет чувство строгости, характерное для его сочинения, он пускается в туманные заключения о бесконечно удалённых точках и без достаточного основания делает вывод, что «гипотеза острого угла противоречит природе прямой линии». Объективно Саккери пришёл к результату, противоречащему поставленной им цели: развивая следствия из гипотезы острого угла, он получил, не отдавая себе в этом отчёта, ряд предложений новой геометрии.
      В ходе дальнейших исследований идеи новой, неевклидовой геометрии всё более  определённо заявляют о праве  на существование, их логическая правомерность  выделяется всё рельефнее. 

      5.2 Генрих Ламберт.
      Швейцарский учёный Иоганн Генрих Ламберт (1728 – 1777) рассматривал четырёхугольник, три  угла которого прямые. Относительно четвёртого угла он, подобно Саккери, рассматривает  три логически возможных предположения (гипотезы).
      Ламберт заметил, что гипотеза тупого угла реализуется  на сфере, если рассматривать на ней  дуги больших окружностей в качестве прямых.
      В отличие от Саккери Ламберт отчётливо  понимал, что гипотезу острого угла ему опровергнуть не удалось. По этому  поводу он замечает: «Должна же существовать причина, почему она не поддаётся  опровержению… Гипотеза острого  угла влечёт за собой существование  абсолютной меры длины. В этом есть нечто восхитительное, что вызывает даже желание, чтобы третья гипотеза была справедлива… Я готов предположить, что она имеет место на какой-то мнимой сфере». Это предположение Ламберта в дальнейшем оправдалось самым замечательным образом. 

      5.3 Швейкарт и Тауринус.
      Швейкарт (1780-1859, профессор права в Харьковском  университете с 1812 по 1817 г.) и Тауринус (1794-1874) уже прямо рассматривают геометрию, где сумма углов треугольника не равна . Швейкарт называет свою геометрию «астральной» (звёздной), желая этим, по-видимому, подчеркнуть, что он не считает её реально осуществимой в земных условиях. Тауринус строит свою «логарифмо-сферическую» геометрию на сфере мнимого радиуса.
      Были  и другие авторы, исследовавшие ту или иную сторону новых геометрических предположений, но их работы не составляли решительного шага в области оснований  геометрии, не знаменовали сколь-нибудь значительного перелома в воззрениях на геометрию. Чтобы широко раскрыть систему новой геометрии, чтобы  показать возможность существования  какой-либо иной геометрии, помимо веками складывавшейся и утверждавшейся в  общественном сознании евклидовой геометрии, нужно было достигнуть в новой  геометрии такой же стройности и  законченности. 

      5.4 Янош Больяй.
      Среди работ, посвящённых новой геометрии, выделяется работа, известная под  названием «Аппендикс», написанная венгерским математиком Яношем Больяй в 1832 году. Отец Яноша, Фаркаш Больяй, всю жизнь занимался доказательством пятого постулата Евклида, но, конечно, не достиг цели. Будучи разочарованным в этой проблеме, он убедительно и страстно отговаривал сына от занятий теорией параллельных. «Молю тебя, не делай и ты попытку одолеть теорию параллельных. Ты затратишь на это всё своё время… Я изучил все пути до конца. Я не встретил ни одной идеи, которая бы не была разработана мною. Я прошёл весь беспросветный мрак этой ночи, и всякий светоч, всякую радость жизни я в ней похоронил. Ради бога, молю тебя, оставь эту тему, страшись её. Этот беспросветный мрак… никогда не проясниться на земле…» - писал он сыну. Но молодой Больяй пошёл другим путём: он строил геометрию, «излагающую абсолютно верное учение о пространстве, независимое от правильности или ложности пятого постулата Евклида». И уже в 1828 году, в возрасте 21 года, он писал отцу: «Я получил… замечательные результаты… из ничего я создал целый мир». И действительно, небольшое сочинение Я.Больяя, увидевшее свет только в 1832 году, содержит довольно развитое и систематическое изложение основ новой геометрии. Но это сочинение осталось в своё время незамеченным, не было понято современниками Больяя.
      Необходимы  были огромное гражданское мужество, убеждённость и самоотверженная  настойчивость в пропаганде идей новой геометрии, чтобы преодолеть косность современников и вековые  традиции геометрии. 

