Здесь можно найти образцы любых учебных материалов, т.е. получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ и рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Лекции Векторы на плоскости и в пространстве. Обыкновенное дифференциальное уравнение. Необходимые формулы для решения задач о касательной. Метод наименьших квадратов. Необходимые определения и формулы для вычисления интегралов. Производные элементарных функций.

Информация:

Тип работы: Лекции. Предмет: Математика. Добавлен: 21.04.2009. Сдан: 2009. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ
Определение. Вектором называется направленный отрезок прямой. Точка называется началом вектора , а точка - его концом (рис. 1).
Обозначения: , .
Определение. Длина вектора называется его модулем и обозначается , .
Определение. Координатами вектора называются координаты его конечной точки. На плоскости Oxy ; в пространстве Oxyz .
Определение. Суммой и разностью векторов и являются соответственно векторы
;
;
произведение вектора на число есть вектор
.
Определение. Длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат:
(на плоскости);
(в пространстве).
Определение. Расстояние d между двумя точками A и B можно рассматривать как длину вектора , т.е.
(на плоскости);
(в пространстве).
Определение. Если два вектора и перпендикулярны, то
(на плоскости);
(в пространстве).
Определение Вектор X называется собственным вектором линейного оператора A (матрицы A), если найдется такое число , что AX=X.
Число называется собственным значением оператора A, заданного матрицей A, т.е. собственные значения находятся из характеристического уравнения .
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Определение Обыкновенное дифференциальное уравнение - уравнение, связывающее искомую функцию одной переменной и производные различных порядков данной функции.
Определение Порядок старшей производной - порядок дифференциального уравнения.
Определение Решение дифференциального уравнения - такая функция y=y(x), которая при подстановке ее в это уравнение обращает его в тождество.
Определение Задача нахождения решения дифференциального уравнения называется задачей интегрирования данного дифференциального уравнения.
Определение Общее решение дифференциального уравнения n- го порядка называется такое его решение , которое является функцией переменной x и n постоянных. Частное решение при конкретных значениях .
Определение Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде
.
Определение Д.у. первого порядка называется однородным, если оно может быть представлено в виде
.
(Для решения используется замена t=y/x)/
Определение Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно имеет вид
(линейное неоднородное).
(Сначала решаем уравнение - линейное однородное, находим y и подставляем в исходное).
Определение Уравнение вида
называется уравнением Бернулли.
(Для решения используется замена ).

Линейные однородное д.у. второго порядка с постоянными коэффициентами

Определение Линейные однородные д.у. второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

=0

(Для решения этого уравнения составляем характеристическое уравнение ).

Теорема 1) Пусть характеристическое уравнение имеет действительные корни 1 и 2, причем . Тогда общее решение уравнения имеет вид

(С1, С2 - некоторые числа).

2) Если характеристическое уравнение имеет один корень (кратности 2),то общее решение имеет вид
(С1, С2 - некоторые числа).
3) Если характеристическое уравнение не имеет действительных корней, то общее решение имеет вид
, где
, С1, С2 - некоторые числа.
НЕОБХОДИМЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ О КАСАТЕЛЬНОЙ
Общее уравнение прямой:

Ax+By+C=0

Уравнение прямой с угловым коэффициентом:

y=kx+b

(k=tg коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона этой прямой)

Если две прямые y=k1x+b1 и y=k2+b2 параллельны, то k1=k2.

Если две прямые y=k1x+b1 и y=k2+b2 перпендикулярны, то k1k2=-1.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении(известен коэффициент k):

Пусть прямая проходит через точку M1(x1;y1) и образует с осью Ox угол

y-y1=k(x-x1)

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки M1(x1;y1) и M2(x2;y2):

Уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке x0 примет вид

y-f(x0)=f(x0)(x-x0)

Геометрический смысл производной:

f(x0)=k=tg

(производная f(x0) есть угловой коэффициент(тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой y=f(x) в точке x0)

МАТРИЦЫ
Определение: Матрицей размера mn называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.
Матрица размера mn:
.
Виды матриц
Определение: Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором)-строкой, а из одного столбца - матрицей (вектором)- столбцом.
Пример:
; .
Определение: Матрица называется квадратной n-го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно n.
Пример:
- квадратная матрица третьего порядка.
Определение: Элементы матрицы aij, у которых номер столбца равен номеру строки (i=j), называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы.
Определение: Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной.
Пример:
- диагональная матрица третьего порядка.
Определение: Если у диагональной матрицы n-го порядка все диагональные элементы равны единице, то матрица называется единичной матрицей n-го порядка, она обозначается буквой E.
Пример:
- единичная матрица второго порядка;
- единичная матрица третьего порядка.
Определение: Матрица любого размера называется нулевой, если все элементы равны нулю.