      5.5 Фридрих Гаусс.
      Характерна  в истории открытия неевклидовой геометрии роль одного из крупнейших математиков того времени К.Ф.Гаусса (1777-1855). Он много лет занимался  теорией параллельных и ещё в 1824 году писал Тауринусу: «Допущение, что сумма углов треугольника меньше , приводит к своеобразной геометрии; эта геометрия совершенно последовательна, и я развил её для себя вполне удовлетворительно». Однако за всю свою жизнь Гаусс среди множества своих научных работ не решился опубликовать ни одного исследования по неевклидовой геометрии. «Я боюсь крика беотийцев, который поднимется, когда я выскажу свои воззрения»,- писал он Бесселю, намекая на ограниченность современных математических кругов. Осторожность Гаусса в отношении к вопросам неевклидовой геометрии не только не позволила ему выступить от своего имени, но помешала даже поддержать своим авторитетом других новаторов геометрии: он умалчивал об их открытиях и расхолаживал обращавшихся к нему авторов в их намерениях. «Осы, гнездо которых вы разрушаете, подымутся над Вашей головой»,- писал он Герлингу, приславшему ему свою работу о параллельных. Восторженно отзываясь в одном из частных писем об «Аппендиксе» и называя молодого Больяя «гением первой величины», Гаусс тем не менее не оказал ему необходимой моральной поддержки и в отзыве, направленном его отцу, выражался очень сдержанно и подчёркивал, что открытия Яноша для него лично не являются новыми. 
 

      5.6 Николай Иванович Лобачевский.
      Подлинным творцом неевклидовой геометрии, её систематизатором и первым пропагандистом был наш великий соотечественник  Николай Иванович Лобачевский.
     Н. И. Лобачевский родился 1 декабря 1792г. в Нижнем Новгороде, в 1807 году поступил в Императорский Казанский Университет, в 1811 году окончил его. 19 февраля 1826 года представил доклад о своем открытии физико-математическому факультету. В течении всей своей жизни  он развивал свои идеи, которые излагал  в трудах “Начала геометрии”, “Воображаемая  геометрия” и других. За год до смерти он опубликовал свою работу “Пангеометрия” (1855г.).
Николай Иванович помимо научных трудов, вел  громадную работу, как профессор, главный библиотекарь, декан, а позднее  ректор Университета. 

      Лобачевский, развивая систему своих теорем, устанавливает, что эта система представляет собой новую геометрию (он назвал её «Воображаемой»), которая, как и евклидова, свободна от логических противоречий.
      Воображаемую  геометрию Лобачевский развил до таких же пределов, до каких была развита геометрия Евклида. При  этом Лобачевский не встретил в ней  каких-либо логических противоречий. Однако он отчётливо понимал, что это  обстоятельство само по себе не доказывает, что Воображаемая геометрия действительно  непротиворечива, так как если противоречия имеются, то заранее нельзя предвидеть, на какой стадии развёртывания системы  они могут обнаружиться. Чтобы  доказать непротиворечивость своей  геометрии, Лобачевский предпринял глубокий алгебраический анализ основных её уравнений и тем самым дал  решение этого вопроса в такой  мере удовлетворительное, в какой  это было возможно для того времени.
      Доказательство  непротиворечивости геометрии Лобачевского на современном уровне строгости  дано в конце XIX века после установления общих принципов логического  обоснования геометрии.
      Результаты  исследований Лобачевского можно резюмировать следующим образом:
      1.Постулат о параллельных не является необходимым следствием остальных постулатов геометрии (как говорят, логически от них не зависит).
      2.Пятый постулат не вытекает из остальных постулатов, что наряду с геометрией Евклида, в которой этот постулат верен, возможна другая, «Воображаемая» геометрия, в которой он не имеет места.
и т.д.................


Перейти к полному тексту работы


Скачать работу с онлайн повышением уникальности до 90% по antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru


Смотреть полный текст работы бесплатно


Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.