Операции над матрицами

1. Умножение матрицы на число

Каждый элемент матрицы умножается на это число.

Пример:

, 0,5.

2. Сложение матриц

!!! Можно складывать матрицы только одинаковых размеров.

Матрицы складываются поэлементно.

Пример:

.

3. Вычитание матриц

!!! Можно вычитать матрицы только одинаковых размеров.

Матрицы вычитаются поэлементно.

Пример:

.

4. Умножение матриц

!!! Матрицу А можно умножить на матрицу В, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

Произведением матрицы называется такая матрица , каждый элемент которой cij равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.

5. Возведение в степень

Целой положительной степенью Аm (m>1) квадратной матрицы А называется произведение m матриц равных А, т.е.

.

Пример:

, найти А2.

6. Транспонирование матрицы

Транспонированная матрица - матрица, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Обозначается .

Пример:

.

Обратная матрица
Определение: Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица, т.е.
.
!!! Обратная матрица существует и единственна тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная (т.е. определитель матрицы отличен от нуля).
Алгоритм вычисления обратной матрицы:
1. Находим определитель матрицы, т.е..
2. Находим транспонированную матрицу , т.е..
3. Находим присоединенную матрицу, т.е (матрица, состоящая из алгебраических дополнений к элементам транспонированной матрицы).
4. Вычисляем обратную матрицу по формуле .
5. Проверяем правильность вычисления, исходя из определения обратной матрицы.

Ранг матрицы

Определение: Ранг матрицы - это наивысший порядок, отличных от 0, миноров матрицы.

!!! Чтобы найти ранг матрицы нужно сначала привести матрицу с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду (все элементы, стоящие ниже главной диагонали, равны 0).

Элементарными называются следующие преобразования матриц:

1) умножение всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на одно и то же число, отличное от нуля;

2) прибавление к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число;

3) перемена местами строк (столбцов) матрицы;

4) отбрасывание строк (столбцов) матрицы, все элементы которых равны нулю.

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
На практике часто сталкиваемся с задачей о сглаживании экспериментальных зависимостей.
Пусть зависимость между двумя переменными x и y выражается в виде таблицы, полученной опытным путем. Это могут быть результаты опыта или наблюдений, статистической обработки материала и т.п.
xi
x1
x2

xn
yi
y1
y2

yn
Требуется наилучшим образом сгладить экспериментальную зависимость между переменными x и y, т.е. по возможности точно отразить общую тенденцию зависимости y от x, исключив при этом случайные отклонения, связанные с неизбежными погрешностями измерений или статистических наблюдений. Такую сглаженную зависимость стремятся представить в виде формулы y=f(x) - эмпирическая формула.
Задача нахождения эмпирической формулы разбивается на два этапа:
- устанавливается вид зависимости y=f(x), т.е. решить, является ли она линейной, квадратичной, логарифмической или какой-либо другой (в нашей задаче зависимость линейная - y=ax+b);
- определение неизвестных параметров этой функции по методу наименьших квадратов, согласно которому, в качестве неизвестных параметров функции f(x) выбирают такие значения, чтобы сумма квадратов отклонений «теоретических» значений f(xi), найденных по эмпирической формуле y=f(x), от соответствующих опытных значений была минимальной, т.е.
(в нашей задаче ).
В результате решения такой экстремальной задачи с помощью частных производных:
,
получаем систему нормальных уравнений, из которой находим параметры a и b линейной зависимости:
.
НЕОБХОДИМЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ
Определение: Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке Х, если в каждой точке этого промежутка F(x)=f(x).
Определение: Совокупность всех первообразных для функции f(x) на промежутке Х называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается , т.е.
.
Формула Ньютона-Лейбница (для вычисления определенных интегралов):

Формула для вычисления дифференциала функции y=f(x):
dy=f(x)dx.
Некоторые свойства неопределенного и определенного интегралов:
Н.и. , где с - некоторое число,
О.и., где с - некоторое число;
Н.и.,
О.и..
!!! Неопределенный интеграл находится приведением интеграла к табличному (сумме табличных) с помощью этих двух свойств или с помощью таких приемов, как методы интегрирования заменой переменных и по частям.
Формула замены переменной в неопределенном интеграле:
, где - функция, дифференцируемая на рассматриваемом промежутке.
Формула замены переменной в определенном интеграле:
, где - функция имеет непрерывную производную на отрезке [,].
Формула интегрирования по частям в неопределенном интеграле:
,
где u=u(x), v=v(x) - дифферен и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.